Facultad de Ciencias Económicas, Administrativas Y Contables

Transcripción

1 Fcultd de Ciecis Ecoóics, Adiistrtivs Y Cotles JOSÉ GERARDO CARDONA TORO Docete Uiversidd Lire Secciol Pereir Docete Uiversidd Tecológic de Pereir DAVID SANTIESTEBAN MURILLO Docete Uiversidd Lire Secciol Pereir LUZ MARÍA ROJAS DUQUE Director Deprteto de Ciecis Básics Fudció uiversitri del Áre Adi Pereir Docete Uiversidd Tecológic de Pereir FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS CON APLICACIONES EN ECONOMÍA, CONTADURÍA Y CIENCIAS ADMINISTRATIVAS JOSÉ GERARDO CARDONA TORO DAVID SANTIESTEBAN MURILLO LUZ MARÍA ROJAS DUQUE. ª EdICIÓN 9 Uiversidd Lire Secciol Pereir Fcultd de Ciecis Ecooics Cotles Diseño digrció: Mrí Alejdr Crdo Rojs Lur Ctli Crdo Rojs.

2 Bieveturdos los pciicdores, porque ellos será lldo hijos de Dios Jesús.

3 Dedictoris A Dios quie os ilui os d oportuiddes todos los dís. A Mis Pdres Cre Ariel e hijs Lur Alejdr por su poo perete. A i Mdre Rel por todo. A i Mdre Mri is hijs Alejdr Lur porque siepre he setido su costte io. PRESENTACIÓN

4 Ls teátics viee siedo u cuestiods por uchs persos, que de proto igor l iprtci de ls iss. El teto se relizó co el ojetivo de ejorr l prte didctic pedgógic pr que el estudite de ciecis ecoóics cotles ire ls teátics co ecto precio, por ello el viee dividido e tres cpítulos el priero cotiee u repso del lger eleetl, pr que el egresdo del chillerto recuerde los coceptos ásicos, pués ellos so udetles e los tes siguietes. El cpítulo dos cotiee el desrrollo de ls desigulddes vlor soluto de u or secill tocdo lo esecil de est teátic, ilete el cpítulo tres tiee u trjo uerte e ucioes, pues cosideros este de gr utilidd pr el uturo cotdor ecoóist. Es iportte resltr tie ls pliccioes e el áre diistrtiv, cotle ecoóic e cd cpítulo se hce u eoque de los tipos de ecucioes de cuerdo l ució que se trte. Ejeplo e l ució liel trtos ls ecucioes lieles sus sistes. Los tlleres tiee u ue úero de ejercicios que deás preset tlleres pr l clse los cules dee ser resultos por el estudite e copñí de su docete. Agrdeceos quiees os corrij critique pues de ello screos coss ues, por vor evieos sus coetrisos : jgdo7@hoo.es gerrdo7@utp.edu.co Quereos grdecer especilete l Dr Er Drio Arcil Deco de Ciecis Ecoóics Cotles por su poo costte el áio por pulicr los trjos de sus docetes. Los utores. CAPÍTULO

5 Repso ALGEBRA PRELIMINARES. CONCEPTOS FUNDAMENTALES EN ALGEBRA. Epresió lgeric Es u coició de úeros de letrs que represet úeros culesquier. c 7w 7, r, z, so csos de r r epresioes lgerics... El Tério. Es u epresió que solo cotiee productos cocietes de úeros de letrs. 7w 8,, r, so térios de u epresió lgeric. 9

6 8 es u epresió lgeric que cost de dos térios... Mooio. Es u epresió lgeric de u solo tério., t w, so ooios... Bioio. Es u epresió lgeric de dos térios. w, t so ioios... Trioio. Es u epresió lgeric de tres térios. 8 6, 6z, w so trioios. w..6 Multioio. Es u epresió lgeric de ás de u tério. w 8 6, 7w w w, w so ultioios. u 7..7 Coeiciete. Culquier ctor de u tério se ll coeiciete del resto de todo el tério. t, es el coeiciete de t...8 Térios seejtes. So quellos que solo se diereci e su coeiciete uérico. - 7 so térios seejtes; seejtes; pero w - w so térios o so térios seejtes. Podeos reducir térios seejtes uo solo: se puede reducir. este..9 U tério es etero rciol Co respecto cierts letrs que represet úeros culesquier, si está ordo por: Potecis eters positivs de letrs ultiplicds por u ctor uérico.

7 U úero. 7 Por ejeplo, los térios,,7, ;, so eteros rcioles co respecto ls letrs que igur e ellos. Si ergo, o es rciol co respecto o es etero co respecto.. Polioios Es u ooio, o u ultioio, e el que cd tério es etero rciol co respecto ls letrs. Por ejeplo: 7, polioios. Si ergo,, z z o so polioios., so.. Grdo de u ooio Es l su de todos los epoetes de l prte literl del tério. Por ejeplo, el grdo de z. El grdo de u costte coo por ejeplo,,, es, es cero... Grdo de u polioio Es el correspodiete l tério de or grdo cuo coeiciete se distito de cero. Los grdos de los térios del polioio z so,6,, respectivete; por cosiguiete, el grdo del polioio es 6.. Síolos de grupció. So los prétesis, los corchetes o ls llves ; se eple pr idicr que los térios ecerrdos e ellos se cosider coo u sol ctidd. Por ejeplo, l su de ls dos epresioes lgerics,, su diereci, se puede represetr por por,. Algus veces se eple coo síolo de grupieto u rr eci de los térios socir. Por ejeplo, -z es lo iso que escriir z. su producto.. Supresió de los síolos de grupció. Está regid por ls ors siguietes:

8 . Si u sigo + precede l síolo de grupieto, dicho síolo se puede supriir si odiicr los térios que cotiee. Por ejeplo, 6 6. Si u sigo precede l síolo de grupieto, dichos síolo se puede supriir cido el sigo de cd uo de los térios que cotiee. Por ejeplo,.. Si e u epresió igur ás de u síolo de grupieto, pr supriirlos se coiez por los iteriores. Por ejeplo: Tller e Clse No. Hllr el vlor de ls epresioes lgerics siguietes siedo,, z,,, c z 6c z c c 6 z d c. Clsiicr ls epresioes lgerics siguietes segú ls ctegorís: tério o ooio, ioio trioio ultioio, polioio. z 7 z c 6 z z d t e c. Hllr el grdo de los siguietes polioios: 6z 6 w w c d z z z

9 . Supriir los síolos de grupció e cd u de ls epresioes siguietes sipliicr los resultdos reduciedo los térios seejtes: z 6z 8 6z 6 8z c d. OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS.. Su de Epresioes Algerics. Se reliz grupdo los térios seejtes. Pr llevr co l su se puede dispoer ls epresioes e ils, co los térios seejtes e l is colu,, cotiució, se su los térios de cd colu. Ejeplo Sur: Solució: 7, 8 7, Luego el resultdo es: 6.. Rest de Epresioes Algerics. Se reliz eectudo l su de l epresió iuedo co l opuest del sustredo, l cul se otiee cido el sigo de todos los térios. Ejeplo Restr Solució: w w de 7 w 8w 7 w 8w w 8w w w.. Multiplicció de Epresioes Algerics.

