. INTRODUCCIÓN. DEFINICIONES UNIDAD : Números complejos Cuado se teta resolver ecuacoes de segudo grado como por ejemplo x 4x 0, se observa que o 4 6 5 4 6 tee solucoes reales x x, pues o exste raíces cuadradas de úmeros egatvos e el campo real. Ahora be, podemos operar co estas expresoes como s se tratara de úmeros reales, así: 4 6 4 6 ( ) 4 6 4 6 x x x x x Y se seguía operado co como s fuera u úmero real auque o lo sea. Lebz, e el sglo XVII, decía que era ua espece de afbo etre el ser y la ada. Y Euler e el sglo XVIII, el que a le do el ombre de, por magaro, o real. Así dremos que las solucoes de la ecuacó de segudo grado ateror so x Defcó: Llamamos udad magara al úmero o real y lo represetamos por. Es decr, Se tee que: 5 4 6 4 7 4 4 ( ) ( ) 8 4 4 Y así sucesvamete, co lo cual podemos calcular cualquer poteca de, dvdedo el expoete por 4 y teedo e cueta sólo el resto de la dvsó. 5 Ejemplo: Calcula. Dvdmos 5 etre 4 y os sale de cocete 58 y de resto, es decr, 5 = 4 58 +, luego: 58 ( ) 5 4 58 4 58 4 58 Defcó: Se defe el cojuto de los úmeros complejos y se represeta por a todas las expresoes de la forma a b dode a y b so úmeros reales e. Matemátcamete se expresa de la sguete forma: a b tales que a, b e La expresó a b se llama forma bómca de u úmero complejo. A a se le llama parte real del º complejo. A b se le llama parte magara del º complejo. A u úmero complejo se le suele represetar por la letra z. Así dremos z a b Ejemplo: z 5 es u úmero complejo cuya parte real es y la parte magara es -5 Defcó: Dos úmeros so guales s y sólo s tee la msma parte real y la msma parte magara, es decr, a c a b c d b d Propedad: Los úmeros reales so complejos, es decr,. Pues los úmeros reales so aquellos complejos cuya parte magara vale 0. Por ejemplo, 0 5 5 Defcó: Los úmeros complejos cuya parte magara o es ula se llama úmeros magaros. Por tato, todos los úmeros complejos so reales o magaros. Defcó: Los úmeros magaros cuya parte real es 0 se llama magaros puros. UNIDAD : Números complejos
Ejemplo: El º 5 es magaro; el º es magaro puro; el º Defcó: Dado el complejo z a b es real 7, se llama opuesto de z y se represeta por z al complejo z a b Defcó: Dado el complejo z a b, se llama cojugado de z y se represeta por z al complejo z a b 5 5 Ejemplo: Dado el complejo z, teemos que podemos poerlo como z dode vemos mejor la 8 8 8 5 5 parte real y la parte magara. Así, su opuesto es z y su cojugado es z 8 8 8 8 Propedad: Cualquer ecuacó de segudo grado co coefcetes reales que o tega solucoes reales, tee dos solucoes magaras que so úmeros complejos cojugados. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS Como sabemos a cada úmero real le correspode u puto de la recta y a cada puto de la recta le correspode u úmero real. Por eso hablamos de recta real. Para represetar los úmeros complejos hemos de pasar a u plao, el llamado plao complejo. Para ello represetamos u º complejo z a b ab,. A este puto se le llama afjo de z a b medate el puto Ejemplo: Resolver la ecuacó x x 6 0 y represetar las solucoes e el plao complejo Aplcado la fórmula de la ecuacó de segudo grado teemos que: ( ) ( ) 4()(6) 4 4 0 x 0 0 ( ) 0 5 x x 5 Así, las raíces complejas de la ecuacó so: z 5y z 5. Y su represetacó gráfca medate los afjos es: UNIDAD : Números complejos
