Tem 8 Geometrí Anlític Mtemátics º ESO TEMA 8 GEOMETRÍA ANALÍTICA RELACIÓN ENTRE PUNTOS DEL PLANO EJERCICIO : Hll el punto medio del segmento de extremos P, y Q,. Ls coordends del punto medio, M, son l semisum de ls coordends de los extremos: M,, EJERCICIO : Hll el simétrico, A, del punto A, 0 respecto de B, 8. Llmmos x, y ls coordends de A. El punto medio del segmento de extremos A y A es B. x x Por tnto: A, 6 y 6 0 y 8 EJERCICIO : Determinr si los puntos A(,), B(,) y C(,0) están linedos. AB (,) AC (,0) (,) (,) (,) (-,-) Cierto Están linedos EJERCICIO : Hll el vlor de k pr que los puntos A,, B0, y C,k estén linedos. AB (0,) - (,) (-,) ) k k AC (, k) - (,) (,k -) k ECUACIONES DE RECTAS EJERCICIO : Escribe l ecución generl de l rect, r, que ps por los puntos, 0 y, 6. b Hll l ecución de l rect, s, prlel y x que ps por el punto,. c Obtén el punto de corte de ls dos rects nteriores. 6 0 6 Pendiente Ecución: y 0 x y x x y 0 b Si son prlels, tienen l mism pendiente: m. Ecución: y x y 8 x x y 0 c Es l solución del sistem siguiente: x y 0 y x x y 0 x x 0 x 6x 6 0 x 0 x y Punto:,
Tem 8 Geometrí Anlític Mtemátics º ESO EJERCICIO 6 : Hll l ecución de l rect, r, que ps por, y tiene como vector dirección d, b Escribe l ecución de l rect, s, que ps por, y es prlelo l eje X. c Obtén el punto de corte de ls dos rects nteriores. ) Pendiente Ecución: y x y x y x b y y x c Es l solución de este sistem: x y x Punto:, EJERCICIO 7 : Hll l ecución de l rect, r, que ps por 0, 0 y es prlel l vector d, 6. b Escribe l ecución generl de l rect, s, que ps por, y es perpendiculr x y 0. c Obtén el punto de intersección de ls dos rects nteriores. 6 Pendiente Ecución: y x b Pendiente de x y 0 y x m Pendiente de l perpendiculr m Ecución de s: y x y x x y 0 y x x x 0 x y c Es l solución del siguiente sistem: x y 0 Punto:, EJERCICIO 8 : Obtén l ecución de l rect, r, que ps por, y tiene pendiente. b Escribe l ecución de l rect, s, perpendiculr x y que ps por,. c Hll el punto de intersección de ls rects r y s. y x y x x y 0 b Pendiente de x y x y x m Pendiente de l perpendiculr m Ecución: y x y x 6 y x 0 c Es l solución del siguiente sistem: x y 0 x x 0 0 x 6x 0 0 y x 0 7x x y Punto:, EJERCICIO 9 : Escribe l ecución generl de l rect, r, que ps por los puntos 0, y,. b Obtén l ecución de l rect, s, prlel x y que ps por el punto,. c Hll el punto de corte de ls dos rects nteriores. Pendiente Ecución: y x 0 0 y x x y 0.
Tem 8 Geometrí Anlític Mtemátics º ESO b Si son prlels, tienen l mism pendiente: x y y x m Ecución: y x y x y x x y 0x x 0 x y c Es l solución del sistem siguiente: y x Punto:, EJERCICIO 0 : ) Escribe l ecución de l rect que ps por (, ) y es prlel y x. b Hll l ecución de l rect que ps por 0, y es perpendiculr x y. Si son prlels, tienen l mism pendiente: y x m x Ecución: y x y x y x y b Pendiente de x y y x m Pendiente de l perpendiculr m Ecución: y x y x x y 0 EJERCICIO : Ddos los puntos A, y B,, hll ls ecuciones de ls dos rects siguientes: ) r: ps por A y es prlel AB b) s: ps por B y es prlel AB AB, Rect r : m. Ecución: y x y x 0 x y 0 Rect s : m m Ecución: y x y 0 x x y 0 EJERCICIO : Obtén l ecución de l rect prlel l eje X que ps por el punto,. b Hll l ecución generl de l rect perpendiculr x y que ps por el punto 0,. y b Pendiente de x y y x m Pendiente de l perpendiculr m Ecución: y x y x x y 0 EJERCICIO : Hll l ecución de l rect, r, prlel x y 0, que ps por,. b Hll l ecución de l rect perpendiculr y 0 que ps por,. Puesto que son prlels, tienen l mism pendiente: x x y 0 y x m Ecución de r : y x y 6 x x y 8 0 b L rect y 0 es prlel l eje X; por tnto, l que buscmos, es prlel l eje Y. Su ecución será x.
