Límite de una funión Matemátia 4º Año Cód. 465 P r o f. S i l v i a A m i o z z i P r o f. S i l v i a B e l l e t t i Dpto. de Matemátia
LIMITE FINITO IDEA INTUITIVA DE LÍMITE: Presentamos algunas funiones on las que nos proponemos investigar qué suede on las imágenes que asume la funión para valores del dominio eranos a. Es deir, nos interesa onoer el omportamiento de f() uando se aproima a tanto omo se quiera. f () = + f() (Observa que f() ) Dom f R Dom f R,9,99,999,9999,,,, f(),9,99,999,9999,,,,,9,99,999,9999,,,, f(),9,99,999,9999,,,, si f () 5 si 5 Dom f R,9,99,999,9999,,,, f(),9,99,999,9999 5,,,, P O L I T E C N I C O
En los tres asos analizados podemos observar gráfiamente o mediante las respetivas tablas de valores, que uando toma valores próimos a las imágenes se aproiman a, independientemente de lo que sueda on ada funión en ese punto. Para referirnos a este omportamiento deimos que es el ite de f() uando se aproima o tiende a, lo indiamos: f() Esto signifia que uando está sufiientemente era (pero es distinto) de, las imágenes están sufiientemente era de. En general, dada una funión f() ualquiera un número diremos que: El ite de f(), uando tiende a, es el número L si los valores de f () se aproiman a L tanto omo se desee uando los valores de están sufiientemente próimos a. El número L reibe el nombre de ite finito. En símbolos se india: f() L Ejeriio propuesto ) Evalúa gráfiamente el ite de f () para los valores de que se indian: 4 C C C El ite de una funión en un punto aporta informaión aera del omportamiento de la misma en las proimidades de diho punto a) f() b) f() ) f() Analiemos otros ejemplos: Sea: () f 4 si si Dom f 4 R o P O L I T E C N I C O
Observemos el omportamiento de la funión para valores próimos a =. Vemos que las imágenes se aproiman a uando tiende a onsiderando valores maores que él (deimos que se aproima a por dereha lo indiamos ); en ambio, si tiende a mediante valores menores (se aproima a por izquierda: ) las imágenes tienden a. Cada uno de los omportamientos anteriores se epresa mediante los llamados ites laterales se indian: f () 4 f () 4 Los ites laterales ilustran el omportamiento de la funión a ada lado del valor de análisis En general deimos que: El ite lateral izquierdo de f () uando tiende a es el número L, si los valores de f() se aproiman a L tanto omo se desee uando se aera sufiientemente a mediante valores menores que. Lo representamos: f() L El ite lateral dereho de f () uando tiende a es el número L, si los valores de f() se aproiman a L tanto omo se desee uando se aera sufiientemente a mediante valores maores que. Lo representamos: f() L Volviendo al ejemplo anterior, qué puedes deir del f 4 ()?... Qué relaión intues entre el ite de una funión en un punto los ites laterales de diha funión en el mismo punto?... Conluimos entones que: El ite de una funión en un punto eiste si solo sí los dos ites laterales eisten son iguales. P O L I T E C N I C O
Sea f 5 () Domf 5 R Para esta funión, a medida que onsideramos valores próimos a por dereha o izquierda las imágenes no se aeran a ningún valor determinado, sino que reen sin tope. Deimos entones que la funión tiene en = un omportamiento no aotado, por supuesto, no tiene ite finito. Este omportamiento será objeto de estudio más adelante. Observaión: El ite finito de una funión en un punto puede eistir o no, independientemente de que la funión esté o no definida en el punto. Ejeriios propuestos ) Determina el valor de ada ite indiado : 4 5 4 o 4 5 a) f() d) b) f() ) f() f() e) f() f) f() g) f() h) f() i) f() 5 j) f() 4 P O L I T E C N I C O 4
