Unidd 4 Teorems Integrles 4.1 Teorem de l ivergenci en el Plno ivergenci de un Cmpo Vectoril en el Plno R 2 do un cmpo vectoril F : R 2 R 2, se tiene que F represent el cmpo de velociddes de un uido en un cierto instnte; es decir, si x, y es un punto por el cul ps un uido, entonces F x, y representrá l velocidd con l que vij el uido en ese punto. Ahor bien, si considermos un segmento de rect por donde ps el uido y elegimos un vector ˆN que punte en un dirección norml l segmento de rect ecimos que el número F ˆN ll Longitud del segmento nos d l medid en términos de un áre de que tnto se expnde el uido trvés de L en un unidd de tiempo, y que est expnsión es en l dirección en l que punt ˆN. Supongmos que el cmpo F : R 2 R 2 ddo por F M, N denido en de R 2 es el cmpo de velociddes de un corriente de un uido. Estmos interesdos en estimr cuánto uido ps por un "pequeñ"porción de. Se p x.y y consideremos el rectángulo R con centro en p ddo por R {x, y R 2 x h x x + h, y k y y + k} Fcultd de Ciencis UNAM Cálculo iferencil e Integrl IV Prof. Estebn Rubén Hurtdo Cruz 1
Unidd 4 Teorems Integrles 4.1 Teorem de l ivergenci en el Plno Tomndo h y k sucientemente pequeños podemos segurr que R. Un estimción de cunto uido ps trvés del rectángulo R l podemos obtener sumndo lo que ps por los ldos b y d, y los ldos cd y bc. Hgmos el cálculo de l cntidd de uido que ps por el ldo b Lo que entr l ldo b En este cso pr el ldo b se tiene F x, y k ĵ 2 h Mx, y k, Nx, y k, 1 2 h 2hNx, y k Fcultd de Ciencis UNAM Cálculo iferencil e Integrl IV Prof. Estebn Rubén Hurtdo Cruz 2
Unidd 4 Teorems Integrles 4.1 Teorem de l ivergenci en el Plno nlogmentre pr ldo d se tiene Pr el ldo dc se tiene F x h, y î2k 2kMx h, y F x, y + k ĵ2h 2hNx, y + k Fcultd de Ciencis UNAM Cálculo iferencil e Integrl IV Prof. Estebn Rubén Hurtdo Cruz 3
Unidd 4 Teorems Integrles 4.1 Teorem de l ivergenci en el Plno Pr ldo cb F x + h, y î2k 2kMx + h, y Entonces l cntidd de uido que ps trvés del rectángulo R es proximdmente 2hNx, y k 2kMx h, y + 2hNx, y + k + 2kMx + h, y 2kMx + h, y 2kMx h, y + 2hNx, y + k 2hNx, y k 2kMx + h, y Mx h, y + 2hNx, y + k Nx, y k El cociente F ˆN ll re de R se puede interpretr como l expnsión promedio producid por F trvés de R. Por lo tnto ividiendo 2kMx + h, y Mx h, y + 2hNx, y + k Nx, y k entre el áre encerrd por el rectángulo R igul 4 hk, obtenemos un medid de l cntidd de uido que ps por R por unidd de áre. Ést es entonces Mx + h, y Mx h, y 2h + Nx, y + k Nx, y k 2k hciendo que h, k tiendn cero, obtenemos informción sobre cuánto uido ps por el punto p por unidd de áre Mx + h, y Mx h, y + Nx, y + k Nx, y k h,k 2h 2k Mx + h, y Mx h, y Nx, y + k Nx, y k + h 2h k 2k Fcultd de Ciencis UNAM Cálculo iferencil e Integrl IV Prof. Estebn Rubén Hurtdo Cruz 4
Unidd 4 Teorems Integrles 4.1 Teorem de l ivergenci en el Plno 1 2 h + 1 Nx, y + k Nx, y k 2 k 2k Mx + h, y Mx, y + Mx, y Mx h, y + h Mx + h, y Mx h, y h 1 2 h 1 2 k Nx, y + k Nx, y + Nx, y Nx, y k 2k M N p + x x p Supongmos que el cmpo F : R 2 R 2 ddo por F M, N denido en de R 2 es el cmpo de velociddes de un corriente de un uido, y se Γ un curv suve. Necesitmos encontrr un form de medir que tnto se expndir el uido trvés de Γ. Pr esto considermos un prtición ˆP, ˆP 1,..., ˆP k Γ si denotmos ˆPi ˆP i 1 l vector que se obtiene de girr novent grdos en l dirección horri l vector ˆP i ˆP i 1 el número F ξ i ˆP i ˆP i 1 con ξ i ˆPi 1 ˆPi es un proximción l expnsión del uido trvés del subrco Γ i en l dirección ˆP i ˆP i 1, de mner que F ξ i ˆP i ˆP i 1 i1 será un proximción l expnsión del uido trvés de tod l curv Γ en l dirección determind por ˆP i ˆP i 1. Si α : [, b] R 2 prmetriz Γ y P {t,..., t k } es un prtición de [, b] entonces l expresión se puede escribir F αξ i αt i αt i 1 i1 Fcultd de Ciencis UNAM Cálculo iferencil e Integrl IV Prof. Estebn Rubén Hurtdo Cruz 5
