Árboles Binarios de Búsqueda

Transcripción

1 Árboles Biarios de Búsqueda 3.6 Árboles biarios de búsqueda (ABB)! U ABB puede defiirse cuado el tipo de los elemetos posee ua relació de orde total! So árboles biarios e los que: " todos los valores de las claves del subárbol izquierdo so meores que el valor de la clave de la raíz " todos los valores de las claves del subárbol dereco so mayores que el valor de la clave de la raíz " esta propiedad se cumple e todos los odos del árbol! Propiedad: el recorrido e iorde de u ABB, idepedietemete de su forma, obtiee los elemetos ordeados segú la relació de orde existete etre los odos Algoritmos y Estructuras de Datos II I.T. e Iformática de Gestió/Sistemas Uiversidad de Huelva 1 Árboles Biarios de Búsqueda! Ejemplo de 2 árboles biarios co los mismos valores, pero co diferete estructura y altura: L P E P L B J E J B! La máxima altura alcazable por u ABB de odos se produce cuado el árbol degeera e ua lista elazada, e cuyo caso la altura es de Algoritmos y Estructuras de Datos II I.T. e Iformática de Gestió/Sistemas Uiversidad de Huelva 2

2 Árboles Biarios de Búsqueda! Operacioes básicas: " Búsqueda " Iserció " Borrado Complejidad de las operacioes: O() " altura del árbol " log 2 ()! Las operacioes se basa e el esquema de búsqueda de u elemeto e el árbol. Si A es u ABB y e el elemeto a buscar, teemos: " Si A es el árbol vacío, el elemeto e o está e el árbol. " E caso cotrario, se compara e co la raíz de A y se puede dar tres casos: 1. e = raíz(a): el elemeto a sido ecotrado 2. e < raíz(a): se repite el proceso de búsqueda detro del subárbol izquierdo de A 3. e > raíz(a): se repite el proceso de búsqueda detro del subárbol dereco de A Algoritmos y Estructuras de Datos II I.T. e Iformática de Gestió/Sistemas Uiversidad de Huelva 3 Árboles Biarios de Búsqueda Operació de iserció! Utiliza el esquema de búsqueda! Si el elemeto a isertar se ecuetra e el árbol, o se ace ada! E caso cotrario, se iserta e el lugar dode acaba la búsqueda! Los odos se iserta siempre por las ojas, ya que la búsqueda acaba si éxito cuado se accede a u subárbol izquierdo o dereco que está vacío isertamos el Algoritmos y Estructuras de Datos II I.T. e Iformática de Gestió/Sistemas Uiversidad de Huelva 4

3 Árboles Biarios de Búsqueda Operació de borrado (1/4)! Utiliza el esquema de búsqueda! Si o se ecuetra el elemeto a elimiar, la operació termia! Si el elemeto a elimiar se ecuetra e el árbol, el comportamieto de la operació depede del úmero de ijos que tega dico odo: 1. Elimiar u odo si ijos (oja) simplemete se elimia el odo elimiamos el Algoritmos y Estructuras de Datos II I.T. e Iformática de Gestió/Sistemas Uiversidad de Huelva 5 Árboles Biarios de Búsqueda Operació de borrado (2/4) 2. Elimiar u odo co u solo ijo solo ay que realizar ua reasigació de puteros el padre del odo que queremos elimiar pasa a aputar al ijo del odo que está siedo elimiado 6 21 elimiamos el Algoritmos y Estructuras de Datos II I.T. e Iformática de Gestió/Sistemas Uiversidad de Huelva 6

4 Árboles Biarios de Búsqueda Operació de borrado (3/4) 3. Elimiar u odo co dos ijos a. Se reemplaza el odo que queremos elimiar co el elemeto máximo de su subárbol izquierdo o el elemeto míimo de su subárbol dereco b. Seguidamete, se elimia el odo máximo (o míimo, segú el caso) c. Dico odo será ua oja o tedrá u solo ijo, por lo que la operació se resolverá fácilmete mediate uo de los dos primeros casos Algoritmos y Estructuras de Datos II I.T. e Iformática de Gestió/Sistemas Uiversidad de Huelva 7 Árboles Biarios de Búsqueda Operació de borrado (4/4) Ejemplo de borrado elimiamos el Algoritmos y Estructuras de Datos II I.T. e Iformática de Gestió/Sistemas Uiversidad de Huelva 8

