Resolución de Triángulos - Soluciones 1. Un rectángulo circunscribe simétricmente un sector circulr tl como muestr el dibujo djunto. Si el ángulo del sector es de 1 rdián y su áre es de 7 ², hll en milímetros ls dimensiones del rectángulo. R θ R 1 re 7 R 1 se 1 37 mm. π 1 θ 1 π θ / 1 cosθ 1 cosθ 1 cos π 3,6 ltur mm. 1. ) Llmndo l bse de un triángulo rectángulo de 18 de áre, demuestr que su perímetro serí P 196 b) Represent gráficmente con Geogebr est función, qué dimensiones tendrí el triángulo con menor perímetro? Eistirí un triángulo con perímetro máimo? P c re 18 será l ltur L Hipotenus: c El perímetro entonces será: 196 Est función está representd gráficmente l derech. 196 6 196 196 En l gráfic se observ que el perímetro crecerí indefinidmente tnto pr vlores de cercnos cero como pr vlores inmensos de, por lo que no eiste en concreto ningún triángulo rectángulo de 18 de áre cuyo perímetro se el myor posible. Sin embrgo, sí eiste un triángulo de 18 de áre cuyo perímetro es el menor posible, es el que tiene 6 de bse y 6 de ltur, cuyo perímetro es: Perímetro mínimo 1 7 0, 9. 3. Pedro quiere subir hst el borde de un tpi, pr ello h cogido un escler, pero no le sirve pues tiene l mism ltur que l tpi. omo es muy ingenioso h cogido un cjón de 0 de lto y lo h colocdo 1 m de distnci del pie de l tpi. Si l poner sobre el cjón l escler ést lleg l borde de l tpi, qué ltur tiene l tpi? Se puede hllr l ltur de l tpi medinte el teorem de Pitágors: 1 ( 0,) 1 0, 0,0 0, 1, 0,60 m 1 m 0, m
. El cuerpo del dibujo, que recuerd un heldo de cucurucho, está formdo por un semiesfer situd sobre un cono. Hll el volumen y l superficie totl de dicho cuerpo. R sen11,5º R 0 sen11,5º 3,99 0 h cos11,5º h 0 cos11,5º 19,60 0 πr h 3,99 19,60 π 3 3 3 π 3,99 3 3 3 π 3,99 0 Volumen ono ³ Volumen Semi-Esfer πr 133 ³ Superficie Lterl ónic πrg 51 ² Superficie Semi-Esfer πr π 3,99 99, 9 ² Volumen Totl 133 59 ³ Superficie Totl 51 99,9 350 ² R h 11,5º 0 5. lcul el áre de un pentágono regulr inscrito en un circunferenci de 1 de rdio. 0º ϑ º 10 L / senº L senº 1,1 1 cos º 1 senº 9,71 1 5L 5 1,1 9,71 re 3 6. Hll los ldos de un triángulo de 18 ² de áre sbiendo que dos de sus ángulos son 30º y 5º. c b sen30º c b 1/ 7 re 18 c b b c b 7 / b 7 sin 5º b sin sin sin 5º sin105º sin105º b 7 sin 5º 7 7,6 c 9,9 sin105º 7,6 7,6. 5,13 sin 5º sin 30º 7. Un brco pide socorro y se reciben sus señles en dos estciones de rdio, y, que distn entre sí 50 km. Desde ls estciones se miden los siguientes ángulos: 6º y 53º. qué distnci de cd estción se encuentr el brco? 180 º 53º 6º 81º 50 c sen6º sen81º sen53º 50 sen6º, sen81º 50 sen53º c 0, sen81º 6º, km 81º b 50 km 53º c 0, km 5º 105º 30º 5,13 5º b 7,6 105º c 9,9 c b 30º
8. Un hombre que está situdo l oeste de un emisor de rdio observ que su ángulo de elevción es de 5º. min 50 m hci el sur y observ que el ángulo de elevción es hor de 30º. Hll l ltur de l nten. H H tg5º 1 H H 1 H tg30º H 3 b 3 ( ) b 50 H 3 500 H 3H 500 H H 5000 H 150 H 5 35, m H 9. Slen desde un mismo punto dos coches con tryectoris rects que formn un ángulo de 35º. El primer coche v 110 Km/h y el segundo 90 Km/h. Qué distnci les sepr l cbo de 7 minutos? t 7 min. 110 7 / 60 1,9 km t 7 min. b 90 7 / 60 10,5 km 1,9 10,5 1,9 10,5 cos 35º 7, km 10. L siguiente figur muestr un semicírculo de 0 de diámetro y centro O y dos puntos y, tles que, donde θ está epresdo en rdines. ) ompruebe que el áre de l región sombred se puede epresr como 50θ50senθ b) on yud de l clculdor gráfic, hlle el vlor de θ pr el cul el áre de l región sombred es igul l mitd del áre de l región no sombred, con un proimción de cutro cifrs significtivs. 10 θ 10 10senθ re re Sector retriángulo ( π 10 50 θ 50θ 50θ 50π 5θ 5 senθ 75θ 50π 75senθ 3θ π 3senθ θ 1,969 rd Resolviendo l ecución con l clculdor gráfic: 11. Un brc puede nvegr en gu trnquil l velocidd de 8 Km/h. Si l corriente del río llev un velocidd de 6 Km/h bjo qué ángulo deberá cortr l brc l corriente pr que l dirección de su movimiento se perpendiculr l corriente? uál es l velocidd rel de l brc? 6 sen θ θ 9º 8 V 8 6 8 5,9 km h 1 ) 50 θ
