Unverdad Católca Lo Ángele de Chmbote LECTURA 09 : MEDIDAS DE DISPERSIÓN Y DE FORMA (PARTE I) TEMA 8: MEDIDAS DE DISPERSION. DEFINICION La medda de dperón on aquella que cuantfcan el grado de concentracón o de dperón de lo valore de la varable en torno de un valor central, generalmente la meda artmétca. La medda de dperón e utlzan para do propóto báco: a) Para verfcar la confabldad de lo promedo y b) Para que rva como bae para el control de la varacón mma. Tambén podemo decr que lo térmno concentracón y dperón pueden er utlzado ndtntamente, pue e da la relacón. Alta dperón Baja concentracón Baja dperón Alta concentracón La medda de dperón que e utlzan con mayor frecuenca on: Varanza. Devacón etándar. Coefcente de varacón... Varanza E una medda que cuantfca el grado de dperón o de varacón de lo valore de una varable cuanttatva con repecto a u meda artmétca. S lo valore tenden a concentrare alrededor de u meda, la varanza erá pequeña. S lo valore tenen a dtrbure lejo de la meda, la varanza erá grande. La varanza calculada a partr de una muetra e denota por y referda a la poblacón e denota por o V [. La varanza e defne como la meda artmétca de lo cuadrado de la devacone de lo dato repecto a u meda artmétca. La varanza e una medda de dperón con undade de medcón al cuadrado: S/., $, km, etc. La varanza empre e potva. Fecha : Dcembre 04 Verón :
Unverdad Católca Lo Ángele de Chmbote... La varanza para dato no agrupado: Se utlza la guente fórmula: Para n 30 n ( n ) Para n 30 [varanza de Cochran] n ( ) n Ejemplo : Lo guente dato correponden a una muetra al azar de 8 recén nacdo egún u peo en Kg.: X :.3, 4., 4., 3., 4.4,.,.6, 4.3 Calcular e nterpretar la varanza: Solucón: Para hallar la varanza prmero debemo hallar el promedo de lo dato dado: 8 8 6.6 8 3.3kg. A contnuacón contruremo una tabla de trabajo para calcular la varanza: Fecha : Dcembre 04 Verón :
Unverdad Católca Lo Ángele de Chmbote Tabla N ( ) (.3 -.0.00 4...44 3 4. 0.9 0.8 4 3. -0. 0.0 4.4.. 6. -..44 7.6 -.7.89 8 4.3.0.00 Total 6.6-9.80 ) 8 ( ) 9.80 Reemplazando dcho valor en la formula de la varanza de Cochran ya que n=8 < 30. n ( ) n 9.80.4kg. 7 Interpretacón: La varabldad de lo peo de lo recén nacdo repecto de u valor central e de.4 kg.... La varanza para dato no agrupado: Se utlza la guente formula: m (y - y) f = = ; para n > 30 n m (y - y) f = = ; para n 30 (Varanza de Cochran) n - 3 Fecha : Dcembre 04 Verón :
( y -y) ( y - y) Unverdad Católca Lo Ángele de Chmbote Ejemplo N : Lo guente dato correponden a 40 pacente con problema gatrontetnale egún u número de conulta realzada durante el año paado en una clínca partcular. N de conulta N de pacente y f 3 0 30 7 00 9 80 0 Total 40 Calcular e nterpretar la varanza. Solucón: Hallando en prmer lugar el promedo: y y f 80 40 40 = = 7.8 conulta A contnuacón contruremo una tabla de trabajo para calcular la varanza: y f (y - y) f 3 0-4.8 0.98 09.8 30 -.8 6.66 99.8 7 00-0.8 0.34 34.0 9 80.4.0 6.6 0 3.4.70 34.0 Total 40 - - 839. = (y - y) f = 839. Reemplazando dcho valor en la formula de la varanza para n=40 > 30. 4 Fecha : Dcembre 04 Verón :
Unverdad Católca Lo Ángele de Chmbote (y - y) f 3 4 = (y - y) f + (y - y) f + (y3 - y) f 3 + (y4 - y) f 4 + (y - y) f 40 40 (y - y) f = 0.98 0 + 6.66 30 + 0.34 00 +.0 80 +.70 0 40 40 (y - y) f = 09.8 + 99.8 + 34 + 6.6 + 34 40 40 = = (y - y) f 839. = 40 40 (y - y) f = 3. @ 4 conulta. 40 Interpetracón: La varabldad del número de conulta realzada de lo pacente e de 4 conulta repecto de u valor central. Ejemplo 3: La guente tabla correponde a 80 pacente con problema broncopulmonare que e atenderon en una clínca partcular egún u edad en año: Edad en en año LI - LS N de pacente f [ - 30) 40 [30-3) 0 [3-40) 00 [40-4) 0 [4-0) 40 TOTAL 80 Calcular e nterpretar la varanza. Fecha : Dcembre 04 Verón :