10 Pr ultiplicr epresioes, se eectú ultiplicdo todos cd uo de los térios de uo de ellos por todos cd uo de los térios del otro, sudo luego los productos oteidos. Es recoedle order ls potecis de ls epresioes lgerics de or eor. o vicevers Ejeplo Multiplicr: por Solució: Ordeos de or eor ls potecis de Divisió de epresioes lgerics. Utilizreos solo l divisió de polioios. Se dee seguir los siguietes psos:. ordeos los térios de os polioios segú ls potecis crecieteso decrecietes de u de ls letrs coues los dos polioios.. Dividios el prier tério del dividedo por el priero del divisor, co lo que result el prier terio del cociete.. Multiplicos el prier tério del cociete por el divisor se rest del dividedo, pr oteer u uevo dividedo.. Co el dividedo de, repetios ls opercioes hst que se otegos u resto igul cero o de grdo eor que el dividedo.. El resultdo que oteeos se dee escriir sí: Dividedo Divisor Cociete Residuo Divisor Ejeplo Dividir: etre Solució: Lo priero que deeos hcer es orgizr order los polioios co respecto u is literl e or decreciete de ls potecis, se dispoe l operció de l siguiete er:

11 Luego: Ejeplo Dividir Solució: 8 etre Prue de l divisió Puede hcerse l prue de l divisió ultiplicdo el cociete por el divisor, ñdiedo l producto el residuo, si lo h; si el resultdo es igul l dividedo, l operció está ie hech. Tller e Clse No. Deterir el grdo de los polioios siguietes: z c w w w 7. Eectur ls opercioes idicds

12 c w w r t r t tr t d 6 7. Eectur ls divisioes, escriir el resultdo e l or: Dividedo Divisor Cociete Resto Divisor t tr t r t r c tr t r e r. FACTORIZACIÓN w w s s d s w w w w Los ctores de u epresió lgeric so dos o ás epresioes lgerics que l ultiplicrls etre si origi l prier. Si teeos l epresió: se puede escriir coo el producto de los ctores. Tié, E geerl: Descopoer u epresió lgeric e ctores, es hllr dos o ás ctores cuo producto es igul l epresió propuest.... COMO DESCOMPONER EN FACTORES. L descoposició e ctores, se plic geerlete, polioios de coeicietes eteros. Por ello se ecesit que los ctores se tié polioios de coeicietes eteros. Mietrs o se idique lo cotrrio, supodreos ests codicioes. Si teeos por ejeplo: w - ctores o lo cosideros descopuesto e los w lo cosideros descopuesto e los ctores w púes estos o so polioios. Igulete, so polioios de coeicietes eteros, siiso, epresr coo Polioio prio. z 7 o, o 7 z se puede 7, o es u polioio de coeicietes eteros.

13 U polioio de coeicietes eteros es prio cudo o se puede descopoer e ctores. Por ejeplo, = está epresdo coo producto de los ctores prios. U polioio se puede descopoer todo e ctores cudo todos ellos se puede epresr coo producto de ctores prios. Algus veces es iportte cir los sigos l posició de los ctores, sí: U polioio es prio cudo o dite ás ctores o divisores que él iso, co sigo ás o eos, l uidd,. Es iportte e l descoposició de ctores los siguietes productos:. z z c d c 7. c d c c d d z.. Co d c d z z z u etero positivo ipr,,, 7,.Solo pr. A Fctor coú ooio de l or w w Aplicos l le distriutiv de l ultiplicció: 8 El procediieto cosiste e scr l literl eor el úero eor si es posile que se ecuetre e tod l epresió ls deás epresioes se divide etre este ctor coú, los resultdos de ls divisioes so los que prece e el prétesis.

14 Ejeplo: si toos el cso el ctor coú es pues es el tério eor dividios cd epresió etre el pr oteer: ; ; Por tto el ctor coú qued ultiplicdo los cocietes de cd divisió detro de u prétesis:. B Diereci de cudrdos Por ultiplicció se tiee: o iversete se puede escriir:. L diereci de los cudrdos de dos epresioes lgerics es igul l producto de l su de dichs epresioes por su diereci s s s s C Trioio cudrdo perecto. s Por ultiplicció teeos: iversete: o U trioio es cudrdo perecto si dos térios so cudrdos perectos el tercero es igul l dole de l ríz cudrd del producto de quéllos. Pr ctorizr u trioio cudrdo perecto deeos scr l ríz cudrd los térios priero tercero. Luego ests ríces ls ultiplicos por dos, si este producto es ectete igul l tério cetrl se dice que es u trioio cudrdo perecto lo que hceos es detro de u prétesis escriir l ríz del prier tério el tercero seprdos por el sigo del tério cetrl elevr este prétesis l cudrdo. Fctorizr:

15 Podeos oservr que el dole producto de ls ríces es igul l tério cetrl, por tto es u trioio cudrdo perecto. Filete lo ctorizos, sí: 6 9 Fctorizr: 9 9 Por qué? C Su de cuos. Por ultiplicció teeos: lo iverso tié se cuple: L su de los cuos de dos térios lgericos puede descopoerse e el producto de los ctores, uo de los cules es l su de dichos térios, el otro es l su de sus cudrdos disiuid del producto de los térios. Fctorizr: D Diereci de cuos. Por ultiplicció teeos: lo iverso tié se cuple: L diereci de los cuos de dos térios lgericos puede descopoerse e el producto de los ctores, uo de los cules es l diereci de dichos térios, el otro es l su de sus cudrdos uetd del producto de los térios. Fctorizr: E Trioio de l or c Teiedo presete que el producto de dos ioios, tles coo, es:, si se reeplz + por por c, se puede escriir: c c. c U trioio de l or, se descopoe e el producto de dos ioios cuo prier tério es, los segudos térios so tles que d por su el coeiciete de por producto el tério idepediete de. Fctorizr: 7 Buscos dos úeros cuo producto os de l su se 7.

16 Si se os hce diícil ecotrr estos úeros deeos descopoer e ctores prios coios estos ctores hst ecotrr lo solicitdo es decir.c = + c = 7 Coios hst oteer los úeros: 7. Por tto: 7 =. Fctorizr: 8 F Trioio de l or c. c Los trioios de l or, proviee de l ultiplicció de dos ioios, coo se ve e los ejeplos que sigue: Eido este producto, podeos ver:. El prier tério del trioio es igul l producto de los prieros térios de cd ctor.. El segudo tério es igul l su lgeric de los productos del prier tério de cd ioio por el segudo tério del otro.. El tercer tério es igul l producto de los segudos térios de los dos ioios. Ejeplo Fctorizr: 6 7 Solució: c E geerl pr ctorizr u trioio de l or ultiplicos el tério idepediete por dividios etre este iso úero. Es decir: c c c = uscos dos úeros que ultiplicdos os de c sudos + c. Así coo e el ejeplo. Fctorizr: 8

17 Solució: uscos dos úeros que ultiplicdos os de 8 = sudos. Ls coicioes que d so: 8,,,, 6, pero l que ecesitos es,, pues: = + =. Por tto: Fctorizr: Por. A. Fctorizr hst dode se posile. 9 s 9 6 o6 t 6 w 8 c p u Tller e Clse No e 9 9 g c h,. i j 7 k 9 l q7 z d r8 z

18 . Fctorizr z k k w w t z w z s w w w r t r q p l k h h h j i h h w g e d w c w c Míio coú últiplo Deiició: El íio coú últiplo de dos epresioes lgerics A B es otr epresió lgeric M que cuple ls siguietes propieddes:. A B divide M.. Si S es u epresió lgeric tl que A B divide S, etoces M divide S. El íio coú últiplo de dos epresioes lgerics, es e u setido ás lire, l epresió s siple que puede ser dividid por A B; o l ás siple que cotiee os, A B coo ctores. Si teeos: B A luego M que correspode l íio coú últiplo de A B. Pues divide M, cuo cociete es, divide M, ddo coo cociete. El íio coú últiplo correspode epresioes coues o coues co su or poteci. Ejeplo Hllr el íio coú últiplo de 6 8 B A Solució: Fctorizos ls epresioes A B. c el Luego 6 8 B A

19 . Hllr el íio coú últiplo de: Tller e Clse No A r r B r r r A c A B 7 B C FRACCIONES ALGEBRAICAS. Deiició: se ll rcció o querdo el cociete idicdo de dos epresioes lgerics culesquier; por ejeplo l epresió es u epresió lgeric, se lee etre. l epresió se le ll uerdor l epresió se le deoi deoidor. Iguldd: Dos rccioes w so igules si solo si z w por z 8 ejeplo ls rccioes: so igules, pues: Sipliicció de Frccioes. Eiste u pricipio udetl e ls rccioes: si los térios de u rcció se ultiplic o se divide por u is epresió lgeric, se otiee sí u rcció equivlete l prier. Ejeplo Sipliicr hst dode se posile: Solució: 7 7 Fctorizos ls epresioes del uerdor deoidor ccelos ls siilres.