) Representa la funión indiada ompleta: si f() = si si a) f()= b) f() ) f() d) f() e) f() f) f()= g) f() h) f() i) f() 4 j) f() 4) Representa gráfiamente una funión que umpla, en forma simultánea, on las ondiiones indiadas en ada apartado a) Dom f b) Dom f 5 ; 5 f() f() f() f() f() f() f(5) 5 f() f() 5 f() f(5) f() 5) Coloa Verdadero o Falso justifiando tu respuesta: a) Si f() L g() L b) Si eiste f(),eiste f(). ) Si f(5), entones f() 5 d) Si Ζ,. resulta f() g() Para tener en uenta: Si bien es posible estimar el ite de una funión en un punto a través de un gráfio o de una tabla de valores, no podemos tener la erteza de que diho valor sea realmente el ite que deseamos alular. Para tener seguridad en el álulo de un ite es neesario utilizar definiiones o propiedades que den validez al resultado obtenido. P O L I T E C N I C O 5
LÍMITES POR SUSTITUCIÓN DIRECTA: Para las siguientes funiones a partir del análisis de su omportamiento, admitimos que el ite de la funión para se obtiene por sustituión direta. Es deir: f () f () Funión onstante. Funión identidad f()=k k f()= k k f()=sen Funión seno f()=os Funión oseno sen sen sen os os os f () = a on a > a Funión eponenial a f () = a on < a < loga f () = log a on a > Funión logarítmia loga f () = log a on < a < a a log a log a (>) Funión raíz enésima Ej: f () = n n ( nn, si n es impar si n es par) P O L I T E C N I C O 6
Ejeriio propuesto 6) Resuelve los siguientes ites por sustituión direta: a) sen ) 5 e) e g) log b) d) os f) 7 h) o TEOREMAS SOBRE LIMITES Sean k, f g funiones que tengan ite siguientes propiedades ) Si eiste, el ite de una funión para es únio. ) f () g() ) f () g() 4) f (). g() f () f () f (). g() g() g() f () f () 5) ; siempre que g () g () g() 6) ( k.f ()) k. f () para, entones son iertas las Ejemplos resueltos ) Demostraremos que el ite de una funión polinómia p() uando es el valor de la funión en. Es deir, p() p() Resoluión: Antes de omenzar, resultará mu útil demostrar que si n N n > se umple que n n n n............... n fatores Límite de un produto Límite de la funión n fatores identidad Consideremos ahora la funión polinómia p() an. an.... a. a n n P O L I T E C N I C O 7
n n an. an.... a. a p() Límite de la suma de funiones n n an. an.... a. a Límite de una onstante por una funión n an. an.... a. a n Límite de n Límite de la onstante an. an.... a. a p() n n Ejemplo: 7 4. 7. 4 7 4 5 ) Demostraremos ahora que si r() r() r() r() p() q() p() q() p() es una funión raional on q() entones q() p() q() r() Reuerda: Una funión raional es aquella ua le es una división de polinomios Límite de un oiente Limites de funiones polinómias Ejemplo: 5 8. 5. 8 7 Observaión: Todos los teoremas enuniados son válidos también para ites laterales Ejeriios propuestos f().g().g() 7) Si f() 8 g() resulta. Es ierta esta afirmaión? f() g() Justifia tu respuesta. 8) Resuelve los siguientes ites: 4 π a) ln 4 ).os 4 4 4 si b) d) f (), siendo f ().e si P O L I T E C N I C O 8
h si 9) Determina el valor de h de modo que eista el f() si f(). 4 h si Representa gráfiamente esta funión orrobora la eistenia del ite pedido. 5 a 4 ) Determina el valor de a para que 4 a LÍMITE DE LA FUNCIÓN COMPUESTA: Analiemos algunos ejemplos: Reuerda: (fog)() = f[g()] ) Dadas las funiones g() 5 f (), definimos (fog)() 5. Queremos hallar 5. Para alular este ite podemos seguir el siguiente razonamiento: Cuando, (5) Por lo tanto : 5 (5 ) Cuando (5), 5 ) Si onsideramos ahora las funiones g() f () Con un razonamiento análogo al anterior podemos alular el ( ) resulta (fog) (). ( ) ( ) ( ) Por lo tanto : ( ) Cuando, resulta ( ) Cuando ( ), Estos ejemplos ilustran el siguiente teorema: Si f g son funiones tales que resulta f g() f g() g() f (L) L f () L f (L), Reuerda: Todos los teoremas enuniados son válidos también para ites laterales P O L I T E C N I C O 9
