Maual de Estadístca Pag Maual de Estadístca Davd Ruz Muñoz ISBN: xxxxxxxxx
Maual de Estadístca Pag ÍNDICE Capítulo I: Capítulo II: Capítulo III: Capítulo IV: Capítulo V: Capítulo VI: Capítulo VII: Hstora de la Estadístca Característcas de ua dstrbucó de frecuecas Dstrbucoes bdmesoales Números ídces Seres temporales Varables aleatoras Probabldad Davd Ruz Muñoz Profesor Departameto Ecoomía y Empresa Uversdad Pablo de Olavde
Maual de Estadístca Pag 3 Capítulo I HISTORIA DE LA ESTADISTICA Como djera Hutsberger: "La palabra estadístca a meudo os trae a la mete mágees de úmeros aplados e grades arreglos y tablas, de volúmees de cfras relatvas a acmetos, muertes, mpuestos, poblacoes, gresos, deudas, crédtos y así sucesvamete Hutsberger tee razó pues al state de escuchar esta palabra estas so las mágees que llega a uestra cabeza La Estadístca es mucho más que sólo úmeros aplados y gráfcas botas Es ua ceca co tata atgüedad como la escrtura, y es por sí msma auxlar de todas las demás cecas Los mercados, la medca, la geería, los goberos, etc Se ombra etre los más destacados cletes de ésta La auseca de ésta collevaría a u caos geeralzado, dejado a los admstradores y ejecutvos s formacó vtal a la hora de tomar decsoes e tempos de certdumbre La Estadístca que coocemos hoy e día debe gra parte de su realzacó a los trabajos matemátcos de aquellos hombres que desarrollaro la teoría de las probabldades, co la cual se adhró a la Estadístca a las cecas formales E este breve materal se expoe los coceptos, la hstora, la dvsó así como alguos errores báscos cometdos al mometo de aalzar datos Estadístcos Defcó de Estadístca La Estadístca es la ceca cuyo objetvo es reur ua formacó cuattatva cocerete a dvduos, grupos, seres de hechos, etc y deducr de ello gracas al aálss de estos datos uos sgfcados precsos o uas prevsoes para el futuro La estadístca, e geeral, es la ceca que trata de la recoplacó, orgazacó presetacó, aálss e terpretacó de datos umércos co e f de realzar ua toma de decsó más efectva Otros autores tee defcoes de la Estadístca semejates a las aterores, y alguos otros o ta semejates Para Chacó esta se defe como la ceca que tee por objeto el estudo cuattatvo de los colectvos ; otros la defe como la expresó cuattatva del coocmeto dspuesta e forma adecuada para el escruto y aálss La más aceptada, s embargo, es la de Mguez, que defe la Estadístca como La ceca que tee por objeto aplcar las leyes de la catdad a los hechos socales para medr su tesdad, deducr las leyes que los rge y hacer su predccó próxma Los estudates cofude comúmete los demás térmos asocados co las Estadístcas, ua cofusó que es coveete aclarar debdo a que esta palabra tee tres sgfcados: la palabra estadístca, e prmer térmo se usa para referrse a la formacó estadístca; també se utlza para referrse al cojuto de téccas y métodos que se utlza para aalzar la formacó estadístca; y el térmo estadístco, e sgular y e masculo, se refere a ua medda dervada de ua muestra Utldad e Importaca Los métodos estadístcos tradcoalmete se utlza para propóstos descrptvos, para orgazar y resumr datos umércos La estadístca descrptva, por ejemplo trata de la tabulacó de datos, su presetacó e forma gráfca o lustratva y el cálculo de meddas descrptvas Ahora be, las téccas estadístcas se aplca de maera ampla e mercadoteca, cotabldad, cotrol de caldad y e otras actvdades; estudos de cosumdores; aálss de resultados e deportes; admstradores de sttucoes; e la educacó; orgasmos polítcos; médcos; y por otras persoas que tervee e la toma de decsoes
Maual de Estadístca Pag 4 Hstora de la Estadístca Los comezos de la estadístca puede ser hallados e el atguo Egpto, cuyos faraoes lograro recoplar, haca el año 3050 ates de Crsto, proljos datos relatvos a la poblacó y la rqueza del país De acuerdo al hstorador grego Heródoto, dcho regstro de rqueza y poblacó se hzo co el objetvo de preparar la costruccó de las prámdes E el msmo Egpto, Ramsés II hzo u ceso de las terras co el objeto de verfcar u uevo reparto E el atguo Israel la Bbla da referecas, e el lbro de los Números, de los datos estadístcos obtedos e dos recuetos de la poblacó hebrea El rey Davd por otra parte, ordeó a Joab, geeral del ejércto hacer u ceso de Israel co la faldad de coocer el úmero de la poblacó També los chos efectuaro cesos hace más de cuareta sglos Los gregos efectuaro cesos peródcamete co fes trbutaros, socales (dvsó de terras) y mltares (cálculo de recursos y hombres dspobles) La vestgacó hstórca revela que se realzaro 69 cesos para calcular los mpuestos, determar los derechos de voto y poderar la poteca guerrera Pero fuero los romaos, maestros de la orgazacó polítca, quees mejor supero emplear los recursos de la estadístca Cada cco años realzaba u ceso de la poblacó y sus fucoaros públcos teía la oblgacó de aotar acmetos, defucoes y matrmoos, s olvdar los recuetos peródcos del gaado y de las rquezas cotedas e las terras coqustadas Para el acmeto de Crsto sucedía uo de estos empadroametos de la poblacó bajo la autordad del mpero Durate los ml años sguetes a la caída del mpero Romao se realzaro muy pocas operacoes Estadístcas, co la otable excepcó de las relacoes de terras perteecetes a la Iglesa, compladas por Ppo el Breve e el 758 y por Carlomago e el 76 DC Durate el sglo IX se realzaro e Fraca alguos cesos parcales de servos E Iglaterra, Gullermo el Coqustador recopló el Domesday Book o lbro del Gra Catastro para el año 086, u documeto de la propedad, extesó y valor de las terras de Iglaterra Esa obra fue el prmer compedo estadístco de Iglaterra Auque Carlomago, e Fraca; y Gullermo el Coqustador, e Iglaterra, trataro de revvr la técca romaa, los métodos estadístcos permaecero cas olvdados durate la Edad Meda Durate los sglos XV, XVI, y XVII, hombres como Leoardo de Vc, Ncolás Copérco, Galleo, Neper, Wllam Harvey, Sr Fracs Baco y Reé Descartes, hcero grades operacoes al método cetífco, de tal forma que cuado se crearo los Estados Nacoales y surgó como fuerza el comerco teracoal exstía ya u método capaz de aplcarse a los datos ecoómcos Para el año 53 empezaro a regstrarse e Iglaterra las defucoes debdo al temor que Erque VII teía por la peste Más o meos por la msma época, e Fraca la ley exgó a los clérgos regstrar los bautsmos, fallecmetos y matrmoos Durate u brote de peste que aparecó a fes de la década de 500, el gobero glés comezó a publcar estadístcas semaales de los decesos Esa costumbre cotuó muchos años, y e 63 estos Blls of Mortalty (Cuetas de Mortaldad) coteía los acmetos y fallecmetos por sexo E 66, el captá Joh Graut usó documetos que abarcaba treta años y efectuó predccoes sobre el úmero de persoas que morría de varas efermedades y sobre las proporcoes de acmetos de varoes y mujeres que cabría esperar El trabajo de Graut, codesado e su obra Natural ad Poltcal ObservatosMade upo the Blls of Mortalty (Observacoes Polítcas y Naturales Hechas a partr de las Cuetas de Mortaldad), fue u esfuerzo ovador e el aálss estadístco Por el año 540 el alemá Sebastá Muster realzó ua complacó estadístca de los recursos acoales, compresva de datos sobre orgazacó polítca, struccoes socales, comerco y poderío mltar Durate el sglo XVII aportó dcacoes más