Tem 8 Geometrí Anlític Mtemátics º ESO DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EJERCICIO : Clcul l distnci que hy entre los puntos A8, 0 y B,. dist A, B 8 0 0 00 76 676 6 EJERCICIO : Hll l distnci entre los puntos P6, y Q0, 6. dist P, Q 0 6 6 6 8 6 6 00 0 REPASO EJERCICIO 6 : x y Cuál de ls rects r: y x, s: y x y t : es prlel l rect x y 0? Dos rects son prlels cundo tienen l mism pendiente. Pendiente de r m Pendiente de s m x y Pendiente de t : x y y x y x y x m L pendiente de x y 0 es m. Luego s es l rect prlel x y 0. EJERCICIO 7 : Dd l rect x by 0, indic qué relción debe hber entre y b pr que el punto P,6 pertenezc l rect. El punto P, 6 pertenecerá l rect x by 0 si se cumple: b 6 0 6b 0 b 0 b Luego, P, 6 pertenecerá dich rect si es el triple de b. EJERCICIO 8 : Indic rzondmente si ls siguientes firmciones son verdders o flss: ) L rect de ecución x c 0 es un rect prlel l eje Y, c. b Si m y m son ls pendientes de dos rects prlels se cumple que m m 0. c) L pendiente de un rect perpendiculr r: x by c 0 es. b
Tem 8 Geometrí Anlític Mtemátics º ESO ) VERDADERO. c c x c 0 x constnte rect prlel l eje Y que ps por, 0 b) VERDADERO. Por ser prlels ls rects m = m m m = c) FALSO. c L pendiente de r es m y x l pendiente de l rect perpendiculr b b b b r es m. m EJERCICIO 9 : Qué relción hbrá entre y b pr que ls rects r : x y 6 y s: bx y sen prlels? Y pr que sen perpendiculres? r y s son prlels si l pendiente de mbs coincide. Pendiente de r y 6 x y x mr Pendiente de s y bx ms b mr ms b b Por tnto, r y s serán prlels cundo se el triple de b. Pr que r y s sen perpendiculres mr b m b EJERCICIO 0 : Hll el vlor de m pr que ls rects r : y x 0 y s: mx y 0 no se corten. Pr que r y s no se corten, el vlor de m buscdo será quel que hg que r y s sen prlels, es decir, tengn l mism pendiente. Pendiente de r y x m r m m Pediente de s y mx y x ms m mr ms m EJERCICIO : Dds ls rects r : x c 0 y s: x c 0: Son prlels? b Qué condición se h de cumplir pr que sen coincidentes? c Escribe l ecución de l rect perpendiculr r y s que pse por el punto,. Sí. Son rects de l form x k, es decir, rects prlels l eje Y. c c b Pr que sen coincidentes. c Un rect perpendiculr r y s es de l form y k', rect prlel l eje X. Como tiene que psr por el punto,, entonces l rect buscd es y. s
Tem 8 Geometrí Anlític Mtemátics º ESO 6 EJERCICIO : En el triángulo de vértices A(,, B, y C, hll: L ecución de l ltur h que prte de B. b L ecución de l ltur h que prte de C. c El ortocentro del triángulo punto de intersección de ls lturs. L ltur h es perpendiculr l ldo AC. Pendiente de AC m Pendiente de h m L rect h ps por B y su pendiente es ; luego su ecución es: y x y 0 x 6 y x 0 b L ltur h es perpendiculr l ldo AB. Pendiente de AB m Pendiente de h m L rect h ps por C y su pendiente es ; su ecución es: y x y x y x 0 c Pr clculr el ortocentro, resolvemos el sistem formdo por ls ecuciones de h y h : y x 0 y x 0 y x x x 0 0x x 0 x x 8 8 y x El ortocentro es el punto,. EJERCICIO : Clcul el vlor de y de b pr que ls rects r : x y 0 y s: bx 9y 0 sen prlels y, demás, r pse por el punto P,. Pendiente de r: x y y x mr Pendiente de s: bx 9y b b y x ms 9 9 9 Pr que r y s sen prlels, ls pendientes hn de coincidir: b mr ms 9 b b Clculmos sbiendo que P, pertenece l rect r : 0 6 0 Por tnto, y b.
