DETERMINANTES SELECTIVIDAD ZARAGOZA. (S-97)Hllr el rngo de l mtriz B 0 0 según se el vlor del prámetro [,5 puntos] Puesto que el menor 0 0 rgb 0 () 0 ( ) 0 ) Pr 0 r(b) ) Pr 0 0 - B 0-0 0 - r(b) 0-0 - 0-0 - 0 0-0 0-0 0 - F F F 0-0 F F F 0 0 0 0 ) Pr B 0 0 0 Ls dos primers olumns son independientes, l ª es igul l ª l 4ª es proporionl l ªr(B) Otr epliión más senill: l terer olumn es igul l primer r(b)
0. (S-99)Hllr en funión de el rngo de l mtriz A 0 [,5 puntos] 4 lulr undo eist l mtriz invers A - en los sos - [ punto]. Puesto que el menor 0 0 El rngo de l mtriz A es, omo mínimo. 4 Vemos pr qué vlores del prámetro el rngo es : 0 0 4 4 4± 6 4± 4 0 Por tnto: Pr - - rg(a) Pr - o -: rg(a) A eiste undo A 0(rngo máimo). Por tnto, undo, A. Pr : 0 0 4 4 A 0 4 8.Tenemos A 0 Adj(A) 5 4 4 4 ( ) t 4 8 8 t Adj A Adj ( A ) 5 A 5 5 A 8 8 8 4 4 8 8 Otr form de lul r l mtriz invers: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 00 0 0 4 0 0 0 5 4 0 0 0 8 4 8 0 0 4 0 0 0 8 0 5 0 0 0 0 8 4 0 0 4 A - 5 4
. (J-00)Hllr, si eiste, un mtriz udrd, A, que umpl ls siguientes ondiiones: ) Coinide on su trspuest. ) Verifi l euión mtriil 0 A ) Su determinnte vle 9. [,5 puntos] SOLUCIÓN )Si t A A, se die que A es simétri t A ) 0 0 t t t t t A t t t ) 8 9 9 9 9 Por tnto, l mtriz A es: 5
4. (S-00)Se A un mtriz 4 4 us fils, de rri jo son F, F, F F 4 0 0 0 0 0 0 uo determinnte vle. Se B. Clulr rzondmente: 0 0 0 0 0 0. El determinnte de l mtriz A B [ punto]. El determinnte de l mtriz A [0,5 puntos]. El determinnte de l mtriz us fils son (de rri jo): F F, -F, F 4 F F [ punto] 0 0 0 0 0 0 0 0 () () 0 Clulemos el determinnte de B: B 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 () (): desrrollndo por los djuntos de l primer fil. A B A B ( ). Si multiplimos todos los elementos de un líne por un número, el determinnte de l mtriz qued multiplido por diho número. En nuestro so, d un de ls utro línes (fils o olumns) se multipli por tres, luego el determinnte quedrá multiplido por 4 : A 8. 6. det(f F, F,F,F F) det(f, F,F,F F) det(f, F,F,F F) 4 4 4 det(f, F,F,F ) det(f, F,F,F) ( 6)det(F,F,F,F ) 6det(F,F,F,F ) 6 4 4 4 4 0 0
5. (J-0)Tenemos un mtriz us olumns son (de izquierd dereh): C, C, C su determinnte vle. ) Se onsider l mtriz A us olumns son (de izquierd dereh): -C, C C, C, lulr rzondmente el determinnte de l mtriz A - so de que est mtriz invers eist [,5 puntos]. ) Se hor l mtriz us olumns son: C C, C C, C -C. Rzonr l eisteni o no eisteni de l mtriz invers de l mism [ punto] Se Bdet(C, C, C ) ) det(a) det( C,C C,C ) det( C,C,C ) det( C,C,C ) det(c,c,c ) det(c,c,c ) det(c,c,c ) 6 Como A A I A A A A I A A A 6 A 6 ) L primer olumn es l difereni de l segund l terer: C C C C C C por lo que el determinnte de l mtriz será 0 l ser un olumn ominión linel de ls otrs L mtriz no tiene invers.
0 0 6. (S-0)Sen A B ls mtries siguientes: A 0 0 B 0 0 0 0 Es fáil ompror que ms tiene el máimo rngo, que es. Pero qué ourre si ls ominmos linelmente? En onreto, estudi el rngo de l mtriz A B según los vlores del prámetro. [,5 puntos] A λ B λ : λ λ λ 0. Vemos pr qué vlores de λ el rngo es máimo, es deir λ λ λ ( ) ( ) ( ) 0 4 λ λ λ λ λ λ λλλ λ λ λ λ λ λ λ λ 0 0 λ λ λ λ λ λ λ Se tiene: Pr λ λ : A B 0 rg ( A B) λ λ 0 Pr λ : A λ B A B 0 rg ( A λ B ) pues el menor 0 Pr λ : A λ B A B 0 rg ( A λ B ) pues el menor 0
7. (J-06)Se l mtriz A ) Sin utilizr l regl de Srrus, lulr el determinnte de dih mtriz. [,5 puntos] ) Estudir el rngo de A en el so en que. [ punto] ) (5) (4) () () () 0 0 0 0 0 0 ( ) Propieddes plids: () () sr ftor omún en l primer olumn en l primer fil. () F F, F F (4) (5) Desrrollo por los elementos de l primer olumn ) Pr, l mtriz A es: omo los tres vetores fil son linelmente dependientes, el rngo de l mtriz es.