20 Recordeos: Solo podeos ccelr térios cudo esté coo ctoreses decir ultiplicdo o dividiedo o podeos hcer lo siguiete: 8 8 Lo cul es lso o lo hg!; pero si tuviéros: 8 8 Correcto. Ejeplo Sipliicr: A 6 6 Solució: Deeos ctorizr tods ls epresioes relizr l diereci de rcciorios del últio tério. 8 8 A A A Ejeplo Sipliicr hst su íi epresió: A 6 Solució: Descopoeos e ctores los deoidores; es decir: El deoidor coú correspode los coues o coues co su or poteci.

21 A 6 El deoidor coú lo dividios etre cd deoidor de l rcció el resultdo cociete lo ultiplicos por el uerdor de cd rcció: A A A Sipliicos térios seejtes oteeos: A A A A Ejeplo Sipliicr hst su íi epresió: Solució: Iicios por l prte ierior:

22 Por tto: = Ejeplo: Sipliicr hst su íi epresió Solució: Fctorizos tods ls epresioesdierecis de cudrdos, trioios ctor coú. Cios el sigo de dvisió por ultiplicció, pero iviertiedo ls rccioes, sí:

23 Tller e Clse No. sipliicr hst su íi epresió 6 e d c Solucioes:.7 EXPONENTES. Poteci de u epoete positivo. Se u etero positivo, represet el producto de ctores igules.así, por ejeplo:. es l eési poteci de. Propieddes:

24 co ; Ejeplo A Sipliicr: 7 w Solució: 7 w = w w 7 B sipliicr: z z z z z z C Sipliicr Solució:

25 Ejeplo Sipliicr: 8 6 Solució: Llevos l epresió l eor se plicos ls propieddes de los epoetes. Oserveos que el ctor coú e el uerdor es 8 Tller e Clse No 6. Sipliicr utilizdo ls propieddes de epoetes hst dode se posile, dr l respuest coo u epoete positivo. 6 8 c w w 7 e d g Solucioes:

26 .8 RADICALES Rdicl. Es u epresió de l or que represet l ríz eési pricipl de. es u etero positivo se deoi ídice del rdicl, se cooce coo ctidd surdicl. Los rdicles respectivete. Propieddes., 6 tiee ídices,..... No hg lo siguiete:

27 Apliccioes de ls propieddes Ejeplo Sipliicr hst su íi epresió: Solució: Pr sipliicr est epresió deeos llevr u is se ls ctiddes que llí prece. Luego plicos ls propieddes de los epoetes Su diereci de rdicles Rdicles seejtes. Dos o ás rdicles so seejtes cudo, reducidos su or ás siple, tiee el iso ídice l is ctidd surdicl. Ejeplo Cules de los siguiete rdicles so seejtes. 8, Solució:

28 Pr ser si so seejtes deeos descopoer e ctores ls ctiddes surdicles. so seejtes. is ctidd surdicl iso ídice l Por tto tiee el 8 8 Su. Pr sur lgericete dos o ás rdicles se reduce su or ás siple se coi los térios que tiee rdicles seejtes. Ejeplo Sipliicr hst su íi epresió: A z z z B C Solució: Aplicos ls propieddes de rdicles hllos el coú deoidor, pr sí oteer epresioes seejtes luego sipliicr.

29 Ahor grupos térios seejtes ultiplicos uerdor deoidor por Rciolizció. U de ls opercioes ás iporttes e el trjo co rdicles es l rciolizció, pues tiee pliccioes e dieretes áres de ls teátics ísic. Pr l rciolizció de deoidores es iportte teer e cuet lo siguiete:. El deoidor es u ooio co ríz cudrd.. El deoidor es u ooio co ríz eési.. El deoidor es u ioio de l or. El deoidor es u ioio de l or Veos cso por cso. Ejeplo Cso A. Rciolizr el deoidor de: Solució:

30 Quereos eliir el rdicl del deoidor. E prier lugr, recordeos que Por tto, si ultiplicos el uerdor deoidor de l epresió iicil por oteeos: B. Rciolizr el deoidor de: Solució: Cso. El deoidor es u ooio co ríz eési. Oserveos lo siguiete: Cuál es l ríz por l que deeos ultiplicr pr eliir l is? Cuál es l ríz por l que deeos ultiplicr pr eliir l is? E geerl: Pr rciolizr u deoidor co u ooio se ultiplic el uerdor el deoidor por u ctidd rdicl del iso ídice, que l ultiplicrlo por éste os devuelv el vlor ecto. Ejeplo 7: Rciolizr el deoidor de: 9

31 Solució: 9 7 Cso El deoidor es u ioio de l or Oserveos: Veos que ls epresioes correspode u producto de su por diereci, por tto: recordeos l diereci de cudrdos Epresioes o ioios coo ls teriores por ejeplo: se deoi epresioes cojugds. E geerl: Se deoi epresioes cojugds u de l otr, co,,, Q. Veos hor coo rciolizr el deoidor de dichs epresioes. Ejeplo Rciolizr el deoidor de: A Solució: B

32 Solució: C Solució: Oserveos que l epresió pues: Por tto podeos escriir l epresió:

33 Cso. El deoidor es u ioio de l or Pr rciolizr deoidores de este tipo deeos recordr, ls siguietes epresioes:.. Podeos copror que: Podeos decir que l rciolizció de u deoidor que tiee epresioes coo rest de cuos. Ejeplo se udet e l ctorizció de u su o Rciolizr el deoidor de: 7 Solució: Tller e Clse No 7

34 . Relizr ls opercioes idicds sipliicr hst dode se posile e d c Rciolizr el deoidor de: 7 e d c Solucioes

35 Tller geerl No A.. Fctorizr hst dode se posile z d c w u t s r q p o l k j u w i h g w w e z z d c w w B. Fctorizr hst dode se posile h g e d c. Sipliicr hst su íi epresió c z w z w

36 c c c c c c c c c e c c c c d g 6 i u uw w u wu w u w u w u w w h. Relizr ls opercioes idicds sipliicr rciolizr el deoidor, si es el cso.

37 / / / / / / / / h g j j i h g w w w e d c. Rciolizr el deoidor de: e d c 9. Sipliicr hst dode se posile / / / 8

38 8 c RECORDANDO CONCEPTOS. Ecierre e u círculo l respuest correct. V F L ríz cudrd de u úero siepre es positiv. V F L ríz cúic de u uero egtivo es u úero rel. c V F Si, etoces. d V F L ríz de u producto es igul l producto de ls ríces. e V F L ríz de u rcció es igul l ríz del uerdor dividid por el deoidor. g. Señle l respuest correct. A U rdicl co rdicdo egtivo tiee vlor rel cudo. El ídice es pr El ídice es ipr c El rdicdo es u úero ipr d Nuc / / B Al sipliicr l epresió / / / / / / 6 / c d Nigu terior oteeos: C Al ctorizr l epresió oteeos: c d Nigu terior.