Como vemos e el dbujo, també se suele usar u vector para represetar a los úmeros complejos e el plao. Es obvo, que los afjos de los úmeros reales se stúa e el eje real y los afjos de los úmeros magaros puros sobre el eje magaro.. OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA BINÓMICA Sea los úmeros complejos z a b y z c d, etoces defmos las operacoes: - Suma y resta de úmeros complejos z z ( a b) ( c d ) ( a c) ( b d) z z ( a b) ( c d ) ( a c) ( b d) - Producto de úmeros complejos z z ( a b) ( c d ) a c a d b c b d como z z a c a d b c b d z z a c b d a d b c Cosecueca: El producto de u º complejo por su cojugado sempre es u úmero real. Veamos porqué z z a b a b a a b b a b ( ) ( ) como z z a b - Dvsó de úmeros complejos Para dvdr complejos e forma bómca se multplca y dvde por el cojugado del deomador z a b a b c d a c a d b c b d z a c b d b c a d z c d c d c d c d z c d O be z a c b d b c a d z c d c d NOTA: Estas fórmulas o so ecesaras aprederlas, smplemete coocer cuál es el proceso UNIDAD : Números complejos
6 Ejemplo: Sea los complejos z, z y z, se pde: Ates de ada vamos a preparar los complejos para que esté e forma bómca: 6 6 z z z ; z z ( ) z z 5 z z a) 5 z 5 z z 5 z 5 z z 5 z 5 z z 5 z z z z b) 9 z z z z 6 9 9 9 z z z z 6 9 9 6 9 4 5 z z z z 9 z z z z 9 z z Para operar multplcamos por los cojugados de los deomadores y desarrollamos z z c) 9 ( ) 6 9 z z ( ) ( ) ( ) 6 6 z 9 z ( ) ( ) ( ) 9 4 4 z z 48 6 48 6 90 70 6 6 6 z 45 z 45 45 45 4 z z 84 z z 84 z z 74 6 z z 45 z z 45 45 z z 5 5 4 UNIDAD : Números complejos
4. FORMA TRIGONOMÉTRICA Y FORMA POLAR DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS Módulo y argumeto de u º complejo Sea z a b u úmero complejo cualquera. Llamaremos módulo del úmero complejo z, al úmero real dado por a b y lo deotaremos por z. El módulo se terpreta como la dstaca al orge del afjo del úmero z z a b Por otra parte, llamaremos argumeto del úmero complejo z a b, al águlo compreddo etre el eje real postvo y el afjo que determa a z. El argumeto de z se deota por arg( z ) y se calcula medate la expresó: b arg( z) arctg. Hay que teer e cueta e que cuadrate se ecuetra z para calcular el argumeto a FORMA POLAR Defcó: Dado u complejo z que tee por módulo r z y por argumeto arg( z), se llama forma polar del complejo z a la expresó z NOTA: No tee setdo poer el úmero 0 e forma polar r Ejemplos: Pasar a forma polar los sguetes complejos. Para ello calculamos el módulo y el argumeto de cada complejo a) z Módulo: Argumeto: r z 4 r k arg( z) arctg co k 4 k. 5 UNIDAD : Números complejos
Este complejo tee su afjo e el prmer cuadrate como fáclmete se puede observar, por tato, de todas las solucoes posbles os quedamos co el águlo que está e el prmer cuadrate y es el más smple, pues los demás se obtee de añadr vueltas. Por tato, b) z55 Operamos de forma aáloga z Módulo: r z 5 5 50 r 5 k 5 4 Argumeto: arg( z) arctg arctg( ) co k. 5 7 k 4 Este complejo tee su afjo e el cuarto cuadrate como fáclmete se puede observar, por tato, de todas las solucoes posbles os quedamos co el águlo que está e el cuarto cuadrate y es el más smple, pues los demás 7 se obtee de añadr vueltas. 4 Por tato, c) z Módulo: r z 0 4 r 7 4 z 5 5 5 Argumeto: E este caso el complejo esta e el eje magaro egatvo, luego arg( z) arctg. 0 el argumeto es 70º Por tato, z FORMA TRIGONOMÉTRICA S volvemos al gráfco ateror, es fácl observar por las defcoes trgoométrcas que: 6 UNIDAD : Números complejos
a b cos a r cos se b r se r r Por lo que s teemos u complejo z a b, lo podemos expresar e fucó de su módulo y su argumeto susttuyedo como: z r cos r se Sacamos factor comú r y poemos delate del seo z r cos se que es lo que se cooce como forma trgoométrca de u úmero complejo Esta forma os va a permtr obteer la forma bómca de u complejo que vega dado e forma polar o forma trgoométrca. E realdad la forma polar y la forma trgoométrca so lo msmo pero expresado de maeras dsttas. Ejemplo: Pasa a forma bómca el complejo z 55º 5 5 z 55º 5 cos 5º se5º z 5 z Ejemplo: Pasa a forma bómca el complejo z cos se z 0 z z 5. OPERACIONES CON COMPLEJOS EN