Ejeriio propuesto ) Calula los siguientes ites: 4 a) ) log a a sen 4 a b) os π d) π TEOREMA DE INTERCALACIÓN: Sean f (), g () h () funiones que satisfaen f () g() h() (eepto quizás en ), si f () h () L g() L erano a h() L f() g() Desde el punto de vista geométrio el teorema es intuitivamente ierto. En la representaión de la izquierda observamos que si f() < g() < h() para todo erano a, entones la gráfia de g se enuentra entre las gráfias de f h en ese intervalo. Por lo tanto si f h tienen el mismo ite L uando tiende a, es evidente que g también tiene el ite L. COROLARIO: Si las imágenes de dos funiones oiniden en las inmediaiones de un punto (salvo quizás en ) entones los ites de ambas para oiniden. INDETERMINACIONES DEL TIPO Hemos resuelto ites por sustituión direta apliando los teoremas anteriores. Sin embargo, algunos ites de oientes de funiones no pueden resolverse por este medio debido a que el ite del divisor es. P O L I T E C N I C O
En partiular resulta de interés analizar ites de oientes de funiones uos respetivos ites son nulos, o sea, ites de la forma. Consideremos por ejemplo: a) b) ) Estos ites no pueden alularse por sustituión direta, pero es posible enontrar funiones que ompartan las mismas imágenes que las funiones dadas (que es el valor de análisis) que, por el orolario del teorema de interalaión, nos permitan alular el ite de otra manera. Resulta entones: a) f ( ) b) g ( ) ) = ( la funión presenta un omportamiento no aotado alrededor de ) h() Observemos que no es posible asegurar a priori qué suede on un ite que presenta la forma, por eso deimos que es una forma indeterminada. P O L I T E C N I C O
UN LÍMITE INDETERMINADO DE LA FORMA DE ESPECIAL INTERÉS: sen Para analizar el omportamiento de esta funión alrededor de =, presentamos su gráfia: De ella deduimos que: sen. Analítiamente es posible demostrar este ite apliando el teorema de interalaión: Demostraión: p q En una irunferenia trigonométria (de radio ) onsideremos un ángulo positivo de radianes. Como nos interesa podemos suponer que < <. o m r Observemos los segmentos mp rq que quedaron determinados en la figura. Es inmediato que: mp medida aro pr rq () Considerando valores de próimos a que la irunferenia es trigonométria, resultan equivalentes: la medida del ángulo (en radianes) la medida del aro pr la medida del segmento mp sen la medida del segmento rq tg Reuerda: long.aro (en radianes) radio P O L I T E C N I C O
Reemplazando en () nos queda: sen < < tg Si > resulta sen > al dividir ada miembro de la desigualdad anterior por sen obtenemos: sen os sen O tomando los reíproos: os () Observemos que las funiones involuradas en () son funiones pares. En efeto: p os () = os sen ( ) sen sen = = ( ) ( ) o m r Entones la epresión () es válida aún uando < <. En resumen, es posible afirmar que para todo próimo a se umple: s os sen Además: os. Por lo tanto, por el teorema de interalaión resulta: sen En la representaión, puede observarse ómo la sen gráfia de se halla omprendida entre las gráfias de os para valores sufiientemente próimos a =. Conoer este ite nos permitirá resolver otros, omo veremos más adelante. P O L I T E C N I C O
