TEMA 6: INTEGRAL DEFINIDA. 6.1 Integrl efini omo límite e sums superiores o inferiores. 6. Propiees e l integrl efini. 6. Regl e Brrow. 6.4 Apliiones e l integrl efini (Áre). 6.1 Integrl efini. Se f un funión ontinu y positiv, en el intervlo [, ]. Se llm trpeio mitilíneo l región pln limit por: ) L gráfi e l funión y = f() ) El eje e siss (ret y = ) ) Ls orens en y (rets =, = ) Poemos enotrlo por R = R(f;, ) = { (, y) /, y f()} Nos proponemos lulr A = áre R(f;, ) que llmremos integrl efini e f entre y. Consieremos un prtiión el intervlo [,] que es un suonjunto oreno y finito e números reles, P n = {, 1,,..., n } on = y n =, otenieno los intervlos: [, 1 ], [ 1, ],... [ n-1, n ]. Por el teorem e Weierstrss, f lnz máimo en intervlo, otenieno: y O Poemos lulr l sum e ls áres e los retángulos superiores que es un proimión por eeso el áre R(f;, ): S(f, P n ) = ( 1 - ) M 1 + ( - 1 ) M +... + ( n - n-1 ) M n = n i1 ( i - i-1 ) M i Análogmente, por el teorem e Weierstrss, f lnz mínimo en intervlo y otenemos: y O 1
Poemos lulr l sum e ls áres e los retángulos inferiores, que es un proimión por efeto el áre R(f;, ): I(f, P n ) = ( 1 - ) m 1 + ( - 1 ) m +... + ( n - n-1 ) m n = n i1 ( i - i-1 ) m i NOTA: L prtiión P es más fin que P si P P. Cuánto más fin se l prtiión, más nos proimmos l áre e R(f;, ), es eir: lim n I(f, P n ) = lim n S(f, P n ) = Áre R(f;, ) Se f ontinu y positiv en el intervlo [,] se efine l integrl efini e f (integrl e Riemnn) en [,] omo el áre e l región el plno limit por l gráfi f, el eje e siss y ls rets = y =. Se enot por y f() el integrno. f(), sieno y los límites e integrión Si un funión f verifi que lim n I(f, P n ) = lim n S(f, P n ) se ie que es integrle. ***Si un funión es negtiv en io intervlo l integrl será negtiv, por tnto el áre será su vlor soluto. Si f tom vlores positivos y negtivos, l integrl porá ser +, - o nul. 6. Propiees e l integrl efini. Tenemos ls siguientes propiees: 1) f() pr too f. ) Si f() > y ontinu en [,] entones f() Si f() < y ontinu en [,] entones f() ) Aitivi el intervlo. Si f es ontinu en [, ] y [, ] entones: f() = f() + f() **Tmién es ierto si [, ] 4) Lineli el integrno. Si f, g son ontinus en [, ] y k un número rel: 5) f() = - (f() + g()) = f() + g() kg() = k g() f() 6) Monotoní e l integrl. Si f() g() pr too [,] entones f() g()
Teorem el vlor meio el álulo integrl: Si f es ontinu en el intervlo [,] entones eiste [,] tl que f() = f() ( ). Al número f() se le llm vlor meio e f en el intervlo [, ]. Demostrión: Sen m y M el mínimo y el máimo e l funión f. Poemos firmr que: (-)m f()( Diviieno por - otenemos: ) M f() 1 m M ; m f() M Por ser f ontinu, el teorem e los vlores intermeios nos segur que f tom toos los vlores omprenios entre el mínimo m y el máimo M, luego eiste (, ) tl que: 1 f () f(). 6. Regl e Brrow. Teorem funmentl álulo integrl: Se f ontinu en [, ] y efinimos F e l siguiente form F() = f(t)t on [, ], entones poemos firmr que F es erivle en (, ) y F () = f() (, ). Demostrión: Por efiniión F () = lim F ( ) F ( ), plino l efiniión e F otenemos: F () = F () = lim lim f(t)t f(t)t ; por l itivi e l integrl tenemos: f(t)t ; por el teorem el vlor meio el álulo integrl F () = lim f ( ) on (, +); F () = f() on (, +) y ; entones F () = f(). Regl e Brrow: Si f es ontinu en [, ] y F un primitiv e f, entones f () = F() - F(). Demostrión: Se F un primitiv e f, por el teorem funmentl el álulo integrl f(t)t es un primitiv e f, entones f(t)t = F() + C. Pr = otenemos = F() + C, por tnto C = - F() Pr = otenemos f(t)t = F() F()
/ / Ejeriio 1: Clulr sen os Ejeriio : Clul ls siguientes integrles efinis: 1 = ) 1 ) ) / sen = sen = Ejeriio : Determinr y pr que f se ontinu y lulr f (), sieno sen 1 f() 1. Ejeriio 4: Deriv ls siguientes funiones: ) ) A() sentt t B() 1 t ) C() sentt = Ejeriio 5: Hllr los máimos y mínimos e l funión G() = Lnt t 1 t 6.4 Apliiones e l integrl efini (Áre). Cálulo el áre etermino por f y g, os funiones integrles en [, ]: 1 er Cso: Si f() [, ] y R l región pln limit por l gráfi y = f(), y ls rets =, =, y=. f () Ejeriio 6: Clul el áre e l región limit por l gráfi e y = 1 rets = 1 y =., el eje X y ls º Cso: Si f() [, ] y R l región pln limit por l gráfi y=f(), y ls rets =, =, y=. f () Ejeriio 7: Clul el áre e l región limit por el eje X y l urv e y =. 4
er Cso: Si f() tom vlores positivos y negtivos en [, ] y R l región pln limit por l gráfi y=f(), y ls rets =, =, y=. Not: Hy que lulr los puntos e orte. f () f() f() Ejeriio 8: Clulr el áre ompreni entre l urv y = 4- y ls rets = -, = 1, y=. 4º Cso:Si f()g() [, ] y R l región pln limit por ls gráfis y=f(), y=g() y ls rets =, =. ( g() f()) Ejeriio 9: Clulr el áre ompreni entre l práol y = 4 - y l ret y = +. Ejeriio 1: Clulr el áre ompreni entre ls urvs y = - + 4 + 1 e y = - + 1. 5º Cso Generl: Clulr previmente los puntos e orte entre f y g en el intervlo [,], en uno e los intervlos que se formn estuimos que funión tom vlores más ltos, pr ello tommos un punto ulquier el intervlo. f () g() (f() g()) (g() f()) (f() g()) Ejeriio 11: Determin el áre limit por ls urvs y = - + e y = - + +. 5