Maual de Estadístca Pag 5 cocretas de métodos de observacó y aálss cuattatvo y ampló los campos de la fereca y la teoría Estadístca Los erudtos del sglo XVII demostraro especal terés por la Estadístca Demográfca como resultado de la especulacó sobre s la poblacó aumetaba, decrecía o permaecía estátca E los tempos moderos tales métodos fuero resuctados por alguos reyes que ecestaba coocer las rquezas moetaras y el potecal humao de sus respectvos países El prmer empleo de los datos estadístcos para fes ajeos a la polítca tuvo lugar e 69 y estuvo a cargo de Gaspar Neuma, u profesor alemá que vvía e Breslau Este vestgador se propuso destrur la atgua creeca popular de que e los años termados e sete moría más gete que e los restates, y para lograrlo hurgó pacetemete e los archvos parroquales de la cudad Después de revsar mles de partdas de defucó pudo demostrar que e tales años o fallecía más persoas que e los demás Los procedmetos de Neuma fuero coocdos por el astróomo glés Halley, descubrdor del cometa que lleva su ombre, que los aplcó al estudo de la vda humaa Sus cálculos srvero de base para las tablas de mortaldad que hoy utlza todas las compañías de seguros Durate el sglo XVII y prcpos del XVIII, matemátcos como Beroull, Fracs Maseres, Lagrage y Laplace desarrollaro la teoría de probabldades No obstate durate certo tempo, la teoría de las probabldades lmtó su aplcacó a los juegos de azar y hasta el sglo XVIII o comezó a aplcarse a los grades problemas cetífcos Godofredo Achewall, profesor de la Uversdad de Gotga, acuñó e 760 la palabra estadístca, que extrajo del térmo talao statsta (estadsta) Creía, y co sobrada razó, que los datos de la ueva ceca sería el alado más efcaz del goberate coscete La raíz remota de la palabra se halla, por otra parte, e el térmo lato status, que sgfca estado o stuacó; Esta etmología aumeta el valor tríseco de la palabra, por cuato la estadístca revela el setdo cuattatvo de las más varadas stuacoes Jacques Quételect es que aplca las Estadístcas a las cecas socales Este terpretó la teoría de la probabldad para su uso e las cecas socales y resolver la aplcacó del prcpo de promedos y de la varabldad a los feómeos socales Quételect fue el prmero e realzar la aplcacó práctca de todo el método Estadístco, etoces coocdo, a las dversas ramas de la ceca Etretato, e el período del 800 al 80 se desarrollaro dos coceptos matemátcos fudametales para la teoría Estadístca; la teoría de los errores de observacó, aportada por Laplace y Gauss; y la teoría de los mímos cuadrados desarrollada por Laplace, Gauss y Legedre A fales del sglo XIX, Sr Fracs Gasto deó el método coocdo por Correlacó, que teía por objeto medr la flueca relatva de los factores sobre las varables De aquí partó el desarrollo del coefcete de correlacó creado por Karl Pearso y otros cultvadores de la ceca bométrca como J Pease Norto, R H Hooker y G Udy Yule, que efectuaro amplos estudos sobre la medda de las relacoes Los progresos más recetes e el campo de la Estadístca se refere al ulteror desarrollo del cálculo de probabldades, partcularmete e la rama deomada determsmo o relatvdad, se ha demostrado que el determsmo fue recoocdo e la Físca como resultado de las vestgacoes atómcas y que este prcpo se juzga aplcable tato a las cecas socales como a las físcas Etapas de Desarrollo de la Estadístca La hstora de la estadístca está resumda e tres grades etapas o fases - Prmera Fase: Los Cesos: Desde el mometo e que se costtuye ua autordad polítca, la dea de vetarar de ua forma más o meos regular la poblacó y las rquezas exstetes e el terrtoro está lgada a la coceca de soberaía y a los prmeros esfuerzos admstratvos
Maual de Estadístca Pag 6 - Seguda Fase: De la Descrpcó de los Cojutos a la Artmétca Polítca: Las deas mercatlstas extraña ua tesfcacó de este tpo de vestgacó Colbert multplca las ecuestas sobre artículos maufacturados, el comerco y la poblacó: los tedetes del Reo evía a París sus memoras Vauba, más coocdo por sus fortfcacoes o su Dme Royale, que es la prmera propuesta de u mpuesto sobre los gresos, se señala como el verdadero precursor de los sodeos Más tarde, Bufó se preocupa de esos problemas ates de dedcarse a la hstora atural La escuela glesa proporcoa u uevo progreso al superar la fase puramete descrptva Sus tres prcpales represetates so Graut, Petty y Halley El peúltmo es autor de la famosa Artmétca Polítca Chaptal, mstro del teror fracés, publca e 80 el prmer ceso geeral de poblacó, desarrolla los estudos dustrales, de las produccoes y los cambos, hacédose sstemátcos durates las dos terceras partes del sglo XIX 3- Tercera Fase: Estadístca y Cálculo de Probabldades: El cálculo de probabldades se corpora rápdamete como u strumeto de aálss extremadamete poderoso para el estudo de los feómeos ecoómcos y socales y e geeral para el estudo de feómeos cuyas causas so demasados complejas para coocerlos totalmete y hacer posble su aálss Dvsó de la Estadístca La Estadístca para su mejor estudo se ha dvddo e dos grades ramas: la Estadístca Descrptva y la Iferecal Estadístca Descrptva: cosste sobre todo e la presetacó de datos e forma de tablas y gráfcas Esta comprede cualquer actvdad relacoada co los datos y está dseñada para resumr o descrbr los msmos s factores pertetes adcoales; esto es, s tetar ferr ada que vaya más allá de los datos, como tales Estadístca Iferecal: se derva de muestras, de observacoes hechas sólo acerca de ua parte de u cojuto umeroso de elemetos y esto mplca que su aálss requere de geeralzacoes que va más allá de los datos Como cosecueca, la