APUNTE: Sistemas de Ecuaciones Lineales

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1 APUNTE: Sistes de Ecucioes Lieles UNIVERSIDAD NACIONAL DE RIO NEGRO Asigtur: Mteátic Crrers: Lic. e Adiistrció, Lic. e Turiso, Lic. e Hotelerí Profesor: Prof. Mel Chresti Seestre: do Año: Idice Te Pági Defiició de Siste de Ecucioes Lieles (SEL) Solució de u SEL Clsificció de los SEL Epresió Mtricil de u SEL Sistes Hoogéeos Sistes Equivletes Sistes de dos ecucioes co dos icógits Métodos de resolució: étodo gráfico 6 Métodos de resolució: étodo de igulció 7 Métodos de resolució: étodo de sustitució 7 Sistes de tres ecucioes co dos icógits 9 Método de Guss Mtri plid socid Sistes de tres ecucioes co tres icógits Iterpretció geoétric de u siste de Uso de l tri ivers pr l resolució de SEL Uso de los deterites pr l resolució de SEL 7 Sistes de Crer 7 Teore de Crer 7 Apute Prof. Mel Chresti Mteátic II (Lic. e Turiso, Hotelerí, Adiistrció) UNRN Año

2 APUNTE: Sistes de Ecucioes Lieles Defiició U siste de ecucioes lieles co icógits,,,, L es todo cojuto de relcioes del tipo: S: LLL L L L dode los coeficietes ij los térios idepedietes i so esclres ddos. Solució de u Siste de Ecucioes Lieles (SEL) Se dice que el cojuto de esclres k, k,, k L costitue u solució del siste S si l tor ls ecucioes se covierte e igulddes. k ; k ;. ; k Resolver u siste S es hllr tods sus solucioes, es decir, hllr el vlor de tods ls icógits pr que se cupl tods ls ecucioes siultáeete. Clsificció de los SEL U SEL se dice COMPATIBLE si tiee lgu solució e INCOMPATIBLE si o tiee igu solució. A su ve, u siste coptile se dice DETERMINADO si tiee u úic solució e INDETERMINADO si tiee ás de u. Ejeplos: ) 6 Este es u siste de ecucioes co icógits (,, ). Tiee u úic solució que es ; ;. Por lo tto se trt de u siste coptile deterido. ) 6 8 Este es u siste de ecucioes co icógits (,, ). Tiee ifiits solucioes de l for (,, ). Por lo tto se trt de u siste coptile ideterido. ) Este es u siste de ecucioes co icógits (, ). No tiee igu solució. Por lo tto se trt de u siste icoptile. Apute Prof. Mel Chresti Mteátic II (Lic. e Turiso, Hotelerí, Adiistrció) UNRN Año

3 Apute Prof. Mel Chresti Mteátic II (Lic. e Turiso, Hotelerí, Adiistrció) UNRN Año Epresió tricil de u siste Se el SEL siguiete, de ecucioes icógits: L LLL L L Defiios: Mtri de los coeficietes: es l tri A.. Mtri de los térios idepedietes: es l tri o vector colu B.. Mtri de ls icógits: es l tri o vector colu X.. Etoces, el siste S puede epresrse de er tricil de l siguiete for: B AX Es decir: Ejeplo: l epresió tricil del SEL del ejeplo terior es: S:

4 Apute Prof. Mel Chresti Mteátic II (Lic. e Turiso, Hotelerí, Adiistrció) UNRN Año ) 6 6 Ejercicio : escriir ls epresioes triciles de los SEL de los ejeplos teriores. ) 8 6 ) Oservció: oteos que si, ddo u SEL e su epresió tricil, efectuos el producto B X A etre trices, otedreos el siste ddo. Sistes Hoogéeos U SEL es hoogéeo si es de l for L LLL L L o ie (e for tricil) O X A, dode O es l tri ul de tño. Es decir, que e u siste hoogéeo todos los térios idepedietes so ceros. Veos que: Todo SEL hoogéeo tiee por lo eos u solució L que se ll solució trivil. Por lo tto, siepre es coptile. Si tiee lgu otr solució distit de l trivil, será coptile ideterido.

