Uiversidd de l Repúblic Cálculo diferecil itegrl e u vrible Fcultd de Igeierí - IMERL Segudo seestre 8 Práctico Se 6. Cbio de vrible liel. Se f : R R u fució itegrble y,b R tl que < b. Probr que: Pr todo p R se cuple que b Pr todo r R + se cuple que +p f (tdt = f (t pdt +p r ( t r f (tdt = f dt r r c Deducir que pr todo p R y r R + se cuple que d Probr que rb+p r f (tdt = f r+p ( t p r r(b+p ( t dt y r f (tdt = f r(+p r p dt f (tdt = f (b + t De l iguldd terior verificr que x ( x dx = x ( x dx pr todo pr, N. Clculr e fució del vlor xk dx l itegrl x ( x dx.. Clculr l itegrl x dx e fució de b y x dx. Deducir l fórul geerl x dx e fució de,b y x dx.. Defiició y propieddes de l fució logrito Defiios l fució logrito coo x log(x = t dt Probr que l fució log : R + R es creciete. Cocluir que su úic ríz es b Probr l desiguldd log(( + log( pr todo N,. c Probr que log( = x x t dt,,x R +. Probr que log(xy = log(x + log(y d A prtir de l iguldd terior probr que: log ( x = log(x log(x = log ( x log ( x = log(x
4 Ms e geerl probr por iducció que: log(x = log(x pr todo N 5 Copletr l prueb pr el cso rciol, es decir: log ( x = log(x pr todo, Z, e A prtir de l iguldd log(x = log(x deducir que l fució log o est cotd 4. Círculos y elípses A prtir de u cbio de vrible liel clculr el áre de u círculo de rdio r e fució del áre de u círculo de rdio. b A prtir de u cbio de vrible liel clculr el áre de l elípse de ecució x fució del áre de u círculo de rdio. 5. Sbiedo que f : [,] R es u fució itegrble, deostrr que: Si f es pr, etoces b Si f es ipr, etoces f (xdx =. Cálculo de itegrles f (xdx =. f (xdx.. Se f : [,8] R itegrble tl que 8 f (xdx = y f (xdx =. 8 Clculr f (xdx b Probr que existe c,d [,4] tl que f (c 5 y f (d 7.. Supog que f y g so dos fucioes itegrbles y que + y b = e f (xdx = 4, f (xdx = 6, g(xdx = 8 Clculr: d f (xdx e g(x dx b 5 g(x dx c (f (x g(xdx f f (xdx (4f (x g(xdx. Clculr ls siguietes itegrles π si(kt + 5dt, k N b t(x dx b Deterir el sigo de ls siguietes itegrles si ( x π dx b cos ( x π dx
4. Clculr ls siguietes itegrles co prte eter: d [x] dx b dx e [x] 6 9 5. Clculr ls siguietes itegrles de los polioios: d x dx b x x + dx e 4 [ x]dx c ( π[x] si dx f 6 x 4 dx c x x + dx f 6. Clculr ls itegrles prtir de l defiició de logrito: dx b x d x x + dx c x + e x x + x dx x dx x 5 dx (x + (x + dx x + dx 7. Clculr cd u de ls siguietes itegrles. Dibuje l gráfic f e cd cso. 8. Clculr: f (tdt, dode f (x = c { x si x x si < x b x dx d x + dx e x dx 9. Clculr el re ecerrd por los gráficos de f y g e los siguietes csos: x(x dx f (x = x, g(x = 9 b f (x = x, g(x = x + c f (x = x + x g(x = x. Apliccioes. Trbjo Supog que u prtícul p se ueve sobre u direcció fij. El trbjo W ivertido sobre est, por u gete que ejerce u fuerz F costte y coliel co el desplzieto, es W = F r. Bjo ests hipótesis: L fuerz F podrí ser egtiv El trbjo solo depede de l fuerz y el odulo del desplzieto y o coo ocurrió este desplzieto. Si l prtícul p se ueve desde el puto hst el puto b se tiee que W = F(xdx. Pr trbjr co este proble debeos teer expresd l fuerz coo fució de l posició y o del tiepo. Por ejeplo, podríos clculr el trbjo relizdo por l fuerz grvittori de l Tierr u objeto que ce. Otro ejplo, es l fuerz ejercid por u resorte. Noteos coo W b (F l trbjo ivertido por l fuerz F. Propieddes esperbles de est ctidd
(I Propiedd ditiv: Si < b < c etoces W c (F = W b + W c b (II Propiedd oóto: Si f g e [,b] etoces W b (f W b (g (III Fórul eleetl: Si F es costte, por ejeplo F(x = c pr todo x (,b etoces W b (F = c(b Probr que si F es costte trozos etoces W b (F = F(xdx. b Supog que el trbjo se h defiido pr u fil de fucioes F de odo que stisfce (I, (II y (III. Probr que si F es u fució itegrble se cuple que W b (F = F(xdx. c U bló se suelt desde etros de ltur. Clculr el trbjo de l fuerz de grvedd cudo el bló toc el suelo. d U prtícul se desplz sobre u direcció desde { x = hst x = 4. Est prtícul se ecuetr soetid u úic fuerz F dd por F(x =,5x si x 6 (,5( x si x >. Trbjo Clculr el trbjo relizdo por F. L defiició de trbjo se puede dptr cudo l fuerz o es coliel l oviieto. El trbjo W ivertido sobre u siste por u gete que ejerce u fuerz costte sobre el siste es el producto de l gitud F de l fuerz, l gitud r de desplzieto del puto de plicció de l fuerz y cos(θ, dode θ es el águlo etre los vectores fuerz y desplzieto es W = F r cos(θ E el cso de que de que l fuerz se vrible e direcció y setido pero l direcció del desplzieto o, digos que v desde hst b e el eje x, etoces el trbjo es W = F(xcos(θ(xdx. Cojeturr sobre el por que de est defiició, prtir de l defiició pr fuerz costte. (Práctico 6, Físic Pr epujr u cj de 5Kg hci rrib sobre u plo iclido 7, u obrero ejerce u fuerz de N, prlele l plo. Cudo l cj se h deslizdo,6, Cuto trbjo se efectuó sobre l cj por el obrero l fuerz de grvedd, y l fuerz orl l plo iclido? 4. Copleetrios. Relice u list co los tipos de fucioes que sbe itegrr, prtir de lo visto e el curso. Copre co sus copñeros. 4
. Ivers de l fució logrito E este ejercicio se ostrr que existe u R + tl que f (x = x es l ivers de log(x. Noteos sí e este ejercicio f : R R l fució f (x = x defiid e el práctico 4, secció: Fucioes reles, ejercicio 6. Mostrr que si log( = se tiee que log ( = pr todo, Z co. Es decir l fució f Q : Q R verific log f Q = id. b Mostrr que l fució log f es estrictete creciete. c Se A x y B x los cojutos defiidos por A x = { log ( :, Z, y < x } y B x = { log ( :, Z, y > x }. Probr que α < log(x pr todo α A x, y β > log(x pr todo β B x. Cocluir que sup(a x log( x íf(b x y por tto log( x = x log(. E prticulr si log( =, teeos que log f = Id. d Probr que log(4 >. Deducir que el cojuto {y : y R +,log(y < } est cotdo superiorete. e Probr que = sup({y : y R +,log(y < } verific que log( =. Cocluir que log f (x = x. 5