Fcultd Regionl Mendoz. UTN Álger y Geometrí Anlític 5 Trjo Práctico N 6: ESPACIOS VECTORIALES CON PRODUCTO INTERIOR Ejercicio : Determine cuáles de ls siguientes expresiones define un producto interior en cd espcio vectoril indicdo, comprondo los xioms en los csos firmtivos y mostrndo qué xioms no se cumplen en los csos negtivos. ) VIR 3, <u, v> es el producto interior euclidino en IR 3, u V y v V. ) VIR, <u, v> 3u v + 5u v, u (u, u ) V y v (v, v ) V. c) VIR 3, <u, v> u v u v + u 3 v 3 u (u, u, u 3 ) V y v (v, v, v 3 ) V. d) VM, <A, B> det(a.b) A V y B V. Ejercicio : Complete l siguiente tl, considerndo el producto interior definido en cd espcio vectoril indicdo. <u, v> II u II d(u, v) Anu, v) VIR <u, v> producto esclr euclidino u(,) v(, -) VIR 3 <u, v> u v + u v +4 u 3 v 3 u(,,) v(-,3,) VM <A, B> + + + - ua vb Ejercicio 3: Sen u y v vectores culesquier de un espcio vectoril V con producto interior: ) Demuestre que II u + v II + II u - v II II u II + II v II. ) Verifique l identidd demostrd en el ítem ) pr VIR, <u, v> u v + u v, u (, -) V y v (-, ) V.
Fcultd Regionl Mendoz. UTN Álger y Geometrí Anlític 5 Ejercicio 4: Pr u, v y w vectores tles que <u, v> -3, <v, w>4, <u, w> 6, II u II3, II v II5 y II w II, evlúe ls siguientes expresiones. ) <v w, 4u + w> ) <u v w, u + 3v> c) II u + v II d) II u 3v + w II Ejercicio 5: Compruee l desiguldd de Cuchy-Schwrz pr los siguientes vectores en los espcios vectoriles con producto interior indicdos: ) VIR, <u, v> 3u v + u v, u (-, ) V y v (, ) V. - ) VM, <A, B> + + +, A V y B 6 3 V. Ejercicio 6: Sen u y v vectores del espcio vectoril VIR 3 con producto interior euclidino, hlle, de ser posile, los vlores posiles de k de modo que u y v sen ortogonles en cd uno de los siguientes csos: ) u (-,, 3) y v (, k, -) ) u (, k, -) y v (k, 3k, ) Ejercicio 7: Complete l siguiente tl según correspond, considerndo en cd espcio vectoril indicdo el producto interior euclidino. Ortogonl V Conjunto Normlizdo Ortonorml Bse dev Bse Ortonorml de V IR {(,), (, )} IR {(-,), (, )} X X IR 3 X X X IR 3 {(/,, / ), (.,,.), (/,, -/ )} X X X X X IR 4 {(-,,, ), (,,, )}
Fcultd Regionl Mendoz. UTN Álger y Geometrí Anlític 5 Ejercicio 8: Se H l rect de IR 3 de ecuciones prmétrics x t, y -5t, z 4t, t IR: ) Determine el suespcio W de IR 3 que descrie todos los vectores ortogonles H, considerndo el producto interior euclidino. ) Oteng l medid del ángulo entre W y el plno de ecución x - 3y z. Ejercicio 9: Determine el vlor de verdd de ls siguientes proposiciones. Demuestre ls verdders y proporcione contrejemplos pr ls flss. ) Si u y v son vectores ortogonles en un espcio vectoril con producto interior V tles que II u II II v II, entonces II u - v II. ) Todo conjunto de vectores linelmente independiente de IR n es un conjunto ortogonl. c) Si u es un vector de un espcio vectoril con producto interior V y k IR entonces II k u II I k I II u II. d) Todo conjunto ortogonl de IR n es un se de IR n. e) Sen u, v y w vectores de un espcio vectoril con producto interior V, si w es ortogonl l vector u y l vector v entonces w es ortogonl tod cominción linel de u y v. Ejercicio (OPCIONAL): Norm