Estadístca alcada a las cencas socales. Examen Febrero de 008 rmera semana Ejercco. - En la sguente tabla, se reresentan los datos de las edades de los trabajadores de una gran emresa. Gruos de edad Nº trabajadores a 5 0 6 a 0.65 a 5.046 6 a 40.454 4 a 45.950 46 a 50.0 5 a 55 945 56 a 60 4 6 a 65 TOTAL 0.84 a) Calcule las frecuencas relatvas, ara cada gruo de edad. b) Calcule la medana de la dstrbucón. c) Calcule los cuartles º y º Ejercco.- Los usuaros de una nstalacón deortva resenta la sguente dstrbucón según la edad: Edad Usuaros Menos de 0 Entre 0 y 5 5 Más de 5 0 a) qué robabldad hay de que, al extraer al azar sucesvamente y sn reoscón usuaros, el rmero tenga menos de 0 años, el segundo entre 0 y 5 y el tercero más de 5 b) qué robabldad hay de que, al extraer al azar sucesvamente y sn reoscón 5 usuaros, todos sean menores de 0 años? Ejercco. De un conjunto de 0 asalarados cuyos salaros son conocdos, se ha obtendo medante el cálculo combnatoro que se ueden formar 5.504 gruos dstntos de 5 asalarados. Medante un ordenador se ha calculado el salaro medo de cada uno de los gruos de 5 asalarados. Sabendo que los 5.504 salaros medos obtendos de todos gruos osbles se dstrbuyen normalmente con un valor medo de.00 y desvacón tíca de 0, calcule: a) Qué orcentaje de gruos de 5 tendrán una meda comrendda entre.000 y.500. b) Entre que valores alrededor de la meda de la dstrbucón muestral se encuentra el 50% central de los gruos. Ejercco 4.- En una determnada cudad Deseamos conocer la roorcón actual de hogares con más de un coche. Por los datos de un estudo anteror sabemos que del total
de 0.5 hogares,.50 tenían más de un coche. Establecendo un Nvel de Confanza del 95,5% y un error absoluto e 4%, calcular: a) El tamaño de la muestra requerdo ara realzar la estmacón. b) El tamaño de la muestra, s desconocéramos los datos anterores sobre el número coches or hogar. Ejercco. SOLUCIONES: a) ara calcular las frecuencas relatvas de cada gruo de edad bastará con dvdr el número de trabajadores en una categoría or el total de trabajadores. Gruos de edad Nº trabajadores fr a 5 0 0,095 6 a 0.65 0,54 a 5.046 0,887 6 a 40.454 0,64 4 a 45.950 0,799 46 a 50.0 0,07 5 a 55 945 0,087 56 a 60 4 0,05 6 a 65 0,009 TOTAL 0.84,0000 b) Para calcular la medana necestamos calcular las frecuencas acumuladas Gruos de edad Nº trabajadores Na a 5 0 0 6 a 0.65.97 a 5.046 4.08 6 a 40.454 6.47 4 a 45.950 8.4 46 a 50.0 9.54 5 a 55 945 0.469 56 a 60 4 0.80 6 a 65 0.84 TOTAL 0.84 La medana de una dstrbucón es el valor de la varable que dvde la dstrbucón ordenada de las edades en dos artes guales, de forma que habrá tantos valores or encma como or debajo de este valor. Por tanto s dvdmos los 0.84 casos or obtenemos que la mtad de los trabajadores será 5.40,5. La categoría de edad que ncluye el caso 5.40 es la que va desde los 5 a los 40 y contendrá la edad medana.
