Geometrí y Arte Didáctic de l Geometrí en Educción Secundri Mª Encrnción Reyes. ETS Arquitectur. Universidd de Vlldolid Fcultd de Educción Vlldolid, Febrero 007
Proporciones
Proporciones Otrs: Cordobes, Plástic
Proporciones i
Segmento Áureo Definición: Se dice que un segmento AB está dividido según l proporción áure o divin si l relción entre l prte myor y l prte menor es igul l relción entre el todo y l myor. c b A C b b = + = b+ b = b b 1 0 b 0 B Llmndo x =, tenemos x x 1= 0 y x = 1± 5. b Denotmos por φ = 1+ 5 1 5 ' y φ = ls soluciones obtenids El número se llmó número de oro; Fue MARK BARR quien propuso est notción en honor FIDIAS (PHEIDIAS), escultor griego que utilizó números de oro en sus obrs.
CONSTRUCCION EFECTIVA DE LA DIVISON ÁUREA DE AB r s (+b)/ D E A C b B
Proporción en un rectángulo Definición: Ddo un rectángulo de ldos y b, se define l proporción del rectángulo como pb (, ) mx(, b) min(, b) Propieddes de l proporción de un rectángulo = p(, b) 1 pb (, ) = 1 (1) y corresponde l cudrdo. p( λ, λ b) = p(, b), λ () > 0, es decir, l proporción en un rectángulo es invrinte por homotecis y semejnzs. (3) L proporción de un rectángulo coincide con l proporción de sus rectángulos recíprocos externos e internos.
Rectángulos recíprocos externos Los rectángulos R1 y R tienen l mism proporción que el rectángulo R inicil. R no posee l mism proporción, pero el rectángulo totl sí.
Rectángulos recíprocos internos L proporción de un rectángulo es igul l proporción de sus rectángulos recíprocos internos. L construcción de los rectángulos recíprocos internos se efectú de l siguiente form: Trzmos desde C (resp. B) l perpendiculr l digonl DB (resp.ac) y sí obtenemos uno de ellos, el de l derech. Desde D (resp.a) trzmos l perpendiculr AC (resp. DB), obteniendo el rectángulo recíproco de l izquierd. A F' F β B BC cot nα = = cot nβ = FB AB AD α D E' E C
Rectángulo áureo Definición: Un rectángulo de ldos y b se dice con proporción divin o áure si: p(, b ) = φ A prtir de un cudrdo podemos obtener un sucesión decreciente de rectángulos en proporción áure y otr sucesión creciente de rectángulos en proporción áure. El rectángulo BQPC tmbién es áureo. Bst observr que: Q B A QP CP = = 1 φ φ 1 = φ F I E φ = φ + 1 φ ( ) φ 1 = 1 K P C D
Proporciones 50, 31, 19, 1, 7, 5,... Tz gignte volnte con nexo inexplicble de cinco metros de longitud. (1944-1945) Slvdor Dlí (1904-1989) Tz gignte A volnte con i+ 1 nexo i+ 1 = inexplicble Ai+ de i+ cinco = φ metros de longitud i i+1 (1944-1945) D D i+ 1 i+ = φ Slvdor Dlí (1904-1989) = φ
Rectángulo de plt θ = 1 + 1
Rectángulo de plt Plcio de Snt Cruz. Vlldolid Proporción de plt en l fchd. Los dos cudrdos contenidos en el rectángulo de plt determinn l colocción del blcón y de l blustrd superior que remt l cornis.
Rectángulo de plt y DIN Si se extre un cudrdo de un rectángulo en proporción ríz de dos, se obtiene un rectángulo de plt. 1 1 = 1 + = θ
Rectángulo de plt El Rectángulo de plt puede descomponerse en dos cudrdos y un rectángulo de plt θ = 1+ = + ( 1)
Número plástico
L solución rel, P, de l ecución x 3 = 1+ x se llm número plástico Si representmos en el 3 plno l curv y = x y = x + 1 y l rect se observ que se intersecn en un único punto P de bcis comprendid entre 1 y.
Números áureo y plástico El rectángulo áureo es el único en el cul l prolongción de un digonl contiene el vértice del mismo rectángulo dycente colocdo verticlmente l ldo. En efecto: 1 φ tn α = = φ φ = φ 1+ φ Si tenemos un rectángulo de ldos y b (>b) que verific b = + b 1 α ϕ 1 ϕ entonces b tn α = = b + b b b + b = 0 = 0 b = φ b α b b b b
Número plástico Versión tridimensionl de l propiedd nterior.
Número plástico
Proporciones
Proporción poligonl
Proporciones en el hexágono
Proporciones en el octógono
Proporciones en el octógono
Proporciones en el hexágonos encjdos
Proporciones en ls estrells 6/ A1 = L A = L3... Ai = Li+ 1... A A n+ 1 n = L L n+ n+ 1 = 1 3
Proporciones en octógonos encjdos L sucesión se form prtir del octógono exterior trzndo el polígono estrelldo 8/3. Se repite el proceso. L L n+ 1 n = 1 θ
Proporciones en ls estrells 8/3 L sucesión de estrells 8/3 verific: A A n n +1 = θ θ es el número de plt
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