8. (S-06)Teniendo en uent que 7 z r q p, lulr el vlor del siguiente determinnte, sin desrrollrlo, z r q p [,5 puntos] z r q p z r q p z r q p z r q p z 7 z r q p r q p z r q p
0 9. (S-07)Dds ls mtries A, I 8 0 ) ( ) ( det( A) ). Compror que det A [0,5 puntos]. Estudir si pr ulquier mtriz M de orden se umple que d ( ) ( det ( M) det M ) [ punto]. Enontrr l relión entre los elementos de ls mtries M udrds [ pto] de orden que stisfen: det ( M I) det ( M) det ( I) 0 0 A det( A ) 8 8 0 0 det A det ( A) 9 8 ( det ( A) ) ( ) 8 ( ) ( det ( A) ) ) M d d d d d d det ( M ) ( ) ( d ) ( d) ( d) d d ( ) d d d d d d d d det ( M) d ( det ( M) ) ( d ) d ( det M ) ( det ( M) ) Por otr prte es evidente pr ulquier mtriz udrd de ulquier orden que: M M M M M M según l propiedd de los determinntes que die que el determinnte del produto de dos mtries udrds es igul l produto de los determinntes de dihs mtries ) 0 M I M I d 0 d det ( M I) ( ) ( d ) d d d d d d 0 d det ( M) det ( I) d luego M tiene que ser de l form: M
0 α β k t 0. (S-07)Sen A 0 0 α B 0 k 0 0 0 0 0. Estudir pr qué vlores de α β l mtriz A tiene invers. [0,5 puntos]. Clulr A 5. [ punto]. Hllr l mtriz invers de B. [ punto] ) Puesto que A 0 α, β por tener un olumn nul A no tiene invers pr ningún vlor de α β ) A 0 α β 0 α β 0 0 α 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A 0 0 α 0 0 α 0 0 0 0 0 α 0 α β 0 0 0 A A 0 0 0 0 0 α 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ; 5, por lo tnto, A es l mtriz nul. ) k t B 0 k B 0 0 0 0 k k t t k k t t Adj ( B ) Adj(B) k 0 Adj( B) 0 k B 0 k B k t k 0 0 0 0
. (S-08))( punto) Pror que ( )( )( ) ) 0 0 () () () ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (4) 0 ( )( ) (5) ( )( )( ) Propieddes utilizds:() C C, C C () Desrrollo por los djuntos de l primer fil () Sr ftor omún en ms olumns (4) C C (5) Desrrollo por los djuntos de l primer fil
. (J-09).)( punto) Teniendo en uent que del determinnte 0 0 0 0 0, determin el vlor 0 ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 L propiedd utilizd h sido l de sr ftor omún en lgun de ls línes del determinnte.
. (S-09)) [ punto] Clulr, en funión de los vlores del prámetro k, el rngo de l mtriz B 5 k )Se B 5 k 0 rg B k0 5 k k 5 k k 0 k )Si k rg B )Si k rg B
4. (S-09)) [,5 puntos] Resolver el siguiente determinnte sin utilizr l regl de Srrus: 0 porque tiene dos fils igules F F F F F F
5. (J-0) )Estudir pr que vlores de el determinnte de l mtriz 0 A 0 0 es no nulo. 0 Pr, otener el determinnte de l mtriz A. (,5 puntos) A 0 0 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 Luego el determinnte es no nulo pr 0 Pr 0 6 A 0 0 0 A 8 A 8 8 44
6. (J-0) ) Estudir pr qué vlores de, l mtriz invers de oinide 5 on su opuest. (,5 puntos) A 5 Clulmos -A 5 Clulmos A A 0 Si -A A 0 ± 5 0 5 5 Adj(A) t Adj(A) 5 t A Adj(A) A 0 5.