Como los datos están agruados en categorías será necesaro calcular la edad concreta de ese ntervalo que deja la mtad de los casos or encma y la mtad or debajo, medante la forumla: Me N + N C 0.84 5 6 + 4.08.454 L a n 8,86 c) Los cuartles se calculan sguendo la msma lógca, de forma que el rmer cuartl Q será la edad que deje or debajo el 5% de los casos y or encma el 75% N C 0.84 5 Q L + N a +.65 4 n 4.046 Para el tercer cuartl Q tendremos que: Q N + N 4 C 0.84 5 4+ 6.47 4.950,80 L a n Ejercco. 45,5 a) ara conocer la robabldad de obtener al azar a un usuaro de menos de 0 años calcularemos los casos favorables (hay usuaros de menos de 0 años) dvddos or los casos osbles (todos los usuaros de cualquer edad que son +5+056) P ( < 0 años) 0,55 56 Como se hacen extraccones sn reoscón al hacer la segunda extraccón ya no habrá 56 usuaros sno que quedarán sólo 55 y la robabldad de obtener un usuaro de entre 0 y 5 años estará condconada a que ya se haya extraído antes uno de menos de 0: 5 P ( entre 0 y 5 años / < 0) 0,7 55 de la msma forma la robabldad de obtener al azar uno de más de 5 estará condconada or las dos extraccones anterores: 0 P ( > 5/ entre 0 y 5 años / < 0) 54 0,85 Conocdas esas tres robabldades, la robabldad de que se roduzcan los tres eventos sucesvamente se calculará multlcando las tres robabldades anterores: P P * P * P 0,55*0,7*0,85 0,08 b) Como en el aartado anteror, se trata de robabldades condconadas a la ocurrenca de eventos anterores.
Casos favorables Casos osbles 56 Casos favorables Casos osbles 56 Casos favorables Casos osbles 56 Casos favorables Casos osbles 56 4 Casos favorables 4 Casos osbles 56 4 5 0,556 0,5455 0,570 0,58 0,59 Como en el anteror caso, la robabldad de que se roduzcan los cnco eventos es gual al roducto de las robabldades: P * * * 4 * 5 Ejercco. 0,556*0,5455*0,570*0,58*0,59 0,0445 Medante la curva normal tfcada odemos saber la roorcón de casos que se encuentran entre un valor dado y la meda. Utlzando la fórmula de las untuacones tfcadas Z : a) Las tablas de área bajo la curva normal nos dan la roorcón de casos entre un valor dado de la varable y la meda, meddo en undades de desvacón tíca. Por tanto odemos calcular el orcentaje de casos que quedan entre el valor.000 y la meda.00 y sumarlo al orcentaje de casos que hay entre la meda y el valor.500. x x.000.00 S 0 Z.000 0,769 Consultando las tablas ese valor de Z se corresonde con el valor 0,794, es decr, que habrá un 7,94% de asalarados que cobren entre.000 y.00. Tomamos el valor sn tener en cuenta el sgno, uesto que las tablas de la curva normal al ser una funcón smétrca utlza sólo el cuadrante ostvo. A contnuacón calcularemos la roorcón de casos que habrá entre la meda y el valor.500: x x 500.00 S 0 Z.500,0769 Este segundo valor de Z se corresonde con la roorcón 0,4999 o ben el 49,9% de los casos.
Por tanto el orcentaje de asalarados cuyo sueldo varía entre los.000 y los.500 será la suma de los orcentajes anterores: 7,94%+49,99%77,9% b) Para realzar este cálculo emlearemos la msmo fórmula de los valores Z ero desejando en este caso el valor de la varable: x Z S ± x Al ser la meda el valor central de la curva, el 50% central de los casos corresonderá con la suma de un 5% a la zquerda de la meda y un 5% a la derecha. Para conocer el valor Z corresondente al 5% de los casos consultamos la tabla y obtenemos un valor Z0,68 que susttudo en la fórmula anteror nos ermte saber el salaro que corresonde a ese valor Z, de forma que sumando y restando obtendremos los valores or debajo y or encma de la meda que lmtan en 50% de los casos alrededor de la meda: x x Z S x 0,68 0.00.0,6 Z S + x 0,68 0 +.00.88,4 Ejercco 4. a) A artr de los datos del enuncado odemos conocer la roorcón de hogares con más de un coche: casos favorables.50 0,4 casos osbles 0.5
or tanto q - 0,59 Dado que se trata de una oblacón fnta, ara calcular el tamaño muestral necesaro utlzaremos la fórmula: n e Z qn ( N ) + Z 0,4 0,59 0.5 59,5 q 0,04 (0.50) + 0,4 0,59 b) S desconocéramos la roorcón de hogares con más de un coche, consderaríamos el caso más desfavorable, es decr q 0,5 or tanto el tamaño muestral se calcularía de forma análoga al caso anteror, como sgue: n e Z qn ( N ) + Z 0,5 0,5 0.5 6,48 q 0,04 (0.50) + 0,5 0,5 Como uede observarse, el desconocmento sobre la roorcón de hogares con más de un coche sgnfcaría la necesdad de un tamaño muestral mayor, ara un nvel de confanza y un error determnados.