39 . Respod cuál de preguts A, B, C D es ciert de cuerdo l siguiete iorció. A A L rcció A o se puede sipliicr por que o eiste térios coues B L rcció A tiee coo deoidor coú l sipliicrl se otiee L rcció. C L rcció A tiee coo deoidor coú su resultdo l sipliicrl es. D L rcció A tiee coo resultdo después de sipliicrl.. De cuerdo l siguiete procediieto de ctorizció Seleccioe l respuest correct. A Es lso pues o es cierto que el tério es ctor coú. B Es cierto pues l ultiplicr se otiee l epresió iicil. C No es cierto que o es u trioio cudrdo perecto.. Seleccioe l respuest correct. A Fctorizr u polioio sigiic covertirlo e: U producto de ctores U producto de tres ctores c U producto de cutro ctores d Nigu terior. B U sol de ls siguietes ircioes es correct U su l cuo equivle u su de cuos El ctor coú es siepre u ooio o u ioio c U diereci de cuos o equivle u diereci l cuo.

40 d U diereci l cudrdo equivle. C Si ultiplicos l su de ls ríces cudrds de dos epresioes lgerics por l diereci de ls iss, oteeos: U trioio cudrdo perecto U diereci l cudrdo c U su l cudrdo d U diereci de cudrdos. 6. Sipliicr l rcció: 7. Sipliicr hst su íi epresió. 8. Clculr. 6 6 d c PUEBAS DE MEJORAMIENTO copetecis. Al rciolizr el deoidor de se otiee:

41 c d. Al ctorizr l epresió se otiee: 8 / / c. Al sipliicr l epresió c d / / d se otiee:. Al eectur 7 6 c se otiee: d 6. Al ctorizr se otiee: c d Nigu terior 6. Al dividir etre - se otiee: c 7 6 d El resultdo de dividir etre c d 8. Al ctorizr se otiee: c d

42 9. Al ctorizr se otiee: c d Pr Pesr A José echó u tz de gu e u rril vcío ls 9: de l ñ. A ls 9:, echó dos tzs ás. A ls 9:, echó cutro tzs ás sí sucesivete ue doldo l ctidd de gu cd iutos. Al edio dí, el rril est copletete lleo. Supoiedo que José huier coezdo co dos tzs, que hor huier estdo csi lleo el rril? B Divid est igur e tres prtes igules.. Coplete el siguiete cudrosudoko

43 Recursos de l Iteret %ctorizr c Sugereci visitr outue videos pr ctorizr, rciolizr deoidores sipliicr epresioes lgerics. d DF e

44 CAPÍTULO DESIGUALDADES Y VALOR ABSOLUTO. DESPEJE DE FÓRMULAS FÓRMULA. PRELIMINARES Es l epresió de u le o de u pricipio geerl por edio de síolos o de letrs. Por ejeplo e ísic l velocidd de l luz se deie coo el producto de l logitud de od por l recueci, est l podeos represetr por l epresió lgeric: c Dode c es l velocidd de l luz es l recueci λ es l logitud de od. Pr despejr u vrile se dee teer e cuet ls siguietes regls de iguldd.

45 Lo que su ps restr vicevers Lo que ultiplic ps dividir vicevers. Ejeplo Despejr l icógit idicd e cd cso. V i R; i q q F k ; d d c u r;, Solució: El puto co os idic cul icógit despejr. V i R; i Oservos que i está ultiplicdo lo úico que deeos hcer es evir R que ultiplic i dividir. V V i R i que tié podeos escriir coo: R etoces =. q q F k ; d d Solució: v i porque si = R k q q k qq F d k q q d d F F Recordeos que si u icógit est elevd u poteci, l despejrl deeos etrer los dos ldos de l iguldd l ríz correspodiete dich poteci. E este cso coo d est l cudrdo etreos l ríz cudrd. c u r;, Solució: i E prier istci despejos u r u r u r ii Ahor coo segudo ejercicio de este prole, vos despejr.

46 r u r u r u r u r u Ejeplo Despejr l icógit idicd. h T k h ; ; Solució: i k h kt k h T hor ivertios los térios, co el úico i de despejr. h kt k h kt k ii T k h T k h T k h

47 Tller e Clse No 8. Despejr l icógit idicd. ; ; ; ;, ; ; ; ; ; ; / p p p v i o i o p N p N c p p p p c i R i R i R i R i i i TIR j i i i i d d d d h k z k z RT g R RT PV i i e i VP VF d C i i C C C c C V C C i i C C C. Desigulddes de Núeros Reles. Se, dos úeros reles. Decios que es eor que escriios <, si - es positivo. Ejeplo 7 7 Tié decios que es or que escriios >. Propieddes.. Se,, c úeros reles. Si <, etoces, + c > + c.. Se,, c, úeros reles; si:

48 < < c, etoces, < c.. Se,, c úeros reles; si < c >, etoces, c < c.. Se,, c úeros reles, si < c <, etoces, c > c. Itervlos. U itervlo es u cojuto de úeros reles, que cuple u codició especíic. Eiste dos clses de itervlos: Iiitos iitos. Itervlos Iiitos. Se u úero rel ijo. Podeos estlecer los siguietes cojutos: I I c I d I e I /, ; /, ; /, /,, ; I I I ; I ; I Ejeplo Escriir los cojutos ddos e otció de itervlos. / I / I Solució: I I /, /, Represetr e l rect el itervlo Solució: Itervlos iitos. Se, úeros reles ijos tles que. Se tiee que:

49 , ;, /, ;, /, ;, /, ;, / I I I d I I I c I I I I L utilidd de los itervlos está e l solució de iecucioes.. Iecució. U epresió de l or: c co culquier de los sigos de desiguldd teriores,, se deoi iecució o desiguldd liel co u icógit. Solució de Iecucioes. Ejeplo Hllr el cojuto solució de: 9 c Solució: Resolver u desiguldd es coo resolver u ecució solo que deeos respetr el sigo de desiguldd. L solució correspode, S 9 9 Cu solució está dd por:, S c L solució es:, 8 S

50 E l rect rel correspode :. Vlor Asoluto Se u úero rel culquier; el vlor soluto de otdo por deiido por: está si si Ejeplo c Es decir el vlor soluto de u úero rel uc es egtivo. El vlor soluto deot u distci etre dos putos,, por ello uc u distci es egtiv o hlos que etre u pred otr h -9 etros. Ejeplo 7 Clculr: 9 c 7 d Solució: 9 6 c 7 7 d 6 7 6

51 Propieddes.. Pr todo, R. Pr todo R,. Pr todo, R. Pr todo R,,. Pr todo R,, 6. Pr todo R,, Desiguldd trigulr. Ecucioes co vlor soluto. Resolver: Solució: Por deiició deeos cosiderr dos csos: Pr el prier cso: / por qué? Pr el segudo cso: Hllr el cojuto solució de: Solució: Resolviedo: 7 6

52 Luego l solució es: S 6, Iecucioes co vlor soluto. Por lo geerl e l solució de desigulddes co vlor soluto se utiliz ls siguietes propieddes: 7, 8, o, 9 Si k,etoces EjeEjeplo k k k,pr todo, R. Hllr el cojuto solució de: Solució: Por propiedd 7 teeos: 6 Luego el cojuto solució está ddo por: S R/,, o,, o, Por tto l solució está dd por:, S, Gráicete teeos: Iecucioes Cudrátics Ejeplo Resolver:

53 Solució Fctorizos: Utilizos el étodo de los sigos: El sigo + idic hci dode cuple l desiguldd, es decir dode es solució el sigo eos - idic que o cuple. Pr l solució totl deeos teer e cuet el sigo de l desiguldd iicil. L solució por tto es:,. Ejeplo Hllr el cojuto solució de: Solució: Fctorizos oteeos:,, De uevo utilizos el étodo de los sigos. =servdo el sigo de l desiguldd iicil veos que correspode los eores, por tto, l solució es:,/.. Resolver ls desigulddes: Tller geerl No

54 9 6 8 c. Hllr el cojuto solució gráic líticete de: 7 7. Hllr elcojuto solució de: l k j i h g e d c. Hllr el cojuto solució de

55 c d 9 e g h i 8 j 7 9 k 7 6 l 6 7 o 7 6 Algus solcucioes: { } PUEBAS DE MEJORAMIENTO copetecis.. Dd l ecució ;, l irció ls es: Si l ecució tiee dos ríces coplejs cojugds Si l ecució tiee ríces reles distits c Si l ecució tiee ríces reles distits d Si l ecució tiee ríces coplejs cojugds e ls rícesde l ecució so reles distits.

