Cálculo de la matriz modal de un sistema dinámico a partir de las constantes modales utilizando técnicas de optimización

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1 Rev. Int. Mét. Num. Cálc. Dis. Ing. Vol. 24, 1, (2008) Revista Intenacional de Métodos Numéicos paa Cálculo y Diseño en Ingenieía Cálculo de la matiz modal de un sistema dinámico a pati de las constantes modales utilizando técnicas de optimización Luis Manuel Villa Gacía Dpto. de Constucción e Ingenieía de Fabicación Edificio Dptal. Oeste, Módulo 7, 1 a Planta Univesidad de Oviedo, Campus de Gión Astuias, España Tel.: ; Fax: villa@uniovi.es Resumen El pesente tabao descibe y aplica una altenativa paa la esolución del poblema inveso del cálculo de la matiz modal [Φ], en un sistema dinámico con amotiguamiento histeético o estuctual -no popocional-, a pati de las constantes modales A, empleando técnicas de optimización. Se popone un método de descomposición paa tabaa con magnitudes compleas, que pemite tata sepaadamente la pate eal e imaginaia, incluso en opeaciones maticiales poducto, así como un eemplo del mismo paa la implementación en pogamas comeciales de optimización. Palabas clave: Dinámica Estuctual, Análisis Modal, Identificación, Optimización. CALCULATION OF THE MODAL MATRIX OF A DYNAMIC SYSTEM FROM ITS MODAL CONSTANTS USING OPTIMIZATION TECHNIQUES Summay The pesent pape descibes and applies an altenative fo solving the invese poblem of calculating the modal matix [Φ] of a dynamic system with hysteetic o stuctual (non-popotional) damping fom the modal constants A using optimization techniques. A decomposition method is poposed fo woing with complex magnitudes that allows the eal and imaginay pats to be teated sepaately, even in poduct matix opeations, along with an example of this method to be implemented in commecial optimization pogams. Keywods: Stuctual Dynamics, Modal Analysis, Identification, Optimization. c Univesitat Politècnica de Catalunya (España). ISSN: Recibido: Septiembe 2006Aceptado: Junio 2007

2 14 L.M. Villa Gacía INTRODUCCIÓN Una expesión geneal paa los elementos de la matiz de eceptancia, en función de las popiedades modales, es 1 : α (ω) = X F = N =1 Ψ Ψ m (ω 2 ω 2 + i η ω 2 ) (1) donde Ψ y Ψ son los elementos y, espectivamente, del modo de vibación {Ψ }. En téminos físicos, (1) puede intepetase como que la espuesta total es el esultado de la suma de contibuciones de las espuestas de N sistemas de un gado de libetad. En el caso geneal de amotiguamiento no popocional, el numeado de (1) es compleo, mientas que en los casos sin amotiguamiento o con amotiguamiento popocional es una cantidad eal. Tomando en consideación los modos de vibación (autovectoes) nomalizados con especto a la masa o donde α (ω) = X F = α (ω) = X F = N =1 N =1 Φ Φ ω 2 ω 2 + i η ω 2 Ā ω 2 ω 2 + i η ω 2 (2) (3) A = A e i ϕ (4) es una cantidad complea conocida como constante modal o esiduo, paa la cual se veifica A = Ψ Ψ m = Φ Φ (5) y ( ) Ψ Ψ ϕ = ag = ag (Φ Φ ) (6) m que son unas magnitudes constantes paa unos, y dados. Dos impotantes conclusiones pueden se extaídas de las expesiones anteioes. La pimea, es clao que la matiz de eceptancia del sistema es simética α = X F = α = X F (7) (pincipio de ecipocidad) y segunda, que las ctes. modales están inteelacionadas, obedeciendo a la elación descita po la paea de ecuaciones siguientes: A = Φ Φ A = Φ 2 ó A = Φ 2 (8) conocidas como las ecuaciones de consistencia modal. Hay difeentes técnicas que pemiten deduci las caacteísticas modales de un sistema dado desde el modelo de espuesta obtenido expeimentalmente. El pocedimiento es conocido como identificación modal 1,2.

