1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I TEMA.- ÁLGEBRA PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1.- Operacioes co moomios y poliomios Suma y resta de moomios Para sumar o restar moomios semejates se suma o resta los coeficietes y se deja la misma parte literal. + = ( + ) = 8 7 = (1 7) = 6 Suma y resta de poliomios Para sumar o restar poliomios se reduce los térmios semejates realizado las sumas/restas de los mismos. 7 6 ( + 10 4) + ( 4 + 1) = 7 6 10 + 4 + 4 + 1 = = (7 ) + ( 10 + ) + ( 4) + ( 6 + 4 + 1) = 9 7 1 Producto de moomios Para multiplicar moomios se multiplica los coeficietes y se suma los epoetes de las partes literales. (6 4 ).( 7 ) = 6.( ) 4+7 = 0 11 Producto de u moomio por u poliomio Para multiplicar u moomio por u poliomio se aplica la propiedad distributiva. ( + ) =.. +. = 6 10 + 4 Producto de poliomios Para multiplicar dos poliomios se aplica la propiedad distributiva, multiplicado cada térmio de u poliomio por todos los térmios del otro. ( 4 + 6).( 7) = ( 7) 4( 7) + 6( 7) = = 1 1 + 8 + 18 4 = 1 47 + 46 4 Si tuviésemos que multiplicar tres poliomios, se multiplica dos de ellos y el resultado se multiplica por el tercero. Por ejemplo, ( 1)( + 1)( + ) = (6 1)( + ) = 6 + 11 Potecia de u moomio Para calcular la potecia de u moomio se eleva al epoete el coeficiete y la parte literal. Por ejemplo, ( ) = ( ) = 9 10 La regla es: (A m ) = A m Potecia de u poliomio Para calcular ua potecia de base u poliomio, se multiplica el poliomio tatas veces como idique el epoete. ( + ) = ( + )( + ) = 4 + 11 10 + Igualdades otables Cuadrado de ua suma (A + B) = A + AB + B ( + 4) = () +..4 + 4 = + 40 + 16 (y z + yz) = (y z) +.y z.yz + (yz) = 9y z + 1y z + 4 y z
Cuadrado de ua diferecia (A B) = A AB + B ( 7) = ()..7 + 7 = 4 8 + 49 (ab c a = (ab c).ab c.a b + (a = a b 4 c a b c + a 4 b Suma por diferecia (A + B)(A B) = A B (4 + 9)(4 9) = (4) 9 = 16 81 (m + pq)(m pq) = (m) (pq) = 9m 4p q Operacioes combiadas co poliomios Para realizar operacioes combiadas co poliomios se sigue el siguiete orde: 1º) Se hace las potecias º) Se hace las multiplicacioes º) Se reduce los térmios semejates Ejercicio 1 Realiza las siguietes operacioes combiadas: ( ) + ( + )( ) ( + ) + ( 1)( + ) ( ).- Divisibilidad de poliomios Divisió de moomios Para dividir dos moomios de variable, se divide los coeficietes y se resta los epoetes de la : 6 = m A A m = B B = = 0 = 1 = Divisió de u poliomio etre u moomio Para dividir u poliomio etre u moomio se divide cada térmio del poliomio etre el moomio 4 1 8 + = 6 4 + 1 Divisió de poliomios Para dividir u poliomio p() etre otro poliomio q() seguimos u método similar a la divisió etre úmeros aturales. p() q() r() c() p = Dividedo, q = Divisor c = Cociete, r = Resto Ua vez hecha la divisió, se cumple la regla de la divisió: El dividedo es igual al divisor por el cociete más el resto p = q. c + r Esta regla os sirve para comprobar que la divisió está bie hecha. Ejercicio Divide y haz la prueba de la divisió: ( + 4 + 1) : ( 1) Ejercicio Halla a para que el resto de la divisió ( 4 + + a + 17) : ( + 6) sea Págia