56 . Dd l desiguldd, el cojuto solució es:,,,] [, c,], d, [, Pr Pesr. Los teáticos griegos decí que er u úero udte porque l su de sus ctores es or que >+ El úero es tié el eor de los úeros udtes. Cuáles so los dos úeros udtes que viee después?. Hlle dos úeros dieretes tles que =. H que distriuir los úeros del l 6 e los cículos de odo que l su de los cutro úeros que se hll e cd ldo de los cudrdos se que l su e los vértices de cd cudrdo se tié. Apoo e l iteret c d clseprte-vl.logspot.corecoeddo e

57 CAPÍTULO ALGUNAS FUNCIONES DE IMPORTANCIA EN ECONOMIA, CONTADURÍA Y NEGOCIOS. FUNCIONES PRELIMINARES U pricipio ásico e ls teátics es el cocepto de ució, tiee pliccioes e igeierí, cotdurí, diistrció, ecooí, edici, teátics, iologí, quíic, etc. E teátics utilizos este ore pr deotr ciert clse de socició etre los eleetos de dos cojutos. Estos cojutos puede ser de úeros o de otros ojetos culesquier. Por ejeplo si e u lcé cd rtículo de le soci u precio, etoces se tiee u ució etre rtículos precios.

58 Cudo vos lu cetro coercil pr coprr lgo, siepre pesos e cuto diero teeos dispoile pr l copr. E este oeto estos e ució del diero, tié quí heos hldo de ució. Si es l copr X el diero, teeos que l ctidd depede de l gitud X. El éito e el predizje de u sigtur es ució etre otrs del tiepo que se dedique ell pr estudirl.. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN Se A,B cojutos o vcíos, se R u relció de A B; si pr todo A, eiste u úico B tl que, R. Se dice que R es u relció uciol o sipleete que R es u ució de A e B. Notció U ució de A e B se ot sí: A B : A B A B Ejeplo: Se A = {,,,7} B= {,, c, d} A B.. c. d. R =,,,,,c,7,d Decios que R es u relció uciol de A e B, o sipleete que es u ució de A e B. Se A = {,,,,,6} B= {u, v,,, z}

59 A..... R={,u,,,,u,,,,,,z} B u. v... z. R o es u relció uciol porque u iso eleeto de A le hce correspoder dos eleetos dieretes de B, que,u,, perteece R. deás o se hce correspoder igú eleeto de B. Coo heos visto, u ució evuelve dos cojutos, l cojuto de prtid lo deoios doiio l de llegd codoiio, pr deotr ls ucioes se utiliz dierecis letrs, pero ls ás utilizds so, g, h. Si represet u eleeto e el cojuto de prtid de u ució, utilizreos el síolo que se lee de o coudir esto co el producto de por. Est otció l utilizó e uchs ocsioes Euler, pero el orige de ést se dee Clirut. Doiio, Codoiio Rgo de Fucioes de Vrile Rel. A. Doiio de u Fució D B. Rgo o Recorrido R Si es u ució de X e Y, el sucojuto de X pr el cul sig u úic Y se deoi el Doiio de l ució. Es el sucojuto de ordo por los eleetos de que está socidos co el doiio de. C. Codoiio C El codoiio de u ució es el cojuto de llegd. Medite u gráico veos los coceptos trtdos e or ituitiv. Se A B dos cojutos los cules or u ució; es decir: Ejeplo Hllr el doiio rgo de = -.

60 Solució: Doiio de = D = Reles R; pues culquier vlor que toe X e - siepre es rel. Rgo de = R = Reles R; pues culquier vlor que toe siepre es rel. Hllr el doiio rgo de Solució: Pr hllr el doiio deeos lizr l ctidd surdicl, l cul dee ser positiv o, pr ello despejos X sí: D [, Recuerde que l ríz pr de u úero egtivo o eiste e R. Rgo: Despejos. Oserve que culquier vlor que toe es rel, pero coo se trt de u ució estos utilizdo l ríz positiv pr X, el rgo es igul: R [,. c Hllr el doiio rgo de: Solució: Deeos ctorizr l epresió del uerdor luego sipliicr teiedo presete que el úero - o hce prte del doiio por lo tto: DF = R - -. Reles eos el -. Y que o dee tor el vlor de - pues el deoidor vldrí sí o estrí deiid. El rgo de cosiste de todos los úeros reles ecepto -7 que se otiee l reeplzr X por - e = -. Por tto:

61 R = R-{-7}. El puto -,-7 lo supriios e l gráic colocdo llí u gujero o.. L Fució Liel L ució : R R Dode, so úeros reles ijos, se deoi Fució Liel. El doiio correspode l igul que el rgo l cojuto de úeros reles. L gráic es u líe rect. Gráicos: Figur Eiste detro de l ili de l ució liel u ució lld idétic. Su or es: si = l gric ps por el orige ordo u águlo de co l horizotl.

62 .. Ecucioes de l Rect Priero vos deiir que es l pediete.. Pediete L pediete de l rect está dd por: que ps por los putos,, Cio e Cio e Ecució Puto Pediete o L ecució de l rect que ps por el puto,, pediete está dd por: Ejeplo o Hllr l ecució de l rect que ps por los putos:, -, trzr el gráico. Solució: Co los putos podeos clculr l pediete luego utilizos l ecució puto pediete: Ahor hllos l ecució: escriir coo: Pr trzr el gráico utilizos solo los cortes co los ejes. que podeos t

63 - / Rects Prlels. Dos rects so prlels si solo si sus pedietes so igules es decir:. Ejeplo Dds ls rects veriicr que so prlels trzr el gráico. Solució: Lo priero que deeos hcer es escriir ls ecucioes e l or pr sí idetiicr l pediete. ls pedietes coo podeos ver so igules, por tto so prlels.

64 Rects Perpediculres. Dos rects so perpediculres si solo si producto de sus pedietes es igul eos uo.. Ejeplo Dds ls rects veriicr si so perpediculres trzr el gráico. Solució: Coo podeos oservr ls rects tiee pedietes l relizr el producto: coo el producto es igul - ls rects so perpediculres. Gráico:

65 Fili de Rectsretes Diujr l ili /, / pr dieretes vlores de.,,,,,, /, / Solució: El grico se puede oservr e l igur siguiete: Ecucioes. Si es u vrile, epresioes coo: 9, 6 se deoi ecucioes e. Lo que os idic u ecució es lo siguiete: l

66 sustituir por u úero se dee oteer u vlor verddero es decir, se dee cuplir l iguldd. El úero se deoi ríz de l ecució. Ecucioes lieles. U ecució liel tiee l or c co, c úeros reles. Oserveos que el grdo de l ecució es uo, que correspode l poteci d l icógit e cuestió. Ejeplo Hllr l solució de ls ecucioes: 7 8 c...6 Solució: c Prue: Podeos coocer si l respuest es correct reeplzdo el vlor ecotrdo de e l ecució iicil l iguldd dee cuplirse. Pr ello toeos l prier ecució Coo l iguldd se cuple, el vlor de ecotrdo es solució de l ecució... Ecucioes literles.

