TEMA 6 INDUCCIÓN MAGNÉTICA

Transcripción

1 TEMA 6 NDCCÓN MAGNÉTCA. nducción mgnétic De mismo modo que s coientes eéctics genen cmpos mgnéticos, en deteminds cicunstncis un cmpo mgnético puede poduci un coiente en un conducto. Este hecho, mdo inducción mgnétic, fue descuieto hci 83 po Fdy. Como veemos, ocue cundo e fujo de tvés de cicuito conducto ví con e tiempo. E fujo mgnético tvés de un supeficie da se define de mne náog de cmpo eectostático en ey de Guss. Es e poducto de intensidd de cmpo po poyección de supeficie soe un pno pependicu é: da dacos da () da n da Figu da dacos E fujo tot tvés de un supeficie cuquie se otiene integndo : φ da () Como e cmpo mgnético no tiene fuentes ni sumideos puntues (monopoos), s ínes de cmpo se cien soe sí misms o se poongn hst e infinito. Esto se tduce en que e fujo tvés de un supeficie ced dee se ceo (fujo entnte igu y de signo contio siente). E fujo mgnético se mide en e S.. en tes x m. Su unidd es e wee (W), cuys dimensiones son: N m wee T m (3) A Según (), /da. Es deci, es igu fujo po unidd de supeficie tnsves cmpo. dentificndo e fujo tvés de un supeficie con e númeo de ínes de cmpo que tvies, intensidd de en un punto qued epesentd po densidd de ínes en e entono de dicho punto.. Fuez eectomotiz de movimiento En gunos csos se puede expic inducción mgnétic po s fuezs que ejece e cmpo soe cgs en movimiento. Consideemos po ejempo un vi conducto de ongitud moviéndose pependicumente un cmpo mgnético unifome (que en figu se epesent po sps, entndo en e pno de diujo). Figu n ptícu cgd de su inteio expeiment un fuez F q v x, en diección de vi, que impus hci su extemo. E efecto es e mismo que si existiese un cmpo eéctico E, diigido de, t que: F qe E F / q v (4) ds - F v Tem 6 nducción mgnétic

2 s cgs positivs se cumuán en e extemo de conducto quedndo e cgdo negtivmente, hst que e cmpo E' que poducen, de, compense e que geneó e movimiento de en e seno de. Si vi desiz soe un me conducto en fom de fomndo un cicuito, s cgs cicuán po é de extemo positivo negtivo. Se h inducido un coiente que se mntendá mients s fuezs mgnétics despcen nuevs cgs; es deci, hst que cese e movimiento de vi. E cmpo mgnético h estecido en e conducto un fuez eectomotiz cinétic (socid movimiento) cuy mgnitud es igu tjo que eiz p despz cg unidd ente y : E d ( v ) d v E (5) Se h tenido en cuent que en nuesto cso v y son pependicues y que su poducto vectoi tiene diección de. Como vimos en e tem 4, e cmpo mgnético ejece tmién un fuez x soe vi deido pso de coiente. Es fáci compo que est fuez se opone despzmiento de ; y e tjo que hy que eiz en su cont es exctmente igu que deso fem, como exige consevción de enegí. En efecto, e tjo eizdo po fuez exten p poduci un despzmiento ds es: dw dq ds ds dqv Edq (6) Podemos conside fem inducid desde oto punto de vist: movese hci deech, vi e en cd intevo de tiempo un áe ds y e fujo de cmpo que tvies e cicuito sufe un cmio : da da ds (7) E signo menos se dee que hemos tomdo como positivo e sentido en que coiente ecoe espi; entonces, según eg de tonio dextógio, e vecto supeficie A es opuesto (hci fue de ppe). Dividiendo (7) po esut que vición de fujo po unidd de tiempo (cmido e signo) es igu fem inducid: ds v E (8) 3. ey de inducción de Fdy Este esutdo, que se conoce como ey de inducción de Fdy, esut se mucho más gene de o que puede pece po su deducción. Es un hecho expeiment sdo en mutitud de osevciones que - vición de fujo mgnético tvés de un espi, se cu se su cus, induce siempe un fuez eectomotiz, d E da (9) E fujo puede hcese vi de distints mnes: moviendo e conducto especto cmpo; vindo e cmpo en función de tiempo, cmindo fom de espi, etc. Si tenemos un oin de N vuets y e fujo que s tvies es e mismo, en cd un se induce mism fem; po tnto: d N φ E () Apicndo un convenio de signos consistente p E y φ ecución (9) popocion fuez eectomotiz coect tnto en mgnitud como en sentido. φ > A E < Figu 3 Así, en espi de figu e sentido de ecoido positivo, tomdo itimente, define oientción de vecto A de cuedo con eg de tonio; hci i en este cso. Como tiene mism oientción y está umentndo, e fujo es positivo y ceciente; po tnto, / > y fem E dee se negtiv (de sentido hoio, opuesto que se hí doptdo). Si tommos como positivo e sentido hoio, A tmién dee cmi de oientción y po tnto e fujo y su deivd seán negtivos y fem inducid, positiv. Es deci, se otiene e mismo sentido p coiente en os dos csos. Tem 6 nducción mgnétic

