ARBOLES BALANCEADOS. Para que el árbol se mantenga balanceado es necesario realizar una transformación en el mismo de manera que:

Transcripción

1 ROLES LNEDOS La búsqueda más eficiete se efectúa e u árbol biario balaceado. Desafortuadamete, la fució Iserta o asegura que el árbol permaezca balaceado, el grado de balace depede del orde del orde e que so isertados los odos e el árbol. La altura de u árbol biario es el ivel máximo de sus hojas (profudidad). La altura del árbol ulo se defie como 1. U árbol biario balaceado es u árbol biario e el cual las alturas de los dos subárboles de todo odo difiere a lo sumo e 1. El balace de u odo e u árbol biario se defie como la altura de su subárbol izquierdo meos la altura de su subárbol derecho. ada odo e u árbol biario balaceado tiee balace igual a 1, -1 o, depediedo de si la altura de su subárbol izquierdo es mayor que, meor que o igual a la altura de su subárbol derecho. Supógase que teemos u árbol biario balaceado, y usamos la fució para isertar u odo e dicho árbol. Etoces el árbol resultate puede o o permaecer balaceado. Es fácil ver que el árbol se vuelve desbalaceado si y solo si el odo recié isertado es u descediete izquierdo de u odo que teia de maera previa balace de 1, o si es u hijo derecho descediete de u odo que teia de maera previa balace 1. Para que el árbol se matega balaceado es ecesario realizar ua trasformació e el mismo de maera que: 1. El recorrido e orde del árbol trasformado sea el mismo que para el árbol origial (es decir, que el árbol trasformado siga siedo u árbol de búsqueda biaria). 2. El árbol trasformado esté balaceado. D E F G Figura 1 D a) Árbol origial G E F b) Rotació derecha F G D E c) Rotació izquierda

2 El árbol de la figura 1b es ua rotació derecha del árbol co raíz e de maera similar, el árbol de la figura 1c se dice que es ua rotació izquierda del árbol co raíz e. U algoritmo para implatar ua rotació izquierda de u subárbol co raíz e p es el siguiete: q= right(p); hold=left(q); left(q)=p; right(p)=hold; Llamemos a esta operació leftrotatio(p). Rightrotatio(P), puede defiirse de maera similar. Por supuesto, e cualquier rotació debe cambiarse el valor de la raíz del subárbol que está siedo rotado para que apute a la ueva raíz. (E el caso de la rotació izquierda aterior, esta ueva raíz es q). Obsérvese que el orde de los odos e u recorrido e orde se preserva e ambas rotacioes: izquierda y derecha. Por cosiguiete, se deduce que cualquier úmero de rotacioes (izquierda o derecha) puede ejecutarse e u árbol desbalaceado para obteer uo balaceado, si perturbar el orde de los odos e u recorrido e orde. Supógase que se realiza ua rotació derecha e el subárbol co raíz e de la figura 2 a. El árbol resultate se muestra e la figura 3 a. Obsérvese que el árbol de la figura 3 a produce el mismo recorrido e orde que el de la figura 2 a y tambié está balaceado. Tambié, como la altura del subárbol de la figura 2 a era +2 ates de la iserció y la altura del subárbol de la figura 3 a es +2 co el odo isertado, el balace de cada acestro del odo o se altera. sí, reemplazado el subárbol de la figura 2ª por su rotació derecha de la figura 3ª, garatizamos que se matega como árbol de búsqueda biaria balaceado. E la figura 2b dode el odo recié creado se iserta e el subárbol derecho del. Sea el hijo derecho de. (Hay tres casos: puede ser el odo recié isertado e cuyo caso =-1, o el odo recié isertado puede estar e el subárbol derecho o izquierdo de. La figura 2b ilustra el caso e que está e el subárbol izquierdo; el aálisis de los otros casos es aálogo). Supógase que ua rotació izquierda del subárbol co raíz e precede a ua rotació derecha del subárbol co raíz e. La figura 3b ilustra el árbol resultate. El siguiete algoritmo busca e iserta e u árbol biario balaceado que o esté vacío. ada odo del árbol cotiee 5 campos: k y r, que guarda la llave y el registro de maera respectiva left y right so aputadores a los subárboles izquierdo y derecho de maera respectiva y bal, cuyos valores es 1, -1 o, depediedo del balace del odo. E la primera parte del algoritmo, si la llave deseada aú o se ecuetra e el árbol, se iserta u uevo odo e el árbol de búsqueda biario, si importar el balace. La primera fase tambié toma e cueta al acestro más jove, ya que puede desbalacearse tras la iserció. El algoritmo hace uso de la fució maketree descrita co aterioridad y de las rutias rigthrotatio y leftrotatio, que acepta u aputador a la raíz de u subárbol y ejecuta la rotació deseada.