Unidd 4 Teorems Integrles 4.1 Teorem de l ivergenci en el Plno donde ξ i [t i 1, t i ] es tl que αξ i ˆξ i Tenemos entonces que F αξ i αt i αt i 1 i1 F αξ i α ξ i t i t i 1 i1 F αξ i α ξ i t i t i 1 t i t i 1 i1 Tomndo un prtición sucientemente grnde F αξ i α ξ i t i t i 1 t i t i 1 i1 donde α t x t, y t y t, x t hor bien, si F M, N y αt xt, yt entonces F αt α t dt plicndo el Teorem de Green F αt α t dt F xt, yt y t, x t dt Mxt, yt, Nxt, yt y t, x t dt Mxt, yty t Nxt, ytx t dt Mxt, yt dy dt plicndo el teorem del vlor medio M dy N dx Nxt, ytdx dt dt N dx + M dy M x N M x + N N dx + M dy dx dy dx dy M x ˆξ i + N ˆξ i m por lo tnto F αt α t dt M x ˆξ i + N ˆξ i m Fcultd de Ciencis UNAM Cálculo iferencil e Integrl IV Prof. Estebn Rubén Hurtdo Cruz 6
Unidd 4 Teorems Integrles 4.1 Teorem de l ivergenci en el Plno de mner que m F αt α t dt m F αt α t dt m M N ˆx + x ˆx M x ˆξ i + N ˆξ i M m x ˆξ i + N ˆξ i enición 1. Se F : R 2 R 2, ddo por F M, N y x, y M tl que x x, y + N x, y existen pr todo x, y. enimos l divergenci de F en x, y, que denotmos por div F x, y, como div F x, y M x x, y + N x, y Teorem de l ivergenci en el Plno Teorem 1. Teorem de l divergenci en el plno Se R 2 un región cuy fronter est positivmente orientd y que se puede ver como l imgen de l curv de clse C 1 α : [, b] R 2. Se F : R 2 R 2 un cmpo vectoril de clse C 1 denido en. Si ˆNt es el vector norml unitrio exterior, se tiene F N div F dx dy F r emostrción. Se α : [, b] R 2 un curv cerrd en R 2 tl que F r αt dd por Y el vector norml se puede escribir como αt xtî + ytĵ α t x tî + y tĵ y tî x tĵ Nt Fcultd de Ciencis UNAM Cálculo iferencil e Integrl IV Prof. Estebn Rubén Hurtdo Cruz 7
Unidd 4 Teorems Integrles 4.1 Teorem de l ivergenci en el Plno Entonces ddo el cmpo F : R 2 R 2 como F x, y Mî + Nĵ se tiene F r F N F αt Nt dt Mxt, yt dy Nxt, ytdx dt dt plicndo el teorem de Green M x N F xt, yt y t, x tdt dt M dy N dx Mxt, yty t Nxt, ytx t dt N dx + M dy M dxdy x + N dxdy div F dxdy L generlizción de est form tres dimensiones se llm Teorem de l divergenci Guss. Ejemplo Vericremos el teorem de l divergenci con el cmpo F x, y x, y y se {x, y R 2 x + y 1, y x } un prmetrizción de l fronter serí α 1 : [, 1] R 2 dd por α 1 t t, α 2 : [, 1] R 2 dd por α 1 t 1 t, t α 1 : [, 1] R 2 dd por α 1 t, 1 t por lo tnto F α F + α 1 F + α 2 α 3 F Fcultd de Ciencis UNAM Cálculo iferencil e Integrl IV Prof. Estebn Rubén Hurtdo Cruz 8
Unidd 4 Teorems Integrles 4.1 Teorem de l ivergenci en el Plno en este cso se tiene que α 2 F α 1 F F t,, 1 dt F 1 t, t 1, 1 dt α 3 F F, 1 t 1, dt t,, 1 dt F t 1, t 1, 1 dt, t 1 1, dt por lo tnto el ujo trvés de será F F r F + α 1 F + α 2 F 1 α 3 El signo signic que el ujo es hci el interior de Por otro ldo div F div x, y x x + y 2 entonces div F dxdx 2 dxdy 2 dxdy 1 1 dt 1 Fcultd de Ciencis UNAM Cálculo iferencil e Integrl IV Prof. Estebn Rubén Hurtdo Cruz 9