8 EL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN CORRELACIONES ESPÚREAS Erck Lahura Eero, 3 DOCUMENTO DE TRABAJO 8 http://www.pucp.edu.pe/ecooma/pdf/ddd8.pdf
EL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN CORRELACIONES ESPÚREAS Erck Lahura RESUMEN E este esayo se preseta y aalza el coefcete de correlacó, ua herrameta estadístca elemetal e mportate para el estudo ecoométrco de relacoes leales bvaradas que volucra el uso de datos de corte trasversal o seres de tempo. E partcular, se aalza su relacó co las deomadas correlacoes espúreas o s setdo. Asmsmo, se muestra aplcacoes utlzado datos para la ecoomía peruaa. ABSTRACT A mportat statstcal tool for the ecoometrc study of lear bvarate relatoshp that volves the use of cross-secto or tme seres data s preseted ad aalyzed ths essay: the correlato coeffcet. I partcular, ts relatoshp wth spurous or o-sese correlatos s aalyzed. Lkewse, emprcal applcatos based o Peruva data are show.
EL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN CORRELACIONES ESPÚREAS Erck Lahura. INTRODUCCIÓN La Ecoometría es el campo de la ecoomía que se ocupa de la medcó empírca (estmacó, fereca y predccó) de las relacoes etre varables que establece la teoría ecoómca, a través de la aplcacó de métodos estadístcos, matemátcos y computacoales. El propósto fudametal es proporcoar cotedo empírco a las relacoes teórcas. Ua maera elemetal de llevar a cabo este propósto cosste e aalzar relacoes etre dos varables. S be es certo exste muchas relacoes ecoómcas de aturaleza o leal y/o que volucra más de dos varables (relacoes multvaradas), exste otras relacoes relevates leales y bvaradas. Como prmer ejemplo, cosdérese el modelo clásco de demada por dero real, que relacoa lealmete la demada por dero y el greso reales a través de la sguete ecuacó: M P t β + β t (.) dode β > y β >. S se asume que la demada por dero real (M/P) y el greso real () puede ser represetados por las seres de tempo crculate real y PBI real 3 meddas 3 Este esayo forma parte de uo de los capítulos del lbro Ecoometría Básca: Teoría y Aplcacoes que actualmete se ecuetra e elaboracó. Profesor del Departameto de Ecoomía de la Potfca Uversdad Católca del Perú y del Departameto de Cecas - Seccó Matemátcas. El autor agradece el apoyo de Magrth Mea, Aa M. Whttembury y Mauel Barró por su efcete labor como asstetes de vestgacó. Asmsmo, agradece a Gsella Chag, Krsta López, Julo Vllavceco, Lus Orezzol, Martí Tello, Carla Murguía, Carole Postgo, Dota Rodrguez y al arbtro aómo, por sus valosos cometaros y sugerecas. Más adelate se detallará la forma de obteer cada uo de estos datos. 3
mesualmete, se obtee el sguete gráfco que muestra la evolucó de los valores de cada ua de ellas (eje vertcal) etre eero de 993 y dcembre de (eje horzotal): Fgura : Gráfco del Crculate y PBI reales (eero993-dcembre ) 9.3 9. 3.4 3. 3..8 9. 9. 8.9 8.8.6.4 93 94 95 96 97 98 99 Crculate Real (logs) PBI Real (logs) La fgura muestra que tato el crculate como el PBI real tede a crecer a lo largo del período estudado; es decr, crece co el tempo. Esta formacó, s be es útl, o es sufcete para dar susteto empírco al modelo teórco de demada por dero plateado: o es posble saber exactamete que ta fuerte es la relacó etre la demada por dero y el greso reales. Como segudo ejemplo, cosdérese u modelo de cosumo de tpo keyesao co el que se teta explcar el cosumo de u grupo de famlas represetatvas de ua regó para u año determado: C β + β (.) dode β >, < β <, C es el cosumo de la -ésma famla e el greso de la - ésma famla. La fgura muestra el comportameto de las catdades de cosumo e greso reales (eje vertcal) para observacoes geeradas artfcalmete (eje horzotal), que costtuye datos de corte trasversal: 4
Fgura : Gráfco del Cosumo e Igreso ( observacoes) 6 4 8 6 4 8 4 5 5 75 5 5 75 CONSUMO INGRESO E este caso, a dfereca del modelo de demada por dero real, las seres o preseta ua tedeca clara a crecer o decrecer, so más be parece revertr a u valor promedo costate a lo largo de todas las observacoes. De este modo, o es posble coclur fáclmete a partr del gráfco s las seres se mueve jutas, e el msmo setdo o e setdos opuestos. De esta maera, tato e el cotexto del modelo de demada por dero (seres de tempo) como e el modelo de cosumo (corte trasversal), se hace ecesaro u strumeto que permta determar la fuerza y el setdo de la posble relacó leal exstete etre los pares de varables mecoados. Éste se deoma coefcete de correlacó. 4 El coefcete de correlacó es ua herrameta estadístca elemetal e mportate para el estudo ecoométrco de relacoes leales bvaradas que volucra el uso de datos de corte trasversal o seres de tempo. S embargo, este strumeto puede fallar e alguas ocasoes al sugerr la preseca de ua relacó estadístcamete sgfcatva etre dos varables que e verdad o tee setdo o o posee relacó leal algua, es decr, que preseta ua correlacó espúrea. 4 El coefcete de correlacó es solamete uo de los estadístcos que exste para medr el grado de asocacó etre varables, lo cual depede de la clase de varables aalzadas (categórca, cotua, etc.). Ua refereca más ampla de los dversos estadístcos exstetes es Lebetrau (983). 5
E este esayo se aalza el coefcete de correlacó y su relacó co las deomadas correlacoes espúreas o s setdo. E la seccó se exama estadístcamete el coefcete de correlacó. E la seccó 3 se defe el problema de correlacoes espúreas o s setdo. E la seccó 4 se dscute la preseca de correlacoes espúreas e u cotexto de corte trasversal. E la seccó 5 se aalza la preseca de correlacoes espúreas e u cotexto de seres de tempo. Falmete, e la seccó 6 se preseta aplcacoes utlzado datos de la ecoomía peruaa.. EL COEFICIENTE DE CORRELACION El coefcete de correlacó es u estadístco que proporcoa formacó sobre la relacó leal exstete etre dos varables cualesquera. Báscamete, esta formacó se refere a dos característcas de la relacó leal: la dreccó o setdo y la cercaía o fuerza. Es mportate otar que el uso del coefcete de correlacó sólo tee setdo s la relacó bvarada a aalzar es del tpo leal. S ésta o fuera o leal, el coefcete de correlacó sólo dcaría la auseca de ua relacó leal más o la auseca de relacó algua. Debdo a esto, muchas veces el coefcete de correlacó se defe - de maera más geeral - como u strumeto estadístco que mde el grado de asocacó leal etre dos varables... Desvacoes y gráfco de dspersó Sea ua muestra de observacoes o muestra de tamaño para dos varables e, deotada por: M [(, ),(, ), K (, )] (.) dode cada par ( ) represeta los valores de cada varable para la -ésma observacó,, co,, K,. Asmsmo, sea la -ésma observacó de la varable y el valor promedo de las observacoes de la msma. Co esto, se defe la desvacó de la -ésma observacó de la varable respecto de su valor promedo observado, o smplemete desvacó de, como: 6