3 Ejempo : n soenoide muy go tiene n vuets po meto y conduce un coiente ten cosωt. Dento de soenoide y coxi con é se encuent un oin de dio y con un tot de N espis. Ccu fem inducid en oin po coiente vie. Como se demostó en e tem 5, e cmpo en e inteio de un soenoide go es pácticmente unifome y ve n. Po tnto, e fujo que tvies cd espi de oin seá: φ A nπ π n cos ωt po que tiend neutiz e cmio de (efozándoo si está disminuyendo; oponiéndose é si está umentndo). Po ejempo, en espi de figu 3 está co que coiente inducid ce un cmpo mgnético hci jo, opuesto incemento de que geneó. Ejempo : n espi ectngu de dos y está situd con sus dos peos un conducto ectiíneo muy go po e que cicu un coiente. Ccu fem que se induce en espi ejse de conducto con veocidd unifome v. Como oin const de N espis, fem inducid seá: E N N π n ( sen ωt) ω π nn ωsen ωt E sen ωt v t E v Es deci, tensión inducid es ten, de mism fecuenci que intensidd. Su mpitud es diectmente popocion n, N, y sección de oin: x dx E () π nnω Figu 4 4. ey de enz E signo de E tmién se puede deduci pti de ey de enz, que pone de eieve ineci nte os cmios que mnifiestn os fenómenos eectomgnéticos: - fuez eectomotiz inducid tiene un sentido t que se opone siempe cmio exteno que gene. ey de enz es un consecuenci de pincipio de consevción de enegí. Po ejempo, coiente inducid en vi de figu hce que fuez mgnétic soe e se opong fuez exten que mueve; en cso contio, un vez puest en movimiento, vi gní enegí cinétic indefinidmente sin gsto guno de tjo. Si e conducto no se mueve, sino que es e popio cmpo mgnético e que ví con e tiempo, coiente inducid ceá un cm- En e pno de espi e cmpo es pependicu y hci dento de págin. Como se vio en e tem nteio su móduo es invesmente popocion distnci conducto: πx E fujo de tvés de un ti ectngu de nchu dx ve da dx. ntegndo ente x i y x f tenemos e fujo tot: φ dx πx π [ n( ) n ] Suponiendo que e movimiento de espi empiez con su do izquiedo distnci de conducto, vt. fem inducid seá / (/d) (d/): v E v π π ( ) Tem 6 nducción mgnétic 3