Ejeriio propuesto ) Verifia las siguientes igualdades:.sen a) sen b) ) sen OTRAS INDETERMINACIONES DEL TIPO En la prátia es posible salvar algunas indeterminaiones del tipo a través de la apliaión del orolario del teorema de interalaión. Es deir, es posible analizar un ite indeterminado ambiando la le de la funión por otra equivalente en todos los valores alrededor del punto de estudio uo ite no presente la indeterminaión. Para esto eisten algunos reursos matemátios. Presentamos los asos más usuales: I) para ite de oiente de polinomios: Para salvar estas indeterminaiones, se fatorean los polinomios se simplia omo muestra el ejemplo: ( ).( ) ( ).( ) Ejeriio propuesto: ) Calula los siguientes ites: a) 4 6 8 b) 4 II) para ite de oiente de funiones ua le presente (una de ellas o ambas) una suma o diferenia donde al menos haa una raíz uadrada Reordando que: (a+b). (ab) = a b, se multiplia divide el oiente por la epresión onjugada de aquella que ontiene la raíz: Ejemplo resuelto:. ( ) ( ). ( ). P O L I T E C N I C O 4
Ejeriio propuesto 4) Calula los siguientes ites: 4 4 a) b) 4 III) para algunos oientes de funiones trigonométrias: Algunos ites on estas araterístias pueden resolverse sabiendo que sen efetuando algunas transformaiones: Ejemplos resueltos: sen (). sen () sen () sen () )..... ) sen( ) ( ) sen( ) ( ) Ejeriio propuesto 5) Calula los siguientes ites: sen() a) 7 b) os tg ) IV) para ites on valor absoluto: Para salvar estas indeterminaiones, utilizaremos la definiión de valor absoluto, omo se india en los ejemplos: ) 4 De auerdo a la definiión de valor absoluto se tiene que ( ) si si Así para valores de maores que la epresión se puede sustituir por ( ), para valores menores que se sustitue por ( ). Por lo tanto se hae neesario alular P O L I T E C N I C O 5
por separado los ites uando laterales: uando, es deir alulamos los ites ( ) 4 ( ). ( ) ( ) 4 ( ) 4 ( ). ( ) ( ) 4 Como los ites laterales son diferentes, entones el 4 no eiste. Gráfiamente pueden observarse las diferentes tendenias de la funión uando tomamos valores, por dereha por izquierda, sufiientemente eranos a. ¼ ¼ f() 4 Ejeriios propuestos: 6) Verifia que: a) 4 4 4 5 = b) 5 5 ) 7) Calula los siguientes ites: 7 a) 4 b) tg () ) 6 d ) e) sen (5) 4 f) 6 g) sen () h) sen () 4 8 i) 5 j) sen 8 8 k) 9 sen ( 5) l) 5 P O L I T E C N I C O 6
8) Considera la funión + si f() 5 si Eiste f()? Justifia tu respuesta. LÍMITES INFINITOS: Observemos las siguientes funiones evaluemos f() en ada aso: f 6 () ; = f 6 Dom R f() ree sin tope La funión no tiene ite finito para. Cuando toma valores ada vez más próimos a, la funión tiende a tomar valores positivos ada vez maores (ree sin tope). Es deir: f () uando. Para indiar este omportamiento diremos que: ( ( ( ) ) ) f7 () ; = Dom R f 7 ( ( ( ) ) ) En este aso tampoo eiste ite finito para, f toma valores ada vez menores (deree sin tope) para valores sufiientemente próimos a. Es deir: f () uando Indiaremos entones que: f () deree sin tope P O L I T E C N I C O 7
f 8 () ; = f 8 Dom R ( ( ( ) ) ) f () ree sin tope La funión no tiene ite finito para. Observemos que f() ree sin tope uando deree sin tope uando. No podemos indiar un únio omportamiento de la funión para, es deir, no podemos indiar un resultado para. f () deree sin tope Sin embargo, es razonable araterizar estas tendenias a través de ites laterales Diremos que: f() f() Observaiones : uando f() uando f() Los ites infinitos indian el omportamiento no aotado de una funión. El símbolo (infinito) india una tendenia no representa ningún número real. f() f() ASÍNTOTAS VERTICALES: El omportamiento de las funiones f 6, f 7 f 8 alrededor del valor de estudio, puede interpretarse geométriamente diiendo que los puntos de la gráfia de la funión se aeran a la reta =, tanto omo se quiera, uando está lo sufiientemente era de. La reta = reibe el nombre de asíntota vertial del gráfio de f. Para las funiones analizadas resulta: * = es asíntota vertial de * = es asíntota vertial de * = es asíntota vertial de f 6 () f () () 7 f 8 P O L I T E C N I C O 8