3 La altura máxima de u árbol de búsqueda biaria balaceado es 1.44log2, de maera que ua búsqueda e u árbol así uca requiere más de 44% de comparacioes que las ecesarias e u árbol balaceado de maera completa. E la práctica los árboles de búsqueda biaria balaceados se comporta aú mejor, produciedo tiempos de búsqueda del orde de log para valores grades de. E promedio se requiere ua rotació e el 46.5 % de las isercioes. El algoritmo para elimiar u odo de u árbol de búsqueda biaria balaceado coservado su balace l es aú más complejo. Mietras que la iserció requiere a lo sumo ua rotació doble, la elimiació puede requerir ua rotació (doble o simple) e cada ivel del árbol o O(log ) rotacioes. Si embargo, e la práctica, se ha visto que solo se requiere u promedio de.214 rotacioes (simples o dobles) por elimiació. Los árboles de búsqueda biaria balaceados que hemos visto se llama árboles de altura balaceada porque su altura se usa como criterio para el balaceo. U método, se defie peso del árbol como el úmero de odos exteros e el mismo (que es igual al úmero de aputadores ulos). Si el cociete del peso del subárbol izquierdo de todo odo etre el peso del subárbol co raíz e el odo está etre algua fracció a y 1-a, el árbol es u árbol de pesos balaceados de razó a o se dice que está e la clase wb[a]. uado ua iserció o elimiació ordiaria e u árbol de clase wb[a] elimia al árbol de dicha clase, se usa rotacioes para restaurar la propiedad de pesos balaceados. Otro tipo de árbol llamado por Tarja, u árbol biario balaceado requiere que para todo odo d, la logitud del camio más largo de d a u odo extero se a lo sumo dos veces la logitud del camio más corto de d a u odo extero (recuérdese que los odos exteros so odos agregados al árbol e cada aputador ulo). De uevo se usa rotacioes para mateer el balace después de ua iserció o elimiació. Los árboles balaceados de Tarja tiee la propiedad de que, tras ua elimiació o iserció, puede restaurarse el balace aplicado a lo sumo ua rotació doble y ua simple, e cotraste co las posibles O(log ) rotacioes tras la elimiació e u árbol balaceada. Los árboles balaceados tambié puede usarse para ua implatació eficiete de colas de prioridad. La iserció de u uevo elemeto requiere a lo sumo O(log ), pasos para ecotrar la posició adecuada y O(1) pasos para accesar el elemeto (siguiedo los aputadores izquierdos hasta la hoja de la extrema izquierda) y O(log ) o O(1) pasos para elimiar esta hoja. sí al igual que ua cola de prioridad implatada u heap, ua cola de prioridad implatada usado u árbol balaceado puede ejecutar cualquier secuecia de isercioes y elimiacioes míimas e O(log ) pasos.

4 1 Árbol T3 Árbol T1 de altura Árbol T2 Figura 2 a) Nodo recié isertado 1 Árbol T4 Árbol T1 de altura Árbol T2-1 Árbol T3-1 b) Nodo recié isertado

5 a) Árbol T1 Nodo recié isertado Árbol T2 Árbol T3 Figura 3 b) -1 Árbol T1 Árbol T2-1 Árbol T3-1 Árbol T4 de altura Nodo recié isertado

6 ODIGO DE EJEMPLO /* busqueda e isercio e el arbol biario PRTE 1 fp=null; p=tree; fya=null; ya=p; /* ya aputa al acestro mas jove que puede llegar a desbalacearse.fya señala al padre de ya, y fp al padre de p while(p!=null){ if(key==k(p)) retur (p); q=(key<k(p)? left(p):right(p); if(q!=null) if(bal(q)!=){ fya=p; ya=q; // fi del if fp=p; p=q; // fi del while // iserta uevo registro q=maketree(rec,key); bal(q)=; (key<k(fp))? left(fp)=q:right(fp)=q; /* el balace de todos los odos etre ode(ya) y ode(q) debera alterarse,modificado su valor de p= (key < k(ya))? left(ya) : right(ya); s=p; while(p!=q){ if(key<k(p)){ bal(p)= 1; p=left(p); else{ bal(p)=-1; p=right(p); // fi del if // fi del while

7 /* PRTE 2 determiar si el arbol se ecuetra desbalaceado o o. si lo esta, q es el odo recie isertado, ya es su acestro desbalaceado mas jove, fya es el padre de ya y s es el hijo de ya e la direcció del desbalace. imbal=(key<k(ya))? 1:-1; if(bal(ya)==){ /* se le ha agregado otro ivel al arbol. El arbol permaece balaceado. (bal(ya))=imbal; retur(q); // fi del if if(bal(ya)!=imbal){ /* el odo agregado se ha colocado e la direccio opuesta del desbalace. El arbol permaece balaceado. bal(ya)=; retur (q); // fi del if /* PRTE 3 el odo adicioal a desbalaceado al arbol. restablecer el balace efectuado la rotacio requerida, ajustado despues los valores de balace de los odos ivolucrados. if(bal(s)==imbal){ // ya y s se ha desbalaceado e la misma direccio. p=s; if(imbal==1) rightrotatio(ya); else leftrotatio(ya); bal(s)=; bal(s)=; else{ /* ya y s se ecuetra desbalaceados e direccioes opuestas.

8 if(imbal==1){ p=right(s); leftrotatio(s); left(ya)=p; rightrotatio(ya); else{ p=left(s); right(ya)=p; rightrotatio(s); leftrotatio(ya); // fi del if // ajustar el campo bal para los odos ivolucrados if(bal(p)==){ // p fue u odo isertado bal(ya)=; bal(s)=; else if(bal(p)==imbal){ bal(ya)=-imbal){ bal(s)=; else bal(ya)=; bal(s)=imbal; // fi de if bal(p)=; // fi de if // ajustar el eputador del subarbol rotado if(fya==null) tree=p; else (ya==right(fya))? right(fya)=p: left(fya)=p; retur (q);