Análss del caso promedo Técncas Avanzadas de Programacón - Javer Campos 70
Análss del caso promedo El plan: Probabldad Análss probablsta Árboles bnaros de búsqueda construdos aleatoramente Tres, árboles dgtales de búsqueda y Patrca Lstas sp Árboles aleatorzados Técncas Avanzadas de Programacón - Javer Campos 71
Espaco probablzable: (S,F) S: conjunto de sucesos elementales F: trbu de sucesos de S (famla de subconjuntos de S que verfca certas propedades) Espaco de probabldad: (S,F,Pr) (S,F): espaco probablzable Pr: probabldad es una funcón de medda no negatva sobre (S,F) tal que Pr{S} = 1 (S se llama suceso seguro) Técncas Avanzadas de Programacón - Javer Campos 72
Caso partcular que nos nteresa: S es un conjunto numerable (fnto o nfnto) F = {A AS} (conjunto de las partes de S) Pr es una aplcacón de S en los reales tal que: Pr{ A} 0, para todo Pr{ S} 1 Pr A 1 1 A Pr{ A }, para A j toda A S famla s A Axomas de Kolmogorov j N, Técncas Avanzadas de Programacón - Javer Campos 73
Consecuencas: El suceso vacío tene probabldad 0, Pr{) = 0 S A B entonces Pr{A} Pr{B} S A = S A entonces Pr{A} = 1-Pr{A} Pr{AB} = Pr{A}+Pr{B} Pr{AB} Pr{A}+Pr{B} Técncas Avanzadas de Programacón - Javer Campos 74
Ejemplo: Probabldad Expermento: lanzar dos monedas smultáneamente Conjunto de sucesos elementales: S = {CC,CX,XC,XX} Ejemplo de suceso (A F): obtener una cara y una cruz es A = {CX,XC} S Pr{CC} = Pr{CX} = Pr{XC} = Pr{XX} = ¼, entonces Pr{ obtener al menos una cara } = Pr{CC,CX,XC} = Pr{CC}+Pr{CX}+Pr{XC} = ¾ O tambén: Pr{ obtener al menos una cara } = 1-Pr{ obtener menos de una cara } = 1-Pr{XX} = ¾ Técncas Avanzadas de Programacón - Javer Campos 75
Funcón de probabldad dscreta: Está defnda sobre un conjunto S numerable Para todo A S, Pr{A} = sa Pr{s} Probabldad dscreta unforme: S S es fnto y Pr{s} = 1/ S, para todo ss (el expermento se llama elegr un elemento de S al azar, y el espaco de probabldad se llama clásco ) Ejemplo: lanzar una moneda ( buena ) n veces Sucesos elementales: secuencas de C ó X de longtud n Cada suceso elemental (hay 2 n ) tene probabldad 1/2 n S A = { caras y n- cruces} entonces A n A n, y por tanto Pr{ } 2 n Técncas Avanzadas de Programacón - Javer Campos 76
Probabldad contnua unforme: Defnda sobre S = [a,b], ntervalo de los reales, a<b Intutvamente: desearíamos que cada punto del ntervalo tuvese gual probabldad Como el número de puntos es no numerable, s damos a cada punto una probabldad postva es mposble que se satsfaga smultáneamente Pr{ S} 1, y Pr A Pr{ A } 1 1 Técncas Avanzadas de Programacón - Javer Campos 77
Probabldad contnua unforme (cont.): Defnmos, para cada ntervalo cerrado [c,d], acdb: Pr{[ c, d]} d c b a En partcular, para cada punto x = [x,x], Pr{x} = 0. Luego, Pr{(c,d)} = Pr{[c,d]}, porque [c,d] = [c,c](c,d) [d,d]. Por tanto, la trbu de sucesos (para los que está defnda Pr) es cualquer subconjunto de [a,b] que puede obtenerse como unón fnta o nfnta numerable de ntervalos abertos y cerrados. Técncas Avanzadas de Programacón - Javer Campos 78