x (.) La varable x puede tomar valores postvos o egatvos depededo del valor de cada observacó, es decr, s es mayor o meor que el valor promedo observado. Cuado x > se dce que la desvacó de la varable es postva, metras que s x < se dce que la desvacó es egatva. De maera aáloga, se defe la desvacó de como: y (.3) De esta forma, es posble escrbr la muestra e térmos de desvacoes como: m [( x, y),( x, y ), K,( x, y )] (.4) El gráfco de todos los pares de observacoes ( ) e el plao - se deoma gráfco de dspersó. La Fgura a represeta el gráfco de dspersó de las varables e para observacoes. El plao se ha dvddo e cuatro cuadrates determados por el puto O, el cual represeta el par ordeado de los valores promedos de las observacoes de, las varables e, (, ). Nótese que los valores promedo o ecesaramete so observacoes de la muestra, so smplemete u par ordeado que srve como refereca. x > A y > O y + + < + B x + + < + Fgura a: Desvacoes de e e la msma dreccó. 7
El puto A, stuado e el prmer cuadrate de la Fgura a, represeta los valores de las varables e correspodetes a la -ésma observacó de la muestra. E este puto, el valor de cada varable es mayor que sus correspodetes valores promedos, es decr, las desvacoes de ambas varables so postvas. De esta forma, las varables e varía cojutamete y e el msmo setdo, es decr, covaría postvamete. E este caso, se dce que exste ua relacó leal y postva etre ambas varables. El puto B, stuado e el tercer cuadrate de la Fgura a, represeta los valores de las varables e correspodetes la (+)-ésma observacó de la muestra. E este puto, las desvacoes de ambas varables so egatvas. Así, se tee que e varía cojutamete y e el msmo setdo, es decr, covaría postvamete. E este caso, se dce que u puto como B mplca la exsteca de ua relacó leal y postva etre estas varables. S la relacó etre las varables e estuvera represetada sólo por las dos observacoes de la Fgura a (putos A y B), se dce que la relacó etre estas varables es leal y postva o que las varables covaría postvamete. + y + + > x+ + < C +3 x D + 3 + 3 > y + 3 + 3 < + + 3 Fgura b: Desvacoes de e e dreccoes opuestas. 8
El puto C, stuado e el segudo cuadrate de la Fgura b, represeta los valores de las varables e correspodetes a la (+)-ésma observacó de la muestra. E este puto, las desvacó de es egatva y la desvacó de es postva. Así, las varables e varía cojutamete y e setdos opuestos; es decr, covaría egatvamete. E este caso, se dce que exste ua relacó leal egatva etre ambas varables. El puto D, stuado e el cuarto cuadrate de la Fgura b, represeta los valores de e correspodetes a la (+3)-ésma observacó de la muestra. De maera aáloga al caso ateror, el aálss de los sgos de las desvacoes permte afrmar que exste ua relacó leal egatva etre e. S las varables e está represetadas sólo por las dos observacoes de la Fgura (putos C y D), etoces la relacó etre estas varables sería leal y egatva. Para el caso de u gráfco e el cual las varables e estuvera represetadas por cuatro observacoes guales a los putos A, B, C y D, tales que las desvacoes postvas y egatvas se compesara etre sí, etoces se cocluye que o exste relacó leal etre las varables... La Covaraza Muestral S los pares de observacoes se ubcara e el prmer y tercer cuadrate (es decr, s la relacó etre e fuera postva), la multplcacó de sus desvacoes, x y, tedría sgo postvo. Por lo tato, la suma de las desvacoes també sería postva: x >, (.5) y De esta forma, el sgo de (.5) dcaría que la dreccó o setdo de la relacó es postva. S se trazara ua líea tal que represete aproxmadamete la dstrbucó de los pares ordeados, el sgo de (.5) dcaría el sgo de la pedete de esa líea, como se muestra e Fgura 3. 9
Fgura 3: Relacó leal y postva etre las varables e. A través de u aálss aálogo al ateror, se tee que s los pares de observacoes se ubcara e el segudo y cuarto cuadrate (es decr, s la relacó leal etre las varables e fuera egatva), tedríamos: x < (.6) y S las observacoes de las varables se ubcara e los cuatro cuadrates de maera smétrca respecto de sus valores promedos (es decr, s o exstera relacó leal algua etre las varables), la suma del producto de cada par de desvacoes tomaría valores postvos o egatvos muy cercaos a cero: x (.7) y
Dadas las desgualdades (.5), (.6) y (.7) y ua muestra de + observacoes para u par de varables e cuyo gráfco de dspersó costa de prmer y tercer cuadrate: putos ubcados e el x y > y putos ubcados e el segudo y cuarto cuadrate: x y < es posble establecer las sguetes afrmacoes: () S los putos ubcados e el prmer y tercer cuadrate so más mportates que los ubcados e el segudo y cuarto cuadrate, es decr: x y x y > o equvaletemete: x y + x y > etoces la relacó leal predomate etre las varables es postva. E este caso, se dce que las varables e covaría leal y postvamete. () S los putos ubcados e el segudo y cuarto cuadrate so más mportates que los ubcados e el prmer y tercer cuadrate, es decr: x y x y <
o equvaletemete: x y + x y < etoces la relacó leal predomate etre las varables es egatva. E este caso, se dce que las varables e covaría leal y egatvamete. (3) S los putos ubcados e el segudo y cuarto cuadrate so ta mportates como los ubcados e el prmer y tercer cuadrate, es decr, s: x y x y o equvaletemete: x y + x y etoces o predoma gú tpo de relacó leal etre las varables; es decr, o covaría lealmete. S embargo, esto últmo o mplca que o pueda exstr algú tpo de relacó o leal etre las varables.