Regla de Ruffii Es u método para dividir u poliomio etre u biomio del tipo ( + a) ó ( a) Ejercicio 4 Realiza por la regla de Ruffii: a) ( + 4 + 70 + 1 ) : ( + ) (- + 1 4) : ( ) Teorema del resto El resto de la divisió p() : ( a) es igual a p(a), siedo p(a) el valor umérico del poliomio p() para = a. El resto de dividir p() = + 1 etre ( + ) es p( ) =.( ) +.( ) 1 = 47 El valor umérico del poliomio + 7 para = 1 es igual al resto de la divisió ( + 7) : ( 1) (comprueba que vale ) Ejercicio Si hacer la divisió, averigua si el poliomio 4 + 1 es divisible por + 1 Ejercicio 6 Halla el valor de m para que el resto de la divisió ( 6 + m + 1) : ( + ) sea 4 Raíces de u poliomio Se dice que = a es ua raíz del poliomio p(), si p(a) = 0. Por tato, las raíces de u poliomio p() so las solucioes de la ecuació p() = 0 Si p() = 1, resolviedo la ecuació p() = 0 obteemos 1 = 0 = 4 Luego la úica raíz de p() es = 4 Si p() = + 6, resolviedo la ecuació p() = 0 obteemos + 6 = 0 =, =. Luego las raíces de p() so =, = Se puede demostrar que las raíces de u poliomio so divisores del térmio idepediete Si el poliomio p está epresado como producto de otros poliomios, p = p 1. p.. p, etoces para ecotrar las raíces igualamos a 0 cada uo de los factores del poliomio p y despejamos. Por ejemplo, las raíces del poliomio P() = ( ) ( + 1)( + 9) se obtiee igualado a 0 cada = 0 = 0 ( ) = 0 = 0 = factor: Las raíces de P() so: = 0, = + 1 = 0 = 1, = 1 + 9= 0 = 9 (o tiee solució) Factorizació de poliomios Factorizar u poliomio es epresarlo como producto de otros poliomios del meor grado posible. Hay poliomios que o se puede factorizar, por ejemplo los de grado 1 y los que o tiee raíces reales. Estos poliomios se llama irreducibles Págia
Si a es ua raíz de p() p(a) = 0 El resto de la divisió p() : ( a) es 0 p() = ( a). c(), siedo c() el cociete de la divisió p() = 4 + 1 Los divisores de 1 so 1, 1,,,,, 4, 4, 6, 6, 1, 1 Probamos hasta que el valor umérico dé 0 p(1) = 6 0, p( 1) = 1 0, p() = 0. Luego, = es ua raíz del poliomio. Haciedo la divisió p() : ( ) obteemos c() = 6 y resto 0 ( Compuébalo!) Etoces p() = ( )( 6) Para factorizar u poliomio p() procederemos de la siguiete forma: 1º) Sacamos factor comú e el caso de que falte el térmio idepediete. º) Si o se puede sacar factor comú, buscamos ua raíz = a y os queda p() = ( a).c() º) Debemos repetir el proceso co el cociete c() obteido hasta llegar a u poliomio irreducible. Este proceso se eplicará e los ejercicios Ejercicio 7 Factoriza los siguietes poliomios: a) 4 4 + + 4 9 + 1 + 4 c) 6 16 d) 4 + 7 + 1.- Fraccioes algebraicas Cocepto de fracció algebraica Ua fracció algebraica es ua epresió del tipo p(), siedo p() y q() poliomios. q() Las propiedades y reglas que se usa para las fraccioes algebraicas so las mismas que para fraccioes uméricas estudiadas e el tema de los úmeros reales. Forma mita de ua fracció impropia Cuado e ua fracció algebraica p el grado del umerador es mayor o igual que el del q deomiador (fracció impropia), podemos epresar la fracció e forma mita de la siguiete forma: p q = c + r, siedo c el cociete de la divisió y r el resto. q Ejercicio 8 Epresa e forma mita las siguietes fraccioes algebraicas: a) + 7 6 + Simplificació de ua fracció algebraica Para simplificar ua fracció algebraica, se factoriza umerador y deomiador y después se simplifica los factores que se repita e el umerador y el deomiador. Ejercicio 9 Simplifica las fraccioes algebraicas: a) 4 1a bc 0ab c 10 1 c) 4 + 11 + 11 + 8+ Págia 4