característca más mportate del recete crecmeto de la estadístca ha sdo u cambo e el éfass de los métodos que descrbe a métodos que srve para hacer geeralzacoes La Estadístca Iferecal vestga o aalza ua poblacó partedo de ua muestra tomada Método Estadístco El cojuto de los métodos que se utlza para medr las característcas de la formacó, para resumr los valores dvduales, y para aalzar los datos a f de extraerles el máxmo de formacó, es lo que se llama métodos estadístcos Los métodos de aálss para la formacó cuattatva se puede dvdr e los sguetes ses pasos: Defcó del problema Recoplacó de la formacó exstete 3 Obtecó de formacó orgal 4 Clasfcacó 5 Presetacó 6 Aálss Errores Estadístcos Comues Al mometo de recoplar los datos que será procesados se es susceptble de cometer errores así como durate los cómputos de los msmos No obstate, hay otros errores que o tee ada que ver co la dgtacó y que o so ta fáclmete detfcables Alguos de éstos errores so: Sesgo: Es mposble ser completamete objetvo o o teer deas precocebdas ates de comezar a estudar u problema, y exste muchas maeras e que ua perspectva o
Maual de Estadístca Pag 7 estado metal pueda flur e la recoplacó y e el aálss de la formacó E estos casos se dce que hay u sesgo cuado el dvduo da mayor peso a los datos que apoya su opó que a aquellos que la cotradce U caso extremo de sesgo sería la stuacó dode prmero se toma ua decsó y después se utlza el aálss estadístco para justfcar la decsó ya tomada Datos o comparables: el establecer comparacoes es ua de las partes más mportates del aálss estadístco, pero es extremadamete mportate que tales comparacoes se haga etre datos que sea comparables Proyeccó descudada de tedecas: la proyeccó smplsta de tedecas pasadas haca el futuro es uo de los errores que más ha desacredtado el uso del aálss estadístco Muestreo Icorrecto: e la mayoría de los estudos sucede que el volume de formacó dspoble es ta meso que se hace ecesaro estudar muestras, para dervar coclusoes acerca de la poblacó a que perteece la muestra S la muestra se seleccoa correctamete, tedrá báscamete las msmas propedades que la poblacó de la cual fue extraída; pero s el muestreo se realza correctamete, etoces puede suceder que los resultados o sgfque ada
Maual de Estadístca Pag 8 Capítulo II CARACTERISTICAS DE UNA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS Itroduccó La fase preva de cualquer estudo estadístco se basa e la recogda y ordeacó de datos; esto se realza co la ayuda de los resúmees umércos y gráfcos vsto e los temas aterores Meddas de poscó So aquellas meddas que os ayuda a saber dode está los datos pero s dcar como se dstrbuye Meddas de poscó cetral a) Meda artmétca ( X ) La meda artmétca o smplemete meda, que deotaremos por X, es el úmero obtedo al dvdr la suma de todos los valores de la varable etre el umero total de observacoes, y se defe por la sguete expresó: x x N Ejemplo: S teemos la sguete dstrbucó, se pde hallar la meda artmétca, de los sguetes datos expresados e kg x x 54 08 59 3 77 63 4 5 64 64 N0 60 X x 60 0 N 60, kg S los datos está agrupados e tervalos, la expresó de la meda artmétca, es la msma, pero utlzado la marca de clase (X) Ejemplo: (L -,L ] x x
Maual de Estadístca Pag 9 [30, 40] 35 3 05 (40, 50] 45 90 (50, 60] 55 5 75 0 470 X x N 470 47 0 Propedades: ª) S sometemos a ua varable estadístca X, a u cambo de orge y escala Y a + b X, la meda artmétca de dcha varable X, varía e la msma proporcó Y a + bx Y a + bx ª) La suma de las desvacoes de los valores o datos de ua varable X, respecto a su meda artmétca es cero ( x x) 0 Vetajas e coveetes: - La meda artmétca vee expresada e las msmas udades que la varable - E su cálculo tervee todos los valores de la dstrbucó - Es el cetro de gravedad de toda la dstrbucó, represetado a todos los valores observados - Es úca - Su prcpal coveete es que se ve afectada por los valores extremadamete grades o pequeños de la dstrbucó Meda artmétca poderada Es ua meda artmétca que se emplea e dstrbucoes de tpo utaro, e las que se troduce uos coefcetes de poderacó, deomados ω, que so valores postvos, que represeta el úmero de veces que u valor de la varable es más mportate que otro W x w w b) Meda geométrca
Maual de Estadístca Pag 0 Sea ua dstrbucó de frecuecas (x, ) La meda geométrca, que deotaremos por G se defe como la raíz N-ésma del producto de los N valores de la dstrbucó G N x x x k k S los datos está agrupados e tervalos, la expresó de la meda geométrca, es la msma, pero utlzado la marca de clase (X) El empleo más frecuete de la meda geométrca es el de promedar varables tales como porcetajes, tasas, úmeros ídces etc, es decr, e los casos e los que se supoe que la varable preseta varacoes acumulatvas Vetajas e coveetes: - E su cálculo tervee todos los valores de la dstrbucó - Los valores extremos tee meor flueca que e la meda artmétca - Es úca - Su cálculo es más complcado que el de la meda artmétca Además, cuado la varable toma al meos u x 0 etoces G se aula, y s la varable toma valores egatvos se puede presetar ua gama de casos partculares e los que tampoco queda determada debdo al problema de las raíces de ídce par de úmeros egatvos c) Meda armóca La meda armóca, que represetaremos por H, se defe como sgue: N H r x Obsérvese que la versa de la meda armóca es la meda artmétca de los versos de los valores de la varable No es acosejable e dstrbucoes de varables co valores pequeños Se suele utlzar para promedar varables tales como productvdades, velocdades, tempos, redmetos, cambos, etc Vetajas e coveetes: - E su cálculo tervee todos los valores de la dstrbucó - Su cálculo o tee setdo cuado algú valor de la varable toma valor cero - Es úca Relacó etre las medas:
Maual de Estadístca Pag H G X d) Medaa ( Me ) Dada ua dstrbucó de frecuecas co los valores ordeados de meor a mayor, llamamos medaa y la represetamos por Me, al valor de la varable, que deja a su zquerda el msmo úmero de frecuecas que a su derecha Calculo de la medaa: Varara segú el tpo de dato: a) Varables dscretas o agrupadas: N º) Se calcula y se costruye la columa de las N ( frecuecas acumuladas ) º) Se observa cual es la prmera N que supera o guala a casos: N N p N, dstguédose dos - S exste u valor de X tal que, etoces se toma como p N Me x - S exste u valor tal que N N, etoces la Me x + x + Ejemplo: Sea la dstrbucó x N 3 3 4 7 5 9 6 7 0 6 0 7 33 3 35 35 lugar que ocupa N 35 7, 5 N como se produce que N < < N 6 < 7,7 < 6 Me x El otro caso lo podemos ver e la sguete dstrbucó:,por lo tato Me 7 x N 3 3 4 7