Estas tres afrmacoes se resume e la Fgura 4: RELACIÓN LINEAL POSITIVA RELACIÓN LINEAL NEGATIVA 3 3 - - - - -3-3 - - 3-3 -3 - - 3 RELACIÓN LINEAL NULA RELACIÓN NO LINEAL 4 3 - - - -4-3 - - 3-3 -3 - - 3 Fgura 4: Relacoes Leales y No Leales S el úmero de observacoes, o tamaño de muestra, fuera muy grade y s las varables presetara algú tpo de comovmeto leal (postvo o egatvo), la expresó crecería co el tamaño de muestra. Debdo a esto, es mejor promedar cosderado la formacó que proporcoa cada desvacó, obteédose de esta maera el estadístco coocdo como covaraza muestral: x y x y 3
Cov(, ) ( )( ) x y (.8) El promedo de la suma de desvacoes se obtee a través de u factor gual a (-) porque basta co la formacó (valor) de las prmeras - desvacoes para coocer la formacó (valor) corporada e la últma desvacó. Por ejemplo, s fuera gual a : ( + ) Etoces, bastaría co coocer la prmera desvacó (el valor de y ) para coocer el valor de. Dado que (.8) depede de x y, el aálss precedete mplca que la covaraza muestral permte detfcar la dreccó o setdo de la relacó leal etre las varables, a través de su sgo. Esta es la úca formacó relevate que proporcoa la covaraza muestral para el aálss de la relacó etre dos varables..3. El coefcete de correlacó Itutvamete, la fuerza o cercaía de la relacó etre dos varables podría medrse a través de la covaraza muestral: metras más grade sea el valor de la covaraza muestral, más fuerte será la relacó etre las varables. S embargo, los valores que puede tomar la covaraza muestral depede de las udades de medda de las varables volucradas, lo cual podría coducr a terpretacoes equvocadas acerca de la fuerza de la relacó. Para lustrar este problema, cosdérese las varables tasa de terés actva e tasa de terés pasva, para las cuales se cueta co ua muestra fctca de observacoes: M [(,5);(,);(3,5);(4,);(5,5);(6,3);(7,35);(8,4);(9,45);(,5)] dode las varables está expresadas como porcetajes e la escala del al (por ejemplo, represeta por ceto ). La covaraza muestral etre e, dados estos valores muestrales, es gual a: Cov (, ) 4,5 4
Este resultado dca que exste ua relacó leal postva etre la tasa de terés actva y pasva. S se dvde todos los valores de la muestra por, se obtee la sguete muestra: M ' [(, ;,6 ;,5);(,;,);(,3 ;,5);(,4;,);(,5 ;,5),,3);(,7 ;,35);(,8 ;,4);(,9 ;,45);(, ;,5)] dode las varables está expresadas como porcetajes e la escala del al (por ejemplo,, represeta por ceto ). E este caso, la covaraza muestral etre e, dados estos valores muestrales, es gual a: Cov (, ),45 Este resultado cofrma que la relacó etre las tasas de terés actva y pasva es postva. Así, el setdo de ua relacó leal meddo por la covaraza muestral es varate a cambos e las udades de medda. S embargo, luego de reducr la escala de las varables, el valor de la covaraza dsmuye (se hace práctcamete cero) respecto del caso orgal. De esta forma, s se utlzara el valor absoluto de la covaraza para medr la fuerza de la relacó leal etre las varables, se podría obteer coclusoes equvocadas: e el prmer caso se afrmaría que la relacó es muy fuerte, metras que e el segudo caso que la relacó es muy débl, lo cual es cosstete pues se está aalzado la msma relacó e ambos casos. Así, la fuerza de ua relacó leal medda por la covaraza muestral es sesble a cambos e las udades de medda 5. Para obteer u dcador de la fuerza de la relacó leal etre dos varables que o depeda de las udades de medda de las msmas, se deberá expresar las desvacoes e udades de desvacó estádar. La covaraza muestral estadarzada se deoma coefcete de correlacó muestral, y se deota usualmete como r: x y Corr(, ) r (.9) S S 5 La demostracó matemátca de este resultado se muestra e el apédce (demostracó ). 5
dode: x S (.9) y S (.9) Es fácl observar que el coefcete de correlacó muestral o es otra cosa que el cocete etre la covaraza muestral y los desvíos estádar muestrales de cada varable: S S Cov r ), ( (.) Alteratvamete, el coefcete de correlacó puede ser expresado como: y x y x r (.) r (.).4. Iterpretacó del Coefcete de Correlacó El coefcete de correlacó muestral, además de ser depedete de las udades de medda de las varables, se caracterza por tomar valores detro del tervalo cerrado [-,] 6 : r 6 La demostracó matemátca se preseta e el apédce (demostracó ). 6
o equvaletemete: r La terpretacó del coefcete de correlacó muestral depede del valor y del sgo que tome y de las característcas de la muestra aalzada. Para los propóstos del presete esayo, se asume que el úmero de observacoes de la muestra (tamaño de muestra), es tal que la muestra es represetatva: preseta las msmas característcas de la poblacó. De esta maera, las coclusoes que pueda extraerse a partr del aálss del coefcete de correlacó será váldas para la relacó poblacoal. A partr de la expresó (.9), dado que S y S solamete puede tomar valores o egatvos, se tee que el sgo del coefcete de correlacó muestral depederá del sgo de la suma del producto de todas las desvacoes, x y. Así, el sgo de r dca la dreccó de la relacó leal (al gual que la covaraza muestral): valores postvos dca ua relacó drecta y valores egatvos ua relacó versa etre las varables volucradas. Por otro lado, el valor absoluto del coefcete de correlacó dca la fuerza de la relacó leal. U coefcete de correlacó muy cercao a uo e valor absoluto dca que la relacó etre las varables es muy fuerte, metras que s es muy cercao a cero, dca que la relacó es muy débl. El cuadro muestra las posbles terpretacoes del coefcete de correlacó muestral. Cuadro : Iterpretacó del Coefcete de Correlacó Muestral VALOR DEL COEFICIENTE < r < y r < r < y r INTERPRETACIÓN relacó leal postva y fuerte. relacó leal postva y débl. r o exste relacó leal. < r < y r relacó leal egatva y fuerte. < r < y r relacó leal egatva y débl. 7
El coefcete de correlacó muestral, a dfereca de la covaraza muestral, o solamete mde el setdo de la relacó etre las varables so també la fuerza de la relacó leal o grado de asocacó leal. La fgura 5 relacoa el grado de asocacó leal co dversos valores del coefcete de correlacó muestral r. r r.5 3 3 - - - - -3-3 - - 3-3 -3 - - 3 r.95 r 3 3 - - - - -3-3 - - 3-3 -3 - - 3 Fgura 5: Coefcete de Correlacó Muestral y Grado de Asocacó Leal Es mportate observar que u coefcete de correlacó bajo o sgfca que o exste relacó algua etre las varables, so smplemete que o exste relacó leal etre ellas. A partr del aálss precedete sobre las desvacoes muestrales de las varables, se puede coclur que s la relacó es o leal, la expresó x y puede teer u valor muy cercao a cero, lo cual mplca que el coefcete de correlacó muestral r també tedrá u valor muy cercao a cero. Así, el coefcete de correlacó muestral o 8
proporcoa formacó adecuada sobre la exsteca de ua relacó o leal etre dos varables. Como ota adcoal, es mportate saber que el coefcete de correlacó o proporcoa formacó sobre la causaldad etre las seres. Lo úco que permte detfcar es co-movmetos sgfcatvos. Exste pruebas estadístcas que permte determar e certa medda la causaldad etre varables, como por ejemplo la prueba de causaldad a la Grager (969). S embargo, a este vel básco de ecoometría la úca forma de determar causaldad será a través de la teoría ecoómca..5. Uso del coefcete de correlacó: U modelo smulado Para falzar, cosdérese el caso de la relacó etre el cosumo y el greso de ua muestra smulada de famlas represetatvas de ua regó, que se presetó e la seccó. La smulacó se realzó de tal forma que exsta ua relacó leal sgfcatva etre el cosumo y el greso, como se muestra e la Fgura 6. 4 CONSUMO - -4-3 - - 3 INGRESO Fgura 6: Gráfco de Dspersó etre Cosumo e Igreso Al aplcar la fórmula (.), se obtee u coefcete de correlacó gual a.99, de dode se deduce que exste ua fuerte relacó leal postva etre el cosumo y el greso. Usualmete, los paquetes ecoométrcos permte mostrar el coefcete de correlacó a 9
través de ua matrz de correlacoes, dode los elemetos de la dagoal so sempre guales a (pues muestra la correlacó etre cada varable cosgo msma) y los que está fuera de la dagoal mde la correlacó etre cada par de varables. Matrz de Correlacoes: Cosumo e Igreso INGRESO CONSUMO INGRESO..99335 CONSUMO.99335. 3. CORRELACIONES ESPÚREAS E esta seccó, se defe el cocepto de correlacó espúrea. Además, se preseta las característcas más mportates que puede presetar los datos empírcos utlzados para represetar las varables ecoómcas, las cuales será elemetos mportates para aalzar las causas de la preseca de correlacoes espúreas 3.. Defcó de Correlacoes Espúreas El coefcete de correlacó muestral permte establecer estadístcamete el grado de asocacó leal etre dos varables a partr de ua muestra o cojuto de observacoes represetatvas para cada ua de ellas. Esto sgfca que el coefcete de correlacó permte establecer la fuerza y el setdo de ua posble relacó leal etre dos varables, a partr de ua muestra represetatva. S embargo, muchas veces es posble ecotrar u elevado coefcete de correlacó etre dos varables que o tee relacó algua, es decr, varables que o preseta relacó justfcada a través de algua teoría específca (bología, astroomía, ecoomía, etre otras). Cuado sucede esto, se dce que la correlacó estadístca exstete etre estas varables es ua correlacó espúrea o s setdo. De esta forma, es posble hablar de correlacó espúrea etre varables relacoadas a la ecoomía, a la bología, a la astroomía, etre otras.