67 Ls ecucioes literles so quells e ls cules el vlor ecotrr es u letr o l coició de u literl u úero rel. Ejeplo Hllr l solució de ls ecucioes: Solució: El deoidor coú es +. Por tto: Tller de Clse No 9. Resolver ls siguietes ecucioes.

68 j i h g e d c Sistes de Ecucioes Lieles Nos ocupreos de sistes solo de. Es decir dos ecucioes co dos icógits. U siste de ecucioes co dos icógits tiee l or: c c L ide de resolver u siste coo el terior es ecotrr los vlores de ls icógits llí presetes. No siepre estos sistes tiee solució. Cudo el siste tiee solució se dice que es cosistete. Si o tiee solució se dice que es icosistete. Cudo el cojuto solució de ls ecucioes so igules se dice que so depedietes. Solució de u siste de ecucioes co dos icógits. Eiste dieretes étodos, etre ellos teeos: igulció, sustitució, reducció deterites. Ejeplo Resolver por tres étodos el siguiete siste: II I Solució: Método de Igulció. Despejos culquier de ls icógits: por ejeplo e s ecucioes.

69 Ahor igulos etre si los vlores de que otuvios: Sustituios hor este vlor e culquier de ls dos ecucioes ecotros. Luego l solució es: S, 7 Método de sustitució. Despejos u de ls icógits por ejeplo e l prier I. est epresió l reeplzos e II ecotros. Veos: Sustituios este vlor e II ecotros. S, 7 Método de Reducció. Pr resolver este siste por el étodo reducció o su rest, deeos igulr los coeicietes de u de ls icógits, co el i de eliir est sí ecotrr el vlor de l otr. Pr este cso vos eliir, por tto l ecució II l ultiplicos por l I por uo. Pr oteer: I II Ahor restos de l ecució I l II. 8 7 Co este vlor de reeplzos e I o II ecotros el vlor de.

70 7 7 9 El cojuto solució es: S, 7 Si quereos ser si este es el cojuto solució reeplzos e I o II los vlores de l iguldd se dee cuplir. Hgáoslo e I Solució de u siste de ecucioes co tres icógits. Utilizdo culquier de los étodos teriores o los deterites podeos resolver sistes de ecucioes. Ejeplo 7 Resolver el siste, por culquier étodo por deterites. z I z II z III Solució E prier lugr coios ls ecucioes I II luego I co III, siepre deeos coir u de ls ecucioes co ls otrs dos. De I II, teeos: ultiplicos I por - II por, pr eleiir. z z z 6 z 7 z III Ahor coios ls ecucioes I III. L I l ultiplicos por - l segud por. Pr eliir. Oserveos que siepre, eliios l is icógit. z z 6 9z 6 z 7 7z 7 IV

71 Ahor, coios ls ecucioes III IV. Vos eliir, pr ello ultiplicos III por - IV por. 7 z 7 7z 7 7 z 7 7z 7 8z 6 z Co este vlor de z = reeplzos e III o IV oteeos Co los vlores de z. Reeplzos e I, II o III oteeos. Hgoslo e II. 9 Luego l solució totl es:,, z Prue: Reeplzos e culquier de I, II o III se dee cuplir l iguldd. E II 9. DETERMINANTES Opciol Deterite. Lo deotos por A. : A Dode k es u esclr úero rel. Deiició A k ij Si A = [ i j ] es u triz de orde, etoces A. Ejeplo: si 6 etoces 6 6 A. Deiició Deterites de. Si etoces: A es u triz cudrd de orde,

72 Ejeplo: Clculr Deterites de. Pr clculr deterites de utilizos l regl de Srrus o eores coctores. Regl de Srrus. Medite u ejeplo l deiireos. Se el deterite clculrlo. Solució: Pr resolver este deterite escriios ls dos priers ils dejo de l tercer il, sí: Ls lechs que j de izquierd derech coserv su sigo ls que j de derech izquierd se les ci el sigo. A 6 6 Veos e detlle que ocurrió e este cálculo: De izquierd derech = 9 De derech izquierd = - Si toos los resultdos los suos, ecotros el iso resultdo 9 = 6 Propieddes de los Deterites. Si cd u de ls etrds de u il o colu de u deterite A es cero su vlor es cero. A Ejeplo A 7. Si dos ils o colus de u deterite so igules, etoces el deterite es igul cero. A

73 Ejeplo A. El deterite de u triz cudrd es igul l deterite de su trspuest. A A Ejeplo A eldetrite El deterite de sutrspuest es 6. Si dos ilso colus de u deterite so itercidos, el sigo del deterite qued cido. Ejeplo F F 8 9. Si cd uo de los eleetos de u il o colu de u deterite se ultiplic por u iso úero r, el vlor del deterite qued ultiplicdo por r. Ejeplo El deterite del producto de dos trices de orde es el producto de sus deterites. Es decir, AB A B. Ejeplo 6 A B Por tto AB A B 6 6

74 . Si A es trigulr superioro ierior, etoces A es igul l producto de ls etrds de l digol pricipl. Ejeplo: 9 7 Cálculo de deterites por trigulció Ejeplo Evlur 7 6 Solució: L ide e l solució de deterites por edio de trigulció es plicr ls propieddes, uscdo ceros, de tl er que se oteg u triz trigulr superior o ierior pr sí plicr l propiedd úero 7 Es decir l de l triz trigulr. 7 6 F F F F F F Oserveos que si ctorizos el de l il os qued ls ils igules de cuerdo co l propiedd el vlor del deterite es cero. Ejeplo Fctorizr c c Pr ctorizr trtos de coseguir el or úero de ceros posiles luego edite Srrus o eores coctores clculos el deterite. Por tto: c c Aplicos ls propieddes de Guss-jordá pr sipliicr el deterite. c c C - C c c c c c

75 Fctorizos de l colu el tério - de l colu el tério c Pr oteer: c c c C C c c Ahor por eores coctores teeos: c c c c c Por tto c c = c c. Ejeplo Resolver l ecució: Solució: Por propiedd podeos ctorizr el de l prier il Ahor edite l regl de Srrus teeos: Luego: = = DEPRECIACIÓN EN LÍNEA RECTA - - 6

76 Cudo u epres copr equipos o quiri hce el registro de estos coo ctivo de su lce geerl. Cudo ps los ños el vlor del equipo decrece letete o se dñ o se hce osoleto. L reducció del vlor de estos equipos se cooce coo deprecició. Uo de los étodos ás usdos pr clculr l deprecició es reducir el vlor del equipodeprecirlo u ctidd codstte cd ño. Co ello se usc que que su vlor se reduzc u vlor cero o de slveto l terio de de l vid util estid pr el equipo, Este étodo se cooce coo deprecició e líe rect. Cálculo V V es vlor iicil del equipo, t vlor de vid util e ños del equipo, V es el vlor del equipo e ños, t, deás: v t V es l deprecició costte por ño, se tiee que: t V v El vlor V t correspode l vlor del equipo cudo h terido su vid útil, este se deoi vlor de slveto, si V t, decios que el equipo se depreci totlete. Ejeplo L uiversidd Lire dqurio quiri por $UM 6., se esper que l vid útil de l quiri se de ños co u vlor de slveto cero. Deterir l deprecició por ño Hllr V, el vlor de l quiri despues de ños. c Ecuetre l ució pr clculr el vlor deprecido después de ños. Solució 6 6 Deprecició por ño. V 6 6 $UM. Vlor después de ños. c Vlor deprecido después de ños : D 6 Gráic

77 Ejeplo L Uiversidd Lire copró equipo de coputció por $ UM. Si se depreci e $UM por ño, se tiee u vlor de slveto de $UM. Cuál es l vid útil del equipo? Hlle V el vlor del equipo después de 7 ños de uso. Solució ; V ; V reeplzdo teeos: V t V V t V despejos teeos: t t t ños V t ; V7 7 $ UM 8. Fució Cudrátic. L ució deiid coo: : RR c Dode,, c so úeros reles ijos se deoi ució cudrátic.