Maual de Estadístca Pag 5 9 6 7 0 6 0 6 3 3 x + x + 5 + 7 Me 6 Lugar que ocupa 3/ 6 > Notar que e este caso se podría haber producdo que hubera ua frecueca absoluta acumulada superor a 6 E este caso se calcularía como e el ejemplo ateror b) Varables agrupadas por tervalos E este caso hay que detectar e que tervalo está el valor medao Dcho tervalo se deoma tervalo medao Cada tervalo I vedrá expresado segú la otacó I ( L -, L ]; observado la columa de las frecuecas acumuladas, buscaremos el prmer tervalo cuya N sea N mayor o gual que, que será el tervalo modal; ua vez detfcado dcho tervalo, procederemos al cálculo del valor medao, debedo dferecar dos casos: N N p p N º) S exste I tal que, etoces el tervalo medao es el ( L -, L ] y la medaa es: M e L + N N c º) Aálogamete s exste u I tal que Ejemplo: N N, la medaa es Me L ( L-, L] N [0, 5] 00 00 (5, 30] 50 50 (30, 35] 00 450 (35, 40] 80 630 (40, 45] 4 67 N 67 67/ 3355 ; Me estará e el tervalo (30-35 ] Por tato realzamos el cálculo:
Maual de Estadístca Pag 3 Me L N N 33,5 50 30 + *5 00 + a 3,38 Vetajas e coveetes : - Es la medda más represetatva e el caso de varables que solo admta la escala ordal - Es fácl de calcular - E la medaa solo fluye los valores cetrales y es sesble a los valores extremos u outlers - E su determacó o tervee todos los valores de la varable e) Moda La moda es el valor de la varable que más veces se repte, y e cosecueca, e ua dstrbucó de frecuecas, es el valor de la varable que vee afectada por la máxma frecueca de la dstrbucó E dstrbucoes o agrupadas e tervalos se observa la columa de las frecuecas absolutas, y el valor de la dstrbuc6 al que correspode la mayor frecueca será la moda A veces aparece dstrbucoes de varables co más de ua moda (bmodales, trmodales, etc), e cluso ua dstrbucó de frecuecas que presete ua moda absoluta y ua relatva E el caso de estar la varable agrupada e tervalos de dstta ampltud, se defe el tervalo modal, y se deota por ( L -, L ], como aquel que posee mayor desdad de frecueca ( h ); la desdad de frecueca se defe como : h a Ua vez detfcado el tervalo modal procederemos al cálculo de la moda, a través de la fórmula: h + Mo L + c h + h + E el caso de teer todos los tervalos la msma ampltud, el tervalo modal será el que posea ua mayor frecueca absoluta ( ) y ua vez detfcado este, empleado la fórmula: + Mo L + + + c Vetajas e coveetes: - Su cálculo es secllo - Es de fácl terpretacó
Maual de Estadístca Pag 4 - Es la úca medda de poscó cetral que puede obteerse e las varables de tpo cualtatvo - E su determacó o tervee todos lo valores de la dstrbucó Meddas de poscó o cetral ( Cuatles ) Los cuatles so aquellos valores de la varable, que ordeados de meor a mayor, dvde a la dstrbucó e partes, de tal maera que cada ua de ellas cotee el msmo úmero de frecuecas Los cuatles más coocdos so: a) Cuartles ( Q ) So valores de la varable que dvde a la dstrbucó e 4 partes, cada ua de las cuales egloba el 5 % de las msmas Se deota de la sguete forma: Q es el prmer cuartl que deja a su zquerda el 5 % de los datos; Q es el segudo cuartl que deja a su zquerda el 50% de los datos, y Q 3 es el tercer cuartl que deja a su zquerda el 75% de los datos (Q Me) b) Decles ( D) So los valores de la varable que dvde a la dstrbucó e las partes guales, cada ua de las cuales egloba el 0 % de los datos E total habrá 9 decles (Q D 5 Me ) c) Cetles o Percetles ( P ) So los valores que dvde a la dstrbucó e 00 partes guales, cada ua de las cuales egloba el % de las observacoes E total habrá 99 percetles (Q D 5 Me P 50 ) Cálculo de los cuatles e dstrbucoes o agrupadas e tervalos - Se calcula a través de la sguete expresó: rn, sedo : q r el orde del cuatl correspodete q el úmero de tervalos co guales frecuecas u observacoes ( q 4, 0, ó 00 ) N úmero total de observacoes - La ateror expresó os dca que valor de la varable estudada es el cuatl que os pde, que se correspoderá co el prmer valor cuya frecueca acumulada sea mayor o gual a rn q Ejemplo: DISTRIBUCIONES NO AGRUPADAS: E la sguete dstrbucó
Maual de Estadístca Pag 5 x N 5 3 3 0 7 0 5 5 5 0 3 8 5 0 N 0 Calcular la medaa (Me); el prmer y tercer cuartl (C,C3); el 4º decl (D4) y el 90 percetl (P90) Medaa (Me) Lugar que ocupa la medaa lugar 0/ 0 Como es gual a u valor de la frecueca absoluta acumulada, realzaremos es x + 0 + 5 x + Me,5 cálculo: Prmer cuartl (C) rn Lugar que ocupa e la dstrbucó ( ¼) 0 0/4 5 Como N- < < N q, es decr 3 < 5 < 0 esto mplcara que C x 0 Tercer cuartl (C3) Lugar que ocupa e la dstrbucó (3/4)0 60/4 5, que cocde co u valor de la frecueca absoluta acumulada, por tato realzaremos el cálculo: x + 5 + 0 3 x C + 7,5 Cuarto decl (D4) rn Lugar que ocupa e la dstrbucó (4/0) 0 80/0 8 Como N- < < N q ya que 3 < 8 < 0 por tato D4 0 Noagésmo percetl (P90) Lugar que ocupa e la dstrbucó (90/00) 0 800/00 8 que cocde co u valor de la frecueca absoluta acumulada, por tato realzaremos el cálculo: x + 0 + 5 90 x P +,5 Cálculo de los cuatles e dstrbucoes agrupadas e tervalos - Este cálculo se resuelve de maera détca al de la medaa - El tervalo dode se ecuetra el cuatl -esmo, es el prmero que ua vez ordeados los datos de meor a mayor, tega como frecueca acumulada ( N ) u valor superor o gual a q rn ; ua vez
Maual de Estadístca Pag 6 detfcado el tervalo I ( L-, L ], calcularemos el cuatl correspodete, a través de la fórmula: C r q L + rn q N q0; Percetl: q00 c r,,,q- Cuartl: q4; Decl: Ejemplo: DISTRIBUCIONES AGRUPADAS: Hallar el prmer cuartl, el cuarto decl y el 90 percetl de la sguete dstrbucó: [L-, L) N [0, 00] 90 90 (00, 00] 40 30 (00, 300] 50 380 (300, 800] 0 500 N 500 - Prmer cuartl (Q) - Lugar ocupa el tervalo del prmer cuartl: (/4) 500 500/4 5 Por tato Q estará stuado e el tervalo (00 00]Aplcado la expresó drectamete, tedremos: Q 5 90 00 + 00 40 5 - Cuarto decl (D4) - Lugar que ocupa: (4/0) 500 00 Por tato D4 estará stuado e el tervalo D (00 00] Aplcado la expresó tedremos: - - Noagésmo percetl (P 90) 00 90 00 + 00 40 4 - Lugar que ocupa: (90/00) 500 450, por tato P90 estará stuado e el tervalo (300 800] Aplcado la expresó tedremos: P 78,57 450 380 70 300 + 500 300 + 500 0 0 90 59,67 3 Mometos potecales Los mometos so meddas obtedas a partr de todos los datos de ua varable estadístca y sus frecuecas absolutas Estas meddas caracterza a las dstrbucoes