Formalmete, se dce que u alto coefcete de correlacó etre dos varables es espúreo s éste se explca por la preseca de u tercer factor y o debdo a la exsteca de ua relacó co setdo etre las varables aalzadas. E este caso, la correlacó estadístcamete sgfcatva etre las varables es ua correlacó espúrea o s setdo. Karl Pearso (897) fue el prmero e utlzar el térmo correlacó espúrea para lustrar el orge de ua correlacó s setdo etre ratos, a través del sguete caso. Cosdérese u grupo de esqueletos que so desarmados e cada uo de sus huesos compoetes y que se vuelve a armar uos uevos utlzado huesos elegdos aleatoramete de los dsttos esqueletos orgales. S para verfcar que los huesos de cada uevo esqueleto correspode al msmo dvduo (lo cual o es certo), se correlacoa la logtud de varos huesos de cada uevo esqueleto dvddos por la logtud del uevo esqueleto al cual perteece, se obtee u coefcete de correlacó muy alto y estadístcamete sgfcatvo. S be es certo este resultado sugere que los huesos de cada esqueleto aalzado (los uevos esqueletos) correspode a los msmos dvduos, esta o es ua coclusó certa. E este caso, se dce que exste ua correlacó espúrea pues la alta correlacó se explca por la preseca de u tercer compoete: la dvsó de la logtud de los huesos que se correlacoaba por la logtud de cada uevo esqueleto al cual perteece. Este caso será estudado e detalle e la seccó 4.. Durate el sglo se estudaro muchos casos de correlacoes espúreas etre varables meddas a través de datos de corte trasversal y seres de tempo. El caso más aecdótco de ua correlacó espúrea e u cotexto de corte trasversal fue presetado por J. Neyma e 95. Neyma aalzó la relacó etre la tasa de acmetos y la poblacó de cgüeñas e varas regoes, y ecotró u alto coefcete de correlacó etre estas varables. Etre los casos más coocdos de correlacoes espúreas e u cotexto de seres de tempo se tee los aalzado por G. Udy ule (96) y Ploser y Schwer (978). Por u lado, utlzado datos auales para el período 866-9, G. Udy ule ecotró que el coefcete de correlacó etre la tasa de mortaldad e Iglaterra y Gales y el porcetaje de matrmoos e la glesa de Iglaterra era de.95. Por otro lado, utlzado datos auales para el período 897-958, Ploser y Schwert ecotraro que el coefcete de correlacó
etre el logartmo del greso omal de Estados Udos y logartmo de la acumulacó de machas solares era de.9. Estos casos sugere que o sempre es posble asocar u coefcete de correlacó alto a la exsteca de ua relacó leal co sgfcado (ecoómco, bológco, o algú otro) etre dos varables. Etoces, lo úco seguro es que el coefcete de correlacó permte determar la fuerza y setdo de ua relacó leal estadístca etre dos varables, más o ecesaramete de ua relacó leal co setdo etre las msmas. Dado este problema, es mportate aalzar las causas por las cuales puede surgr correlacoes espúreas. Como se muestra e las sguetes seccoes, las razoes por las cuales surge correlacoes espúreas e u cotexto de corte trasversal y e uo de seres de tempo puede ser dsttas. S embargo, ates de realzar este aálss, será mportate coocer la estructura de ua sere que puede represetar a ua varable ecoómca. 3.. Estructura de ua Sere Ecoómca E geeral, las seres ecoómcas puede preseta los sguetes compoetes: a. U compoete tedecal, que puede ser determístco (leal o o leal) o estocástco. b. U compoete estacoal; es decr, patroes de comportameto recurretes para determados períodos de tempo. c. U compoete rregular o modelable 7. Es mportate señalar que o todas las seres ecoómcas preseta ecesaramete los tres compoetes. Por ejemplo, s los valores de las varables e cuestó está represetados por datos de corte trasversal, es usual que o presete compoetes tedecales estacoales. S embargo, co datos de seres de tempo, es muy probable que las varables presete los tres compoetes. 7 Exste u cuarto compoete deomado cíclco que muchas veces como e este caso se asume como parte del compoete rregular o modelable.
