.5. SERIES DE FOURIER DE SENOS Y DE COSENOS. Es clro que si f SC[-,] es u fució pr, etoces (9) fx ( ) = + cosx, (CM) SERIE DE FOURIER DE COSENOS (SFC) = co () = f ( x )cos x dx, =,,,3,... Si f SC[-,] es u fució impr, etoces () f( x) = b sex, (CM) SERIE DE FOURIER DE SENOS (SFS) = co () b = f ( x )se x dx, =,,3,... Si f SC[,], etoces podemos costruir u SFC, si hcemos l extesió pr de f [-,]; y podemos costruir u SFS, pr l mism f, si hcemos l extesió impr de f [-,]. Ejemplo 7. Dd l fució f(x)=x, <x<, hllr ls SFS y SFC de f(x). SO: ) SFC: Hcemos l extesió pr de f sobre [-,], que deotmos por f p. extesió periódic de f p sobre todo 3, l deotmos por F p, como lo muestr l Fig.5 Figur 5. Extesió pr de u fució defiid e [,]. f p pr b = ; = x dx= ; x xdx = cos = ( ) 3, f ( x x x p x ) cos cos cos 3 cos = x + +... 3 3 (CM). 7 Prof. Dr. Rúl F Jiméez
b) SFS: Hcemos l extesió impr de f sobre [-,], que deotmos por f i. Por F i deotmos l extesió - periódic todo 3 de f i. Ver Fig. 6 Figur 6. Extesió impr de u fució defiid e [,]. 8 f i impr = ; b = x xdx 3, 3,,,.. 5 se, = 6,,,.. f x x x se se se 3 se x se x i = x + +... se x... 8 + 3 + 5 + 3 3 (CM). 3 3 5 EJERCICIOS 6.. Hllr el desrrollo e SFC de l fució f(x)=sex, <x<. Hllr el desrrollo e SFC de l fució f(x)=e x, <x< 3. Hllr el desrrollo e SFS de l fució f(x)=e x, <x<. Hllr el desrrollo e SFS de l fució f(x)=cosx, <x< y usr este resultdo pr 3 5 7 demostrr que = 6 6.6. SF DE FUNCIONES DE PERIODO ARBITRARIO. E l Itroducció vimos l ecesidd de poder expresr u fució f:[,] x fx ( ) = c se, = 75 3 e l form Prof. Dr. Rúl F Jiméez
dode los coeficietes c debe elegirse cuiddosmete. No somos udces, si os pltemos el mismo problem pr f e l form: x fx ( ) = c cos. = Si embrgo, el problem más importte es: Qué fucioes vlores reles puede escribirse e l form x x (3) fx ( ) = + cos + b se? = Cosideremos el espcio de ls fucioes SC[-,], >. Sbemos (por ejercicio ddo) que x x x x (),cos,se,cos,se,... form u cojuto OG. Más ú, tl como e el cso =, ests fucioes so u bse pr SC[-,]. Por lo tto, ls series socids CM e dicho espcio. uego, por simple cmbio de escl sustituyedo x/ por x, teemos ls SF e SC[-,] de l form (3) co coeficietes ddos por: (5) x fx dx b x = ( )cos ; =,,,.. fx dx = ( )se =,,.., Co los mismos rgumetos teriores, teemos SF e el espcio SC[,b]: x (6) fx b b x ( ) = + cos + se b co (7) = b x fx b b dx b b x = fx b b dx = ( )cos ; ( )se (pr, l fórmul vle pr =,,,..;pr b, l fórmul vle pr =,,3,..) E muchs pliccioes del áre de l igeierí prece fucioes τ- periódics. Defiiedo ω =, obteemos τ (8) fx ( ) = + cosωx+ bseωx co τ τ (9) = f ( x )cos ωxdx ; b = f ( x )se ωxdx. τ τ 76 Prof. Dr. Rúl F Jiméez
x, x< 3 Ejemplo 8. Hllr l SF de l fució f( x) = x, 3 x SO: Aplicdo ls fórmuls directmete, obteemos = f( x)cos xdx; b = f( x)sexdx. Pero, del gráfico de F= extesió -periódic de f, result: = F( x)cos xdx; b = F( x)sexdx b, = 3,,,... Pero, e [-,], F(x) x = xcos xdx, =,,,.. uego, = xdx =, = (( ) ), =,,.. fx ( ) = + (( ) )se x. EJERCICOS 7., < x <. Hllr el desrrollo e SF de l fució f(x)= x, < x<, < x < SF coverge e [-8,8]. y trzr l gráfic l cuál l. Hllr u SF que sólo coteg térmios seo y que CP l fució x- pr <x<..7. DESIGUADAD DE BESSE e IDENTIDAD DE PARSEVA. DEFINICION 5. Si g(x) es u proximció de f(x) e [,b], etoces el error cudrático medio (ecm) de est proximció, está ddo por gx ( ) f( x) dx. b b (3) [ ] Supogmos que g(x) es u poliomio trigoométrico de l form: p gx ( ) = + pcos x+ qse x+... + p cosx+ q sex 77 Prof. Dr. Rúl F Jiméez