Maual de Estadístca Pag 7 de frecuecas de tal forma que s los mometos cocde e dos dstrbucoes, dremos que so guales 3 Mometos respecto al orge Se defe el mometo de orde h respecto al orge de ua varable estadístca a la expresó: a h x h N Partculardades: S h, a es gual a la meda artmétca S h 0, a0 es gual a uo ( a0 ) 3 Mometos cetrales o mometos co respecto a la meda artmétca m h ( x x) N h Partculardades: - S h, etoces m 0 - S h, etoces m S 4 Meddas de dspersó Las meddas de dspersó trata de medr el grado de dspersó que tee ua varable estadístca e toro a ua medda de poscó o tedeca cetral, dcádoos lo represetatva que es la medda de poscó A mayor dspersó meor represetatvdad de la medda de poscó y vceversa 4 Meddas de dspersó absoluta a) Recorrdo ( Re ) Se defe como la dfereca etre el máxmo y el mímo valor de la varable:
Maual de Estadístca Pag 8 R máx x m x Ej: Sea X, las demzacoes recbdas por cuatro trabajadores de dos empresas A y B A 00 0 350 370 B 5 30 40 45 Re ( A) 370 00 70 Re ( B) 45 5 0 --- Dstrbucó meos dspersa - Otros recorrdos: tervalo tercuartílco I Q Q 3 tervalo terdecílco I ( D D ) tervalo tercetílco I ( P P ) 9 99 b) Desvacó absoluta meda co respecto a la meda ( d e ) Nos dca las desvacoes co respecto a la meda co respecto a la meda artmétca e valor absoluto d e r x N x c) Varaza La varaza mde la mayor o meor dspersó de los valores de la varable respecto a la meda artmétca Cuato mayor sea la varaza mayor dspersó exstrá y por tato meor represetatvdad tedrá la meda artmétca La varaza se expresa e las msmas udades que la varable aalzada, pero elevadas al cuadrado r r ( x x) x S S x N N Propedades:
Maual de Estadístca Pag 9 ª) La varaza sempre es mayor o gual que cero y meor que fto ( S x 0) ª) S a ua varable X la sometemos a u cambo de orge a y u cambo de escala b, la varaza de la ueva varable Y a + bx, será: ( S b S ) y x d) Desvacó típca o estádar Se defe como la raíz cuadrada co sgo postvo de la varaza x S x S + 4 Meddas de dspersó relatva Nos permte comparar la dspersó de dsttas dstrbucoes a) Coefcete de varacó de Pearso ( CVx ) Idca la relacó exstete etre la desvacó típca de ua muestra y su meda CV S x Al dvdr la desvacó típca por la meda se coverte e u valor exceto de udad de medda S comparamos la dspersó e varos cojutos de observacoes tedrá meor dspersó aquella que tega meor coefcete de varacó El prcpal coveete, es que al ser u coefcete versamete proporcoal a la meda artmétca, cuado está tome valores cercaos a cero, el coefcete tederá a fto Ejemplo: dstrbucó Calcula la varaza, desvacó típca y la dspersó relatva de esta Sea x el úmero de habtacoes que tee los 8 psos que forma u bloque de vecos X 3 5 6 3
Maual de Estadístca Pag 0 N 8 x x N * + 3 * + 5 * + 6 * 3 8 45 habtacoes S r x N x * + 3 * + 5 *+ 6 *3 8 ( 45) 86 (habtacoes ) + x S x S + 86 69 habtacoes CV S x 69 45 04 5 Meddas de forma Asmetría Curtoss o aputameto Hasta ahora, hemos estado aalzado y estudado la dspersó de ua dstrbucó, pero parece evdete que ecestamos coocer más sobre el comportameto de ua dstrbucó E esta parte, aalzaremos las meddas de forma, e el setdo de hstograma o represetacó de datos, es decr, que formacó os aporta segú la forma que tega la dsposcó de datos Las meddas de forma de ua dstrbucó se puede clasfcar e dos grades grupos o bloques: meddas de asmetría y meddas de curtoss 5 Meddas de asmetría o sesgo : Coefcete de asmetría de Fsher
Maual de Estadístca Pag Cuado al trazar ua vertcal, e el dagrama de barras o hstograma, de ua varable, segú sea esta dscreta o cotua, por el valor de la meda, esta vertcal, se trasforma e eje de smetría, decmos que la dstrbucó es smétrca E caso cotraro, dcha dstrbucó será asmétrca o dremos que preseta asmetría El coefcete de asmetría más precso es el de Fsher, que se defe por: g r ( x x) N 3 S 3 Segú sea el valor de g, dremos que la dstrbucó es asmétrca a derechas o postva, a zquerdas o egatva, o smétrca, o sea: S g > 0 la dstrbucó será asmétrca postva o a derechas (desplazada haca la derecha) S g < 0 la dstrbucó será asmétrca egatva o a zquerdas (desplazada haca la zquerda) S g 0 la dstrbucó puede ser smétrca; s la dstrbucó es smétrca, etoces s podremos afrmar que g 0
Maual de Estadístca Pag g <0 g 0 g >0 - S exste smetría, etoces g 0, y X Me ; s además la dstrbucó es umodal, també podemos afrmar que: X Me Mo - S g > 0, etoces : X > Me > Mo - S g < 0, etoces : X < Me < Mo 5 Meddas de aputameto o curtoss: coefcete de curtoss de Fsher Co estas meddas os estamos refredo al grado de aputameto que tee ua dstrbucó; para determarlo, emplearemos el coefcete de curtoss de Fsher (g)
Maual de Estadístca Pag 3 g r ( x x) N 4 S 4 S g > 3 la dstrbucó será leptocúrtca o aputada S g 3 la dstrbucó será mesocúrtca o ormal S g < 3 la dstrbucó será platcúrtca o meos aputada que lo ormal 6 Meddas de cocetracó Las meddas de cocetracó trata de poer de releve el mayor o meor grado de gualdad e el reparto del total de los valores de la varable, so por tato dcadores del grado de dstrbucó de la varable Para este f, está cocebdos los estudos sobre cocetracó Deomamos cocetracó a la mayor o meor equdad e el reparto de la suma total de los valores de la varable cosderada (reta, salaros, etc) Las ftas posbldades que puede adoptar los valores, se ecuetra etre los dos extremos: - Cocetracó máxma, cuado uo solo percbe el total y los demás ada, e este caso, os ecotraremos ate u reparto o equtatvo: x x x3 x- 0 y x - Cocetracó míma, cuado el cojuto total de valores de la varable esta repartdo por gual, e este caso dremos que estamos ate u reparto equtatvo x x x3 x- x De las dferetes meddas de cocetracó que exste os vamos a cetrar e dos: Idce de G, Coefcete, por tato será u valor umérco Curva de Lorez, gráfco, por tato será ua represetacó e ejes coordeados Sea ua dstrbucó de retas (x, ) de la que formaremos ua tabla co las sguetes columas: - Los productos x, que os dcará la reta total percbda por los retstas de reta dvdual x