5 Sistes Equivletes Si ls ecucioes que copoe u SEL se les plic u o ás de ls siguietes opercioes (llds opercioes o trsforcioes eleetles): - Itercir el orde e el que figur ls ecucioes. - Multiplicr u de ls ecucioes por culquier esclr o ulo. - Surle u de ls ecucioes otr culquier de ells. - Aplicr culquier coició de ls opercioes teriores. el siste que se otiee es equivlete l ddo iicilete. Es decir, es u siste co ls iss solucioes que el ddo. Ejeplo: ddo el SEL 7 8 los sistes : 8, so equivletes l priero pues: 8 se otuvo ultiplicdo l prier ecució por. 8 8 se otuvo sudo l segud ecució l prier. 7 7 se otuvo ultiplicdo l prier ecució por ( ) suádol l segud ecució. *************************************** A cotiució lireos lguos csos prticulres de SEL. De cd uo de ellos vereos ejeplos su iterpretció geoétric. (A) Sistes de dos ecucioes co dos icógits () Estos sistes so los ás secillos. Cost de u pr de ecucioes lieles pr ls cules deeos hllr u solució coú s. Es decir: Cd ecució liel represet u rect e el plo. Por lo tto se puede presetr tres csos: Que ls rects se corte e u puto. Que ls rects o se corte uc, es decir, se prlels. Que ls rects se coicidetes. E el prier cso, tedreos u úic solució, que será el puto del plo ( ; ) dode s rects se itersec. Por lo tto, el siste será coptile deterido. Apute Prof. Mel Chresti Mteátic II (Lic. e Turiso, Hotelerí, Adiistrció) UNRN Año

6 E el segudo cso, o tedreos igu solució. Etoces, el siste será icoptile. E el últio cso, hrá ifiits solucioes, que culquier puto que perteec ls rects será solució del siste. Luego, el siste será coptile ideterido. Ejeplos: ) 6 Este siste tiee coo solució el puto ;. Es coptile deterido. Si grficos s rects e u iso siste de ejes coordedos crtesios ortogoles, otedreos: ; U étodo de resolució de este siste cosiste etoces e grficr s rects. El puto e el que se corte será l solució del siste. Pr verificr que est solució es correct, reeplos los vlores de ls icógits s ecucioes del siste, deiédose cuplir ls igulddes:, e 6 ( ) ( ) 8 6 Adeás de este étodo gráfico, eiste otros étodos de resolució, ser: Método de igulció Método de sustitució Apute Prof. Mel Chresti Mteátic II (Lic. e Turiso, Hotelerí, Adiistrció) UNRN Año 6

7 E el étodo de igulció, despejos u is vrile de s ecucioes. Por ejeplo, l : 6 Luego igulos s epresioes: 6 hllos el vlor de :. Coociedo el vlor de podeos hllr el vlor de reepldo e culquier de ls ecucioes de rri:. Luego, Por lo tto, l solució del siste es ( ; ) ; Pr resolver el siste por el étodo de sustitució deeos despejr u de ls vriles de u de ls ecucioes, reeplrl e l otr ecució. Por ejeplo, si despejos e l prier ecució l reeplos e l segud ecució otedreos: Por lo tto ) 8 Este es u siste icoptile. El gráfico os uestr que s rects so prlels: Apute Prof. Mel Chresti Mteátic II (Lic. e Turiso, Hotelerí, Adiistrció) UNRN Año 7

8 Ejercicio : resolver el siste terior por los étodos de igulció de sustitució. Oservr qué sucede e este cso. Scr coclusioes. Igulció: Sustitució: ) 8 6 Este es u siste coptile ideterido, que ls rects so coicidetes. Ejercicio : pror que el siste terior es coptile ideterido por los étodos de igulció de sustitució. Oservr qué sucede e este cso. Scr coclusioes. Apute Prof. Mel Chresti Mteátic II (Lic. e Turiso, Hotelerí, Adiistrció) UNRN Año 8