Mostrremos que pr cd, eligiedo los coeficietes de Fourier de f,,...,, b, b,..., b, obteemos el ecm míimo (E ), l proximr f SC[-,] por g(x). E efecto, cosideremos el error cudrático totl : [ ( ) ( )] gx fx dx = p p x q x f x d + + + cos... cos ( ) x p cos... ( ) ( )cos... ( ) = + p x+ p f x p f x x+ + [ f x ] Omitimos los térmios de l form pmcosm xqsse sx pues su itegrl sobre [-,] es ul. Itegrdo los térmios p, p,... y grupdo, [ ( ) ( )] 78 Prof. Dr. Rúl F Jiméez dx. p gx fx dx= = [ fx ( )] dx+ p f( x) dx + p p f( x)cos xdx +...... + q q f( x)sexdx. Miimicemos est expresió: El térmio e p es u fució cudrátic e p (prábol covex). Por lo tto, el míimo se lcz dode l derivd (co respecto p ), se ul. Es decir, p f( x) dx= p f x dx = ( ) Aálogmete pr p : p f( x)cos xdx = p = f( x)cosxdx y sí sucesivmete...p,..., p ;... q b. Por lo tto, los coeficietes de Fourier de f d el E. uego, E = [ s( x) f( x) ] dx, dode s N (x) es l -ésim sum prcil de l SF de f. uego, tomdo p =, p =,...etc. E = [ f( x) ] + + b +... + + b Como el error cudrático totl es positivo, etoces E, y sí obteemos l expresió: b... b f ( x ) d x, (3) + + + + + [ ] coocid como DESIGUADAD DE BESSE..
Est desiguldd implic que b + + = coverge (se trt de u serie de térmios positivos cuys sums prciles form u sucesió cotd). De hecho, lím E =, lo que equivle firmr que: f SC f x dx= + + b (3) [, ], [ ( )] expresió coocid como IDENTIDAD DE PARSEVA. EJERCICIOS 8. Se f(x)=-x, <x<, - periódic. sex ) Hllr el error cudrático totl l proximr f por S =se x+... + y evlúe pr =,,3. b) Gráficmete, muestre que y=sex e y=3sex d errores cudráticos totles myores que y=sex, l proximr f e [,]. c) Gráficmete, muestre que y=sex+sex e y=sex+/sex d errores cudráticos totles myores que y=sex+sex, l proximr f e [,]. d) Usdo l idetidd de Prsevl muestre que = +... + +... 6.8. CONVERGENCIAS EN DE AS SERIES DE FOURIER Covergeci Putul. Teorem. " Se f SC( ), - periódic y tl que f(x)=½[f(x + )+f(x - )] e todo x 3. Etoces l SF de f(x) CP f(x ) e cd x dode f(x) teg derivd por l izquierd y por l derech". NOTA: E prticulr y f ' SC( ) etoces SF coverge f(x) e cd x. Covergeci Uiforme. Teorem 5. " Se f C( ), - periódic y tl que f ' SC( ). Etoces l SF CU (y tmbié coverge bsolutmete) f(x) e cd itervlo cerrdo de. NOTA: Observr que pr que exist CU se exige que f(x) se cotiu (pues todos los térmios de l SF so cotiuos), co sólo f ' SC( ). Esto sigific que f ' podrí o existir e lguos putos y si embrgo l SF coverge uiformemete. = 79 Prof. Dr. Rúl F Jiméez
NOTA: Co u pequeñ restricció podemos exteder este resultdo pr icluir fucioes discotius. E efecto, " Si f SC( ), f ' SC( ), - periódic, etoces l SF CU e culquier itervlo cerrdo de que o coteg putos de discotiuidd de f(x)". 3 Covergeci e Medi. Teorem 6. " Si f SC( ) y es - periódic, etoces l SF CM f(x)". NOTA: E cd uo de los resultdos teriores, podemos cmbir - periódic por τ- periódic, τ> rbitrrio. 8 Prof. Dr. Rúl F Jiméez