Probabldad condconada: Probabldad de un suceso tenendo una nformacón parcal a pror de lo suceddo. Ejemplo: se han trado dos monedas ( buenas ) y sabemos que al menos una de ellas saló cara. Cuál es la probab. de que las dos hayan saldo cara? La nformacón a pror elmna la posbldad de que hayan sdo dos cruces. Los tres sucesos restantes deben ser equprobables, cada uno con probab. 1/3. Como sólo uno de esos sucesos corresponde a dos caras, la respuesta es 1/3. Técncas Avanzadas de Programacón - Javer Campos 79
Probabldad condconada (cont.): Defncón: probabldad condconada de A dado B Pr{ A B} Pr{ A B}, Pr{ B} sempre que Pr{ B} 0 En el ejemplo: A = las dos son caras B = al menos una es cara por tanto, Pr{A B} = (1/4)/(3/4) = 1/3 Técncas Avanzadas de Programacón - Javer Campos 80
Independenca: Probabldad Dos sucesos A y B son ndependentes s Pr{AB} = Pr{A}Pr{B} S Pr{B} 0, lo anteror es equvalente a Pr{A B} = Pr{A} Los sucesos A 1, A 2,, A n son: Independentes dos a dos s Pr{A A j } = Pr{A }Pr{A j } para todo j. Mutuamente ndependentes s cada subconjunto A 1, A Pr{ A 1 2,, A A 2, con 2 1 A 1 } n 2 y Pr{ A 1 }Pr{ A n, 2 satsface } Pr{ A } Técncas Avanzadas de Programacón - Javer Campos 81
Ejemplo de ndependenca dos a dos y mutua: Lanzamos dos monedas ( buenas ) A 1 = la prmera sale cara A 2 = la segunda sale cara A 3 = las dos salen dstntas Entonces: Pr{A 1 } = Pr{A 2 } = Pr{A 3 } = ½ Pr{A 1 A 2 } = Pr{A 1 A 3 } = Pr{A 2 A 3 } = ¼ Pr{A 1 A 2 A 3 } = 0 Como para 1<j 3, Pr{A A j } = Pr{A } Pr{A j } = ¼, los sucesos A 1, A 2 y A 3 son ndependentes dos a dos. Sn embargo, no son mutuamente ndependentes, porque Pr{A 1 A 2 A 3 } = 0 pero Pr{A 1 }Pr{A 2 }Pr{A 3 } = 1/8 0 Técncas Avanzadas de Programacón - Javer Campos 82
Teorema de Bayes. S los sucesos A y B tenen probabldad no nula, entonces Pr{ A B} Dem: por defncón de probabldad condconada Pr{AB} = Pr{B}Pr{A B} = Pr{A}Pr{B A}, y despejando Pr{A B} se sgue. Equvalentemente: Pr{ A B} Pr{ A}Pr{ B Pr{ B} A} Pr{ A}Pr{ B A} Pr{ A}Pr{ B A} Pr{ A}Pr{ B A} porque: Pr{ B} Pr{ B A} Pr{ B A} Pr{ A}Pr{ B A} Pr{ A}Pr{ B A} Técncas Avanzadas de Programacón - Javer Campos 83
Ejemplo de aplcacón del teorema de Bayes: Tenemos una moneda buena y otra sesgada que sempre cae de cara. Expermento: Elegmos una al azar La lanzamos una vez La lanzamos otra vez S sale cara las dos veces, cuál es la probabldad de que la elegda haya sdo la sesgada? A = la elegda es la sesgada, B = sale cara las dos veces, Pr{A} = ½; Pr{B A} = 1; Pr{A} = ½; Pr{B A} = ¼ luego: Pr{ A B} (1/ 2) 1 (1/ 2) 1 (1/ 2) (1/ 4) 4 / 5 Técncas Avanzadas de Programacón - Javer Campos 84
Varable aleatora dscreta (v.a.d.): Es una funcón X de un conjunto numerable (fnto o nfnto) de sucesos elementales S en los reales. Para una v.a.d. X y un real x se defne el suceso X = x como {ss X(s) = x}, por tanto: Pr{X = x} = {ss X(s)=x} Pr{s} Funcón de densdad de probabldad de la v.a.d. X: f(x) = Pr{X = x} Por los axomas de Kolmogorov, f(x) 0 y x f(x) = 1 Técncas Avanzadas de Programacón - Javer Campos 85
Ejemplo: expermento de lanzar dos dados 36 sucesos elementales S los dados son legales, la probabldad es unforme y Pr{s} = 1/36, para todo ss Ejemplo de v.a.d.: X = máxmo de los valores obtendos en los dos dados f(3) = Pr{X = 3) = 5/36, porque X asgna el valor 3 a 5 de los 36 sucesos elementales posbles: (1,3), (2,3), (3,3), (3,2) y (3,1) Técncas Avanzadas de Programacón - Javer Campos 86
