Comisió Ecoómic pr Améric Lti y el Crie (CEPAL) Divisió de Estdístics y Proyeccioes Ecoómics (DEPE) Cetro de Proyeccioes Ecoómics (CPE) Coceptos Básicos de u ile Aletori. Christi A. Hurtdo Nvrro Aril, ile discret. ució de proilidd. p(x i ) p(x x i ); co p(x i ). Deomido l espcio muestrl de todos los posiles vlores de l vrile letori (v..) x, se veriic que: p x i ució de proilidd. orm equivlete de crcterizr l distriució de u v.. L ució de distriució (x) se deie como l proilidd de que l v.. X tome u vlor meor o igul que x. (x) p(x x) L ució de distriució se deie pr todo vlor x rel, y por deiició o creciete. i l vrile tom vlores es: ( x ) p( X x ) p x ( x ) p( X x ) p( x ) p M x ( x ) p( X x ) p( x ) i i x ( ) ( ) x K x, l ució de distriució Mteril de docete de uso exclusivo de los lumos del curso de Ecoometrí Básic, CEPAL.
iles Aletoris Cotius. ució de desidd. Es u ució (x)(cotiu e itervlos) tl que: El áre por dejo de (x) es l proilidd de ese itervlo de vlores. p ( < x < ) Es decir, l sum de l proilidd de tods ls clses co vlores etre y. Not: L proilidd que u modelo de v.. cotiu sig u vlor cocreto culquier es cero y por tto: p ( < x < ) p( x < ) p( < x ) p( x ) E cmio l proilidd de u itervlo culquier es igul l áre dejo de l desidd (x). Δx Δx p x < x < x ( x ) Δx (x) es por tto u desidd de proilidd por uidd de x. ució de distriució. Tomdo límites, Δx se otiee:. ( ). ( ), ie, x ( x ) p( X x ) ( x Δx) ( x ) p( x < X x Δx) ( x ) Δx d. es o decreciete: si <, () () L ució (x) o es u proilidd, sio u desidd, hy que multiplicrl por l chur del itervlo pr oteer l proilidd del itervlo (e el límite). Ejemplo. ile letori cotiu uiorme E el itervlo (,) se tiee l ució de desidd (x) Mteril de docete de uso exclusivo de los lumos del curso de Ecoometrí Básic, CEPAL.
Costte pr x e (,). Cero uer del itervlo. olució. Uiorme e [,], U [,]: es el resultdo de elegir u úmero l zr etre y. Todos dee teer l mism proilidd de ser elegidos, pero como est es cero, equivle que todos los itervlos co l mism chur h etre y tiee l mism proilidd. Pr el cso geerl y como demás c x x <, x > x x <, x > c c( ) oteemos, c y x. x x ( x ) (x), si x < y (x) si x >. x Medids crcterístics. Medid de Posició (Medi). [] x x p μ E Pr u vrile letori discret i i x i [] x x μ E Pr u vrile letori cotiu E geerl l esperz de culquier ució de u vrile letori g(x). [ g ] g μ E Mteril de docete de uso exclusivo de los lumos del curso de Ecoometrí Básic, CEPAL.
Ejemplo. Distriució Uiorme Cotiu. e co < x < L medi o esperz mtemátic es clculd de l siguiete orm: x x μ E[] x ( ) Es decir, el puto medio dode l desidd o es cero. Medid de dispersió (iz). ( x μ) p i i x i E ( x μ) [ ] E μ x Pr u vrile letori discret ( x μ) Pr u vrile letori cotiu Ejemplo. Distriució Uiorme, x U [, ] ~. x x <, x > L vriz es clculd de l siguiete orm: [ μ ] E[ ] μ E ( x ) x ( x μ ) x μ x x ( ) ( ) ( ) ( ) Mteril de docete de uso exclusivo de los lumos del curso de Ecoometrí Básic, CEPAL.
Otrs Medids. Mometos de orde respecto l orige, m. m [ x ] x E Mometos de orde respecto l medi. m [( x μ ) ] ( x μ) E Medids o mometos importtes de u distriució so los coeicietes de simetrí y el coeiciete de curtosis. Coeiciete de Asimetrí o ewess ewess, determi el grdo de simetrí que posee u distriució. Pr el cso de ucioes simétrics como l orml o l t-studet, este coeiciete es cero, y líticmete se represet por: xi x Dode represet l tmño muestrl. Este idicdor idic si l col más lrg de l distriució se ecuetr desvid hci l derech, cetrd o desvid hci l izquierd de l distriució. i l col más lrg se ecuetr hci l izquierd (derech) de l distriució, el coeiciete de sewess será egtivo (positivo) y se dirá que l distriució es sesgd l izquierd (derech). Como todo estimdor, el coeiciete tiee su propi distriució que se deriv sitóticmete, y que permite hcer iereci co muestrs iits. L distriució es u orml, co medi cero y vriz, lo cul represetmos pr T, 5, por l ució de desidd: ( ) s.5 e π Mteril de docete de uso exclusivo de los lumos del curso de Ecoometrí Básic, CEPAL.