Unverdad Católca Lo Ángele de Chmbote Solucón: Hallando en prmer lugar el promedo: y y f 000 80 80 = = 37. año A contnuacón contruremo una tabla de trabajo para calcular la varanza: L - L y f [ - 30) 7. 40-0 00 4000 [30-3) 3. 0-0 [3-40) 37. 00 0 0 0 [40-4) 4. 0 0 [4-0) 47. 40 0 00 4000 Total - 80 - - 000 = (y - y) f = 000 (y - y) (y - y) (y - y) f Reemplazando dcho valor en la formula de la varanza para n=40 > 30. (y - y) f 3 4 = (y - y) f + (y - y) f + (y3 - y) f 3 + (y4 - y) f 4 + (y - y) f 80 80 (y - y) f = 00 40 + 0 + 0 00 + 0 + 00 40 80 80 (y - y) f = 4000 + 0 + 0 + 0 + 4000 80 80 (y - y) f = = 000 = 80 80 (y - y) f = 37. año 80 6 Fecha : Dcembre 04 Verón :
Unverdad Católca Lo Ángele de Chmbote Interpetracón: La varabldad de la edade de lo pacente con problema de care e de 37. año repecto de u valor central... La devacón etándar o típca Se defne como la raíz cuadrada potva de la varanza: var anza E uno de lo etadígrafo de dperón de mayor uo, la cual e eprea en undade reale de la varable, e decr ya no etán elevada al cuadrado. La devacón etándar, al gual que la varanza, e no negatva ( 0), pueto que e la raíz potva de la varanza. A mayor dperón le correponderá una mayor devacón etándar. Ejemplo 4: Calcular e nterpretar la devacón etándar de lo dato del Ejemplo. Solucón:.4.kg. Interpretacón: Lo peo de lo recén nacdo e dperan o e alejan en promedo de u valor central en. kg. Ejemplo : Calcular e nterpretar la devacón del Ejemplo : Solucón: = 3. =.87 @ conulta Interpretacón: El número de conulta dperan o e alejan en promedo de u valor central en conulta. 7 Fecha : Dcembre 04 Verón :
Unverdad Católca Lo Ángele de Chmbote Ejemplo 6 : Calcular e nterpretar la devacón del Ejemplo 3: Solucón: = 37. = 6. año. Interpretacón: La edade de lo pacente e dperan o e alejan en promedo de u valor central en 6. año..3. Coefcente de varacón E una medda de dperón relatva eenta de undade y epreada en porcentaje, e utlzan para comparar la varacón de do dtrbucone empre que la varable e epreen en la mma undade de medda y ean apromadamente del mmo tamaño promedo. Sn embargo, a vece e necearo comparar do conjunto de dato epreado en undade dferente (tale como ole y klogramo). En eto cao la medda de dperón aboluta no on comparable y deben utlzare medda de dperón relatva. El coefcente de varacón de un conjunto de dato e denota por c.v. y e eprea como: c.v. 00 y Devacón etándar y Meda artmétca S c.v. %, lo dato on homogéneo, e decr tenen una baja varabldad. S c.v. > %, lo dato on heterogéneo, e decr tenen una alta varabldad. 8 Fecha : Dcembre 04 Verón :
Unverdad Católca Lo Ángele de Chmbote Ejemplo 7: Calcular e nterpretar el coefcente de varacón de lo dato del Ejemplo : Solucón: c.v.. 00 36.4% % 3.3 Interpretacón: La dperone de lo peo de lo recén nacdo repecto de u valor central on heterogéneo, e decr preentan alta varabldad. Ejemplo 8: Calcular e nterpretar el coefcente de varacón de lo dato del Ejemplo : Solucón:.87 c. v. = 00 = 4.67% > % 7.8 Interpretacón: La dperone del número de conulta de lo pacente con problema gatrontetnale repecto de u valor central on heterogénea. Ejemplo 9: Calcular e nterpretar el coefcente de varacón de lo dato del Ejemplo 3: Solucón: 6. c. v. = 00 = 6.3% > % 37. Interpretacón: La dperone de la edade de lo pacente con problema broncopulmonare repecto de u valor central on heterogénea. Ejemplo 0: Lo guente dato correponden a una muetra aleatora de lo ngreo menuale en dólare de 7 farmaca comuntara: X : 00, 0, 0, 400, 70, 300, 40 9 Fecha : Dcembre 04 Verón :