Presentamos otros ejemplos: f() f() La funión tiene dos asíntotas vertiales: = = f () La funión tiene una asíntota vertial: = f () La funión tiene una asíntota vertial : = En general diremos que la reta = es una asíntota vertial de la gráfia de una funión f (), si al menos uno de los siguientes ites es ierto: * f () * f () * f () * f () LÍMITES EN EL INFINITO: Consideremos la funión: f 9 () deree sin tope Dom f R {} ree sin tope P O L I T E C N I C O 9
Observamos que uando toma valores ada vez más grandes, las imágenes se aproiman ada vez más a. Para indiar este omportamiento esribimos: f () 9 Con un análisis similar resulta: f () 9 Cuando esribimos estamos diiendo que está reiendo indefinidamente, no que tiende a algún valor partiular mu grande. Análogamente india que deree indefinidamente. ASÍNTOTAS HORIZONTALES: Geométriamente los ites anteriores indian que los puntos de la gráfia de la funión se aeran tanto omo se quiera a la reta = uando ree o deree sin tope. Esta reta reibe el nombre de asíntota horizontal del gráfio de la funión. Presentamos otros ejemplos: f() 4 f() f() f() f() La funión tiene una asíntota horizontal en = 4 La funión tiene una asíntota horizontal en = La funión tiene asíntotas horizontales en = en = En general deimos que la reta = b es una asíntota horizontal del gráfio de una funión f (), si al menos uno de los siguientes ites es ierto: f() b ó f() b P O L I T E C N I C O
Ejeriios propuestos 9) Analiza: Cuántas asíntotas horizontales puede tener una funión? Cuántas vertiales? Justifia. ) Representa gráfiamente una funión que umpla simultáneamente on las siguientes ondiiones: Dom f = f() X = es una asíntota horizontal f() f() = es una asíntota vertial f() ) Determina, en ada aso, si la proposiión es verdadera o falsa justifiando tu respuesta: a) f () 5 f() 5 Dom f b) f () f() es impar, entones f () f () 4 ) f() es par f () 4 d) Si la funión está definida en R entones no tiene asíntotas vertiales. LÍMITES INFINITOS EN EL INFINITO: Finalmente, analizamos las funiones: f () f () = + + + + Observemos que f ree sin tope uando ree o deree sin tope. Indiamos este omportamiento así: f() f() En este aso, f ree sin tope uando ree sin tope f deree sin tope uando deree sin tope. Esribimos entones: f() f() P O L I T E C N I C O
Ejeriio propuesto: ) Dada una funión f(), ómo interpretas la epresión f ( )? Dibuja una funión que ilustre este omportamiento. EXTENSIONES DE LOS TEOREMAS SOBRE LÍMITES: Las propiedades algebraias estudiadas para ites finitos (ite de la suma, diferenia, produto oiente de funiones ite de la funión ompuesta) pueden etenderse a ites infinitos. Para ello damos sentido a las siguientes operaiones que involuran al símbolo que apareerán asoiadas al álulo de estos ites: Dado R resulta: * ( ) * ( ) * ( ) ( ) * ( ) ( ) * ( ) ( ) * ( ) ( ) * si. ( ) * si. ( ) si si * ( ). ( ) * ( ). ( ) * ( ). ( ) ( ). ( ) * ( ) ( ) * ( ) si si * ( ) si si * (el signo del resultado depende de los ites involurados) * : (el signo del resultado depende de los ites involurados) P O L I T E C N I C O
Atenión: No hemos definido las siguientes operaiones: * (+ ) (+ ) * ( ) ( ) *. ( ) * * ( ) ( ) Cuando se planteen estas situaiones diremos que se trata de un aso indeterminado Ejemplos resueltos ) Como la epresión ( ) puede aproimarse a ero a través de valores positivos o a través de valores negativos, estudiamos los ites laterales: 4 + 4 Como los ites laterales son diferentes deimos que no eiste. ) 5 Como resulta 5, por lo tanto: 5 + ) 7 + Como resulta, por lo tanto 7 7 P O L I T E C N I C O