E geeral, el compoete más mportate de ua sere ecoómca es el compoete rregular o modelable, ya que cotee la mayor parte de la formacó ecoómcamete relevate. S embargo, exste stuacoes e las que los compoetes tedecales determístcos y/o estocástcos posee terpretacó ecoómca. U caso muy coocdo e el que el compoete tedecal determístco (leal o o leal) tee setdo ecoómco lo costtuye la tedeca determístca del PBI real 8. Esta tedeca represeta el PBI potecal, el cual crece a ua tasa gual a la pedete de la tedeca. Así, la dfereca etre la sere observada del PBI real y la tedeca (leal o o leal), permte obteer ua aproxmacó de las fluctuacoes del PBI o cclo ecoómco. E la Fgura 6 se muestra la sere mesual del PBI real de la ecoomía peruaa para el período eero 933 - dcembre, el PBI potecal (represetado por ua tedeca determístca o leal) y el cclo ecoómco. 9.3.8 9. 9. 9..4. 8.9 -.4 8.8 93 94 95 96 97 98 99 LPBIRSA HLPBIRSA -.8 93 94 95 96 97 98 99 CICLO Fgura 6: El PBI real, el PBI potecal y el cclo ecoómco Asmsmo, las tedecas estocástcas de dos o más seres ecoómcas podría presetar ua relacó co setdo ecoómco. S dos seres preseta tedecas estocástcas relacoadas etre sí (es decr, comparte ua tedeca estocástca), se dce que las varables cotegra. E térmos ecoómcos, s la relacó tee susteto teórco, se dce que estas varables preseta ua relacó de largo plazo ecoómcamete sgfcatva. E este caso, la tedeca estocástca que comparte las varables se terpreta como u camo comú del cual puede desvarse temporalmete (corto plazo), pero o permaetemete (largo plazo). 8 Auque també tee setdo la teeca estocástca. 3
4. CORRELACIONES ESPÚREAS DATOS DE CORTE TRANSVERSAL E esta seccó se muestra tres posbles formas e las que puede presetarse correlacoes espúreas e u cotexto de corte trasversal: el uso de ratos, observacoes atípcas o extraordaras y grupos o relacoados. 4.. Correlacoes Espúreas y el uso de Ratos K. Pearso (898) y R. Kromal (993) muestra que las correlacoes espúreas puede surgr etre dos varables que se mde como cocetes o ratos respecto de ua tercera varable. Pearso, a través de su ejemplo de los esqueletos costrudos aleatoramete, muestra la exsteca de u coefcete de correlacó sgfcatvo etre dos ratos cuyos compoetes varables o preseta relacó algua. Para eteder esto, cosdérese las varables W,, y Z, tales que se cumple las sguetes codcoes: a. y so depedetes, por lo que o preseta relacó sgfcatva algua. b. Z es gual a la suma de, y W E el cotexto del caso aalzado por Pearso, e represeta las logtudes de dferetes huesos que fuero correlacoados. Estos huesos perteece al msmo esqueleto aleatoramete costrudo, por lo cual o está relacoados. Z represeta la logtud total del esqueleto aleatoro y W la logtud de los huesos de cada esqueleto aleatoro que o fuero utlzados e la correlacó. S se cotara co esqueletos costrudos aleatoramete a partr de esqueletos orgales, etoces se tee los sguetes pares de observacoes: ( ( (,, M, ) ) ) 4
dode represeta la logtud de u prmer grupo de huesos del esqueleto artfcal, represeta la logtud de u segudo grupo de huesos del esqueleto artfcal ; represeta la logtud de u prmer grupo de huesos del esqueleto artfcal y represeta la logtud de u segudo grupo de huesos del esqueleto artfcal ; y así sucesvamete. S se dvde cada ua de estas observacoes por la logtud total del esqueleto artfcal al cual perteece, se obtee las sguetes observacoes: ( ( / Z / Z / Z,, M, / Z / Z ) / Z ) dode / Z represeta la logtud de u prmer grupo de huesos del esqueleto artfcal como porcetaje de la logtud total de éste esqueleto, / Z represeta la logtud de u segudo grupo de huesos del esqueleto artfcal como porcetaje de la logtud total de este esqueleto; y así sucesvamete. Para smular los resultados del caso presetado por Pearso, se costruyero artfcalmete las varables W,, y Z, co las característcas del problema que ha sdo mecoadas. Al aalzar el coefcete de correlacó etre las observacoes de y, el resultado es u coefcete de correlacó cercao a cero cosstete co la realdad aalzada: Matrz de Correlacoes etre e. -.63 -.63. 5
Esto puede observarse claramete e el gráfco de dspersó de las msmas (Fgura 7): 6 4 - -4-4 - 4 Fgura 7: Relacó etre e S embargo, al aalzar la correlacó etre y utlzado los ratos /Z e /Z (cuyos compoetes varables so e ), se obtee u alto coefcete de correlacó: Matrz de Correlacoes etre /Z e /Z /Z /Z /Z. -.965746 /Z -.965746. lo cual també puede observarse claramete e el gráfco de dspersó de las msmas. Como se muestra e la Fgura 8: 6
4 Z - -4-4 - 4 Z Fgura 8: Relacó etre /Z e /Z De esta maera, la alta correlacó etre /Z e /Z sería espúrea o s setdo. La alta correlacó está explcada por u tercer compoete, Z, que esta relacoado a cada uo de los compoetes varables, e, que so depedetes etre sí. E el cotexto del caso aalzado por Pearso, dado que se sabe que o exste relacó etre las logtudes de los huesos de los esqueletos artfcales, u alto coefcete de correlacó etre las logtudes de los huesos como porcetaje de la logtud total del esqueleto artfcal al cual perteece es espúreo o s setdo. La explcacó de este alto coefcete de correlacó está e la dvsó de las logtudes de los huesos por la logtud total del esqueleto artfcal al cual perteece. Ua forma smple de detectar la preseca de correlacoes espúreas cuado se utlza ratos es aalzar el gráfco de dspersó y el coefcete de correlacó etre los compoetes varables de los msmos (cuado sea posble obteerlos). 4.. Preseca de Observacoes Atípcas (Out layers) U segudo caso e el cual puede surgr correlacoes espúreas se preseta cuado exste observacoes atípcas (out layers) ta mportates e magtud que puede geerar u alto coefcete de correlacó etre dos varables que o tee relacó algua. 7
Para mostrar este caso, se crearo dos seres artfcales S y S depedetes etre sí, como se muestra e la matrz de correlacoes: Matrz de Correlacoes etre S y S S S S..4656 S.4656. y e el gráfco de dspersó correspodete: 4 S - -4 6 8 4 S Fgura 9: Relacó etre S y S S ua de las observacoes de esta muestra ésta compuesta por valores muy dferetes a los usuales (relatvamete muy grades o muy pequeños), deomados atípcos u out layers, se obtedría la sguete la matrz de correlacoes: Matrz de Correlacoes etre S y S co u out layer S S S..9686 S.9686. 8