Unverdad Católca Lo Ángele de Chmbote a) Cuánto e la dperón de lo ngreo menuale repecto de u valor central? b) Son lo ngreo menuale homogéneo? Solucón: a) Hallando en prmer lugar el ngreo menual promedo: 7 090 7 7 = = 98.7 dólare. A contnuacón contruremo una tabla de trabajo para calcular la varanza: ( ) ( ) 00-98.7 976.04 0-48.7 39.04 3 0-48.7 39.04 4 400 0.43 088.04 70-8.7 86.4 6 300.43.04 7 40.43 474.4 Total 090-408.68 7 ( - ) = 408.68 = Reemplazando dcho valor en la formula de la varanza de Cochran ya que n=7 < 30. 7 ( - ) = 408.68 = 674.8 dólare. 7-6 Fnalmente hallamo la devacón etándar : La dperón de lo ngreo menuale repecto de u valor cental e: = 674.8 = 8.94 dólare. 0 Fecha : Dcembre 04 Verón :
Unverdad Católca Lo Ángele de Chmbote b) Hallando el coefcente de varacón: De acuerdo a la operacone realzada tenemo: = 98.7 dólare. = 8.94 dólare. entonce: 6. c. v. = 00 = 6.3% > % 37. Lo ngreo menuale de la farmaca comuntara no on homogéneo. Ejemplo : Lo guente dato correponden al nvel de trglcerdo en mg/dl de un pacente tomada durante emana: X : 80, 00, 60, 0, 0 El médco de cabecera del pacente aconeja que lo nvele de trglecerdo no on regulare, tendrá que mejorar u deta. Qué decón tomará el pacente? (Hallar coefcente de varacón). Solucón: Solucón: a) Hallando en prmer lugar el nvel de trglcerdo promedo: 40 = = 8 mg / dl Fecha : Dcembre 04 Verón :
Unverdad Católca Lo Ángele de Chmbote b) A contnuacón contruremo una tabla de trabajo para calcular la varanza: ( - ) = 380 = ( ) ( ) 80-4 00 8 34 3 60-484 4 0 38 444 0-3 04 Total 40-380 Reemplazando dcho valor en la formula de la varanza de Cochran ya que n= < 30. ( - ) = 380 = 80 mg / dl. - 4 c) Hallando la devacón etándar : = 80 = 8.64 mg / dl. d) Hallando el coefcente de varacón: De acuerdo a la operacone realzada tenemo: = 8mg / dl. = 8.64 mg / dl. entonce: 8.64 c. v. 00 = 34.93% > % 8 Lo nvele de trglcerdo del pacente on heterogéneo; e decr no on regulare. Por lo tanto el pacente tendrá que mejorar u deta. Fecha : Dcembre 04 Verón :
Unverdad Católca Lo Ángele de Chmbote Ejemplo : Lo guente dato correponden a una muetra aleatora del nvel de ácdo úrco en mlgramo de do grupo de pacente: GRUPO 3 4 6 00 0 40 30 0 0 400 40 00 460 40 470 En que grupo lo nvele de ácdo úrco on má etable? (Hallar coefcente de varacón) Solucón: Llevando acabo todo el proceo de cálculo del coefcente de varacón para cada uno de lo grupo e obtene lo guente reultado: Para el Grupo a) Hallando el nvel promedo de ácdo úrco para el Grupo : 6 390 6 6 = = 3.67 mg. b) Hallando la varanza: ( - ) ( - ) 00-3.67 00.99 0 8.33 33.99 3 40 8.33 69.39 4 30 -.67.79 0 -.67 36.9 6 0 8.33 33.99 Total 390-883.34 6 ( - ) = 883.34 = Reemplazando dcho valor en la formula de la varanza de Cochran ya que n=6 < 30. 3 Fecha : Dcembre 04 Verón :
Unverdad Católca Lo Ángele de Chmbote 6 ( - ) = 883.34 = 376.67 mg. 6 - c) Luego hallamo la devacón etándar : = 376.67 = 9.4 mg. d) Fnalmente hallamo el coefcente de varacón: c v 9.4. 00 = 3.6% < % 3.67 Para el Grupo a) Hallando el nvel promedo de ácdo úrco para el Grupo : 6 730 6 6 = = 4 mg. b) Hallando la varanza: 6 ( - ) = 30 = ( - ) ( - ) 400-30 40-3 00 4 0 4 40-460 6 470 Total 730-30 4 Fecha : Dcembre 04 Verón :