Densdad conjunta: S las v.a.d. X e Y están defndas sobre el msmo espaco de probabldad, la funcón de densdad conjunta es: f(x,y) = Pr{(X = x) (Y = y)} Y se tene que: Pr{Y = y} = x Pr{(X = x) (Y = y)} Pr{X = x} = y Pr{(X = x) (Y = y)} Pr{ X x Y y} Pr{( X x) ( Y Pr{ Y y} y)} Varables ndependentes: X e Y son ndependentes s Pr{(X = x)(y = y)} = Pr{X = x}pr{y = y}, x,y Técncas Avanzadas de Programacón - Javer Campos 87
Momentos: Esperanza matemátca (o meda): E[X] = x x Pr{X = x} = x xf(x) Ejemplo: se lanzan dos monedas, se ganan 3 Euros por cada cara y se perden 2 por cada cruz, s X representa la gananca obtenda en una partda, entonces E[X] = 6 Pr{2 caras} + 1 Pr{1 cara y 1 cruz} 4 Pr{2 cruces} = = 6(1/4) + 1(1/2) 4(1/4) = 1 Técncas Avanzadas de Programacón - Javer Campos 88
Momentos (cont.): Probabldad Propedades de la esperanza matemátca: E[X+Y] = E[X] + E[Y] Dada X, cualquer funcón g(x) defne una nueva v.a. g(x), y E[g(X)] = x g(x) Pr{X = x} En partcular, s g(x)=ax, con a una constante, E[ax] = ae[x] S X e Y son ndependentes entonces E[XY] = E[X] E[Y] (lo msmo para una famla mutuamente ndependente) S X toma valores en los naturales, entonces E[ X ] Pr{ X 0 Pr{ X 1 } } 0 Pr{ X } Pr{ X 1} Técncas Avanzadas de Programacón - Javer Campos 89
Momentos (cont.): Probabldad Varanza: Var[X] = E[(X-E[X]) 2 ] = E[X 2-2XE[X]+E 2 [X]] = = E[X 2 ]-2E[XE[X]]+E 2 [X] = = E[X 2 ]-2E 2 [X]+ E 2 [X] = E[X 2 ]- E 2 [X] Propedades de la varanza: Var[aX] = a 2 Var[X], con a una constante S X e Y son ndependentes, Var[X+Y] = Var[X]+Var[Y] (lo msmo para una famla de ndependentes dos a dos) Desvacón estándar: X = (Var[X]) 1/2 es decr Var[X] = X 2 Técncas Avanzadas de Programacón - Javer Campos 90
Dstrbucones de probabldad mportantes: Expermento de Bernoull de parámetro p: X vale 1 cuando ocurre el suceso A ( éxto ), y eso ocurre con probabldad p, y vale 0 en caso contraro ( fracaso ), con probabldad q = 1-p. E[X] = p Var[X] = pq Dstrbucón geométrca de parámetro p: X es el número de expermentos ndependentes de Bernoull hasta que ocurre el suceso A (ncludo este últmo) Pr{X = } = q -1 p, para todo 1 E[X] = 1/p Var[X] = q/p 2 Técncas Avanzadas de Programacón - Javer Campos 91
Ejemplo de dstrbucón geométrca: Tramos dos dados repetdamente hasta que la suma de ambos es un 7 o un 11 De los 36 resultados posbles, 6 dan un sete y 2 dan un 11, por tanto la probabldad de éxto es p = 8/36 = 2/9 Luego el número esperado de repetcones hasta obtener un 7 o un 11 (esperanza matemátca de X) es E[X] = 1/p = 9/2 = 4,5 Técncas Avanzadas de Programacón - Javer Campos 92
Dstrbucón bnomal de parámetros n y p: X es el número de éxtos en n expermentos ndependentes de Bernoull de parámetro p (y q = 1-p) n n Pr{ X } p q, para todo 0,, n E[X] = np Var[X] = npq Las colas de la dstrbucón bnomal: Pr{ X Pr{ X Pr{ X Pr{ X p n n }, para 0 n n q n }, para 0 q n n p q np }, para } ( n ) p np p n Técncas Avanzadas de Programacón - Javer Campos 93 q n, para 0 np np n
Dstrbucón bnomal negatva de parámetros n y p: X es el número de fallos ocurrdos antes del n-ésmo éxto de una sere de expermentos ndependentes de Bernoull de parámetro p E[X] = n(1-p)/p Var[X] = n(1-p)/p 2 Técncas Avanzadas de Programacón - Javer Campos 94