Tem 8 Geometrí Anlític Mtemátics º ESO 7 EJERCICIO : Ls rects r : x y 0, s: x y 0 y t: x y 0 formn un triángulo ABC. Clcul los vértices y el ortocentro del triángulo. Clculmos los vértices resolviendo los siguientes sistems: x y 0 x y 0 x y 0 x y 0 x 0 x 9 x Luego A,. x y 0 x y 0 x y 0 x y 0 x 0 x x Por tnto B,. y 0 y y 0 y x y 0 x y 0 x y 0 x y 0 6y 0 y x 8 0 x x Luego C,. Pr clculr el ortocentro del triángulo hllmos ls ecuciones de dos lturs y resolvemos el sistem formdo por ells: Altur h que prte de A es perpendiculr BC Pendiente de BC : m pendiente de h : m Ecución de h : y x y x 6 y x 9 0 Altur h que prte de B es perpendiculr AC Pendiente de A C : m pendiente de h : m Ecución de h : y x y x y x 0 Resolvemos el sistem: y x 9 0 y x 9 0 y x 0 y x 0 8 6x 8 0 x 6 8 9 9 y 9 0 y 0 y 9 9 El ortocentro es,. 9 EJERCICIO : L rect r: x y 0 es l meditriz del segmento AB del que conocemos A,. Hll: El punto de intersección de r con l perpendiculr r trzd desde A. b El punto B.
Tem 8 Geometrí Anlític Mtemátics º ESO 8 Pendiente de r : y x m Pendiente de l perpendiculr r : m Ecución de l perpendiculr: y x x Punto de corte: x y 0 x x 0 x y x y x y Por tnto, P(,. b El punto Bx, y) es el simétrico de A respecto de P : x x y y B, EJERCICIO 6 : Comprueb que el cudrilátero de vértices A,, B6,0, C, y D(0,0) es un trpecio rectángulo y hll su áre. Pr ver que es un trpecio rectángulo, comprobmos que un ldo DA es perpendiculr otros dos CD y AB : DA es l bisectriz del primer cudrnte m AB y CD tienen pendiente Luego DA es perpendiculr AB y CD el trpecio es rectángulo. Clculmos el áre hllndo ls siguientes distncis: dist A, B 6 0 9 9 8 dist C, D 6 6 dist D, A 8 ltur del trpecio AB CD DA 7 Áre u
Tem 8 Geometrí Anlític Mtemátics º ESO EJERCICIO 7 : Clcul el áre del triángulo de vértices A,, B(, y C,0. 9 Áre del triángulo AB CD Llmmos h l ltur que prte del vértice C. AB 6 6 0 L ltur h es perpendiculr l ldo AB: 6 Pendiente de AB : m ecución de AB : y x x y 7 0 Pendiente de h : m L rect h ps por C y su pendiente es. h : y x y x x y 0 Buscmos el punto de intersección, D, de l rect h con el ldo AB : x y 7 0 9x y 0 x y 0 x y 0 9 0x 9 0 x 0 9 9 y 0 y y 0 0 0 9 Por tnto, D,. 0 0 9 9 CD 690 0 0 0 0 0 0 690 0 67 600 60 Áre u 0 0 EJERCICIO 8 : Clcul los puntos de corte de l circunferenci x y con l rect y x =. Los puntos de corte son ls soluciones del sistem que formn sus ecuciones: x y x x x x x x x 0 y x 0 y x
Tem 8 Geometrí Anlític Mtemátics º ESO 0 y x 8 x x 0 x y x Los puntos de corte son, y,. EJERCICIO 9 : Dos de los vértices del triángulo ABC son A(, 7 y B,. Clcul ls coordends de C sbiendo que l rect x 0 es l meditriz del segmento BC. b Clcul l ecución de l ltur h que prte de C. L meditriz del segmento BC es perpendiculr dicho segmento. Si l rect meditriz es x, l rect perpendiculr ell que ps por B, es y. Por tnto, el punto medio del segmento BC es,. 6 b b b Llmmos C, b : C, b L ltur h que prte de C es perpendiculr l segmento AB. Pendiente de AB : m Pendiente de h : m L rect h que ps por C, y tiene de pendiente es : y x y 0 x x y 6 0