Ejeriios propuestos: ) Resuelve los siguientes ites: a) b) log tg d) e) 6 ln ) 6 f) 5 INDETERMINACIONES CON LÍMITES INFINITOS Y EN EL INFINITO: De manera similar a lo trabajado on ites finitos, uando se presenta una indeterminaión on ites infinitos o en el infinito, tenemos que transformar la epresión de modo tal que desapareza esa indeterminaión Mostramos sólo algunos reursos para salvar las indeterminaiones a través del álgebra. I) En muhas situaiones basta on efetuar las operaiones indiadas, tal omo lo mostramos en los siguiente ejemplos: ) ( ).( ) ( ) ) + + + + + + + II) En indeterminaiones on funiones polinómias saamos omo fator omún la variable elevada al grado del polinomio, tal omo lo podemos observar en los siguientes ejemplos: P O L I T E C N I C O 4
) + ( 4 ) 4 4 + 5 5.. ) 5 5 5. + ) + (*).. 9 9 +. Como, (*) es 9. + 9.. III) En los asos en que apareen sumas o restas on al menos una raíz uadrada, multipliamos dividimos por la epresión onjugada. + + + Ejeriios propuestos P O L I T E C N I C O 5
4) Calula los siguientes ites: a) 4 e) 7 5 4 6 b) 9 f) 4 8 5 4 5 ) 8 5 4 6 d) 5 g) h) 5) Sean los polinomios: p()=a n n + a n n +... + a + a o q()=b m m + b m m +... + b +b o p() p() Analiza el resultado de para ada uno de los siguientes asos: q() q() a) grado p() > grado q() b) grado p() < grado q() ) grado p() = grado q() Elabora una onlusión para el álulo de estos ites. 6) Determina, si eisten, las asíntotas vertiales horizontales de las siguientes funiones: a) f 5 6 + 6 b) f e) f 4 d) f4 artg 5 ) f A modo de ejemplo, resolvemos el apartado a) f) f6 * Asíntotas vertiales: Para que la funión tenga una asíntota vertial en = tiene que ourrir que alguno de los ites laterales uando sea infinito. Entones, para una funión ua le involura un oiente, los andidatos a asíntotas vertiales son aquellos valores que anulan el divisor. En este ejemplo = =. Evaluamos los ites laterales en ada valor: P O L I T E C N I C O 6
5 6 ( ).( ) es asíntota vertial de f() + 5 5 6 ( ).( ) es asíntota vertial de f() + Observemos que si uno de los ites laterales a me permite enontrar la asíntota, no es neesario evaluar el otro. * Asíntotas horizontales: La reta = a es una asíntota horizontal de la funión f si es el ite de f uando es a. Luego, para determinar la o las asíntotas horizontales de la funión evaluamos los ites en infinito de la misma. Es neesario evaluar los dos ites: para + para. En nuestro ejemplo f es una funión raional donde el grado del polinomio del divisor es maor que el del dividendo, por lo tanto: 5 6 es asíntota horizontal de f() 5 6 es asíntota horizontal de f() Conluimos entones que la funión tiene dos asíntotas vertiales: = = una asíntota horizontal: =. 7) Determina los valores de a b de modo que la gráfia de la funión f al punto p(;) tenga una asíntota en =. a ontenga b 8) Considera nuevamente la funión dada en el ejeriio anterior determina uáles deben ser los valores de a b para que la funión tenga por asíntotas las retas = e = 4. P O L I T E C N I C O 7
MISCELÁNEA ) Representa una funión que umpla on las ondiiones pedidas en ada apartado: a) f() f() Dom f b) f() L Dom f ) f() L, Dom L f() d) f() Dom f e) f() Dom f f ) Representa la funión indiada en ada aso ompleta: si f() = si si a) () b) f() ) f() d) f() e) f() f) f()= g) f() 4 h) f() i) f(),5 j) f(),999 ) Dada f()= si si si 4, eiste f()? Justifia. 4) Halla el valor de a para que eista el f() si a f() si si 5) Determina los oefiientes a b de la funión de modo que eista f() Dom f, siendo: a b a) f () a si si b) f () b a si si si P O L I T E C N I C O 8
