TRIGONOMETRÍ 4º E.S.O. Frniso Suárez Bluen
TRIGONOMETRÍ PREVIOS. Teorem de Tles (Semejnz) Si ortmos dos rets por un serie de rets prlels, los segmentos determindos en un de ells son proporionles los segmentos orrespondientes determindos en l otr. Es deir: B B B ' B' B' ' ' ' B Por lo tnto, usndo este teorem en triángulos tenemos que: B B k B ' ' B ' '. Áre de Triángulos B B seiltur ) T ) spsemiperímetro Fórmul de Herón: T ( )( )( ) spi sp sp sp.triángulos retángulos ˆB ˆ + Bˆ + ˆ 80º B ˆ + ˆ 90º ˆ 90º se llm ipotenus, se llmn tetos  Ĉ Págin
4. Teorem de Pitágors Ddo un triángulo retángulo omo el de l figur nterior, se verifi que: + Demostrión Veremos un demostrión geométri de este teorem. Pr ello podemos oservr l figur siguiente: Se tiene que el áre totl de l figur es (+) + + demás el áre del udrdo interior de ldo es Y l de los utro triángulos que se formn es se ltur 4 T 4 Por tnto se verifi que ( ) + + + + + + 5. onseuenis: n m Teorem de l ltur: Teorem del teto: min im in Demostrión Oservndo l figur nterior, podemos oservr dos triángulos retángulos, que l plir el teorem de Pitágors en mos otenemos que: + sumndo m n + + + m + n + m + n + mn m + n + min m+ n ( m+ n) m + n + mn Págin
y en el Teorem del teto: + + ( + ) m m mn m m n m n + n + mn n ( n+ m) n 6. Mediión de ángulos L mediión de ángulos puede relizrse en tres sistems diferentes: sexgesiml, entesiml y en rdines: ) Sistem Sexgesiml (DEG): Este sistem es el más onoido, y en él, un ángulo reto tiene 90. d grdo se divide en 60 minutos y d minuto en 60 segundos. ) Sistem entesiml (GRD): Esl de medid de ángulos, en l que el ángulo reto se divide en 00 prtes igules llmds grdos entesimles; y su vez, el grdo se divide en otrs 00 prtes llmds minutos, y el minuto en otrs 00, llmds segundos. ) Rdin (RD): Unidd de medid de ángulos que equivle quel que, on el vértie en el entro de un irunfereni, sostiene un ro de longitud igul l rdio. rdin (prox. 57 7 44 ) Longitud irunfereni πr Luego l irunfereni reorre π rdines, por lo tnto: 60º π rdines r r DEG RD GRD 60º π 400º 80º π 00º 90º π/ 00º Págin
RZONES TRIGONOMÉTRIS Definiión Se definen ls rzones trigonométris seno, oseno, tngente, osente, sente y otngente del ángulo omo sigue: teto opuesto ipotenus teto ontiguo os ipotenus teto opuesto tg teto ontiguo ipotenus ose teto opuesto ipotenus se teto ontiguo teto ontiguo otg teto opuesto β Propieddes Demostrión: tg os i. tg os i os. otg 4. otg tg. ose 5. se os demás deemos tener en uent por l definiión del seno y del oseno que mos, l otenerse omo división de un teto y l ipotenus, y puesto que l ipotenus de un triángulo retángulo es siempre el ldo myor, se tendrá entones que ms rzones trigonométris deen ser menores que. Teorem Fundmentl de l + os Demostrión + + os + + Por el teorem de Pitágors Págin 4
onseuenis. Tenemos que sen + os, entones omo tenemos dos ntiddes positivs (l estr elevds l udrdo) que se sumn y son igules, esto quiere deir que ms ntiddes deen ser menores o igules, es deir: sen sen os os os. L euión de un irunfereni de entro (,) y rdio r es (x-) + (y-) r x os omo tenemos que sen + os, podemos tomr y y entones otenemos l euión x + y que es l euión de un irunfereni de entro el punto (0,0) y de rdio. Luego todos los puntos de est irunfereni son soluión de di euión. Importnte En l definiión que emos eo de ls funiones trigonométris emos estdo muy restringidos, pues todos los ángulos que podemos utilizr son menores de 90º. prtir de l oservión nterior podemos mplir ests definiiones ángulos myores de 90º, de l siguiente form: IIº UDRNTE (+, -, -) 90º Iº UDRNTE (+, +, +) (sen, os, tg) sen β β 80º - os β 0º 60º os IIIº UDRNTE (-, -, +) 70º - IVº UDRNTE (-, +, -) Págin 5
Rzones Trigonométris de lgunos ángulos muy utilizdos 0º 45º 60º os tg ose se otg 45º 0º 60º 0º 0 0 90º 0 0 80º 0-0 - 70º - 0-0 Prolems de Dole Oservión β tg x tgβ x + y x y Págin 6
Reduión de ángulos l primer udrnte IIº UDRNTE 90º Iº UDRNTE 80º - 0º 60º os IIIº UDRNTE 70º - IVº UDRNTE. Ángulos Suplementrios ( +β80º): β 80º - sen β sen (80º - ) os β os (80º - ) - os. Ángulos que difieren en π : β 80º +. Ángulos opuestos: β 60º - - sen (80º + ) - os (80º + ) - os sen (- ) - os (- ) os 4.- Ángulos omplementrios ( +β90º): β π/ - sen β sen (π/ - ) os os β os (π/ - ) Págin 7
5.- Ángulos que difieren en π/ : β π/+ 6.- β 70º - π/ - 7.- β 70º + π/ + sen (π/ + ) os os (π/ + ) - sen (π/ - ) - os os (π/ - ) - sen (π/ + ) - os os (π/ + ) IIº UDRNTE 90º Iº UDRNTE 5 4 80º - 0º 60º os 6 7 IIIº UDRNTE 70º - IVº UDRNTE Págin 8
MPLIIÓN: Triángulos no retángulos Ddo ulquier triángulo se verifin los siguientes resultdos: Teorem del seno te. R sen senb sen donde R es el rdio de l irunfereni irunsrit. B Demostrión sen sen sen sen B ( I) senb sen senb senb De form nálog, tomndo l ltur, se tiene que: sen sen sen sen B ( II) senb sen senb senb Luego on ( I ) y ( II ) se tiene lo que queremos. Flt ver que es onstnte e igul R donde R es el rdio de l irunfereni irunsrit. Por medio del diujo y por lo demostrdo nteriormente podemos ver que: R sen ' sen ' Pero en un irunfereni se verifi que 90º Luego sen demás por semejnz de triángulos se tiene que. Por tnto se tiene que: B R sen R Págin 9
Teorem del oseno + - os Demostrión Por el teorem de Pitágors se tiene que: + ( x) x x/ + + x/ x + x + os x os x -x B Oservión: nálogmente pueden demostrrse ls euiones: + osb + os Págin 0