5 Árboles Biarios de Búsqueda Especificació algebraica espec arbolesbiariosdebusqueda usa arbolesbiarios parámetro formal géero elemeto operacioes _ _, _ _, _ < _, _ > _, _ == _: elemeto elemeto # booleao fpf géero abb operacioes : # abb parcial _ < _, _ >: elemeto arbi arbi # abb iserta: abb elemeto # abb está?: abb elemeto # booleao parcial mi: arbi # elemeto parcial max: arbi # elemeto elimia: abb elemeto # abb... Algoritmos y Estructuras de Datos II I.T. e Iformática de Gestió/Sistemas Uiversidad de Huelva 9 Árboles Biarios de Búsqueda domiios de defiició iz, de: abb; e: elemeto ecuacioes iz, de: abb; e, e1, e2: elemeto iserta (, e) = iserta (e1<iz, de>,e2) =... Algoritmos y Estructuras de Datos II I.T. e Iformática de Gestió/Sistemas Uiversidad de Huelva 10

6 Árboles Biarios de Búsqueda está? (, e) = está? (e1<iz, de>,e2) = mi (e<iz, de>) = max (e<iz, de>) = elimia (, e) = elimia (e1<iz, de>,e2) = fespec Algoritmos y Estructuras de Datos II I.T. e Iformática de Gestió/Sistemas Uiversidad de Huelva 11 Árboles Biarios de Búsqueda Implemetació módulo TadABB importa TadElemeto, TadNodoB exporta tipo ABB = clase público costructor creavacío; acció iserta (e: elemeto); fució busca (e: elemeto): booleao; fució míimo: elemeto; fució máximo: elemeto; acció elimia (e: elemeto); fució raíz: elemeto acció subizq ( var ai: abb) acció subder ( var ad: abb) fució esvacío: booleao fució altura (a: abb): etero privado raíz: PtrNodoB; fclase; ftipo; Algoritmos y Estructuras de Datos II I.T. e Iformática de Gestió/Sistemas Uiversidad de Huelva 12

7 Árboles Biarios de Búsqueda acció isertanodo (e: Elemeto; var p: ptrnodob); acció ABB.iserta (e: elemeto) facció; facció; Algoritmos y Estructuras de Datos II I.T. e Iformática de Gestió/Sistemas Uiversidad de Huelva 13 Árboles Biarios de Búsqueda fució ABB.busca (e: elemeto): booleao; ffució; fució buscanodo (e: Elemeto; p: ptrnodob): booleao; ffució; Algoritmos y Estructuras de Datos II I.T. e Iformática de Gestió/Sistemas Uiversidad de Huelva 14

8 Árboles Biarios de Búsqueda fució ABB.míimo:elemeto; fució ABB.máximo:elemeto; ffució; ffució; fució míimonodo (p: ptrnodob): elemeto; fució máximonodo (p: ptrnodob): elemeto; ffució; ffució; Algoritmos y Estructuras de Datos II I.T. e Iformática de Gestió/Sistemas Uiversidad de Huelva 15 Árboles Biarios de Búsqueda acció ABB.elimia (e: elemeto) facció; acció elimianodo (e: Elemeto; var p: ptrnodob) facció; Algoritmos y Estructuras de Datos II I.T. e Iformática de Gestió/Sistemas Uiversidad de Huelva 16

9 3.6 (AVL)! La eficiecia de las operacioes sobre árboles biarios de búsqueda puede llegar a ser de O() e el peor de los casos! E la práctica, dica eficiecia es de O(log 2 ()), cuado supoemos que los valores se iserta e el árbol de ua forma aleatoria.! La eficiecia de las operacioes depede de la estructura del árbol e el mometo de realizar la operació! Lo ideal es, por tato, que la altura del árbol sea siempre la meor posible! Los árboles AVL, defiidos por G.M. Adelso-Velskii y E.M. Ladis e 1962, cumple este requisito, por lo que se cooce tambié como árboles de búsqueda equilibrados Algoritmos y Estructuras de Datos II I.T. e Iformática de Gestió/Sistemas Uiversidad de Huelva 17! Diremos que u árbol biario está equilibrado si, para todos los odos del árbol, la diferecia etre las alturas de sus subárboles siempre es meor o igual que Árbol equilibrado Árbol o equilibrado Algoritmos y Estructuras de Datos II I.T. e Iformática de Gestió/Sistemas Uiversidad de Huelva 18