78 L gráic es u práol. Si > l práol re hci rri si < l práol re hci jo. El vértice de l práol correspode l puto, Ejeplo c que tié puede ser u áio o u íio. Trzr el gráico de Solució: Coo veos el vlor de = > luego l práol re hci rri. Cortes co los ejes. El corte co el eje se logr hciedo = el corte co el eje se logr co =. Si Si deeos resolver l ecució: Por órul o ctorizció Oteeos: /, o, Puto de íi puesto que > está ddo por:, 9, 8 Tulos todos estos dtos: Gráico: - / -/ - -9/8

79 Tller de Clse No 9. Trzr el gráico de ls ucioes: h e d g c g 7 9 j h i g h g. Hllr l ecució de l rect que: Trce el gráico e cd cso. Tiee pediete - ps por lo putos,,. Ps por los putos:,,. c. Es prlel ps por el puto., d. Es perpediculr ps por el puto.,. Ecució de segudo grdo o cudrátic. L ecució c se deoi de segudo grdo o cudrátic. Est ecució tiee dos ríces solete dos, cuos vlores so:

80 c c c c. El tério se ll discriite, su álisis es:. Si es u ctidd positiv. Ls ríces so reles distits. Cort el eje dos veces.. Si c es u ctidd egtiv. Ls ríces o so reles se dice que so coplejs.lo cul o se trtrá e este tetoo cort el eje. Si c es igul cero. H u sol ríz de ultiplicidd dos; es decir, es l is ríz pero dos veces.cort el eje e u solo puto. El vlor oteido pr este cso es Ls solució de l ecució puede ser por órul geerl, ctorizdo o copletdo el cudrdo. Gráicete el discriite se iterpret sí: Ejeplo Hllr el cojuto solució por: Fctorizció Copletdo el cudrdo c Fórul geerl. De l ecució: Solució: c Recordeos que se trt de u trioio de l or 6, o, Recordeos L propiedd de los reles, o,.

81 Pr copletr el cudrdo ctorizos el terio que copñ e este cso os ocupos solo de l prte del prétesis. Suos restos el tério Pr uestro cso lo que est detro del prétesis, por tto: 7, / o, o El cojuto solució es:, - S Por órul. Pr ello utilizos l epresió c c que se cooce coo órul geerl de l ecució de segudo grdo.

82 ,, c 7, o, S -, 7 ECUACIÓN INCOMPLETA 9 Cso I Ejeplo Resolver Solució Fctorizos,, Cso II c Ejeplo Resolver Solució Despejos

83 Tller e Clse No. Resolver por ctorizció. c c c d 8 e. Resolver copletdo el cudrdo 8 6 c d e 6. A. Resolver edite l órul geerl 6 c d e 6

84 g h 7 i j 8 6, C. Hllr l su el producto de ls ríces de ls siguietes ecucioes. 7 c d 6 7 w w D. Deterir el vlor de k de tl er que stisg l codició dd k k c k el productode ls rícesse igul l su de ls rícesse igul - k el productode ls ríces se. E. Hllr l ecució cudrátic cus ríces se: w 7 c F. Hllr l ecució cudrátic siedo que l su de ls ríces es el producto de ell es.. Deterir el vlor de k de tl er que cd ecució teg solució dole. k 7 k c k k d k SISTEMAS DE ECUACIONES DE FORMA CUADRÁTICA Ejeplo Resolver el siste

85 Solució Despejos e reeplzos su vlor e. 7 Dividios etre 8 Al despejr, oteeos:,, Reeplzos e o oteeos. E Ls solucioes so:,,. Gricete teeos:

86 Ejeplo Resolver 6 Solució Despejos e reeplzos e 6 6 Reeplzos e o e Ls solucioes so:,,,,,,, Gricete teeos:

87 Ejeplo Resolver el siste 9 Solució Multiplicos por por Ahor reeplzos e o oteeos: Ls solucioes so:,,, -, -, -, -. Gricete teeos: Apliccioes de ls ecucioes sistes de ecucioes. Vos resolver proles que ivolucre ecucioes desigulddes.

88 Ejeplo. Resolver el odelo de oert ded hllr el puto de equilirio D :9. p O : 8 p Solució Pr ecotrr el puto de equilirio igulos ls ecucioes de Oert Ded 9. p 8 p p p 8 9. p 7. p 7. Reeplzos este vlor e O o D oteeos el vlor de Q. Q Por tto l solució es p,q = -7., -.. Resolver el odelo de igreso ciol Y C I G C.7Y I ; G Solució Utilizdo l iguldd Y C I G Reeplzos los vlores de C, I, G oteeos: Y.7Y.7Y C Y.7Y 6 Y 8. Los ieros de u udció e Pereir dese ivertir UM$ Uiddes Moetris e dos tipos de seguros que pg dividedos ules del 9% 6%, respectivete. Cuáto deerá ivertir cd ts si el igreso dee ser equivlete l que producirá l 8% l iversió totl? Solució P = R I P 8 I = Ctidd ivertir l 9/

89 Ctidd ivertir l 6/ 9 6 Por tto: Multiplicos por oteeos: Coclusió: Se dee ivertir: UM$ l 9% UM$ l 6%.. U coercite de l zo ceter orece por el lquiler de su ic u % de descueto l precio orl ú oteiee u utilidd del %. Si le cuest $UM l coercite, Cuál dee ser el precio orl? Solució: Se = precio Norl descueto UM $ Por tto el precio orl es UM$ vlor del rtículo co utilidd.. L eperieci deuestr que si se ij u ret esul de UM$ por prteto, todos ellos ser ocupdos, pero por cd UM$ de icreeto e l ret, u deprteto quedrá vcío. Que ret deerá ijr co el ojeto de oteer los isos UM$ 9 de igreso totl que recudrí co u ret de UM$ l iso tiepo dejr lguos prtetos vcíos? Solució vlor de l ret e ueto

90 6 úero de prtetos rredr e ueto Por tto l ret ijr es: UM $8 perecer ú prtetos desocupdos. 6. L copñí Autootriz W dese ser si le coviee ricr sus propis ujís pr el otor, que h estdo dquiriedo de proveedores eteros UM$ cd uidd. L ricció de ls ujís por l copñí icreetrá sus costos ijos e UM$ l es, pero sólo le costrá UM$ 7 ricr cd ují. Cuáts ujís dee utilizr l epres cd es pr justiicr l ricció de sus propis ujís? Solució 7 vlor de ls ujís 7 costo de ls ujís l ricrls costo de ls ujís l coprrls Se dee utilizr ás de 8.7 ujís pr justiicr ricrls. 7. U editoril que pulic u revist esul que tiee costos de pulicció de UM$ 6. por copi. El igreso del represette de vets es de UM$ 7 por ejeplr, los igresos oteidos de ls vets que soreps los il ejeplres. Cutos ejeplres deerá pulicr veder l es pr segurr utiliddes que soreps los UM$? Solució U I G I G copis piulicr veder 7 Igreso represette de vets 7 Igreso de pulicidd 6. gsto de pulicció. I G Se dee pulicr veder ás de copis.