de dificultd. Un form lgeric pr representr el nivel de dificultd socido l descenso de ríos o rfting es l norm de dificultd. L dificultd de los ríos nvegr se mide en un escl del I l VI, que está determind por ls turulencis que gener el gu en el cuce del rio, comúnmente llmdos rápidos. Los índices de dificultd se presentn en l siguiente tl: Clse de dificultd I II III Descripción Muy fácil. Agus csi plns, muy poco turulents con ols pequeñs. Totlmente nvegle. Fácil. Agus un poco turulents con huecos y hoyos de no más de 5 centímetros, remolinos pequeños sin peligro lguno pr un nddor. Intermedio. Agus turulents con huecos y ols medins de no más de un metro, remolinos de cuiddo pr un nddor y Índice de dificultd 3
Fcultd Regionl Mendoz. UTN Álger y Geometrí Anlític 5 de lgun considerción pr un emrcción. L nvegción requiere uen técnic y conocimiento del río. IV V VI Difícil. Agus lncs muy turulents pero predeciles. Huecos y ols de hst dos metros, remolinos considerles pr un emrcción. Pueden existir cscds de considerción. L nvegción requiere muy uen técnic y conocimiento del río. Experto. Agus lncs muy turulents poco predeciles con ols y huecos de más de dos metros. Remolinos y cscds de peligro. Necesidd de mniors extremdmente técnics. Extremdmente difícil o no nvegle. Se consider muy difícil o imposile de nvegr. 4 5 6 Considere que se dese nvegr un río que tiene u kilómetros con dificultd clse II, u kilómetros con dificultd clse III y u 3 kilómetros con dificultd clse IV, usndo los índices de l tl nterior, l norm de dificultd socid este recorrido del río es:, u, u3) u + 3u 4 ( u + u 3 Utilizndo est norm se dese comprr l dificultd de dos recorridos de nvegción, en dos ríos diferentes, con los siguientes kilómetros en tres trmos de dificultdes diferentes: Río Mendoz (Potrerillos): 4 km en clse II, 8 km en clse III y 6 km en clse IV Río Grnde (Mlrgüe): km en clse II, 6 km en clse III y km en clse IV pr lo cul se pueden representr los trmos de ls tryectoris en cd río con los vectores u M (4, 8, 6) y u G (, 6, ) y clculr sus norms de dificultd socids: Recorrido en Río Mendoz u M (4, 8, 6) u... Recorrido en Río Grnde u G (, 6, ) u... M G Por lo tnto el recorrido de myor dificultd, usndo l norm definid, es.
Fcultd Regionl Mendoz. UTN Álger y Geometrí Anlític 5 Ejercicio (OPCIONAL): Un producto interior socido con el cálculo. ) Sen f y g dos funciones continus en el intervlo cerrdo [, ]. Se demostrrá que f, es un producto interior sore el espcio de tods ls funciones continus definids en [, ]. ) Use el producto interior definido en el ítem ) pr clculr f, pr cosπx y senπx, con x en [, ]. c) Clcule II f II pr sen(π, con x en [, ]. Solución ) Sen f, g y s funciones en dicho espcio y k un número rel:. f, g, f. f + g, ( + ) + f, + g, 3. k f, k k k f, 4. f, f f ( por ser f ( pr todo x en [, ]. Además, por ser f continu y f (, en [, ], f ( si y sólo si f ( pr todo x en [, ]. Por lo tnto se tiene que f, f si y sólo si f. Por lo tnto se verificn todos los xioms de l definición de producto interior. ) c) f sen (π f, coπ sen(πx ) f, π + co4 ), co ) co ) cos ( ) πx f f πx πx πx x co4π + 4π + f