4 De cuedo con ey de enz, tensión inducid tiene sentido hoio y que e fujo está disminuyendo ejse espi de conducto. Po tnto coiente inducid ce un cmpo hci dento de pno de diujo que tt de mntene dicho fujo. 5. nducción mutu y utoinducción Supongmos dos cicuitos conductoes situdos ciet distnci; po ejempo, dos oins de N y N espis espectivmente. Si coiente que cicu po pime ví con e tiempo, tmién o há e fujo mgnético φ, que tvies segund. Po tnto, se induce en e un fuez eectomotiz, d( N ) φ,, E N () E fujo es diectmente popocion coiente que o poduce: d φ, M, E M, (3) N constnte M,, se m inducción mutu. E mismo zonmiento nos ev ecion os cmios en coiente de segund oin con fuez eectomotiz que se induce en pime: d E M, (4) Se puede demost que M, M,. Es deci, inducción mutu (que memos simpemente M ) es un popiedd de conjunto de s dos oins que depende de geometí de ésts y de su posición etiv: Autoinducción M N,, (5) φ N φ Si en vez de dos tenemos somente un oin de N espis, ecoid po un coiente vie, e fujo φ que tvies tmién viá. Po tnto dee utoinducise un fem en popi oin, E -N /. Como e fujo es diectmente popocion coiente que o gene (siempe que e medio no se feomgnético), d Nφ E (6) es utoinducción, mgnitud ccteístic de oin que se define como e fujo que tvies e cicuito po cd unidd de coiente que cicu po é. unidd S.. de utoinducción (y de inducción mutu) es e henio (H): H W/A T m /A (7) n eemento de cicuito cuy popiedd eéctic pincip es utoinducción se denomin oin o inducto y se epesent po e símoo. Ejempo 3: Ccu utoinducción de un soenoide fomdo po N espis de dio suponiendo que su ongitud es mucho myo que e dio. Según vimos en e ejempo 3 de tem nteio e cmpo en e inteio de soenoide es unifome y ve o n ; donde n N/ es e númeo de espis po unidd de ongitud. Además está en diección de eje, po o cu e fujo seá: N A π φ Suponiendo que este fujo tvies tods s espis, utoinducción se deduce de ecución (6): E cicuito π (8) Nφ π N N En cicuitos de coiente ten utoinducción es muy impotnte y que poduce un cíd de potenci igu d/. Su efecto es oponese os cmios de intensidd, dificutndo e pso de coiente. Ese efecto no existe en coiente continu, fente cu s oins se compotn como conductoes csi pefectos. Tem 6 nducción mgnétic 4

5 V (t) Figu 5 d/ E compotmiento de intensidd en e cicuito es simi de tensión dunte cg de condensdo en un cicuito C. Aquí, constnte ccteístic de tiempo ve τ / y e vo fin de intensidd es V /. Si se desconect fuente poniendo e conmutdo en posición coiente no ces instntánemente y que su disminución tmién induce un fem E d/. Como ho d/ es negtiv, E es positiv y tt de mntene coiente. Podemos deduci (t) p este tnsitoio pti de mism ecución () sin más que hce V : Peo en os cicuitos de cc tmién se poducen cmios de intensidd conect o desconect s fuentes. En e cicuito de figu 5, coiente empiez ument en e momento en que se cie e conmutdo, po o que se induce en un fem E d/. Además está fem de pi, que poduce un difeenci de potenci V en sus ones. Apicndo eg de s ms de Kichhoff: d V (9) Tmién se puede intepet est ecución diciendo que en oin se poduce un cíd de potenci V d/, de mismo modo que en esistenci cíd de potenci es. sum de s dos es difeenci de potenci en os ones de teí (suponemos despecie su esistenci inten): d V () Cundo se cie e inteupto de cicuito coiente ument desde ceo hst un vo estcionio V / que se cnz co de cieto tiempo. A pincipio y e témino d/ es gnde compdo con. Como sum de os dos es constnte, ument su deivd dee hcese cd vez más pequeñ. coiente tiende sintóticmente su vo estcionio mients que d/. ecución () es fommente idéntic que se encontó en e tem 3 p cg de un condensdo y se esueve po e mismo pocedimiento de sepción de vies. Tmién se puede compo, sustituyendo y d/ en ecución difeenci, que soución es: t V t e τ e () d d t () ntegndo ente t, cundo ve, y un instnte cuquie t : t t e e τ ; τ (3) Vemos que coiente disminuye exponencimente desde su vo inici con mism constnte de tiempo que ntes, τ /: cunto myo se utoinducción más tiempo tdá en extinguise coiente. Enegí de cmpo mgnético P tsd un cg dq tvés de utoinducción fuente dee eiz un tjo dw V dq. Sustituyendo V po su vo y teniendo en cuent que dq / : dw d Vdq dq d (4) E tjo se empe en estece e cmpo mgnético socido utoinducción y no se disip, como e eizdo en esistenci, sino que qued mcendo en fom de enegí mgnétic: dw d (5) Est enegí es devuet cicuito cundo se eimin fuente, disipándose totmente en esistenci po efecto Joue, como puede compose integndo dw V dq : W dq (6) Tem 6 nducción mgnétic 5