3 Cálculo de la matiz modal de un sistema dinámico a pati de las constantes modales 15 El pesente tabao descibe y aplica una altenativa paa la esolución del poblema inveso del cálculo de la matiz modal [Φ] de un sistema dinámico, a pati de las constantes modales A empleando técnicas de optimización, las cuales se ciñen exclusivamente a sistemas con amotiguamiento histeético o estuctual y niveles de amotiguamiento baos (genealmente menoes de un 10 % que son los que se pesentan en las gandes estuctuas). Una vez pesentado el tema se va aumentando gadualmente su compleidad en apatados sucesivos, al obeto de que el desaollo del mismo pueda seguise más fácilmente, asumiendo de esta manea el inconveniente que supone se eiteativo en algunos puntos. Compende inicialmente los casos no amotiguado, y de amotiguamiento estuctual popocional, paa llega al caso geneal de amotiguamiento estuctual o histeético. En cada uno de ellos, se popone una altenativa paa el cálculo de la matiz modal de un sistema dinámico a pati de las constantes modales. La exposición de la metodología analizada se complementa con un eemplo aplicado, que implementa el algoitmo, al obeto de: indica cómo se ealiza la taducción del lenguae matemático utilizado, al coespondiente a un softwae de optimización comecial (GAMS) 3. que el lecto veifique, po si mismo, que se alcanza la solución del poblema inveso, es deci, que patiendo del modelo de espuesta se puede llega al modelo espacial del sistema, a tavés de la deteminación pevia del modelo modal. DETERMINACIÓN DE LA MATRIZ MODAL Las caacteísticas pincipales de la técnica de optimización son las siguientes: Indiecta, es deci, la matiz modal del sistema se detemina a pati de datos del modelo de espuesta, constantes modales o esiduos, que, a su vez, se pueden obtene de analiza cada FRF po sepaado 4. Se aplica a sistemas MDOF evidentemente. Se clasifica dento de los llamados single FRF o single input - single output, estudiando cada FRF po sepaado. Los paámetos a estima son las componentes de la matiz modal, [Φ]. Los modos de vibación compleos. No es necesaio cálculo pevio alguno paa estima los valoes iniciales de los paámetos modales, ya que no hace falta suminista buenas estimaciones iniciales paa que el poceso convea. En los siguientes apatados se desaolla el método de cálculo, comenzando po un caso ideal no amotiguado, donde se descibe la foma de extae las componentes de la matiz modal, paa continua con el caso de amotiguamiento estuctual popocional, y, finalmente, considea el caso geneal de amotiguamiento estuctual no popocional. Caso no amotiguado El conunto de datos paa el caso no amotiguado está constituido po las constantes modales, calculadas -po eemplo- a pati de las FRF en una etapa anteio 4, es deci: A : esiduo de la eceptancia α coespondiente al modo

4 16 L.M. Villa Gacía Dado que A = A -al cumplise α = α - no es necesaio intoduci la totalidad de los mismos. El conunto de vaiables involucadas en el poblema es el siguiente: Φ : componente de la matiz modal paa la fila y columna (modo) ε : eo asociado al modo en la eceptancia α z: función obetivo ε es siempe positiva, debido a la metodología del análisis de egesión efectuado. Po definición, cada esiduo es el esultado del poducto de dos componentes de una misma columna de la matiz modal: A = Φ Φ (9) po lo que los esiduos petenecientes a una eceptancia de la diagonal pincipal son siempe positivos. Paa austa cada una de las componentes de la matiz modal se utiliza un análisis de egesión, según el método de estimación del mínimo valo absoluto 5 : A Φ Φ (10) La estimación de las mismas se ealiza a tavés de la esolución del siguiente poblema de pogamación no lineal: Minimiza z = ε, (11) sueto al siguiente conunto de esticciones no lineales del poblema, que definen el conunto de soluciones admisibles A Φ Φ ε Caso de amotiguamiento popocional Φ Φ A ε (12) ε 0 Los autovectoes de la matiz modal [Ψ] (o [Φ] en el caso de nomalización especto de la matiz de masa) son los mismos que en el caso no amotiguado, po lo que todo lo agumentado paa la deteminación de la matiz modal en el supuesto de amotiguamiento nulo en el apatado anteio, sigue siendo aplicable en el pesente caso. Caso geneal de amotiguamiento El conunto de datos paa la deteminación de la matiz modal, consideando un caso geneal de amotiguamiento estuctual, está constituido po la pate eal e imaginaia de las constantes modales, calculadas -po eemplo- a pati de las FRF en una etapa anteio 4 A R : esiduo de alfa paa el modo coespondiente a la eceptancia α (pate eal) A I : esiduo de alfa paa el modo coespondiente a la eceptancia α (pate imaginaia)