y el sguete gráfco de dspersó: 5 S vs. S S 5-5 -5 5 5 S Fgura : Relacó etre S y S Claramete, el alto coefcete de correlacó (.9) etre las varables S y S se debe a la preseca de u out layer, el cual fuerza la exsteca de ua relacó leal etre las msmas (como se muestra e la Fgura ), a través de ua líea que represeta los datos. De maera atural, este resultado se puede geeralzar a más de u out layer. La detfcacó de la exsteca de correlacoes espúreas etre dos varables debda a la preseca de uo o más out layers, puede ser detfcada fáclmete aalzado el gráfco de dspersó de las msmas. 4.3. Grupos No Relacoados U tercer caso e el cual puede surgr correlacoes espúreas se preseta cuado exste dos o más grupos de observacoes que relacoa dos varables, tales que el coefcete de correlacó es bajo e cada grupo, pero alto cuado se aalza todos los grupos smultáeamete. A estos grupos de observacoes se les deoma grupos o relacoados. 9
Para mostrar este caso, se crearo dos grupos de observacoes para dos varables fctcas C y C tales que estas o tee relacó algua, como se puede aprecar e sus respectvos gráfcos de dspersó: 3 34 3 C C 3 9 8 8 7 6 8 4 C 6 8 9 3 3 3 33 C Grupo Grupo Fgura : Grupos No Relacoados y e sus matrces de correlacoes: Matrz de Correlacoes etre C y C e el Grupo C C C. -.66483 C -.66483. Matrz de Correlacoes etre S y S e el Grupo C C C..69 C.69. 3
S embargo, al aalzar de maera cojuta ambos grupos de observacoes, se obtee u gráfco de dspersó dode se muestra que las observacoes puede ser represetadas por ua líea recta: 4 C vs. C 3 C 3 4 C Fgura : Correlacó etre Coglomerados y Correlacó Espúrea La matrz de correlacoes cofrma la exsteca de ua relacó leal estadístcamete sgfcatva: Matrz de Correlacoes etre C y C C C C..988784 C.988784. De esta maera, es posble ecotrar u coefcete de correlacó alto etre dos varables o relacoadas etre sí, o correlacó espúrea, s se aalza de maera cojuta dos o más grupos o relacoados de observacoes. 3
Este caso de correlacó espúrea etre grupos o relacoados puede ser cosderado como ua geeralzacó del caso de correlacoes espúreas cuado exste out-layers: u grupo estaría costtudo por el out-layer y el segudo por las observacoes restates. El caso de correlacó espúrea presetado por Neyma, a través de su ejemplo de las cgüeñas, puede ser cosderado como u caso de grupos o relacoados. Los datos utlzados por Neyma que se preseta e la cuadro correspode al úmero de mujeres (por cada ml), cgüeñas y acmetos, para ua muestra de 54 localdades. El úmero de mujeres está aproxmado a úmeros eteros; es decr, s e ua localdad exste 4 ml mujeres, etoces el úmero de mujeres por cada ml es. 3
Cuadro : Iformacó sobre Mujeres, Nacmetos y Cgüeñas Localdad Mujeres Cgüeñas Nacmetos 5 3 4 3 5 3 5 6 3 7 4 8 4 5 9 4 4 5 4 4 5 3 5 5 4 5 5 5 5 6 6 5 7 6 8 6 5 9 3 5 3 5 5 3 5 3 3 6 3 3 6 5 4 3 6 3 5 3 7 6 3 7 5 7 3 7 3 8 4 6 5 9 4 6 3 3 4 6 35 3 4 7 5 3 4 7 3 33 4 7 35 34 4 8 5 35 4 8 3 36 4 8 35 37 5 7 3 38 5 7 35 39 5 7 4 4 5 8 3 4 5 8 35 4 5 8 4 43 5 9 3 44 5 9 35 45 5 9 4 46 6 8 35 47 6 8 4 48 6 8 45 49 6 9 35 5 6 9 4 5 6 9 45 5 6 35 53 6 4 54 6 45 Corr (C,N),83 S se aalza toda la muestra, se observa que el coefcete de correlacó etre el úmero de cgüeñas y el úmero de acmetos es.83, lo cual dcaría la exsteca de ua relacó leal estadístcamete sgfcatva etre estas varables. S embargo, o exste ua relacó co algú setdo dferete del estadístco, pues o es posble afrmar a partr de este 33
resultado que las cgüeñas trae a los bebés (a mayor úmero de cgüeñas, mayor úmero de acmetos). Cuadro 3: Iformacó por Grupos Localdad Mujeres Cgüeñas Nacmetos GRUPO 6 GRUPO 5 GRUPO 4 GRUPO 3 GRUPO GRUPO 5 3 4 3 5 3 5 6 3 7 4 8 4 5 9 4 Corr (C,N). 4 5 4 4 5 3 5 5 4 5 5 5 5 6 6 5 7 6 8 6 5 Corr (C,N). 9 3 5 3 5 5 3 5 3 3 6 3 3 6 5 4 3 6 3 5 3 7 6 3 7 5 7 3 7 3 Corr (C,N). 8 4 6 5 9 4 6 3 3 4 6 35 3 4 7 5 3 4 7 3 33 4 7 35 34 4 8 5 35 4 8 3 36 4 8 35 Corr (C,N). 37 5 7 3 38 5 7 35 39 5 7 4 4 5 8 3 4 5 8 35 4 5 8 4 43 5 9 3 44 5 9 35 45 5 9 4 Corr (C,N). 46 6 8 35 47 6 8 4 48 6 8 45 49 6 9 35 5 6 9 4 5 6 9 45 5 6 35 53 6 4 54 6 45 Corr (C,N). 34
La exsteca de u coefcete de correlacó alto se explca por la preseca de grupos de datos o relacoados e la muestra aalzada. El cuadro 3 muestra la formacó utlzada por Neyma e ses grupos de localdades de acuerdo al úmero de mujeres de las msmas. Al aalzar el coefcete de correlacó y el gráfco de dspersó etre el úmero de cgüeñas y de acmetos para cada grupo de localdades (Fgura 3), se observa que e cada grupo de localdades el úmero de cgüeñas y de acmetos o está correlacoados, como era de esperarse. NACIMIENTOS 8 6 4 8.5..5 3. 3.5 4. 4.5 CIGÜEÑAS NACIMIENTOS 6 4 8 6 4 3.5 4. 4.5 5. 5.5 6. 6.5 CIGÜEÑAS NACIMIENTOS 3 3 8 6 4 8 4.5 5. 5.5 6. 6.5 7. 7.5 CIGÜEÑAS 36 34 4 4 46 44 NACIMIENTOS 3 3 8 6 4 5.5 6. 6.5 7. 7.5 8. 8.5 CIGÜEÑAS NACIMIENTOS 38 36 34 3 3 8 6.5 7. 7.5 8. 8.5 9. 9.5 CIGÜEÑAS NACIMIENTOS 4 4 38 36 34 7.5 8. 8.5 9. 9.5..5 CIGÜEÑAS Fgura 3: Relacó etre acmetos y cgüeñas para cada grupo de localdades. S embargo, al cosderar (por ejemplo) los grupos y 6 e ua sola muestra, se obtee u coefcete de correlacó alto (.9), al gual que cuado se cosdera todos los grupos smultáeamete (.8), lo cual se muestra a través de los gráfcos de dspersó correspodetes de la Fgura 4. De esta forma, se cocluye que el alto coefcete de correlacó etre las cgüeñas y los acmetos es ua correlacó espúrea, explcada por la preseca de coglomerados. 35
RELACIÓN ENTRE NACIMIENTOS CIGÜEÑAS: GRUPOS 6 RELACIÓN ENTRE NACIMIENTOS CIGÜEÑAS: GRUPOS AL 6 5 5 4 4 NACIMIENTOS 3 NACIMIENTOS 3 4 6 8 4 6 8 CIGÜEÑAS CIGÜEÑAS Fgura 4:Relacó leal etre grupos o relacoados 5. CORRELACIONES ESPÚREAS SERIES DE TIEMPO E el cotexto de seres de tempo, las correlacoes espúreas puede surgr por las msmas razoes cosderadas para el cotexto de corte trasversal: el uso de ratos, la preseca de out layers y grupos o relacoados. S embargo, las tedecas determístcas o estocástcas - propas de la mayoría de seres de tempo també puede geerar correlacoes espúreas etre varables que o tee setdo alguo. 5.. Smulacó de Seres de Tempo Para demostrar que la preseca de compoetes tedecales puede geera coefcetes de correlacó sgfcatvamete altos, se utlza dos seres de tempo de observacoes cada ua que represeta a dos varables e. Estas seres se costruye artfcalmete de tal forma que o preseta relacó leal algua (cosderado algua teoría específca), como lo muestra la matrz de correlacoes: 36