6 A este esutdo se eg fácimente sustituyendo intensidd en función de tiempo según ecución (3). Si enegí se empe en ce e cmpo mgnético es ógico supone que se ociz en e espcio donde éste existe y en popoción su intensidd. Como ejempo consideemos un soenoide fomdo po N espis, de ongitud y sección A. Su utoinducción ve Nφ/ na/, po o que enegí mgnétic seá: na n V (7) Se h tenido en cuent que n y que A es e voumen de soenoide, donde pácticmente está confindo e cmpo. Definimos densidd de enegí de cmpo mgnético, u, como enegí po unidd de voumen: u V V (8) Aunque est expesión se h deducido p un cso pticu, tiene videz gene. Es náog densidd de enegí de cmpo eectostático que, como vimos en e tem, ve ½ εe. En gene no seá unifome, po o que seá necesio integ d u dv p h enegí en un voumen ddo: dv u dv (9) Ejempo 4: n ce coxi se compone de dos conductoes ciíndicos huecos concénticos de dios y y de ongitud. Cd conducto ev un coiente, siendo e exteno tyectoi de etono. Ccu enegí mcend po e cmpo mgnético en e espcio compendido ente s dos supeficies. P pic ecución (9) es necesio ccu pimeo. Supondemos que coiente está unifomemente distiuid en s supeficies, po o que es fáci deduci que s ínes de cmpo deen se cicunfeencis con cento en e eje de ce. Figu 6 d dv πd Apicndo ey de Ampèe tyectoi cicu de figu, de dio, < <, en cuyos puntos es constnte: d d (π) π P <, en e inteio de ciindo pequeño, ey de Ampèe d un cmpo nuo y que tyectoi no encie ningun coiente. o mismo ocue en e exteio de ce; en este cso poque s coientes enceds son igues peo de signo contio. Así pues, e cmpo está confindo espcio ente os dos conductoes. Consideemos este espcio dividido en tuos ciíndicos de dio y goso d. Su voumen dv seá igu supeficie de su se, πd, po tu. enegí contenid en este eemento de voumen es: d dv 8π πd d 4π ntegndo d ente y enegí mgnétic esut: 4π d n 4π ( ) A pti de este esutdo tmién podemos deduci utoinducción de ce, y que según ecución (5) / : n π ( ) (3) Tem 6 nducción mgnétic 6

7 6. Apicciones n de s picciones más impotntes de ey de inducción de Fdy es e genedo de coiente ten, dispositivo que conviete enegí mecánic, otenid de divess foms, en enegí eéctic. Su esquem de diseño es muy simpe. Const de un oin ectngu de supeficie A que se hce gi po medios extenos (típicmente un tuin) en un cmpo mgnético unifome, como se muest en figu 7. fuez eectomotiz inducid en espi cundo ést gi con veocidd ngu ω pependicu cmpo pocede de cmio peiódico de ánguo ente A y, o que poduce un vición de fujo mgnético. A z Supongmos que está oientdo según e eje Oz y que oin gi en tono eje Ox. E fujo que tvies cd un de sus N espis es: φ A Acos Acos ωt (3) fem inducid es N veces deivd de fujo especto de tiempo, cmid de signo: N NAωsenωt E senωt E (3) tensión inducid es ten, de fecuenci igu de gio de espi. Su vo máximo, E o NAω, se cnz p π/ y 3π/; su sentido se inviete cd medi vuet, en y π. os temines de espi vn unidos sendos nios conductoes que gin con e eje. conexión con e cicuito exteno se hce tvés de dos contctos estcionios o escois, que desizn soe os nios. x ω Figu 7 y os motoes eécticos convieten enegí eéctic en enegí mecánic. Aunque existen muchos diseños, ásicmente se tt de genedoes que funcionn inves. A iment oin con un coiente eéctic, e cmpo mgnético ejece un momento de tosión soe e, oigándo gi. Se consigue tjo úti uniendo e eje gún dispositivo exteno que se desee ccion. Tem 6 nducción mgnétic 7