9 Ejercicio : e los siguietes proles, plter el siste de ecucioes luego resolverlo por culquier de los étodos vistos: ) E u grj se crí gllis coejos. Si se cuet ls ces, so ; si se cuet ls pts, so. Cuátos iles h de cd clse? (Rt: h 7 coejos gllis) ) Se h evsdo litros de leche e otells de litros de litros. Cuáts otells de cd u se h utilido? (Rt: otells de litros de litros) c) U rco pr turiso tiee crotes doles siples. El folleto dice que ofrece cs distriuids e 6 crotes. Cuátos crotes de cd tipo tiee? (Rt: siples doles) d) Hce ños l edd de i pdre er el triple de l de i hero detro de ños sólo será el dole. Cuáles so ls eddes de i pdre de i hero? (Rt: i pdre tiee ños i hero tiee ños) e) U geci de turiso ofrece dos tipos de ecursioes e sus dos locles de vet. El prier locl vedió ecursioes del prier tipo del segudo tipo, por lo que recudó $, ietrs que el otro locl vedió del prier tipo del segudo tipo, recuddo u oto de $. Cuál es el precio de vet de cd ecursió? (Rt: 8$ $) (B) Sistes de tres ecucioes co dos icógits () Si los sistes de ecucioes teriores les gregos u tercer ecució, otedreos u siste del tipo: Geoétricete sigific que teeos tres rects e el plo. Puede drse vris situcioes segú l posició de ests rects: Tres rects prlels Dos rects prlels l otr cort s Apute Prof. Mel Chresti Mteátic II (Lic. e Turiso, Hotelerí, Adiistrció) UNRN Año 9

10 Dos rects coicidetes l otr prlel ests Tres rects que se cort de dos E todos estos csos el siste es icoptile, que o podeos ecotrr u pr de vlores ( ; ) que stisfg ls tres ecucioes siultáeete. El siguiete cso: Tres rects coicidetes os uestr u siste coptile ideterido que, l coicidir ls tres rects, culquier pr de vlores ( ; ) será solució del siste. Por últio, los siguietes csos: Dos rects coicidetes l otr cort s Tres rects que se cort e u puto So ejeplos de sistes coptiles deteridos, que eiste u solo pr de vlores ( ; ) que stisfce ls tres ecucioes siultáeete. Apute Prof. Mel Chresti Mteátic II (Lic. e Turiso, Hotelerí, Adiistrció) UNRN Año

11 Pr resolver estos sistes, deás del étodo gráfico, podeos tor dos de ls ecucioes dds, hllr los vlores de ls icógits edite uo de los étodos vistos teriorete, luego verificr est solució co l tercer ecució. Si ergo, se recoied resolver estos sistes edite otro étodo, el cul es ás eficiete, que podreos utilir pr sistes de culquier úero de ecucioes de icógits. Es el Método de Guss. Resolució de sistes de tres ecucioes dos icógits edite el Método de Guss Priero defiireos: Mtri del siste o Mtri plid socid: es l tri A B.... Etoces, el siste podeos escriirlo coo A B Medite opercioes eleetles etre ls fils de l tri otedreos sistes equivletes (ver pág.) ás siples que os peritirá oteer ls solucioes uscds. L ide es trsforr l tri plid A B e α β β dode α, β β so los uevos esclres que surge luego de relir ls eciods opercioes eleetles. Veos co u ejeplo cóo se plic este étodo. Se el siste de tres ecucioes dos icógits: 9 7 cu tri plid socid es A B 9 7 Apute Prof. Mel Chresti Mteátic II (Lic. e Turiso, Hotelerí, Adiistrció) UNRN Año