~ N, L hipótesis ul H : se evlú trvés de u tl orml estdrizd co el siguiete estdístico: z ˆ ~ N (,) Curtosis El curto mometo se deomi curtosis, y determi si ls cols tiee u ms o ltur superior, igul, o ierior l de u distriució orml. El coeiciete de curtosis dopt u vlor de si ls vriles letoris so geerds de u orml, y líticmete se represet por: K xi x 4 L medid de reereci de este coeiciete pr u distriució orml es de (mesocúrtic), de mer que si el estdístico es myor que, etoces l ució tiee crcterístics de leptocurtosis (K > ), mietrs que si l distriució tiee u coeiciete meor, etoces est se deomi pltocúrtic (K < ). L ució de distriució del coeiciete de curtosis es Mteril de docete de uso exclusivo de los lumos del curso de Ecoometrí Básic, CEPAL.
( K ) K.5 4 e 4 π K 4 ~ N, Pr tester l hipótesis ul de que K deemos clculr el estdístico: z K Test de Normlidd de Jrque-Ber Kˆ ~ N 4 (,) Tl como se mecio e l secció de ucioes de distriució, si summos dos ucioes de distriució chi-cudrds, l ució resultte tmié oedece u distriució chi-cudrd, teiedo los grdos de liertd que result de sumr los grdos de liertd de ls ucioes de desidd idividules. Co este tecedete Jrque y Ber desrrollro u estdístico que evlú e orm cojut l hipótesis ul si el coeiciete de sewess y curtosis tom vlores de y respectiv y cojutmete. Pr geerr el estdístico requiero sumr el cudrdo de dos ucioes de distriució estdrizds como so ẑ y ẑ ( ˆ ) ( ˆ ) ~ χ j z z Mteril de docete de uso exclusivo de los lumos del curso de Ecoometrí Básic, CEPAL.
Mteril de docete de uso exclusivo de los lumos del curso de Ecoometrí Básic, CEPAL. ~ 4 ˆ χ K j ~ 4 ˆ χ K j ~ 4 ˆ χ K j ~ 4 χ K j Tl como se geer el estdístico ce mecior que este idicdor tiee u cot ierior e cero, es decir que o puede ser ierior cero, de mer que e l medid que se lej de, y se porque el coeiciete de sewess se lej de o porque el coeiciete de curtosis diiere de, umet l proilidd de rechzr l hipótesis ul de que l distriució geerdor de los dtos proviee de u distriució orml.
Ejercicio e tiee los siguietes dtos de putjes promedio de lectur e los dieretes píses compoetes de l OCDE. Pís OCDE ( x i x) ( x x) i ( x x) 4 i Pís OCDE ( x i x) ( x) x i ( x) 4 54,8 4,745 7,974 5 54,49,, 54,4,99,85 497 -,7 -,, 59,,9,4 7 494 -, -,, 4 58,4,7,99 8 49 -,5 -,,4 5 57,987,9,95 9 49 -,89 -,4,7 55,94,75,99 487 -,47 -,5,49 7 5,84,59,5 484 -,58 -,9,4 8 5,85,5,4 48 -,77 -,84,79 9 5,58,,8 479 -,7 -,445,9 57,58,7,4 4 474 -,94 -,845,799 57,58,7,4 5 47 -,9 -,,49 57,58,7,4 44 -,49-9,9, 55,85,, 7 4 -,84 -,957 5,4 4 55,85,, Promedio 499,9 Desv. Est. 7,4 ewess -,9 Kurtosis,89 x i Jrque-Ber es u estdístico pr tester si l serie est ormlmete distriuid. Este test mide ls dierecis de l simetrí (sewess) y curtosis de l serie comprció co l distriució orml. El estdístico es clculdo de l siguiete mer: ( ) K j 4 Dode es l sewess, y K es l curtosis, y represet el umero de prámetros estimdos pr crer l serie. Bjo l hipótesis ul de distriució orml, el estdístico Jrque- Ber se distriuye χ (chi-cudrdo) co dos grdos de liertd. Del ejercicio teemos: 7 j 7 j (.895) (.895) (.89 ) 4 (.89) 4 (.85.985) j 4.5 j 4.49575 4.5 Mteril de docete de uso exclusivo de los lumos del curso de Ecoometrí Básic, CEPAL.