Maual de Estadístca Pag 4 - Las frecuecas absolutas acumuladas N 3- Los totales acumulados u que se calcula de la sguete forma: u x u x + x u3 x + x + x3 3 u4 x + x + x3 3 + x4 4 u x + x + x3 3 + x4 4 + + x Por tato podemos decr que u x 4- La columa total de frecuecas acumuladas relatvas, que expresaremos e tato por ceto y que represetaremos como p y que vedrá dada por la sguete otacó p N 00 5- La reta total de todos los retstas que será u y que dada e tato por ceto, la cual represetaremos como q y que respoderá a la sguete otacó: u q u 00 Por tato ya podemos cofeccoar la tabla que será la sguete: x x N u N u p 00 q 00 u p - q x x N u p q p - q x x N u p q p - q x x N u p q p - q Como podemos ver la últma columa es la dfereca etre las dos peúltmas, esta dfereca sera 0 para la cocetracó míma ya que p q y por tato su dfereca sera cero S esto lo represetamos gráfcamete obtedremos la curva de cocetracó o curva de Lorez La maera de represetarlo será, e el eje de las X, los valores p e % y e el de las Y los valores de q e % Al ser u %, el gráfco sempre será u cuadrado, y la gráfca será ua curva que se urá al cuadrado, por los valores (0,0), y (00,00), y quedará sempre por debajo de la dagoal La maera de terpretarla será: cuato más cerca se stúe esta curva de la dagoal, meor cocetracó habrá, o más homogeedad e la dstrbucó Cuato más se acerque a los ejes, por la parte feror del cuadrado, mayor cocetracó
Maual de Estadístca Pag 5 Los extremos so q % q p % p % Dstrbucó cocetracó míma de Dstrbucó de cocetracó Aalítcamete calcularemos el ídce de G el cual respode a la sguete ecuacó I G k ( p q ) k p Este ídce tomara los valores de I G 0 cuado p q cocetracó míma y de I G cuado q 0 Esto lo veremos mejor co u ejemplo :
Maual de Estadístca Pag 6 Frecueca marca x Σu q (u/u)* 00 L- - L x N p(n/) *00 p - q 0-50 5 3 3 575 575,48 8,85 7,37 50-75 7 95 5400 5975 5,38 36,54, 00 6 00-5 6 57 7750 375 35,33 60,38 5,0 50 6 50-75 48 05 8400 5 56,95 78,85,9 00 0 00-5 9 4 475 6400 67,95 86,5 8, 50 0 50-75 8 3 00 8600 73,6 89,3 5,6 300 300-35 4 46 4550 3350 85,33 94,6 9,9 350 350-375 7 53 65 35775 9,08 97,3 5, 400 400-45 5 58 5 37900 97,55 99,3,68 450 450-475 60 950 38850 00,00 00,00 0,00 500 60 38850 65,5 5, 48 Se pde Idce de cocetracó y Curva de Lorez correspodete Idce de cocetracó de GINI I G k del 0 ( p q ) k p 5,48 0,93 65,5, Observamos que hay poca cocetracó por ecotrarse cerca
Maual de Estadístca Pag 7 Curva de Lorez La curva la obteemos cerca de la dagoal, que dca que hay poca cocetracó: Curva de Loretz Curva de Loretz % de los gresos Desgualdad EstadístcaTrabajo Socal % de la poblacó Curva de Loretz Tema 3 36
Maual de Estadístca Pag 8 Capítulo III DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES 3 Itroduccó Estudaremos dos característcas de u msmo elemeto de la poblacó (altura y peso, dos asgaturas, logtud y lattud) De forma geeral, s se estuda sobre ua msma poblacó y se mde por las msmas udades estadístcas ua varable X y ua varable Y, se obtee seres estadístcas de las varables X e Y Cosderado smultáeamete las dos seres, se suele decr que estamos ate ua varable estadístca bdmesoal 3 Tabulacó de varables estadístcas bdmesoales Vamos a cosderar tpos de tabulacoes: º) Para varables cuattatvas, que recbe el ombre de tabla de correlacó º) Para varables cualtatvas, que recbe el ombre de tabla de cotgeca 3Tablas de correlacó Sea ua poblacó estudada smultaeamete segú dos caracteres X e Y; que represetaremos geércamete como (x ; y j ; j ), dode x ; y j, so dos valores cualesquera y j es la frecueca absoluta cojuta del valor -ésmo de X co el j-ésmo de Y Ua forma de dspoer estos resultados es la coocda como tabla de doble etrada o tabla de correlacó, la cual podemos represetar como sgue:
Maual de Estadístca Pag 9 Y X y y y j y s f x j k f x j k f x j k f x r h h hj hk h f h j j k N f j f f f j f k E este caso, os dca el úmero de veces que aparece x cojutamete co y ;, os dca la frecueca cojuta de x co y, etc Tpos de dstrbucoes Cuado se estuda cojutamete dos varables, surge tres tpo de dstrbucoes: Dstrbucoes cojutas, dstrbucoes margales y dstrbucoes codcoadas a) Dstrbucó cojuta - La frecueca absoluta cojuta, vee determada por el úmero de veces que aparece el par ordeado ( x, y j ), y se represeta por j - La frecueca relatva cojuta, del par ( x, y j ) es el cocete etre la frecueca absoluta cojuta y el úmero total de observacoes Se trata de f j Se cumple las sguetes relacoes etre las frecuecas de dstrbucó cojuta: ª) La suma de las frecuecas absolutas cojutas, extedda a todos los pares es gual al total de observacoes r s j j N
Maual de Estadístca Pag 30 ª) La suma de todas las frecuecas relatvas cojutas extedda a todos los pares es gual a la udad r s j f j b) Dstrbucoes margales Cuado trabajamos co más de ua varable y queremos calcular las dstrbucoes de frecuecas de cada ua de maera depedete, os ecotramos co las dstrbucoes margales Varable X Varable Y x f y j j f j x f y f x f y f x 3 3 f 3 y 3 3 f 3 x 4 4 f 4 y 4 4 f 4 N N - Frecueca absoluta margal: el valor Represeta el úmero de veces que aparece el valor x de X, s teer e cueta cual es el valor de la varable Y A se le deoma frecueca absoluta margal del valor x de X, de forma que: - + + + por j De la msma maera, la frecueca absoluta margal del valor y j de Y se deotará + + + j j j s rj - Frecueca relatva margal La frecueca relatva margal de x de X, vee dada por: f N La frecueca relatva margal de y j de Y, vee dada por: f j j N
Maual de Estadístca Pag 3 - Se cumple las sguetes relacoes etre las frecuecas de dstrbucó margales: ª) La suma de frecuecas absolutas margales de la varable X, es gual al úmero de observacoes que compoe la muestra ª) La suma de las frecuecas relatvas margales de la varable X, es gual a 3ª) Las dos propedades aterores se cumple també para la varable Y c) Dstrbucoes codcoadas Cosderemos a los j dvduos de la poblacó que represeta la modaldad y j de la varable Y, y obsérvese la columa j-esma de la tabla Sus j elemetos costtuye ua poblacó, que es u subcojuto de la poblacó total Sobre este subcojuto se defe la dstrbucó de X codcoada por y j, que se represeta por X / y j ;su frecueca absoluta se represeta por / j, y su frecueca relatva por f / j, para,, 3,, j r sedo f / j j El razoameto es aálogo cuado codcoamos la varable Y a u determado valor de X, es decr Y /x Ejemplo: Sea X salaro e um Sea Y atgüedad e la empresa (años) X / Y 3 5 7 9 f 90 0 0 5 0,053 0 4 4 5 8 0,89 30 7 3 0 4 0,47 50 4 6 6 4 3 0 3 0,4 70 3 4 6 4 0 0, 90 0 0 5 5 3 5 0,58 j 0 0 6 5 95 fj 0,05 0,3 0, 0,3 0,68 0,053 Cuál es la dstrbucó de la retrbucó, pero úcamete de los empleados co ua atgüedad de 5 años?, es decr cual es la dstrbucó codcoada de la varable X codcoada a que Y sea gual a 5?