Suma y resta de fraccioes algebraicas Si tiee el mismo deomiador, se deja el mismo deomiador y se suma o resta los umeradores: + 1 + 1 6 + = = + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 Si tiee distito deomiador, se reduce a comú deomiador y se aplica lo aterior. Para reducir a comú deomiador fraccioes algebraicas, se calcula el mcm de los deomiadores, factorizado primero los poliomios. El mcm es el producto de todos los factores irreducibles elevados al mayor epoete que aparezca e la factorizació Ejercicio 10 Realiza las siguietes operacioes: a) + 1 1 + 1 ( ) + 1 + 4 + 4+ 4 Producto de fraccioes algebraicas Para multiplicar fraccioes algebraicas, primero se simplifica y luego se multiplica, multiplicado umerador por umerador y deomiador por deomiador. p r p.r. = q s q.s Ates de realizar los productos debes simplificar, si se puede. Ejercicio 11 Efectúa + 1 1. + + 1 Divisió de fraccioes algebraicas Para dividir fraccioes algebraicas, primero se simplifica y luego se divide, multiplicado e cruz. p r p.s : = q s q.r Ates de realizar los productos debes simplificar, si se puede. Ejercicio 1 Efectúa + 1 : 6 6 Operacioes combiadas co fraccioes algebraicas Para realizar operacioes combiadas co fraccioes algebraicas, se hace primero las multiplicacioes y divisioes (de izquierda a derecha) y después las sumas y restas. Si hubiese parétesis, se realiza e primer lugar las operacioes situadas detro de ellos e el orde idicado ateriormete Ejercicio 1 Efectúa 1 1 + + : 1 1 1 + 1 4.- Epresioes radicales Cocepto de radical Si tiees que resolver la ecuació = 40, para calcular la hay que hallar ua raíz: = 40 40 se llama radical ( es el ídice y 40 es el radicado). E geeral, a co se llama radical o raíz de ídice y radicado a. El ídice,, es u úmero atural mayor que 1. Si el ídice es, se llama raíz cuadrada y se epresa de forma simplificada así: a Págia
Número de solucioes de u radical Depediedo del ídice (si es par o impar) y del radicado (si es positivo o egativo), u radical puede teer, 1 o igua solució: Ídice par Ídice impar solucioes opuestas. Radicado positivo Radicado egativo Por ejemplo, = ± Nigua solució. Por ejemplo, 4 4 81 Por ejemplo, 1 = 1 solució positiva. 1 solució egativa. Cálculo de radicales co la calculadora Por ejemplo, 8 = Las raíces o siempre so eactas. Por ejemplo, 100 o es eacta porque o hay igú úmero atural que elevado al cubo os de 100. Eso o quiere decir que o se pueda calcular. Se puede hallar ua aproimació por tateo o co la calculadora cietífica Por tateo: Buscamos el úmero atural que elevado al cubo se aproime lo máimo posible a 100: Como 4 = 64 y = 1 y 1 está más próimo a 100 que 64, podemos decir que 100 Co la calculadora cietífica: 100 1/y = 4.6418884.. El resultado es u úmero irracioal Radical e forma de potecia Cualquier radical se puede epresar e forma de potecia usado la siguiete fórmula: m m a = a = 7 = 7 1 1 = = Potecia de epoete fraccioario e forma de radical Cualquier potecia cuyo epoete sea ua fracció de deomiador u úmero atural mayor que 1 se puede epresar e forma de radical usado la siguiete fórmula: = m = m m a = a m Simplificació de radicales Si dividimos el ídice y epoete por u mismo divisor comú, el radical queda simplificado 1 8 1: 4 8: 4 = = = Si al pasar u radical a potecia resulta ua potecia de epoete etero etoces el radical queda simplificado. Esto ocurre siempre que el epoete sea divisible etre el ídice 18 6 18 = = = 64 y 40 = y 40 = y 8 = = a = a Si el ídice es igual al epoete se puede simplificar así: a a 1 6 6 / = 8 =8 a =a Reducció de radicales a comú ídice Para reducir radicales comú ídice se toma como ídice comú el mcm de los ídices. El comú ídice se divide etre cada ídice y el resultado se multiplica por el epoete del radicado. 6 y 8 7 ; mcm(6,8) = 4 Págia 6 4 4 y 4 1