6) Calula los números reales a b (on b ) que verifian simultáneamente las siguientes ondiiones: 5 5 f() a g() b 5 5 f() g() 5 f() 7 g() 7) Sean f g funiones tales que f () g() próimo a (eepto quizás en ). Sabiendo que g(), alula f(). 8) Calula los siguientes ites: 5 6 a) b) h e) sen f) g) h. h h ) 6 d) 4 tg 4 7 b h) b b sen 6 i) sen 4 b j) k ) ln sen l ) 6 6 m) n) 4 4 tg () sen (6) 9) Verifia las siguientes igualdades: a) b) ) d) e) f) 4 tg sen 4 4 g) h) i). tg sen 5 j) 6 k). ose l) sen os.sen log 6 6 7 6 7 P O L I T E C N I C O 9
) En ada apartado, determina el valor de a que satisfae la igualdad: a a) a b) a a ) a a sen d) (a ). a e) a f) a a a. a g) a tg ( a) h) os( a). ( a) a ) Representa gráfiamente una funión que umpla simultáneamente on las ondiiones estableidas para ada apartado: a) Dom f = f() f() f() = 4 es una asíntota de f() b) f() f() f() f() 4 ) f() f es par = e = son asíntotas de la funión ) Halla gráfiamente, si eisten, el o los valores de para los uales al menos uno de los ites laterales para es. a) f() ln b ) f() ) f() si si ) a) Representa gráfiamente la funión f() log ( ) si si si P O L I T E C N I C O
b) Calula: i) lìm f() v) f() i) f() ii) f() vi) f() ) f() iii) f() vii) f() i) f() ) Si eisten, india las euaiones de las asíntotas de f(). iv) f() viii) f() ii) f() 9 4) Siendo f() = + g() = alula: a) b) ) d) e) f) g) h) i).f() f() g() g() f() f() g() g() g().log f() g() f() g() f() g() f j) k) l) m) n) o) p) q) f() g() f() g() g() f() g() f() f() g() g() f() f() g() g() f() 5) Calula los siguientes ites: a) 5 5 5 b) 4 6 4 8 5 ) 8 9 7 7 4 5 d) 4 4 e). f) g) e) 5 6 P O L I T E C N I C O
6) India si las siguientes afirmaiones son verdaderas o falsas. Justifia tu respuesta. a) f g puede eistir el f g a a b) Si f 9 f5 9 5 ) Si f(5) 9 f 9 5 d) Si ( ) Dom f e) Si f f ( ) Dom f f) f() = g() f() g( ) g) Si f f 4 h) Si f f( ) f() i) Si f j) Si f() g() f g() k) l) Una funión puede tener varias asíntotas vertiales. m) Una funión puede tener sólo una asíntota horizontal. a n) Una funión puede ortar a alguna de sus asíntotas vertiales. o) Una funión puede ortar a alguna de sus asíntotas horizontales. 7) Analiza los siguientes ites e india, en ada aso, si el resultado es orreto. Justifia tu respuesta. Datos: f, g k, h(), k, a) f() g() K d) g(). f() g() b) e) f() h() h() f() f() ) f) h() g() P O L I T E C N I C O
BIBLIOGRAFÍA: * MATEMÁTICA II N. Bushiazzo, E. Fongi, M. Inés González, L. Lagrea Editorial Santillana (Ediión ) * PRECÁLCULO. MATEMÁTICAS PARA EL CÁLCULO James Stewart, Lothar Redlin, Saleen Watson Editorial Cengage Learning / Thomson Internaional. (Ediión 7) * CÁLCULO. TRASCENDENTES TEMPRANAS. Cuarta Ediión James Stewart Editorial Cengage Learning / Thomson Internaional. (Ediión ) * MATEMÁTICA POLIMODAL. ANÁLISIS S. V. Altman, C. R. Comparatore, L. E. Kurzrok Editorial Longseller (Ediión ) * HISTORIA Y FILOSOFÍA DE LAS MATEMÁTICAS (Capítulo XV: El Cálulo Infinitesimal.) Angel Ruiz Zúñiga Editorial: EUNED * CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Novena Ediión Edwin Joseph Purell, Edwin Joseph Purell Dale Varberg Editorial Pearson Eduaión (Ediión 7) * MATEMÁTICA. MÓDULO. FUNCIONES, LÍMITE Y CONTINUIDAD Marta Bonaina Editorial UNR * APUNTE LÍMITE DE FUNCIONES Pablo Lotito IPS (UNR) Las Autoras epresan su agradeimiento a la Prof. Patriia Godino por su olaboraión en la revisión de este apunte P O L I T E C N I C O