APUNTE: Itroducció ls Sucesioes y Series Numérics UNIVERSIDAD NACIONAL DE RIO NEGRO Asigtur: Mtemátic Crrers: Lic. e Admiistrció Lic. e Turismo Lic. e Hotelerí Profesor: Prof. Mbel Chresti Semestre: do Año: 0 Sucesioes Numérics Defiició U sucesió... es u list ifiit de úmeros reles. Los subídices os idic el lugr o l posició que ocup el correspodiete úmero e l list. Formlmete u sucesió se defie de l siguiete mer: U sucesió ( o es u fució cuyo domiio so los úmeros turles y cuyo codomiio so los úmeros reles. Los úmeros que form l sucesió es decir ( ( ( se llm los térmios de l sucesió. Por ejemplo: ( : N R / ( es u sucesió tl que cd úmero turl le sig el 6 ; ; ; ; cudrdo de este úmero turl dividido por tres. Por lo tto: ; Podemos rmr l siguiete tbl y luego grficr l sucesió: ( 6 9 6 Forms de expresr u sucesió Pr idicr u sucesió podemos hcerlo de dos mers: por compresió o por extesió: Apute Prof. Mbel Chresti Mtemátic II (Lic. e dmiistrció Turismo y Hotelerí UNRN Año 0
Apute Prof. Mbel Chresti Mtemátic II (Lic. e dmiistrció Turismo y Hotelerí UNRN Año 0 Por ejemplo l sucesió: ( está dd por compresió. Est fórmul os idic l regl pr hllr todos los elemetos de l sucesió. Se le llm el térmio geerl de l sucesió. Pero si escribimos los primeros térmios: L l estmos idicdo por extesió y que: Cudo se cumple que ( Cudo se cumple que ( Cudo se cumple que ( Ejercicio : dds ls sucesioes ( ( ( b y ( ( ( c expresrls por extesió. Ejercicio : dds ls sucesioes L 96 y L expresrls por compresió. Algus sucesioes requiere de dos fórmuls pr su defiició. Por ejemplo: ( ( Est sucesió escrit por extesió es l siguiete: 0 Ejercicio : hllr los térmios siguietes de est sucesió: 6 Por lo tto l sucesió es l siguiete:..... 0 Algus sucesioes se defie por recurreci es decir ecesit de sus térmios teriores pr hllr los térmios siguietes. Por ejemplo l llmd sucesió de Fibocci que se defie como:
Sus primeros térmios so: 6 Sucesioes moótos U sucesió es moóto creciete si cd térmio es meor o igul que el siguiete. Es decir:. Sigific que los térmios v umetdo su vlor o lo sumo so igules. U sucesió es moóto decreciete si cd térmio es myor o igul que el siguiete. Es decir:. Sigific que los térmios v dismiuyedo su vlor o lo sumo so igules. Ejemplos: L sucesió ( cuyos primeros térmios so Cudo se cumple que ( Cudo se cumple que ( 9 Cudo se cumple que ( 666 6 Cudo se cumple que ( es moóto creciete. L sucesió b( cuyos primeros térmios so Cudo se cumple que b ( Cudo se cumple que b ( 0 Cudo se cumple que b ( 0 Cudo se cumple que b ( 0 0 6 6 es moóto decreciete. Sucesioes cotds U sucesió es cotd superiormete si existe u úmero rel llmdo COTA SUPERIOR tl que es myor o igul que todos los térmios de l sucesió. U sucesió es cotd iferiormete si existe u úmero rel llmdo COTA INFERIOR tl que es meor o igul que todos los térmios de l sucesió. U sucesió es cotd si es cotd superior e iferiormete l vez. Apute Prof. Mbel Chresti Mtemátic II (Lic. e dmiistrció Turismo y Hotelerí UNRN Año 0
Ejemplos: L sucesió del ejemplo terior ( es cotd iferiormete y que todos sus térmios so myores o igules que. Por lo tto el itervlo ( ; ] es el cojuto de tods ls cots iferiores. L sucesió del ejemplo terior b( es cotd superiormete y que todos sus térmios so ; es el cojuto de tods ls cots superiores. meores o igules que. Por lo tto el itervlo [ Comportmieto de ls sucesioes Límite de u sucesió Cosideremos l sucesió (. Escribmos lguos de los vlores que tom est sucesió: ( 0 0 0 0 0 0 00 00 00000 00000 Vemos que medid que umet el vlor de ( se cerc cd vez más cero. Dicho co otrs plbrs: cudo tiede ifiito los térmios de l sucesió ( tiede cero uque uc tomrá ese vlor. El vlor cero es el límite de est sucesió. Podemos escribir etoces que: ( 0 U sucesió que tiee límite fiito se dice covergete. Si el límite es ifiito l sucesió es divergete y si el límite o existe diremos que l sucesió es oscilte. Ejemplos: L sucesió b ( es divergete pues b ( ( L sucesió c ( ( es oscilte pues c ( sucesió tom los vlores ( y segú se impr o pr. ( o existe y que l Cálculo de límites de sucesioes Los límites de u sucesió puede clculrse de l mer e que hemos clculdo límites pr x tediedo ifiito. Apute Prof. Mbel Chresti Mtemátic II (Lic. e dmiistrció Turismo y Hotelerí UNRN Año 0