.- Operacioes co epresioes radicales Suma y resta de radicales Para poder sumar o restar térmios co raíces, todos los térmios debe llevar la misma raíz. Para realizar las sumas y restas se saca factor comú el radical Por ejemplo, 7 7+ 7 = ( 1+ ) 7= 6 7 La regla es: M a ± N a = ( M ± N) a 1 Ejercicio 14 Realiza las siguietes sumas y restas: + Producto de radicales Si tiee el mismo ídice, se deja el mismo ídice y se multiplica los radicados. Por ejemplo, =. = 10 La regla es: a b = Cuado o tega el mismo ídice se reduce a comú ídice y se aplica la regla aterior Divisió de radicales Si tiee el mismo ídice, se deja el mismo ídice y se divide los radicados 7 7 Por ejemplo, = La regla es: Cuado o tega el mismo ídice se reduce a comú ídice y se aplica la regla aterior Potecia de radicales a b Para hallar la potecia de u radical se deja el mismo ídice y el radicado se eleva al epoete de la potecia. 0 1 1 0 Simplificado 1:4 0:4 Por ejemplo, ( ) = = La regla es: ( ) = Raíz de radicales = a b ab A m m Para calcular la raíz de u radical, se multiplica los ídices y se deja el mismo radicado.. 6 Por ejemplo, = = La regla es: m A = m A Raíz de u producto Para calcular la raíz de u producto, se calcula la raíz de cada factor. Por ejemplo,. = La regla es: ab = a b Raíz de u cociete Para calcular la raíz de u cociete, se calcula la raíz de cada térmio. 7 7 Por ejemplo, = La regla es: a b a = b A Págia 7
Ejercicio 1 Realiza las siguietes operacioes: a) a 4 6 ( ) 4 ab Itroducció de factores e la raíz Para itroducir u factor e ua raíz se eleva el factor al ídice de la raíz: A B = = = 40 b ( ) ( 6 + 6 ) A B Ejercicio 16 Itroduce e la raíz: a) y y 4 Etracció de factores e la raíz Para etraer factores de ua raíz se epresa como potecia de epoete el ídice de la raíz y se usa la fórmula: A B = A B = = 40 1y Ejercicio 17 Etrae factores de la raíz: a) 4 7 y y Ejercicio 18 Realiza las siguietes sumas y restas: a) 1 7b + 7 a 4 16 4 6 Racioalizació de fraccioes radicales Racioalizar ua fracció radical co algua raíz e el deomiador es trasformarla e otra fracció equivalete pero que NO tega igua raíz e el deomiador. Caso 1: E el deomiador sólo hay u térmio e el que aparece algua raíz a Se multiplica por b a. b a b a b = = b b. b b b ( ) 1 Semultiplicapor b 1. b b b = = b b. b b b Caso : E el deomiador hay suma/resta de dos térmios e los que aparece algua raíz cuadrada Semultiplicapor ( + + + + ).( ) 4( ) 4 = = ( ).(+ ) ( ) 4 1 Semultiplicapor ( ) 1. ( ) 7 4 1 1 1( = = = ) + ( + ).( ) ( ) ( ) 4 7 0 Simplificado se obtiee: 0 1( ) ( ) = = Ejercicio 19 Efectúa y simplifica + + : 18 + Págia 8
6.- Ecuacioes poliómicas y reducibles a ellas Ecuacioes de primer grado So ecuacioes dode la icógita está elevada a 1. E estas ecuacioes, ua vez hechas las operacioes, se pasa los térmios de la a u miembro y los térmios idepedietes al otro, se reduce los térmios y luego se despeja la 4 ( ) = 6 ( ) + (1 ) 4 10 + 10 = 6 + + 6 4 10 + + 6 = 10 + 6 + + = 4 = 4 Ecuacioes de º grado So ecuacioes dode la icógita está elevada a. Ecuacioes de º grado completas So del tipo a + b + c = 0, co b, c 0. Para resolverlas usamos la fórmula b± b 4ac = a La epresió D = b 4ac se llama discrimiate de la ecuació. Si D > 0 la ecuació tiee solucioes, porque la raíz cuadrada os da u º positivo Si D = 0 la ecuació tiee 1 solució (doble), porque la raíz cuadrada os da cero Si D < 0 la ecuació o tiee solució, porque o eiste la raíz cuadrada de u úmero egativo Ecuacioes de º grado icompletas si térmio de So del tipo a + c = 0. Para resolverlas despejamos y luego hallamos la raíz cuadrada. Si os da la raíz cuadrada de u úmero egativo, etoces la ecuació o tiee solució. a + c = 0 = c =± c 9 = 0 = =± =± a a 9 9 Ecuacioes de º grado icompletas si térmio idepediete So del tipo a + b = 0, co b 0. Para resolverlas, sacamos factor comú, igualamos a cero cada factor y despejamos. = 0 a + b = 0 (a + = 0 b a+ b= 0 = a = 0 = 0 ( )=0 = 0 = Ecuacioes reducibles Si hay operacioes, debemos realizarlas y luego resolver la ecuació Si la ecuació tiee deomiadores podemos reducir las fraccioes a comú deomiador y luego elimiar los deomiadores iguales e los dos miembros. De esta forma obteemos ua ecuació equivalete si deomiadores. Ejercicio 0 Resuelve las siguietes ecuacioes: a) Págia 9 (-1) + - =7-6 4 c) ( + 1) ( + 1)( ) = 7 + + + ( ) ( 1) ( + 4) = 81
Ecuacioes factorizadas So ecuacioes de la forma P(). Q().. = 0. Para resolver este tipo de ecuacioes, se iguala a 0 cada factor y después se resuelve las ecuacioes que resulte. ( )( _ = = 0 1) = 0 1= 0 =± Ecuacioes de grado superior a So ecuacioes del tipo P() = 0, siedo P() u poliomio de grado superior a. Para resolverlas, se factoriza el poliomio para ecotrar las raíces o solucioes de la misma. Para resolver la ecuació 4 + 9 9 = 0 factorizamos el poliomio Obteemos ( + 1)( )( + ) = 0 Compruébalo! Obteemos ua ecuació factorizada. Resolvemos etoces: = 0 + 1= 0 = 0 + = 0 = 1 = = Por tato, las solucioes de la ecuació so: =, = 1, =, = Ecuacioes bicuadradas So ecuacioes del tipo a 4 + b + c = 0 1 0 4 Para resolverlas se hace el cambio: t= 4 t = Sustituyedo os queda la ecuació de º grado at + bt + c = 0. Resolvemos la ecuació y obteemos el valor de t ; después calculamos hallado la raíz cuadrada Ejercicio 1 Resuelve 9 4 + 4 = 0 Cálculo de ua ecuació poliómica coocidas sus solucioes Si las solucioes de ua ecuació poliómica de grado so 1,,,, etoces la ecuació se puede escribir de la forma a( 1)( )... ( ) = 0, siedo a cualquier úmero distito de 0. Ua ecuació de grado de solucioes =, = 1, = 1 es: ( )( + 1)( 1) = 0 + = 0 7.- Ecuacioes racioales y co radicales Ecuacioes racioales: So ecuacioes que lleva la icógita e el deomiador. Para resolverlas, se reduce a comú deomiador y se elimia los deomiadores e los dos miembros. De esta forma se llega a ua ecuació poliómica o racioal. E este tipo de ecuacioes es ecesario comprobar que los valores obteidos de la icógita cumple la ecuació iicial, pues puede aparecer algua solució etraña que aule algú deomiador. 4 Ejercicio Resuelve = 0 Ecuacioes co radicales: So ecuacioes que lleva la icógita detro de ua raíz. Para resolverlas, se despeja el térmio que lleva la raíz y después se eleva los dos miembros de la ecuació al ídice del radical. De esta forma se llega a ua ecuació poliómica o racioal. Págia 10