12 Aplicdo sucesivs opercioes eleetles oteeos: / 9 / 7 7 / / 9 / / 9 Multiplico l prier fil por (/) l suo l segud fil. Multiplico l prier fil por (-/) l suo l tercer fil. Multiplico l segud fil por (/7) ultiplico l tercer fil por (/) Veos que l segud tercer fils so igules. Es decir, que si restos l segud fil l tercer, ést quedrá ford solete por ceros. Lo que sigific que podeos prescidir de est ecució. 9 Por lo tto, volviedo escriir el siste equivlete oteido, e for de ecucioes, teeos que: 9 Luego, l solució del siste es ;. Gráficete, se oserv que este es el puto de itersecció de ls tres rects: Apute Prof. Mel Chresti Mteátic II (Lic. e Turiso, Hotelerí, Adiistrció) UNRN Año

13 Apute Prof. Mel Chresti Mteátic II (Lic. e Turiso, Hotelerí, Adiistrció) UNRN Año Ejercicio : resolver los siguietes sistes edite el étodo de Guss, e idicr qué tipo de sistes so: ) ) 6 8 c) 9 d) 7 Respuests: ) ; ) coptile ideterido c) icoptile d) icoptile Ejercicio 6: U pdre dese reprtir $ etre sus dos hijos, de er que el dole de l ctidd que reci el priero sud lo que reci el segudo dé $, que el dole de lo que reci el segudo sudo lo que reci el priero dé $. Podrá el pdre relir esto? (C) Sistes de tres ecucioes co tres icógits () So sistes del tipo: cu tri plid es B A. Estos sistes tié los resolvereos utilido el étodo de Guss. Etoces, edite opercioes eleetles, l tri plid terior quedrá trsford e β β α α α B A Veos u ejeplo: Se el siste cu tri plid es. Etoces: / 7 / Por lo tto u siste equivlete l ddo es:

14 Coo etoces ( ) Por últio: ( ) Luego, el siste es coptile ideterido que tiee u úic solució que es l ter ( ;; ). Iterpretció geoétric de u siste de tres ecucioes co tres icógits Cd ecució de este siste represet u plo e el espcio. Si el siste es coptile deterido, l solució es el puto e el espcio ( ; ; ) coú los tres plos. Pr igiros est situció, peseos e u hitció. El techo dos predes cotigus so los tres plos. L esqui dode estos itersec es el puto coú los tres plos. Por supuesto, o siepre hrá u úico puto de itersecció etre los tres plos. Puede suceder que los tres plos se prlelos etre sí. O ie, dos prlelos el tercero corte os. O que se corte de dos Ejercicio 7: li tods ls posiles posicioes que puede teer tres plos etre sí, e cd cso pies si se trt de u siste coptile (deterido o ideterido) o icoptile. Ejercicio 8: resuelve los siguietes sistes de ) ) c) 8 6 Rt: ) cop. det. ; ; ; ) icoptile ; c) cop idet.. ; 8 9 Apute Prof. Mel Chresti Mteátic II (Lic. e Turiso, Hotelerí, Adiistrció) UNRN Año

15 Ejercicio 9: resuelve los siguietes proles, pltedo previete e cd cso el siste de ecucioes correspodiete. ) U copñí eroáutic dispoe de vioes destidos vuelos chrter pr directivos de grdes epress equipos deportivos. Dispoe de tres tipos de vioes: el odelo A es u rector co cpcidd pr psjeros cu tripulció está ford por pilotos; el odelo B es u turohélice iotor co cpcidd pr psjeros su tripulció l for pilotos; el odelo C es u pequeñ vioet-ti co cpcidd pr psjeros u piloto. Aer, por l ñ, despegro todos los vioes copletos. E ellos i psjeros 7 pilotos. Cuátos vioes de cd odelo tiee l copñí? (RT: del tipo A, del tipo B del tipo C) ) L su de ls eddes de tres heros es de ños. L edd del or es igul l su de ls eddes de sus heros eores. Detro de 8 ños, el or dolrá l edd del eor. Clcul l edd ctul de cd uo de los heros. (Rt: 6, ños) c) Hll u úero de tres cifrs siedo que ésts su 8. Adeás, l cifr de ls deces es igul l su de ls otrs dos, por últio, si este úero le restos el que result de ivertir el orde de sus cifrs, el resultdo es 99. (Rt: el úero es 9) d) Los sueldos del pdre, l dre el hijo sudos d $. L dre g el dole del hijo. El pdre g / de lo que g l dre. Cuáto g cd uo? (Rt: el pdre $, l dre $ el hijo 7$) Uso de l tri ivers pr l resolució de sistes Heos visto que u SEL puede epresrse e for tricil de l siguiete er: A X Resolver u siste sigific hllr el vlor de ls icógits o vriles, es decir, hllr el vector colu X. B Vos despejr X de l ecució terior, de l siguiete er: o Priero ultiplicos iquierd por l ivers de A : A X B A A X A B o Ahor socios: ( A A) X A B o Coo A A I etoces I X A X o Coo l tri idetidd I es el eleeto eutro pr el producto de trices (coo el úero lo es pr el producto de úeros reles), os qued que: X A B Esto será válido siepre cudo A se cudrd e ivertile. Apute Prof. Mel Chresti Mteátic II (Lic. e Turiso, Hotelerí, Adiistrció) UNRN Año