FORMA POLAR O TRIGONOMÉTRICA Los úmeros complejos e forma polar o trgoométrca so muy útles cuado teemos que hacer productos, potecas o dvsoes. Para las sumas y restas se usa e forma bómca. Propedad: Sea z y z dos úmeros complejos e forma polar. Etoces se tee que: r O e su forma trgoométrca: z z r z z r r rr r cos se r cos se r r cos ( ) se ( ) Ejemplo: S z 0º y 795º Propedad: Sea z O e su forma trgoométrca: Ejemplo: S 0º Propedad: Sea z z, etoces z z 7 7 4 0º 95º 0º 95º 5º r u úmero complejo e forma polar. Etoces se tee que: z r r z r cos se r cos ( ) se ( ) z z, etoces 5 r O e su forma trgoométrca: 5 5 5 0ºº 50º 0º y z dos úmeros complejos e forma polar. Etoces se tee que: z z r z r r z r r cos se r r cos ( ) se ( ) r cos se r 7 UNIDAD : Números complejos
Ejemplo: S z 0º y z 475º, etoces z 0º cos 5º se5º 4 4 4 4 z 0º 75º 45º 5º 75º y hemos dado e este ejemplo el resultado e forma bómca Fórmula de Movre Se cumple que cos se cos ( ) se ( ) Que os puede permtr calcular cos ( ) y se ( ) e fucó de cos y de se NOTA: FORMA EXPONENCIAL DE UN NÚMERO COMPLEJO Hay otra forma de represetar los complejos llamada forma expoecal, que se obtee a partr de la fórmula de Euler. La fórmula de Euler os dce que: e cos s z r r cos s r e que so sus forma polar, A partr de ella es fácl deducr que u complejo trgoométrca y expoecal. Ua cosecueca de esta forma es la gualdad: e 0 que como vemos relacoa los úmeros más sgfcatvos de las matemátcas coocdos hasta ahora. 6. RADICACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS Vamos a ver como se calcula raíces -ésmas de úmeros complejos y també probaremos que cualquer complejo, salvo el 0, tee raíces -ésmas. Para hacer raíces sempre ecestaremos teer el úmero complejo e forma polar, por tato partmos de u complejo z r. Esta es la forma reducda de expresar al complejo, pero el argumeto puede ser el águlo k co k o be k 60º co k, pues se dfereca de e u º etero de vueltas. Cosderemos por tato el complejo de esta forma z r( k (se puede poer e radaes s se quere) 60º) Se trata de calcular la raíz -ésma de Se tee que cumplr que: w r k z r ( 60º) ( k 60º) S cosderamos w R teemos que calcular R y Es decr, ecotrar R ( k 60º) R R r S gualamos módulos y argumetos teemos que: k 60º w z w r ( k 60º) r R r ( k 60º) r 60º co k R r k 60º co k que so las posbles raíces del complejo z r Aparetemete tee ftas solucoes, pero esto o es así pues a partr de que k lo que hacemos es dar vueltas respecto a las solucoes aportadas por los valores de k 0,,...,. Por ejemplo para k sale la msma raíz solucó que para k 0. Para k sale la msma que para k k 8 UNIDAD : Números complejos
Por tato, podemos coclur que las raíces -ésmas de z r z so los complejos w R tales que: R r k 60º co k 0,,,..., - Ejemplo: Calcula las raíces cuadradas de Se trata de calcular, que va a teer dos raíces, w y w Pasamos el complejo a forma polar, lo cual es fácl: 90º (e este caso teemos Las solucoes vedrá dadas por: Para k 0 r 90º R R 90º k 60º co k 0, co k 0, 45º k 80º ) R 45º w se 45º w cos 45º 45º w Para k R R 45º 80º 5º w se 5º w cos 5º 5º w Ejemplo: Calcula las raíces cúbcas de -8 y represetarlas gráfcamete w w Se trata de calcular 8, que va a teer tres raíces,, y Pasamos z 8a forma polar, calculado su módulo y argumeto: r r r ( 8) 0 64 8 0 0º (o váldo pues -8 está e el eje real egatvo) arctg( ) arctg(0) 80º 8 80º Por tato 8 8 80º (e este caso teemos r 8 ) 80º Las solucoes vedrá dadas por: Para k 0 R 8 R 80º k 60º co k 0,, co k 0,, 60º k 0º w R 60º w se 60º w cos60º 60º w 9 w UNIDAD : Números complejos
Para k R R 60º 0º 80º w w se w 80º cos80º 80º Para k R w 60º 00º w cos00º se00º w 0º Represetemos ahora las solucoes: w 0 UNIDAD : Números complejos