os α senα 0 7. (S-0)Dd l mtriz A senα os α 0 0 0 β ) Estudir si eisten vlores de α β pr los ules l mtriz A se simétri. Será l mtriz B A A T igul l mtriz identidd en lgún so? ( punto) ) Rzonr uál es l relión entre el determinnte de A el de B. (0 75 puntos) ) Pr que A se simétri los elementos simétrios respeto de l digonl prinipl dee n ser igules. En nuestro so : α 0 k sen α-senαsenα0 senα sen0 π α π k π, k α k π, k β l mtriz A es simétri. os α senα 0os α senα 0 0 0 0 0 t B A A senα os α 0 senα os α 0 0 0 0 0 β β ± 0 0 β 0 0 β 0 0 β 0 0 ) os α senα 0 A sen os 0 os s en α α β αβ αβ 0 0 0 0 B 0 0 β 0 0 β β B A
8. (J-). (,5 puntos)estudi pr qué vlores de α el determinnte de l mtriz 0 A α α tiene rngo máimo. α. (,5 puntos) Siendo A - l invers de m mtriz A, lulr (A - ) pr α - ) Como A es un mtriz udrd, r(a) A 0 0 A ( ) ( ) ( ) 4 α α α α α α α α α α α α α 0 α α α α α 0 ( ) 0 Por tnto el rngo de A máimo (r(a)) α0 α ) Si α - 0 A 0 0 A Adj(A) 0 0 t Adj(A) 0 0 t Adj(A) A 0 A 0 Ahor lulmos (A - ) 0 0 0 (A ) 0 0 0
9. (J-) os α 0 senα os α senα. ( punto) Sen ls mtries A B 0. sen os β 0 α α sen 0 os α α Estudir qué vlores de α β hen que se iert l iguldd (det(a)) - det(a)det(b)0 ) det(a). (,5 puntos)utilizr ls propieddes de los determinntes pr lulr 4 el vlor de 4 on,,, d 4 det(b)βos α βsen αβ (det(a)) -det(a)det(b)0 - β0- β0β Luego l iguldd se umple pr α pr β ) 4 4 4 4 4 0 (d) d d 4 d 4 0 d
α 0. (S-) Se l mtriz A 0 α. (0,75 puntos) Clulr el determinnte de l mtriz (AA T ) on A T l trspuest de A. (0.75 puntos) Estudir pr qué vlores del prámetro α se stisfe l euión T 4A A α 0 on A det(a). (punto) Otener l invers de A undo se posile ) α 0 T T 4 A α A A A A ( α )( α ) α α He plido ls siguientes propieddes: El determinnte de un produto es el produto de los determinntes El determinnte de un mtriz es igul l determinnte de su trspuest ) 4α 4 -(-α ) α 04α 4 α α 04α 4 4α 04α (α )0 α0 ) A A 0 α 0 Como A α,eiste mtriz invers α 0 α En ese so, lulmos α 0 Adj(A) α T α Adj(A) 0 α T Adj(A) α A α α A α 0 α 0 α
. (S-)(,5 puntos) Utilizr ls propieddes de los determinntes pr otener de los vlores de que stisfen simultánemente ls euiones: 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 ( ) 0 5 0 0 0 (sustituendo en l ª euión) Resolvemos el sistem : ( ) 0 5 (sustituendo en l ª euión)
. (S-). (0,5 pts)el determinnte de l mtriz A que pree ontinuión es 0 A. Sin utilizr l regl de Srrus, determine uánto vle el determinnte 0 0 de l mtriz B siguiente (enunie ls propieddes que utilie): B 4 0 0 sen os 0. ( puntos) Se C l siguiente mtriz: C os sen 0 sen Determine los vlores de pr los que l mtriz C tiene invers lulrl undo se posile... 0 0 0 0 A 4 B 0 C C C C 0 0 0 0 A l ª olumn del determinnte de l mtriz A se sumo l ª ª olumn me qued otro determinnte; B; del mismo vlor. sen os 0 sen C os sen 0 sen os (sen os ) C 0 Clulmos C - sen os 0 C os sen 0 sen os (sen os ) C 0 Adj(C) os sen sen os t ( ) sen sen os sen(os ) 0 0 sen os 0 Adj(C) os sen 0 sen(os ) sen os sen os 0 sen os 0 Adj(C) ( ) t C os sen 0 os sen 0 C sen(os ) sen os sen(os ) sen os
. (S-)) ( punto) Se se que un mtriz simétri B de dimensión tiene omo determinnte -. Determine el determinnte de l mtriz BB t donde B t denot l trspuest de B Si l mtriz B es simétri, entones BB t t B B B B B 8B 8 ( ) 4 Puesto que l mtriz B es smos un ftor omún de d fil.
4. (J-) ) (punto) Determine el rngo de l mtriz A, que pree ontinuión, según los diferentes vlores de : ) (,5 puntos) 6 A 4 5 0 6 A 4 0 60 4( ) ( ) 0 0 0 60 4 8 4 5 0 4 4 6 4( 6 9) 4() 4( ) 0 Si r(a) Si 6 A 4 5 5 0 4 0040 0 r(a) (pue sto que A 0) 5 0
5. (S-))( punto) Sen A B ls dos mtries siguientes: - 0 A, B 0-0 Pr qué vlores de eiste l invers de AB? Y l de BA? - 0 A, B 0-0 - 0 A B 0-0 Vemos pr que vlores de eiste l invers de A B : A B ( ) ( ) ( )( ) 0 ( ) A B si A B 0, es deir, si - - 0 B A 0-0 0 Vemos pr que vlores de eiste l invers de B A : B A 0 ( ) 6 0 No eiste l mtriz invers de B A pr ningún vlor de