5 Cálculo de la matiz modal de un sistema dinámico a pati de las constantes modales 17 dado que Ā = Ā -como consecuencia de que α = α - no es necesaio considea la totalidad de los mismos. El conunto de vaiables involucadas en el poblema son las siguientes: Φ R : componente de la matiz modal paa la fila y columna (modo) (pate eal) Φ I : componente de la matiz modal paa la fila y columna (modo) (pate imaginaia) ε R : eo asociado con el modo en la eceptancia α (pate eal) ε I : eo asociado con el modo en la eceptancia α (pate imaginaia) z: función obetivo debido a la metodología del análisis de egesión efectuado las vaiables ε R y ε I son siempe positivas. Po definición, cada esiduo es el esultado del poducto de dos componentes de una misma columna de la matiz modal Ā = Φ Φ (13) sin embago, los esiduos de la diagonal pincipal en la matiz de eceptancia del sistema [α(ω)] -al contaio de los casos anteioes no amotiguado y con amotiguamiento estuctual popocional- ya no tienen po qué se siempe positivos, puesto que, en geneal, el poducto de un númeo compleo po si mismo no tiene poque esulta oto, con pate eal e imaginaia positivas. Dado que tanto los datos de patida (constantes modales), como la solución buscada (componentes de la matiz modal), están constituidas po magnitudes con pate eal e imaginaia, paa lleva a cabo el poceso de cálculo con la consiguiente optimización, es necesaio paticiona los datos, ecuaciones y esultados mediante la siguiente tansfomación, simila a la indicada en 4 ( A R + A I i) = que puede se eodenada como Φ R } {{ } a + Φ I } {{ } b i Φ R } {{ } c + Φ I } {{ } d i (14) ( A R + A I i) = (Φ R Φ R Φ I Φ I ) + (Φ R Φ I + Φ I Φ R ) i (15) teniendo pesente que si a + bi y c + di son dos magnitudes compleas, el poducto de las mismas esulta (a + bi)(c + di) = (ac bd) + (ad + bc) i (16) po lo que -identificando téminos a ambos lados de la igualdad anteio- se llega a la patición buscada A R = (Φ R Φ R Φ I Φ I ) (17) A I i = (Φ R Φ I + Φ I Φ R ) i Paa austa cada una de las componentes de la matiz modal se utiliza un análisis de egesión, según el método de estimación del mínimo valo absoluto 5 A R Φ R Φ R + A I Φ I Φ I (18)

6 18 L.M. Villa Gacía La estimación de las mismas se puede obtene a tavés de la esolución del siguiente poblema de pogamación no lineal Minimiza z = ε R + ε I (19) sueto al siguiente conunto de esticciones no lineales del poblema, que definen el conunto de soluciones admisibles A R Φ R Φ R ε R Φ R Φ R A R ε R ε R 0 A I Φ I Φ I ε I Φ I Φ I A I ε I ε I 0 pate eal pate imaginaia (20) Finalmente, es digno de menciona que las condiciones de otogonalidad se cumplen iguosamente paa los paámetos calculados a tavés de este método. Eemplo [Φ] T [M] [Φ] = [I] [Φ] T [[K] + i [D]] [Φ] = [ λ 2 ] (21) A continuación se muestan los esultados obtenidos paa un sistema de 10 gados de libetad utilizando la metodología expuesta. El modelo espacial empleado paa la geneación de datos es: [M] = [K] + i [D] = , , , , , , , , ,3 i (22) (23)

7 Cálculo de la matiz modal de un sistema dinámico a pati de las constantes modales 19 Los datos numéicos de patida se obtienen analíticamente, a pati de la esolución del poblema diecto; esto es: patiendo de un modelo espacial dado ( [M], [K] y [D] ), el poblema diecto se esuelve al obeto de obtene el modelo modal (ω, η, [Φ] ), con lo que la deteminación de las constantes modales A se puede efectua mediante las expesiones indicadas al final del pime apatado. Las cuales constituyen el conunto de datos, paa el cálculo de las componentes de la matiz modal [Φ], mediante el método de optimización descito (ve anexo). Seguidamente se indican los esultados alcanzados paa las pates eal e imaginaia de todas y cada una de las componentes de la matiz de autovectoes (Tablas I, II y III). El ficheo de entada GAMS que esuelve el poblema, se incluye como anexo Tabla I. Pate eal e imaginaia, de las columnas 1 a 3, de la matiz modal [Φ] Tabla II. Pate eal e imaginaia, de las columnas 4 a 6, de la matiz modal [Φ] Tabla III. Pate eal e imaginaia, de las columnas 7 a 10, de la matiz modal [Φ]

8 20 L.M. Villa Gacía CONCLUSIONES A continuación se exponen las conclusiones más destacadas que se pueden extae de la exposición efectuada en los apatados pevios: Se poponen técnicas de descomposición paa tabaa con magnitudes compleas, que pemiten tata sepaadamente la pate eal e imaginaia, incluso en opeaciones maticiales poducto, así como eemplos de las mismas paa la implementación en pogamas comeciales de optimización; un equisito ineludible en la aplicación del pogama GAMS. Se abe un nuevo camino paa la esolución -a tavés de métodos de optimización y paticulamente del pogama GAMS- del poblema inveso en la deteminación de las componentes de la matiz modal [Φ], a pati de las constantes modales A del sistema, utilizando la técnica popuesta.