Maual de Estadístca Pag 3 X / Y / y5 f/ y5 90 /0 0 4 4/0 30 3 3/0 50 6 6/0 70 4 4/0 90 /0 j 0 Covaraza La covaraza mde la forma e que varía cojutamete dos varables X e Y E el estudo cojuto de dos varables, lo que os teresa prcpalmete es saber s exste algú tpo de relacó etre ellas Veremos ahora ua medda descrptva que srve para medr o cuatfcar esta relacó: r s ( x x)( y j y) j S xy N j S S xy >0 hay depedeca drecta (postva), es decr las varacoes de las varables tee el msmo setdo S S xy 0 las varables está correladas, es decr o hay relacó leal, pero podría exstr otro tpo de relacó S S xy < 0 hay depedeca versa o egatva, es decr las varacoes de las varables tee setdo opuesto Gráfcamete, dcaría la Covaraza, que los datos, se ajusta a ua recta, e los sguetes casos: S xy >0 S xy <0 - Otra forma de calcular la Covaraza sería: S xy m x y Será la que r s j utlzaremos e la práctca - La covaraza o es u parámetro acotado, y puede tomar cualquer valor real, por lo que su magtud o es mportate; lo sgfcatvo es el sgo que adopte la msma x y N j j
Maual de Estadístca Pag 33 Ejemplo: Sea X el tempo de vda de u secto ( años ) e Y la logtud del msmo, podrías deducr s exste relacó etre la edad del secto y su tamaño X / Y 3 4 3 0 4 3 5 3 0 3 4 j 4 5 4 3 x y r s j x N y N * 4 + *5 + 3* 4 años 3 j j cms * 4 + 3 * 5 + 4 * 4 3 3 **3+ *3*+ *4*0+ **+ *3*3+ *4*+ 3**0+ 3*3*+ 3*4*3 S xy *3 046 3 Al teer la covaraza etre ambas varables sgo postvo, podemos deducr que exste ua relacó drecta o postva etre ambas varables, es decr, cuado aumeta la edad del secto també aumeta su tamaño 3Tablas de cotgeca Cuado teemos la formacó de varables de tpo cualtatvo o de ua varable cualtatva y otra cuattatva, se dspoe de ua tabla de cotgeca Nos lmtaremos al caso de varables Es ua tabla de doble etrada e la que e las flas se ubca las modaldades de ua de las varables ( atrbutos ) y e las columas las del otro; e las celdas resultates del cruce de las flas y las columas se cluye el úmero de elemetos de la dstrbucó que preseta ambas modaldades S se tee formacó de N elemetos acerca de las varables A y B de tal forma que preseta r y s modaldades respectvamete, la tabla de cotgeca sería de la forma: B B B B j B s f A A j s f A j s f
Maual de Estadístca Pag 34 A j s f A r r r rj rs r f r s j s N f s f f f j f s tabla de cotgeca r x s j úmero de elemetos de la dstrbucó que preseta la modaldad ésma del atrbuto A y la modaldad j esma del atrbuto B + + + s -- úmero de elemetos de la dstrbucó co la ésma modaldad del atrbuto A Como a las varables cualtatvas o se les puede someter a operacoes de sumas, restas y dvsoes, al ver expresadas e escalas omales u ordales o tee setdo hablar de medas margales, codcoadas, varazas, etc; s podríamos calcular la moda e el caso de que se empleara ua escala omal y de la medaa s utlzamos escalas ordales 33 Depedeca e depedeca 33Idepedeca Cuado o se da gú tpo de relacó etre varables o atrbutos, dremos que so depedetes Dos varables X e Y, so depedetes etre s, cuado ua de ellas o fluye e la dstrbucó de la otra codcoada por el valor que adopte la prmera Por el cotraro exstrá depedeca cuado los valores de ua dstrbucó codcoa a los de la otra Dada dos varables estadístcas X e Y, la codcó ecesara y sufcete para que sea depedetes es: j N N N j, j Propedades:
Maual de Estadístca Pag 35 ª) S X es depedete de Y, las dstrbucoes codcoadas de X/Y j so détcas a la dstrbucó margal de X ª) S X es depedete de Y, Y es depedete de X 3ª) S X e Y so varables estadístcamete depedetes, su covaraza es cero La recíproca de esta propedad o es certa, es decr, la covaraza de varables puede tomar valor cero, y o ser depedetes 33Depedeca fucoal ( exste ua relacó matemátca exacta etre ambas varables ) El carácter X depede del carácter Y, s a cada modaldad y j de Y correspode ua úca modaldad posble de X Por lo tato cualquera que sea j, la frecueca absoluta j vale cero salvo para u valor de correspodete a ua columa j tal que j j Cada columa de la tabla de frecuecas tedrá, por cosguete, u úco térmo dstto de cero S a cada modaldad x de X correspode ua úca modaldad posble de Y, será Y depedete de X La depedeca de X respecto de Y o mplca que Y depeda de X Para que la depedeca sea recíproca, los caracteres X e Y debe presetar el msmo úmero de modaldades ( debe ser m) y e cada fla como e cada columa de la tabla debe haber uo y solo u térmo dferete de cero Sea X el salaro de u empleado e Y la atgüedad del msmo e la empresa X \ 3 5 7 9 Y 00 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 40 0 0 30 0 0 60 0 0 0 5 0 80 0 0 0 0 0 Depedeca fucoal recíproca: X depede de Y e Y depede de X X \ 3 5 7 9 0 Y 00 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 40 0 0 30 0 0 60 0 0 0 5 0 0 80 0 0 0 0 0 9 Y depede de X pero X o depede de Y
Maual de Estadístca Pag 36 333Depedeca estadístca ( exste ua relacó aproxmada ) Exste caracteres que so depedetes, se da etre ellos ua relacó de depedeca fucoal, pero s se percbe ua certa relacó de depedeca etre ambos; se trata de ua depedeca estadístca Cuado los caracteres so de tpo cuattatvo, el estudo de la depedeca estadístca se cooce como el problema de regresó, y el aálss del grado de depedeca que exste etre las varables se cooce como el problema de correlacó 34Regresó y correlacó leal smple 34Itroduccó a la regresó leal smple Cuado se estuda dos característcas smultáeamete sobre ua muestra, se puede cosderar que ua de ellas fluye sobre la otra de algua maera El objetvo prcpal de la regresó es descubrr el modo e que se relacoa Por ejemplo, e ua tabla de pesos y alturas de 0 persoas Altura Peso 7 5 8 0 6 5 7 8 0 7 3 7 6 8 6 5 6 5 80 8 57 63 78 65 66 67 6 58 se puede supoer que la varable Altura fluye sobre la varable Peso e el setdo de que pesos grades vee explcados por valores grades de altura (e geeral) De las dos varables a estudar, que vamos a deotar co X e Y, vamos a llamar a la X VARIABLE INDEPENDIENTE o EXPLICATIVA, y a la otra, Y, le llamaremos VARIABLE DEPENDIENTE o EXPLICADA E la mayoría de los casos la relacó etre las varables es mutua, y es dfícl saber qué varable fluye sobre la otra E el ejemplo ateror, a ua persoa que mde meos