Matrz de Correlacoes para e..34.34. A partr de ésta matrz se observa que la correlacó etre e es práctcamete cero (.3), lo cual es cosstete co la costruccó de las dos seres. La Fgura 5 muestra el comportameto de estas varables a lo largo de las observacoes. 3 - - -3 - - -3 3 4 5 6 7 8 9 Fgura 5: Seres Artfcales e A partr de esta fgura, o es posble afrmar que s ua de las varables aumeta, la otra també aumeta, dsmuye o o se mueve. Es decr, o es posble ferr la exsteca de ua relacó postva, egatva o smplemete que o exsta relacó. S embargo, el gráfco de dspersó para e - e el cual se ha ormalzado las udades de medda de las seres 9 - sí permte afrmar que o exste relacó leal etre estas varables, como se muestra e la Fgura 6. E este ejemplo, el coefcete de correlacó fucoa be, pues es posble afrmar que o exste relacó leal estadístca sgfcatva. 9 E adelate, los gráfcos de dspersó que se presete utlzará datos ormalzados. 37
3 - - -3-3 - - Fgura 6: Gráfco de dspersó etre e. No exste relacó leal sgfcatva. S a cada ua de estas dos seres costrudas artfcalmete se les añade ua tedeca determístca (leal) que crece co el tempo, pero s sgfcado alguo: Tt t + t Tt t + t se obtee ua matrz de correlacoes como la sguete: Matrz de Correlacoes para T e T T T T..99799 T.99799. Como se puede observar a partr de la matrz de correlacoes, el smple hecho de añadr ua tedeca leal crecete a cada ua de las varables orgales, geera ua fuerte relacó leal postva etre las uevas varables T e T (r,99). També podría ser ua tedeca leal decrecete, los resultados so smlares e térmos de la exsteca de ua relacó leal sgfcatva estadístcamete, pero egatva. 38
8 6 4-3 4 5 6 7 8 9 T T Fgura 7: Seres Artfcales T e T A partr de la Fgura 7, se puede observar que ambas seres crece a lo largo del tempo, lo cual muestra la posble exsteca de ua relacó postva etre las varables T e T, cuya fuerza y lealdad puede ferrse a partr del gráfco de dspersó (Fgura 8). Además, el alto grado de correlacó se refleja por el hecho de que los putos que represeta las observacoes está muy cercaos etre sí y alrededor de ua recta. T - - - - T Fgura 8: Gráfco de dspersó etre T e T. 39
Estos msmos resultados se obtee s se añade ua tedeca estocástca (s gú sgfcado especal) a cada ua de las seres orgalmete creadas, e, creádose de esta forma dos uevas varables, RW e RW: RW + Z t t RW + Z t t t t Las uevas varables, como e el caso ateror, muestra u coefcete de correlacó muy cercao a uo: Matrz de Correlacoes para RW e RW RW RW RW..989578 RW.989578. Al observar el gráfco de las seres (Fgura 9), se puede aprecar que ambas crece, lo cual ducría a pesar (al meos estadístcamete) que la correlacó etre las varables es postva y aparetemete fuerte. 4 4 3 3-3 4 5 6 7 8 9 RW RW Fgura 9: Seres Artfcales W e W Ua tedeca estocástca es de la forma: cooce como paseo aleatoro o radom walk. Z + ε, dode ε ~ d(, ). També se le t Z t t t σ ε 4
E efecto, al observar el gráfco de dspersó de las varables W e W (Fgura ), se puede aprecar que la correlacó es sgfcatvamete alta (fuerte) y postva. RW - - - - RW Fgura : Relacó leal sgfcatva etre W e W. Estos ejemplos, que utlza seres artfcales, muestra que u coefcete de correlacó alto etre dos varables que o tee relacó algua puede ser producto de la exsteca de ua tedeca leal (determístca) o ua tedeca estocástca. 5.. Tedecas y Correlacoes Espúreas Cosdérese las varables T e T tales que cada ua de ellas cotee u compoete modelable ( e ) y ua tedeca leal determístca (t y aterormete: t ), como las smuladas Tt t + t Tt t + t Dada la estructura de las seres, podría presetarse cuatro stuacoes dferetes: 4
a. Relacó co setdo etre los compoetes rregulares o modelables ( e ) y etre los compoetes tedecales (t y t ). b. Relacó co setdo etre los compoetes rregulares o modelables ( e ), pero o etre los compoetes tedecales (t y t ). c. No exste relacó co setdo etre los compoetes rregulares o modelables ( e ), pero sí etre los compoetes tedecales (t y t ). d. No exste relacó co setdo etre los compoetes rregulares o modelables ( e ) etre los compoetes tedecales (t y t ). E todos los casos, a excepcó de la stuacó d, se afrma que exste ua relacó co setdo etre T e T, pues exste relacó co setdo etre al meos uo de sus compoetes. S embargo, e todos los casos exste ua relacó estadístcamete sgfcatva etre T e T medda a través del coefcete de correlacó etre las varables, lo cual se explca por la preseca de las tedecas leales (pesar de que o esté relacoadas sgfcatvamete). Este resultado sería el msmo s el compoete tedecal de las varables fuera estocástco. Así, cuado se aalza dos seres temporales que preseta tedecas que o tee sgfcado alguo, el coefcete de correlacó o sempre esta asocado a ua relacó co setdo. Cuado esto sucede, como e el caso d, se dce que la correlacó es espúrea o s setdo: el factor que geera la correlacó espúrea es el compoete tedecal. E otro caso, el coefcete de correlacó s estaría asocado a ua relacó co setdo etre las varables. 5.3. Idetfcacó de Correlacoes Espúreas Dado que es posble la exsteca de correlacoes espúreas e seres de tempo que preseta tedecas (determístcas o estocástcas), que o tee algú sgfcado especal, es mportate tratar de establecer algua metodología para detfcar este problema. 4
Para este propósto, es ecesaro eteder el cocepto de varables e veles y e prmeras dferecas, pues la metodología de detfcacó cosstrá e el aálss de los coefcetes de correlacó de las msmas. 5.3.. Varables e veles y prmeras dferecas Ua varable e veles es cualquer varable que se toma como puto de partda para cualquer trasformacó posteror. Por ejemplo, el vel del PBI omal e 999 es el valor del PBI omal e 999, el vel del gasto públco e 999 es el saldo del gasto públco e 999, el vel de la tasa de crecmeto aual del PBI e 999 es la tasa de crecmeto regstrada etre 999 y 998, etre otros ejemplos. Ua varable está expresada e prmeras dferecas e el período t s se obtee como la dfereca etre su valor actual y su valor pasado: (4.) t t t Así, por ejemplo, la prmera dfereca del PBI omal e 999 es la dfereca etre el valor del PBI omal e 999 y el valor del PBI omal e 998; la prmera dfereca del gasto públco e 999 es la dfereca etre el saldo del gasto públco e 999 y el saldo del gasto públco e 998; la prmera dfereca de la tasa de crecmeto aual del PBI e 999 es la dfereca etre la tasa de crecmeto etre 999 y 998 y la tasa de crecmeto etre 998 y 997. Los ejemplos plateados muestra que la defcó de varable e veles y e prmeras dferecas es relatva. Así, la prmera dfereca de t podría cosderarse como ua varable e veles, metras que la seguda dfereca de t, defda como: ) ( ) (4.) t ( t t t t podría cosderarse como la prmera dfereca de la prmera dfereca de t. 43