Por ejemplo: clculr Ejercicio : Clculr los límites de ls siguietes sucesioes d ( b 0 e c f ( ( ( U teorem importte L siguiete propiedd os permite verigur si u sucesió es covergete es decir si tiee límite fiito. Tod sucesió moóto y cotd es covergete. Por ejemplo: L sucesió ( está cotd superiormete por e iferiormete por 0. Además es moóto decreciete. Por lo tto es covergete. L sucesió l propiedd. b ( ( está cotd etre (- y pero o es moóto. Luego o podemos plicr L sucesió c ( es moóto creciete pero o es cotd. Luego tmpoco podemos plicr l propiedd. Ejercicio : Aplicr si es posible l propiedd terior pr sber si ls siguietes sucesioes so covergetes. ( ( b b ( c c (! U sucesió importte L sucesió ( es moóto creciete y cotd. Por lo tto es covergete. Su límite es el úmero e... Es decir que: e Ejercicio 6: Comprobr ddo vlores que l sucesió terior es moóto creciete cotd y que coverge l úmero e. Clcul 00 0 00 y 9000. Ejercicio : Se dej cer u pelot desde u ltur de metros y después de cd rebote l ltur se reduce l mitd de l terior. Escribir l sucesió de ls lturs lczds su térmio geerl rzor si crece o decrece y su tedeci (límite. Apute Prof. Mbel Chresti Mtemátic II (Lic. e dmiistrció Turismo y Hotelerí UNRN Año 0
Series Numérics Defiició Si ( es u sucesió uméric etoces INFINITA o simplemete SERIE. Los úmeros simplemete. Por lo tto u serie es l sum de los térmios de u sucesió. Series covergetes y divergetes i...... se llm SERIE so los térmios de l serie. Suele escribirse L sum de l serie puede ser u vlor fiito o ifiito. E cso de ser fiito se dice que l serie es covergete. E cmbio si l sum es ifiit l serie es divergete. Ejemplos: Se l serie... Su sum es ifiit (observr que cutos más térmios sumemos myor d l sum. Por lo tto est serie es divergete. b L serie...... es u serie covergete. Su sum es 6 (uo. Vmos probrlo. Cosideremos el cudrdo de ldo. Luego su áre es. A Dividimos el cudrdo e dos prtes igules luego el áre será: A Apute Prof. Mbel Chresti Mtemátic II (Lic. e dmiistrció Turismo y Hotelerí UNRN Año 0 6
U de ls mitdes l volvemos dividir por l mitd. Etoces podemos escribir que el áre es: A Repitiedo el proceso obteemos: A Si seguimos repitiedo el proceso obtedremos: A 6 6 Y sbemos que est sum ifiit os d uo que es el áre del cudrdo iicil. Luego L serie rmóic L serie rmóic es l serie.......est serie es divergete.. Pr sber si u serie es covergete o divergete o e cso de ser covergete cuál es su sum existe diversos métodos segú l form que teg l serie. Vmos lizr solmete u tipo de series muy utilizds llmds series geométrics. Series geométrics U serie geométric de rzó r es u serie de l form r r r r... r... co R y 0. 0 Ejemplos: L serie es u serie geométric de rzó r y. 0 L serie L serie 0 0 0 es u serie geométric de rzó r y. es u serie geométric de rzó r y. Covergeci de u serie geométric U serie geométric 0 r de rzó r diverge si r. Si 0 < r < etoces l serie coverge y su sum es: S co 0 < r < r Apute Prof. Mbel Chresti Mtemátic II (Lic. e dmiistrció Turismo y Hotelerí UNRN Año 0
E los ejemplos teriores: L serie L serie L serie 0 es divergete pues r >. Su sum es ifiit. 0 0 0 es covergete pues r <. Su sum es 6 0 0 es divergete pues r >. Su sum es ifiit. Ejercicio : lizr si ls siguietes series geométrics coverge o diverge. E cso de covergeci hllr su sum. 0 6 b 0 c 0 Ejercicio 9: hllr l distci recorrid por l pelot del Ejercicio. d 00 0 U plicció de ls series geométrics Es coocid l fórmul que os idic cómo expresr u úmero deciml periódico e form de frcció. Por ejemplo el úmero 0 es igul /9 el úmero 0 es igul /99. Ls series geométrics os proporcio u form de demostrr que esto es cierto. Vemos u ejemplo: Se el úmero 0 Podemos descompoerlo sí: 0 0 00 000 0000 00000... Escribimos cd térmio como frcció:... 0 00 000 0000 00000... 0 0 0 0 0 Scmos fctor comú :... 0 0 0 0 0 0 0 0 L expresió que está etre prétesis puede escribirse como sumtori sí: 0 0 0 Que es equivlete : 0 0 0 Itroduciedo detro de l sumtori os qued: 0 0 0 0 Que es u serie geométric e l cul y l rzó es r. 0 0 Como l rzó es meor que uo est serie es covergete por lo cul podemos hllr su sum. Etoces: 0 0 S. Luego 0 r 9 9 9 0 0 Ejercicio 0: Expresr los siguietes úmeros decimles periódicos como series geométrics y expresr sus sums como frccioes: 0... b 0... Apute Prof. Mbel Chresti Mtemátic II (Lic. e dmiistrció Turismo y Hotelerí UNRN Año 0