10 ! Cuado se realiza ua operació de iserció o borrado e u árbol AVL, éste puede perder la propiedad de equilibrio. Para mateer dica propiedad se realiza ua secilla reorgaizació e el árbol deomiada rotació rotar-dereca ( 2 ) rotar-izquierda ( 2 )! Co estas operacioes de rotació o se pierde las propiedades de ABB. E ambos árboles el odo 1 es meor que el odo 2, todos los elemetos de so meores que 1, todos los odos de so mayores que 2 y todos los odos de está etre 1 y 2 Algoritmos y Estructuras de Datos II I.T. e Iformática de Gestió/Sistemas Uiversidad de Huelva 19 rotar-dereca (10) Algoritmos y Estructuras de Datos II I.T. e Iformática de Gestió/Sistemas Uiversidad de Huelva 20

11 rotar-izquierda (10) Algoritmos y Estructuras de Datos II I.T. e Iformática de Gestió/Sistemas Uiversidad de Huelva 21! Factor de equilibrio de u odo es la altura de su subárbol dereco meos la altura de su subárbol izquierdo. E u árbol equilibrado sólo podrá teer los valores -1, 1 o 0.! Para represetar u árbol AVL usaremos la misma estructura que para los ABB! La clase odob se amplía co u uevo atributo que almacea su factor de equilibrio Algoritmos y Estructuras de Datos II I.T. e Iformática de Gestió/Sistemas Uiversidad de Huelva 22

12 Operació de búsqueda! Puesto que los árboles AVL so u caso particular de ABB, usamos el mismo algoritmo de búsqueda pero co la particularidad que siempre se realizará co ua eficiecia de O(log 2 ) Operació de iserció! La iserció de u odo e u árbol AVL costa de dos fases: " usado el algoritmo de iserció desarrollado para los ABB, se recorre el camio partiedo del odo raíz y se iserta como ua oja del árbol e su lugar correspodiete " se recorre el camio de vuelta acia la raíz, actualizado los equilibrios de los odos y reequilibrado el árbol cuado sea ecesario, esto es, cuado la altura de uo de sus odos pase a ser ±2 Algoritmos y Estructuras de Datos II I.T. e Iformática de Gestió/Sistemas Uiversidad de Huelva 23! El desequilibrio se produce cuado, para u determiado odo, la altura de su subárbol dereco es mayor que la de su subárbol izquierdo y el uevo odo se iserta por el subárbol dereco, o si la altura de su subárbol izquierdo es mayor que la de su subárbol dereco y el uevo odo se iserta por el subárbol izquierdo T i T d T i T d caso (a) caso (b) Las situacioes de desequilibrio se solucioa mediate 2 tipos de rotacioes: " patró de rotació simple " patró de rotació doble Algoritmos y Estructuras de Datos II I.T. e Iformática de Gestió/Sistemas Uiversidad de Huelva 24

13 Rotació simple a la izquierda (I)! Es ecesario aplicarlo cuado el uevo odo se iserta e el subárbol dereco del subárbol dereco de e el caso (a) Algoritmos y Estructuras de Datos II I.T. e Iformática de Gestió/Sistemas Uiversidad de Huelva 25! Para reestablecer la propiedad de equilibrio, se realiza ua rotació simple a la izquierda sobre el odo 1 Algoritmos y Estructuras de Datos II I.T. e Iformática de Gestió/Sistemas Uiversidad de Huelva 26

14 Rotació simple a la dereca (D)! Es el caso simétrico al aterior y es ecesario aplicarlo cuado el uevo odo se iserta e el subárbol izquierdo del subárbol izquierdo de e el caso (b) Algoritmos y Estructuras de Datos II I.T. e Iformática de Gestió/Sistemas Uiversidad de Huelva 27! Para reestablecer la propiedad de equilibrio, se realiza ua rotació simple a la dereca sobre el odo 1 Algoritmos y Estructuras de Datos II I.T. e Iformática de Gestió/Sistemas Uiversidad de Huelva 28