5.3.. Prmeras Dferecas y Elmacó de Tedecas Dadas las defcoes de varables e veles y prmeras dferecas, es fácl mostrar que s ua varable e veles preseta ua tedeca leal, su prmera dfereca ya o preseta ese compoete tedecal. Para verfcar esto, cosdérese las varables smuladas T e T: Tt t + t Tt t + t dode las tedecas o tee sgfcado alguo. La prmera dfereca de la sere está dada por: T t T t Tt t + t -[ t + (t )] Tt t + t - t - t T + ( t - t t t t ) + T + (3.3) De maera aáloga, la prmera dfereca de está dada por: T t T t t t Tt t + t -[ t + (t T + (3.5) )] Así, la prmera dfereca de ua varable elma todo compoete tedecal determístco exstete e su expresó e veles. S embargo, las prmeras dferecas de los compoetes rregulares o modelables permaece. S las varables e veles presetara u compoete tedecal estocástco, la prmera dfereca també lo elmaría. Dado el supuesto que t y t o está relacoados, s se calcula el coefcete de correlacó etre las prmeras dferecas de las varables, éste sería bajo a pesar de que el coefcete e veles es alto, cómo se mostró e la seccó 5.. Este es u ejercco que el lector debería resolver. 44
Matrz de Correlacoes para las prmeras dferecas de T e T T T T..45 T.45. De esta maera, la relacó espúrea etre e preseta u coefcete de correlacó alto para los veles de las varables y uo bajo para las prmeras dferecas de las varables. S embargo, s exstera ua relacó co setdo etre t e t, etoces el coefcete de correlacó etre los veles de las varables sería alto, al gual que el coefcete de correlacó para sus prmeras dferecas. El aálss precedete permte establecer la sguete metodología de detfcacó de correlacoes espúreas e u cotexto de seres de tempo, bajo el supuesto de que los compoetes tedecales (determístcos o estocástcos) o tee setdo alguo: a. S el coefcete de correlacó de los veles de las varables es sgfcatvamete alto, pero el coefcete de correlacó de las prmeras dferecas de las msmas es bajo, etoces la correlacó etre los veles de las varables es ua correlacó espúrea o s setdo alguo. b. S el coefcete de correlacó de los veles y de las prmeras dferecas de las varables es sgfcatvamete alto, etoces la correlacó etre los veles de las varables es ua correlacó co setdo. 5.3. Correlacoes Espúreas y Correlacoes co Setdo Ecoómco E muchas ocasoes, la teoría ecoómca establece que es posble ecotrar relacoes co setdo etre pares de varables bajo certas crcustacas. Por ejemplo, o sempre exste ua relacó co setdo ecoómco etre los precos de todos los bees de la ecoomía, pero sí etre los precos de los bees producdos por dos empresas que compte e el msmo mercado. De hecho, s los precos de dos bees cualesquera preseta u compoete tedecal s setdo ecoómco, es posble ecotrar u coefcete de correlacó alto etre ellos s que eso mplque que guarde algua relacó co setdo. 45
E casos como estos, dode es posble que exsta relacó co setdo ecoómco y se teta ecotrar evdeca sobre ello, es posble aplcar la metodología presetada e la seccó ateror. Así, bajo el supuesto de que los compoetes tedecales de cada ua de las varables ecoómcas relacoadas o tee setdo: a. S el coefcete de correlacó de los veles de las varables es sgfcatvamete alto, pero el coefcete de correlacó de las prmeras dferecas de las msmas es bajo, etoces la correlacó etre los veles de las varables es ua correlacó espúrea o s setdo ecoómco. b. S el coefcete de correlacó de los veles y de las prmeras dferecas de las varables es sgfcatvamete alto, etoces la correlacó etre los veles de las varables es ua correlacó co setdo ecoómco. Esta metodología para detfcar correlacoes espúreas a partr de los coefcetes de correlacó, fue utlzada por Stgler y Sherw (985). La hpótess prcpal del artículo e el cual poe e práctca la metodología es la sguete: S dos bees o servcos compte e el msmo mercado, sus precos debería estar muy correlacoados. S embargo, como la mayoría de precos muestra movmetos tedecales e el tempo (que se asume que o tee terpretacó ecoómca e muchos casos), los autores aalzaro la correlacó etre los veles de los precos y sus prmeras dferecas (cambo e lo precos), para poder detfcar la exsteca de ua correlacó co setdo ecoómco. Los resultados del aálss mostraro que el valor del coefcete de correlacó o dsmuye drástcamete al utlzar las varables e veles y e prmeras dferecas. De esta maera, los autores cocluye que los bees estudados compte e el msmo mercado. 46
6. APLICACIONES: IDENTIFICACIÓN DE RELACIONES ESPÚREAS ENTRE VARIABLES ECONÓMICAS E esta seccó se preseta aplcacoes del coefcete de correlacó para el aálss de relacoes bvaradas y la detfcacó de posbles correlacoes espúreas. Para este f, se aalza dferetes relacoes bvaradas etre varables ecoómcas empleado datos mesuales para el Perú (seres de tempo) que abarca el período eero 993 - dcembre. 6.. Descrpcó de los datos utlzados Los datos empleados para realzar las aplcacoes ha sdo obtedos del Baco Cetral de Reserva del Perú (Boletes Semaales, Memoras Auales y pága web 3 ), y correspode a ocho varables mportates para la ecoomía peruaa. Las seres escogdas como varables proxy (aproxmadas) para cada ua de las varables ecoómcas utlzadas fuero: la emsó prmara (EMISION), el ídce de precos al cosumdor co base 994 (IPC94), el crculate omal (CIR), el producto bruto tero real (PBIR), el tpo de cambo formal promedo (TCIP), el crédto de las empresas bacaras al sector prvado e moeda extrajera (CREME), la tasa de terés pasva e moeda acoal (TIPMN) y la tasa de terés actva e moeda extrajera (TAME). Para obteer seres que permta represetar relacoes bvaradas co setdo ecoómco, se realzaro alguas trasformacoes. E prmer lugar, se elmaro los compoetes cíclcos o estacoales de las seres EMISIÓN, CIR y PBIR, a través del procedmeto de desestacoalzacó rato movg average-multplcatve del programa Evews. Las seres desestacoalzadas se deomaro EMISIONSA, CIRSA y PBIRSA. Los compoetes estacoales depede de la ecoomía aalzada. Por ejemplo, la emsó moetara e el caso peruao preseta u compoete estacoal represetado por pcos e los meses de julo y dcembre, que se observa e la fgura. 3 http://www.bcrp.gob.pe 47