Unverdad Católca Lo Ángele de Chmbote Reemplazando dcho valor en la formula de la varanza de Cochran ya que n=6 < 30. 6 ( - ) = 30 = 070 mg. 6 - c) Luego hallamo la devacón etándar : = 070 = 3.7 mg. d) Fnalmente hallamo el coefcente de varacón: c v 3.7. 00 = 7.9% < % 4 La guente tabla muetra lo reultado obtendo en forma reumda: GRUPO c.v. 3.67 9.4 3.6% < % 4 3.7 7.9% <% Hacendo la comparacone repectva de lo coefcente de varacón obtendo, e oberva que en el Grupo lo nvele de ácdo úrco on má etable. Ejemplo 3: Lo guente dato correponden a do muetra aleatora de do grupo de trabajadore del ector alud egún u ueldo menual en ole: GRUPO Sueldo menual en ole LI - LS N de trabajadore f [0-60) 40 [60-70) 60 [70-80) 00 Fecha : Dcembre 04 Verón :
Unverdad Católca Lo Ángele de Chmbote [80-90) 40 [90-00) 0 Total 60 GRUPO Sueldo menual en ole N de trabajadore LI - LS f [70-80) 30 [80-90) 0 [90-00) 80 [00-0) 40 [0-0) 0 TOTAL 0 Qué grupo tene ueldo menuale má homogéneo? Solucón: Llevando acabo todo el proceo de cálculo del coefcente de varacón para cada uno de lo grupo e obtene lo guente reultado: Para el Grupo a) Hallando en prmer lugar el promedo: y y f 0000 60 60 = = 776.9 ole b) A contnuacón contruremo una tabla de trabajo para calcular la varanza: L - L y f (y - y) (y - y) [0-60) 600 40-76.9 3300.69 07.6 [60-70) 700 60-76.9 96.69 300.4 [70-80) 800 00 3.08 3.69 369.0 [80-90) 900 40 3.08 48.69 60947.6 [90-00) 000 0 3.08 49764.69 9993.8 Total 60 - - 3639.4 (y - y) f 6 Fecha : Dcembre 04 Verón :
Unverdad Católca Lo Ángele de Chmbote = (y - y) f = 3639.4 Reemplazando dcho valor en la formula de la varanza para n=60 > 30. (y - y) f 3 4 = (y - y) f + (y - y) f + (y3 - y) f 3 + (y4 - y) f 4 + (y - y) f (y - y) f = 60 60 3300.69 40 + 96.69 60 + 369.0 00 + 48.69 40 + 49764.69 0 60 60 (y - y) f = 07.6 + 300.4 + 369.0 + 60947.6 + 9993.8 60 80 (y - y) f = 3639.4 60 60 (y - y) f = 44.38ole 60 c) Hallando la devacón etándar: = 44.48 =.00 ole. d) Hallando el coefcente de varacón:.00 c.v 00 = 4.4% < % y 776.9 Para el Grupo a) Hallando en prmer lugar el promedo: 7 Fecha : Dcembre 04 Verón :
Unverdad Católca Lo Ángele de Chmbote y y f 0000 0 0 = = 976.9 ole b) A contnuacón contruremo una tabla de trabajo para calcular la varanza: L - L y f [ 70-80) 800 30-76.9 304.9 9387.60 [ 80-90) 900 0-76.9 804.9 9046.00 [ 90-00) 000 80 3.8 66.9 433.60 [00-0) 00 40 3.8 38.9 636.80 [0-0) 00 0 3.8 0090.9 00909.6 Total - 0 - - 38093.6 = (y - y) f = 38093.6 (y - y) (y - y) (y - y) f Reemplazando dcho valor en la formula de la varanza para n=0 > 30. (y - y) f 3 4 = (y - y) f + (y - y) f + (y3 - y) f 3 + (y4 - y) f 4 + (y - y) f (y - y) f = 0 0 304.9 30 + 96.69 60 + 66.9 80 + 38.9 40 + 0090.9 0 0 0 (y - y) f = 9387.60 + 9046.00 + 433.60 + 636.80 + 00909.6 0 0 (y - y) f = 38093.6 0 0 (y - y) f = 337.87ole 0 8 Fecha : Dcembre 04 Verón :
Unverdad Católca Lo Ángele de Chmbote c) Hallando la devacón etándar: = 337.87 = 06.48 ole. d) Hallando el coefcente de varacón: 06.48 c.v 00 = 0.9% < % y 976.9 Llevando acabo todo el proceo de cálculo del coefcente de varacón para cada uno de lo grupo e obtene lo guente reultado: GRUPO c.v. 776.9 4.4% < % 976.9 06.47 0.9% <% Hacendo la comparacone repectva de lo coefcente de varacón obtendo, e oberva que en el Grupo lo ueldo menuale on má homogéneo. 9 Fecha : Dcembre 04 Verón :