1. Hll el áre del triángulo sbiendo que 1 m, 30º y 5º 1 c c 0,73 m sen 105º sen5º c. sen30º 0,73 1 0,5 re 0,183 m b 105º 5º 1m c 30º 13. En un circunferenci de 10 de rdio se unen dos puntos con un cuerd de 15. uánto vle el ángulo centrl? 10 10 15 cos α cos α 0' 15 α 97 º.10.10 10 10 15 1. L siguiente figur muestr un triángulo D, donde 13, D 6,5 y D es un ángulo gudo. Se un punto perteneciente l rect D, tl que 7. ) Hlle l medid del ángulo b) Hlle l medid del ángulo D 7 7 13 cos ˆ ˆ 1º 7 7 D ˆ 180º ˆ º 7 6,5 7 sen ˆ º send send ˆ sen º 6, 5 ˆD 180º 8º 88 º 0,7 D ˆ 8º D ˆ 13 º que no considero porque el ángulo del dibujo es gudo 15. En el triángulo, 30º, 5 y c 7. Hlle l diferenci entre ls áres de los dos triángulos que se pueden construir con los dtos proporciondos. 5 b 7 b 7 cos30º b 7 3 b 0 7 b 3 ± ( 7 3) 96 7 3 ± 51 9,63,9 b c sen30º 7b re 7 9,63 7,9 re re 1 1,5 Tmbién: 5 sen30º 7 º 180º 30º º 106º sen 0,7 sen 1 1º 1 180º 30º 1º 1º re re re 1 1 5 5 sen(106º 1º ) 1,5
16. Sen y dos puntos inccesibles, pero visibles mbos desde otros puntos ccesibles y D, seprdos por l longitud 73,m. Suponiendo que los ángulos D 80º 1 ; D 3º 31 ; D 3º y D 3º 1, determin l distnci. 73, z 73, sen3º1' z 9,69 sen76º3' sen3º1' sen76º3' 73, y 73, sen3º z 0,06 sen10º9' sen3º sen10º9' z y zy cosº1',1 m z y 17. El triángulo de l figur está inscrito en un círculo, hll su rdio.. 73, m D 10 sen5º R R 5 sen5º 11,8 5º 10 18. Se dese sber l ltur de un árbol situdo en l orill opuest de un río. L visul del etremo superior del árbol desde un cierto punto form un ángulo de elevción de 17º. proimdmente 5,9m hci l orill en dirección l árbol, el ángulo es de 31º. lcul l ltur del árbol. ˆ 180º 31º 19º ˆ 180º 17º 19º 1º 5,9 5,9 sen17º 31,3 sen1º sen17º sen1º H sen31º H 31,3 sen31º 16,1m Tmbién: Llmndo L l distnci desde hst l bse del árbol: L ctg31º L H ctg31º H L ctg17º L ( H 5,9) ctg17º H 5,9 5,9 H 16,1 m ctg31º ctg17º H ctg31º ( H 5,9) ctg17º H ctg31º H ctg17º 5,9 ctg31º 19. Uno de los ldos de un triángulo es doble del otro y el ángulo comprendido mide 60º. Hll los otros dos ángulos. b (b) b(b)cos 60 3b b 3 c c sen 60º b 3 sen 1 90º 30º sen sen b 3 Se trt de un triángulo rectángulo c b 60º b
0. L siguiente figur muestr un círculo de centro O y rdio 1. L cuerd determin un ángulo centrl de 75º. Ls tngentes l circunferenci en y en se encuentrn en P. ) Hll el áre del sector O b) Hll el áre del triángulo O c) Demuestr que 1 (1 cos 75º ) d) Hll el áre del triángulo P e) Hll el áre de l región sombred 75 π 5π 1 5π /1 ) 75º rd re Sector 30π 180 1 1 1 sen75º b) re Triángulo O 69,5 c) 1 1 1 1 cos 75º 1 ( 1 1 cos 75º ) 1 ( 1 cos75º ) 1,6 105 ) d) 180 º 75º 105º O ˆ O ˆ 5,5º P ˆ P ˆ 90º 5,5º 37,5º P 180º 37,5º 105º P P P P cos105º omo P P P P P P cos105º P 1,6 P P 9,0 cos105º cos105º cos105º P senp ˆ 1,6 9,0 sen37,5º re Triángulo P 0,9 e) re Sombred re Triángulo O re Triángulo P re Sector ( cos105º ) 16, 1. Hll el rdio de l circunferenci circunscrit l triángulo cuyos ldos miden 13m, 1m y 15m. Solo necesitmos hllr uno de sus ángulos: 13 15 1 cos cos 0,51 59,9º.13.15 1 r r 8,13 m sin 59,9º 13m 15m 1m