le supodremos meor altura y a ua persoa de poca altura le supodremos u peso más bajo Es decr, se puede admtr que cada varable fluye sobre la otra de forma atural y por gual U ejemplo más claro dode dstgur etre varable explcatva y explcada es aquel dode se aota, de cada alumo de ua clase, su tempo de estudo (e horas) y su ota de exame E este caso u pequeño tempo de estudo tederá a obteer ua ota más baja, y ua ota buea os dcará que tal vez el alumo ha estudado mucho S embargo, a la hora de determar qué varable explca a la otra, está claro que el tempo de estudo explca la ota de exame y o al cotraro, pues el alumo prmero estuda u tempo que puede decdr lbremete, y luego obtee ua ota que ya o decde arbtraramete Por tato, X Tempo de estudo Y Nota de exame (varable explcatva o depedete) (varable explcada o depedete) El problema de ecotrar ua relacó fucoal etre dos varables es muy complejo, ya que exste fdad de fucoes de formas dsttas El caso más secllo de relacó etre dos varables es la relacó LINEAL, es decr que Y a + b X
Maual de Estadístca Pag 37 (es la ecuacó de ua recta) dode a y b so úmeros, que es el caso al que os vamos a lmtar Cualquer ejemplo de dstrbucó bdmesoal os muestra que la relacó etre varables NO es EXACTA (basta co que u dato de las X tega dos datos dsttos de Y asocados, como e el ejemplo de las Alturas y Pesos, que a 80 cm de altura le correspodía u dvduo de 8 kg y otro de 78 kg) Dagrama de dspersó o ube de putos E u problema de este tpo, se observa los valores ( x,y j ) y se represeta e u sstema de ejes coordeados, obteedo u cojuto de putos sobre el plao, llamado dagrama de dspersó o ube de putos Y Y X X E los dagramas de arrba se puede observar cómo e el de la zquerda, ua líea recta clada puede aproxmarse a cas todos los putos, metras que e el otro, cualquer recta deja a muchos putos alejados de ella Así pues, el hacer u aálss de regresó leal sólo estaría justfcado e el ejemplo de la zquerda Como se puede ver e ambos dagramas, gua recta es capaz de pasar por todos los putos, y segur sedo recta De todas las rectas posbles, la RECTA DE REGRESIÓN DE Y SOBRE X es aquella que mmza u certo error, cosderado a X como varable explcatva o depedete y a Y como la explcada o depedete Recta de mímos cuadrados o recta de regresó de Y sobre X (y * a + b x) Sea y a + b x ua recta arbtrara Para cada dato de X, es decr, para cada x de la tabla teemos emparejado u dato de Y llamada y, pero també teemos el valor de susttur la x e la ecuacó de la recta, al que llamaremos y * y x a + b x y * Cuado se toma el dato x, el error que vamos a cosderar es el que se comete al elegr y * e lugar del verdadero y Se deota co e y vale e y - y*
Maual de Estadístca Pag 38 Esos errores puede ser postvos o egatvos, y lo que se hace es escoger la recta que mmce la suma de los cuadrados de todos esos errores, que es la msma que la que mmza la varaza de los errores Usado téccas de dervacó se llega a que, de todas las rectas y a + b x, co a y b úmeros arbtraros, aquella que mmza el error elegdo es aquella que cumple s a y s xy xy x y x s x s b por lo tato a y bx Así pues, susttuyedo e y a + b x, la ecuacó de la recta de regresó de Y sobre X es y s xy sxy * y x + x s x s es decr y a + bx x y recolocado los térmos se puede escrbr de la forma s y y s xy x ( x x ) Recta de regresó de X sobre Y S se hubese tomado Y como varable depedete o explcatva, y X como depedete o explcada, la recta de regresó que se ecesta es la que mmza errores de la X Se llama RECTA DE REGRESIÓN DE X SOBRE Y y se calcula fáclmete permutado los puestos de x e y, obteédose sxy * x x ( y y ) es decr x a + b y s y S xy Sabedo que : b y que a x b y S y PROPIEDADES: - Ambas rectas de regresó pasa por el puto ( x, y ) - La pedete de la recta de regresó de Y sobre X es b y la de X sobre Y es b Dado que las varazas so postvas por defcó, el sgo de las pedetes será el msmo que el de la covaraza, y así, las rectas será ambas crecetes o decrecetes, depededo de s la covaraza es postva o egatva, respectvamete, es decr b y b tedrá el msmo sgo
Maual de Estadístca Pag 39 - Los térmos de las rectas a y a costtuye los orígees de las rectas, es decr, so los valores que adopta respectvamete y* ó x* cuado x o y toma el valor cero e sus correspodetes rectas de regresó - Las rectas de regresó las emplearemos para realzar predccoes acerca de los valores que adoptara las varables - Puede darse el caso, de o exsteca de correlacó leal etre las varables, lo cual o mplca que o exsta otro tpo de relacoes etre las varables estudadas: relacó expoecal, relacó parabólca, etc 34Correlacó leal smple ( r ó R ) Para ver s exste relacó leal etre dos varables X e Y, emplearemos u parámetro que os mda la fuerza de asocacó leal etre ambas varables La medda de asocacó leal mas frecuetemete utlzada etre dos varables es r o coefcete de correlacó leal de Pearso; este parámetro se mde e térmos de covaraza de X e Y S xy R R S S x y S R, exste ua correlacó postva perfecta etre X e Y S R -, exste ua correlacó egatva perfecta etre X e Y S R 0, o exste correlacó leal, pudedo exstr otro tpo de relacó S p R p 0, exste correlacó egatva y depedeca versa, mayor cuato más se aproxme a - S 0 p R p, exste correlacó postva, y depedeca drecta, mayor cuato más se aproxme a - Varaza resdual y varaza explcada por la regresó Coefcete de determacó leal (R ) S teemos dos varables X e Y relacoadas lealmete, parte de la varabldad de la varable Y, vedrá explcada por varacoes de X ( varabldad explcada por el modelo), metras que el resto respoderá a varacoes de feómeos relacoados co la varable Y o co el azar ( varabldad o explcada por el modelo) Por tato os covee dspoer de ua medda que dque el porcetaje de la varabldad de la varable explcada que se debe a la varabldad de la varable explcatva Esta medda es el coefcete de determacó leal (R ), y s su valor es alto os dcará que el ajuste leal efectuado es bueo E la regresó leal de Y sobre X, la varaza de la varable Y, puede descompoerse e la suma de varazas: S y S r + S e dode: S es la varaza total de la varable Y y S r es la varaza explcada o varabldad de Y explcada por la regresó S r bs xy