E este tipo de ecuacioes es ecesario comprobar que los valores obteidos de la icógita cumple la ecuació iicial, pues puede aparecer algua solució etraña que haga que o se cumpla la ecuació iicial. Ejercicio Resuelve = 1 8.- Sistemas de ecuacioes Cocepto de sistema de ecuacioes U sistema de ecuacioes es u cojuto de dos o más ecuacioes. y+z= 4 + = y+z= 9 + = 4 7y+z= Resolver u sistema es averiguar el valor de las icógitas para que se cumpla todas las ecuacioes a la vez. A veces, decimos simplemete sistema cuado os referimos a u sistema de ecuacioes Tipos de sistemas Sistemas lieales: Está formados por o más ecuacioes lieales. Ua ecuació lieal co dos icógitas es aquella que se puede escribir de la forma a + by = c. Por ejemplo, + y = 6 es ua ecuació lieal co dos icógitas. Aálogamete, ua ecuació lieal co tres icógitas es aquella que se puede escribir de la forma a + by + cz = d. Por ejemplo, + y 7z = 1 es ua ecuació lieal co tres icógitas. y= 4 y+ z= 0 + y = 9, y z= + y+ z= Sistemas o lieales: So aquellos e los que hay algua ecuació que o es lieal Por ejemplo, el sistema + = + = es NO lieal porque la primera ecuació o es lieal. Método de sustitució Cosiste e despejar ua icógita e ua ecuació y sustituirla e la otra ecuació. De esta forma se llega a ua ecuació co ua icógita. Método de igualació Cosiste e despejar la misma icógita e todas las ecuacioes e igualar las epresioes obteidas. De esta forma se llega a ua ecuació co ua icógita. Método de reducció Cosiste e buscar otro sistema equivalete, o sea co las mismas solucioes, e el que los coeficietes de ua de las icógitas sea úmeros opuestos. Esto se cosigue multiplicado las ecuacioes por úmeros adecuados. Después se suma las ecuacioes, llegádose así a ua ecuació co ua icógita. Ejercicio 4 Resuelve: a) y 1 = 6 por los métodos + = + 4(y 1) = + = Método gráfico para resolver sistemas de ecuacioes Cosiste e represetar gráficamete cada ecuació. Págia 11 c) = + =
Si las gráficas se corta, el puto o putos de corte de las gráficas obteidas correspoderá a la solució o solucioes del sistema de ecuacioes. Si las gráficas o se corta, etoces el sistema o tiee solució. Clasificació de sistemas de ecuacioes lieales co dos icógitas Los sistemas de dos ecuacioes lieales co dos icógitas se clasifica segú el º de solucioes: - Sistemas compatibles determiados (S.C.D.): so los que tiee ua úica solució. E este caso, se obtiee u valor de y otro valor de y. Las ecuacioes correspode a dos rectas secates - Sistemas compatibles idetermiados (S.C.I.): so los que tiee ifiitas solucioes. E este caso, se llega a ua idetidad del tipo 0 = 0. Las ecuacioes correspode a dos rectas coicidetes - Sistemas icompatibles (S.I.): so los que o tiee solució. E este caso, se llega a ua cotradicció. Por ejemplo, 0 = Las ecuacioes correspode a dos rectas paralelas Para clasificar u sistema de dos ecuacioes lieales co dos icógitas + = podemos usar las siguietes reglas: + = Si Si Si Ejercicio Clasifica e iterpreta geométricamete los siguietes sistemas. Resuelve por el método gráfico aquel que sea compatible determiado: y= 1 + 6y= 4 9+ y= 1 a) c) 6 + 1y = 4y= 0 18 4y= Método de Gauss Es u método para resolver sistemas de ecuacioes lieales. Se usa fudametalmete para sistemas de más de dos icógitas. Cosiste e trasformar el sistema e otro equivalete (o sea co las mismas solucioes) e el que cada ecuació tega al meos ua icógita meos que la ecuació aterior (sistema escaloado). El sistema escaloado resultate se resuelve etoces de forma más secilla empezado a despejar por la ecuació que tiee meos icógitas. Ejercicio 6 Resuelve por el método de Gauss: a) + =!