15 Rotació doble dereca-izquierda (DI)! Es ecesario aplicarlo cuado el uevo odo se iserta e el subárbol izquierdo del subárbol dereco de e el caso (a) T d -1 T d Algoritmos y Estructuras de Datos II I.T. e Iformática de Gestió/Sistemas Uiversidad de Huelva 29! Para reestablecer la propiedad de equilibrio, se realiza rotació doble DI, es decir, ua rotació a la dereca sobre el odo 1 seguida de otra rotació a la izquierda sobre el odo T d -1 T d proceso itermedio resultado fial Algoritmos y Estructuras de Datos II I.T. e Iformática de Gestió/Sistemas Uiversidad de Huelva 30

16 Rotació doble izquierda-dereca (ID)! Es ecesario aplicarlo cuado el uevo odo se iserta e el subárbol dereco del subárbol izquierdo de e el caso (b) T d 2 T d Algoritmos y Estructuras de Datos II I.T. e Iformática de Gestió/Sistemas Uiversidad de Huelva 31! Para reestablecer la propiedad de equilibrio, se realiza rotació doble ID, es decir, ua rotació a la izquierda sobre el odo 1 seguida de otra rotació a la dereca sobre el odo 2 2 Td T d proceso itermedio resultado fial Algoritmos y Estructuras de Datos II I.T. e Iformática de Gestió/Sistemas Uiversidad de Huelva 32

17 ! Tato e las rotacioes simples como e las rotacioes dobles que se realiza e la iserció, la altura del árbol resultate tiee la misma altura que el árbol origial. Esta propiedad es importate, ya que permite fializar el algoritmo de iserció si ecesidad de seguir observado los odos por el camio de vuelta asta el odo raíz, puesto que o se ecotrará desequilibrado.! Durate la etapa de recorrido de regreso del procedimieto de iserció, lo que ecesitamos es ecotrar el primer odo cuyo equilibrio cambia de ±1 a ±2. A este odo se le llama pivote. Ua vez ecotrado el pivote, se lleva a cabo la rotació apropiada segú uo de estos casos: 1. si el equilibrio del pivote pasa a ser +2 y el equilibrio de su ijo dereco es +1, se realiza ua rotació simple a la izquierda. 2. si el equilibrio del pivote pasa a ser +2 y el equilibrio de su ijo dereco es -1, se realiza ua rotació doble DI. 3. si el equilibrio del pivote pasa a ser -2 y el equilibrio de su ijo izquierdo es -1, se realiza ua rotació simple a la dereca. 4. si el equilibrio del pivote pasa a ser -2 y el equilibrio de su ijo izquierdo es +1, se realiza ua rotació doble ID. Algoritmos y Estructuras de Datos II I.T. e Iformática de Gestió/Sistemas Uiversidad de Huelva 33 Operació de borrado! Se utiliza la misma técica que el algoritmo de elimiació para ABB! Ua vez elimiado se recorre el camio desde el padre del odo elimiado asta el odo raíz, actualizado los equilibrios! Si se ecuetra u odo cuyo equilibrio pasa a ser ±2, se utiliza u patró de rotació simple o doble para reestablecer la propiedad de equilibrio! A diferecia de la operació de iserció, la altura de u árbol puede o mateerse después de ua operació de elimiació y reequilibrado, por lo que puede requerir más de ua operació de reequilibrado para mateer la propiedad Algoritmos y Estructuras de Datos II I.T. e Iformática de Gestió/Sistemas Uiversidad de Huelva 34

18 ! La casuística que se puede dar e ua operació de borrado de u árbol AVL es la siguiete: 1. Si el equilibrio del padre pasa de 0 a ±1, el algoritmo termia, ya que la altura del árbol o se modifica 2. Si el equilibrio del padre pasa de ±1 a 0, cotiuar reequilibrado los odos 3. Si el equilibrio del padre pasa de +1 a Si el equilibrio del ijo dereco es -1 # rotació doble DI (cotiuar) 3.2. Si el equilibrio del ijo dereco es 0 o +1 # rotació simple a la izquierda (a) si el equilibrio del ijo dereco es 0, el algoritmo termia (b) si el equilibrio del ijo dereco es +1, cotiuar 4. Si el equilibrio del padre pasa de -1 a Si el equilibrio del ijo izquierdo es +1 # rotació doble ID (cotiuar) 4.2. Si el equilibrio del ijo izquierdo es 0 o -1 # rotació simple a la dereca (a) si el equilibrio del ijo izquierdo es 0, el algoritmo termia (b) si el equilibrio del ijo izquierdo es -1, cotiuar Algoritmos y Estructuras de Datos II I.T. e Iformática de Gestió/Sistemas Uiversidad de Huelva 35