16 Apute Prof. Mel Chresti Mteátic II (Lic. e Turiso, Hotelerí, Adiistrció) UNRN Año 6 Por lo tto, cocluios que: Pr resolver el siste B X A deeos efectur el producto B A X dode A es l tri ivers de A Ejeplo: resolver el siste 9 7 Priero escriios el siste e for tricil B X A es decir 9 7 Luego hllos l ivers de l tri A por lguo de los étodos vistos (Guss, usdo deterites) oteiedo: 9 A Etoces el vector colu X será: 6 9 B A X Por lo tto l solució del siste es ; ; 6. Ejercicio : resolver por este étodo (si es posile) los siguietes sistes ) ) 6 Rt: ) ; ; ) ;

17 Uso de los deterites pr l resolució de sistes Sistes de Crer U SEL se dice que es u siste de Crer si su tri de coeficietes A es cudrd regulr, es decir, si el siste tiee igul ctidd de icógits que de ecucioes, el deterite de l tri de coeficietes A es distito de cero. Por lo tto: S : LLL L L L es de Crer A.. es tl que det( A ) Teore de Crer Todo siste de Crer tiee u sólo u solució X, l cul se otiee de l siguiete er: ; ;. ; dode: es el deterite de l tri de coeficietes A i es el deterite de l tri que se otiee l sustituir e l tri A l colu i por l colu de térios idepedietes. Veos cóo fucio este teore co u ejeplo: Se el siste S :. L tri de coeficietes es A. Apute Prof. Mel Chresti Mteátic II (Lic. e Turiso, Hotelerí, Adiistrció) UNRN Año 7

18 Clculos el det(a ) por lguo de los étodos vistos (regl de Srrus, desrrollo por cofctores) oteiedo det( A ). Hllos hor, : Luego, ls solucioes so: 6 6 ; ; Ejercicio : Deterir si los siguietes SEL so sistes de Crer. E cso firtivo, hllr su solució edite el Teore de Crer. ) ) 9 c) ) ; ; ) ; ; c) Icoptile Ejercicio : Resuelve los siguietes proles plicdo culquier de los étodos vistos, pltedo previete e cd cso el siste de ecucioes correspodiete: ) Se h fudido u cde de oro del 8% de pure juto co u illo del 6% de pure. Así se h oteido gros de oro de u pure del 76%. Cuátos gros pes l cde cuátos el illo? (Rt: l cde 9 gros el illo gros) ) U fricte produce tres rtículos A, B C. Por cd uidd vedid g $ por A, $ por B $ por C. Los costos fijos so 7$ por ño, los costos de producció por cd uidd so $, $ 7$ respectivete. E el ño 8 se fricro vediero u totl de uiddes etre los tres productos, oteiedo $ de igresos. Si el costo totl fue de 8$, cuáts uiddes de cd producto fricro e el ño 8? (Rt: uiddes de A, uiddes de B de C). Apute Prof. Mel Chresti Mteátic II (Lic. e Turiso, Hotelerí, Adiistrció) UNRN Año 8