+ +! = " + # + # =! + y z= 1 4y+ z = 9 4+ y+ 4z = 1 Ejercicio 7 U iversor compró accioes de las empresas A, B y C por u valor total de 0 000, ivirtiedo e C el doble que e A. Al cabo de u año la empresa A le pagó el 6% de beeficio, la B el 8% y la C el 10%. Si el beeficio total fue de 1 70, qué diero ivirtió e cada empresa? Ejercicio 8 U taller de carpitería ha vedido 1 muebles, etre sillas, silloes y butacas, por u total de 1 600. Se sabe que cobra 0 por cada silla, 10 por cada silló y 00 por cada butaca, y que el úmero de butacas es la cuarta parte del úmero que suma los demás muebles. Págia 1
Calcular cuátos muebles de cada clase ha vedido ese taller. 9.- Iecuacioes co ua icógita Cocepto de iecuació Ua iecuació es ua desigualdad etre epresioes algebraicas. Por ejemplo, so iecuacioes: + <, 1 Resolver ua iecuació es averiguar lo que tiee que valer la icógita para que se cumpla la desigualdad. Iecuacioes lieales co ua icógita So aquellas e las que la icógita está elevada a 1. Se resuelve usado las mismas reglas que e las ecuacioes, salvo que, al despejar, si el úmero que multiplica a es egativo teemos que cambiar el setido a la desigualdad. Por ejemplo, si < 1 > 1 > 4 Ejercicio 9 Resuelve las siguietes iecuacioes: a) 10 1 1 4 Sistema de iecuacioes lieales co ua icógita Es u cojuto de dos o más iecuacioes. Para resolverlo, se resuelve cada iecuació por separado y después se busca las solucioes comues a todas las iecuacioes del sistema Ejercicio 0 Resuelve: a) 4 ( 1) ( 1) + > 1 1 4 6 7 < 14 Iecuacioes poliómicas y racioales co ua icógita E este apartado vamos a resolver iecuacioes co poliomios de grado mayor que 1 e iecuacioes co fraccioes algebraicas Para resolver las iecuacioes poliómicas y racioales: 1º) Se pasa todos los térmios a u miembro de la iecuació y se reduce los térmios hasta llegar p() a ua iecuació p() > 0 ó > 0 q() El sigo > puede ser cualquiera de los otros tres (<, ó ) º) Se factoriza los poliomios º) Se represeta las raíces de cada factor sobre la recta umérica 4º) Se determia los itervalos de la recta para los que se cumple la iecuació Ejercicio 1 Resuelve: a) 0 1 9 0 c) 1 < 1 + Págia 1
Ejercicio Resuelve: a) 1 0 + < + c) +1 10.- Iecuacioes lieales co dos icógitas Iecuació lieal co dos icógitas Ua iecuació lieal co dos icógitas es aquella que se puede epresar de la forma a + by > c. El sigo > puede ser cualquiera de los otros tres (<, ó ) Resolver ua iecuació es averiguar los valores de las icógitas para que se cumpla la desigualdad. Por ejemplo, + y < es ua iecuació lieal co dos icógitas. Su recta asociada es + y =. La solució de ua iecuació lieal co dos icógitas siempre correspode a u semiplao cuyo borde es la recta asociada. Para resolver ua iecuació lieal co dos icógitas, se represeta sobre los ejes de coordeadas la recta asociada y se determia el semiplao que cotiee a las solucioes de la misma. Ejercicio Resuelve las iecuacioes: a) y < 6 + y + y c) y > 0 Sistemas de iecuacioes lieales co dos icógitas U sistema de iecuacioes es u cojuto de dos o más iecuacioes. Para resolver u sistema de iecuacioes lieales co dos icógitas, se resuelve cada iecuació, represetado las rectas e los mismos ejes de coordeadas, y luego se determia la regió comú que cotiee a todas las solucioes de las iecuacioes. Ejercicio 4 Resuelve los sistemas: a) y> 4 + y< + y< 0 y > y < 4+ y c) + y 1 0, y 0 Págia 14