9 Cálculo de la matiz modal de un sistema dinámico a pati de las constantes modales 21 ANEXO $title Cálculo de la matiz modal a pati de los esiduos * hysteetically non popotional damp. 10 d.o.f. file out/fi at.out/; out.pw = 500 ; * Númeo máx. de columnas en el ficheo out: 500. put out; set R modes / 1*10 / J ows / 1*10 / ; alias(j,k); table A R(R,J,K) datos de los esiduos (pate eal) ; table A I(R,J,K) datos de los esiduos (pate imag.) ; * Los esiduos obtenidos a pati de datos expeimentales, en geneal, no guadan la simetía equeida, po lo que inteesa intoduci todos los datos. vaiable FI R(J,R) componente de la matiz FI FI I(J,R) componente de la matiz FI z obetivo; positive vaiable epsi R(R,J,K) eo (pate eal) epsi I(R,J,K) eo (pate imag.); fee vaiable z; equations A F R(R,J,K) obtención de esiduos (pate eal) F A R(R,J,K) obtención de esiduos (pate eal)

10 22 L.M. Villa Gacía A F I(R,J,K) obtención de esiduos (pate imag.) F A I(R,J,K) obtención de esiduos (pate imag.) ob ob; A F R(R,J,K).. A R(R,J,K) - ( FI R(J,R)*FI R(K,R) - FI I(J,R)*FI I(K,R) ) =l= epsi R(R,J,K); F A R(R,J,K).. ( FI R(J,R)*FI R(K,R) - FI I(J,R)*FI I(K,R) ) - A R(R,J,K) =l= epsi R(R,J,K); A F I(R,J,K).. A I(R,J,K) - ( FI R(J,R)*FI I(K,R) + FI I(J,R)*FI R(K,R) ) =l= epsi I(R,J,K); F A I(R,J,K).. ( FI R(J,R)*FI I(K,R) + FI I(J,R)*FI R(K,R) ) - A I(R,J,K) =l= epsi I(R,J,K); ); ob.. z =e= sum(r, sum((j,k), epsi R(R,J,K) ) ) + sum(r, sum((j,k), epsi I(R,J,K) ) model ahg FI /all/; FI R.l(J,R)= 1; FI I.l(J,R)= 1; solve ahg FI using nlp minimizing z; display FI R.l, FI I.l, z.l, epsi R.l, epsi I.l ; ******************************* OUT ********************************* put. A uste de la matiz FI (hysteetically non popotional damp. 10 d.o.f.)/; put modelstat=,ahg FI.modelstat, solvestat=,ahg FI.solvestat/; put z(obetivo)=,z.l:12:10/; put /; put /; put Pates eales e imaginaias de la matiz FI/; loop( J, put /; loop( R, put J.tl:1:0.R.tl:1:0, FI R.l(J,R):12:8, FI I.l(J,R):12:8; ); ); put /;

11 Cálculo de la matiz modal de un sistema dinámico a pati de las constantes modales 23 REFERENCIAS 1 N.M. Mendes Maia, J.M. Montalvao e Silva, J. He, N.A. John Lieven, R. Ming Lin, G. William Slinge, W. To y A.P. Vale Ugueia, Theoetical and Expeimental Modal Analysis, Reseach Studies Pess Ltd., (1997). 2 D.J. Ewins, Modal Testing: Theoy and Pactice, Reseach Studies Pess Ltd., (1991). 3 E. Castillo, J.A. Coneo, P. Pedegal, R. Gacía y N. Alguacil, Building and Solving Mathematical Pogamming Models in Engineeing and Science, Reseach Studies Pess Ltd., (2001). 4 L.M. Villa G., Aplicación de técnicas de optimización paa la deteminación de paámetos modales a tavés de las funciones de espuesta en fecuencia, Revista Intenacional de Métodos Numéicos paa el Cálculo y Diseño en Ingenieía, Vol. 23, N 4, pp , (2007). 5 E. Castillo, A.S. Hadi, y B. Lacuz, Regesión diagnostic fo the least absolute value and the minimax methods, Communications in Statistics, Theoy and Methods, Vol. 30, pp , (2001).