91 8. U copñí ric u chocolti, l is tiee or rectgulr, de c de logitud, c de cho c de gruesover l igur. Deido los costos crecietes, l copñí h decidido reducir el volue de l rr e u 8%, lo cul es stte drstico. El grosor será igul, pero se reducir tto l logitud coo el cho e ctiddes igules. Cuáles ser ls uevs diesioes de lo cho lo lrgo de l uev rr? V c Si se reduce u 8% el volue será: 7 V 7c Se ctidd de reducció de cho lrgo. 7 Dividios etre, oteeos: 6 6 6,, El vlor tor es =, que = o tiee setido. Por tto ls uevs diesioes será: Lrgo = 9 c Acho = c. 9. U eportdor de dulces está diseñdo u cj si tp de odo cudrdo de c por c pr epcr turroes pequeños, se dee ricr e der co u costo de UMuiddes oetris por c pr los ldos UM por c pr el odo. Si el volue V de l cj es de c, epresr el costo totl coo u ució de. Solució

92 Figur E relció co l igur del cuo veos que el áre totl A puede epresrse coo el áre de l se ás ls áres de los cutro ldos, ose: h A I luego el costo totl es: h C II Volue h V III de quí despejos h: h IV Reeplzos este vlor de h e II C 8 que es l ució que uscáos. Tller de Clse No. Hllr el cojuto solució de los siguietes sistes: d c z w z w e g g g i t w t w t w h z z z g. Hllr el cojuto solució de los siguietes sistes de ecucioes. Trzr el gráico.

93 7 d 9 g d e 9 e 7 c 8 h / / / / 8 i 6 Tller geerl No. Resolver ls siguietes ecucioes: ` 6 c d c c c e. Resolver copletdo el cudrdo c 7 d 9 e 8 6 g h 8. Resolver los siguietes sistes de ecucioes 9 7

94 u 8v 7 u v c d Resuelv los siguietes proles El costo de producir rtículos l dí dd e dólres por c 9. Si cd rticulo puede vederse UM$ deterie el puto de equilirio. Lur Ctli copró u uto uevo por UM$ 6. Cuál es el vlor V del utoóvil despues de t ños, supoiedo que se depreci lielete cd ño u ts del % de su costo origil? Cuál es vlor del utoóvil despues de ños? c U proeveedor puede veder uiddes de repuesto pr coputdor l dí UM$ por uidd uiddes UM$ 7 por uidd. L ecució de l oert pr tl rtículo es 6p 8. i Deterie l ecució de l ded pr el rtículo, supoiedo que es Liel. ii iii Ecuetre el precio l ctidd de equilirio. Deterie el precio l ctidd de equilirio si se h ijdo u ipuesto de UM$, sore el repuesto Cuál es el icreeto e el precio l disiució e l ctidd dedd? iv Qué susidio por uidd icreetrí l ded e uiddes? v Co qué ipuesto diciol por uidd dee grvrse l rtículo de odo que el precio de equilirio por uidd UM$,8? se icreete e d Se costrue u cj si tp de 6 c. De ltur, co u se cudrd de ldo.si cd c de teril de l se tiee u costo de $UM 6, cd c del teril de ls crs lterles tiee u costo de $UM. i Eprese el

95 volue de l cj e ució de, ii eprese el costo e ució de. e u copñí ric dos tipos de chocoltes tipo I tipo II. El costo de ricr cd uidd de tipo I es de UM$ ás que el de ricr tipo II. Los costos de producció de tipo I tipo II so de UM$ UM$ respectivete, se ucturro uiddes ás de tipo I que tipo II. Cuáts uiddes se ricro de cd uo de los productos? Por cd UM$ que iviert e prestos coerciles e seguros, u co recie UM$ 6 6 despues de dos ños. Est ctidd represet el cpitl los itereses copuestos ulete. Cuál es l tsde iterés? g El editor de u revist esul tiee costos de puliccioes de 6 cetvos de UMuiddes Moetris por ejeplr, los igresos de l pulicidd el % de los igresos oteidos de ls vets que soreps los il ejeplres. Cuátos ejeplres deerá pulicr veder l es pr segurr utiliddes que sorepse los UM$? h U epres tetil produce rop pr clleros est pledo veder su uev lie de cojutos de trjo co u costo pr el detllist de UM$ por cojuto. Por coveieci del detllist l epres colocrá l etiquet co el precio cd cojuto. Qué ctidd dee ser rcd e ls etiquets de odo que el detllist puede reducir este precio e u % durte u liquidció ú si oteer u gci de UM$ sore el costo? i U ricte de CD vede cd CD UM$9. El costo de ricció es de UM$. Los costos ijos esules so de UM$ 8. Durtre el prier es de de vets de u uevo CD, Cuátos CD dee vederse pr llegr l puto de equilirio? j U copñí ceter copr u prcel e UM$ 7. despues de veder todo ecepto hectres co u gci de UM$ por hectre sore su costo origil; el costo totlde l prcel se recupero. Cuáts hectres uero vedids? k U copñí que ric teroetros pr ls clíics de l ciudd, el costo coido de o de or teril es de UM$7 por teroetro. Los costos ijos los costos de cierto tiepo si iportr l producció so de UM$ 7. Si el precio de vet de u teroetroes de UM$ 9 Cuátos dee vederse pr l copñí oteer utiliddes?

96 l U editoril decidió que ls págis de u pulicció dee teer rgees de c e ls prtes superior e ierior c los ldos. Ell idic deás que l logitud de u pgi dee ser veces su cho teer u áre ipres de ectete c. Clculr ls diesioes de u pági de l pulicció. U epres Pereir copro quiri por u vlor de $7. se depreci lielete e 7 ños. i Eprese el vlor de l quirí e ució del tiepo. ii Clcule el vlor de l áqui l il del quito ño. iii E cuátos ños l áqui tedrá u costo de $UM? Ls gcis P de u epres de Arei, vrí directete co ls vets S. Se cooce que ls gcis so de $UM cudo ls vets de $UM. Clculr ls gcis cudo ls vets so de $UM 6. o Luego de vris ivestigcioes u copñí procesdor eportdor de pulp de rj e Gutic ecotró que el volue V de vets de pulp de Nrj, es iversete proporciol l ctidd + p, e dode p es el precio de vets de cd ols de pulp. Si V es cudo p es $UM, ecotrr V cudo p es $ UM. p U equipo pr otocopido se depreci lielete e ños, si e cico ños l deprecició cuuld es de $UM l áqui tiee u vlor de slveto del % de su vlor iicil. i Eprese el vlor del equipo e ució del tiepo. ii Clcule el vlor de slveto. iii E cuátos ños el equipo tedrá u costo de $UM? q Ecuetre el precio l ctidd de equilirio de ls curvs de oert ded siguietes: D : p q i O : p q D :p q ii O :6 p D :p 8q 8 iii O :q p r Deterie el ivel de equilirio de igresos cudo S 7.Y d, Yd Y T, I I, G, T T s Deterie el ivel de equilirio de igresos Y = C+I, cudo C I C = Y I =. Y

97 REPASO DE CONCEPTOS. Ecierre co u círculo l respuest correct. A Al despejr e l epresió se otiee: s r s r s r s c d igu terior r s s r s B U ecució es:. U iguldd que solo se cuple pr uos vlores de ls icógits.. U ecució es vlid pr todos los úeros reles c. U ecució es u iguldd que se veriic solo pr los eteros. d. Nigu terior.. Cotrste ls preguts de cuerdo co l siguiete iorció. Al resolver pr, I E R r L solució est dd por: i R I RI RI i ii iii iv Nigu terior. r I E r I E ri E Eiste u relció: i Direct etre R ii u relció ivers etre R. iii No h relció etre R iv L relció direct es co E. B. L solució del siste de ecucioes es: = = = = c = = d Nigu terior. C. L diereci etre dos úeros es / de su su es. Los úeros so: 9 9 c 9 d 9 6

98 . U utricioist, e u eperieto sore utrició, quiere preprr u diet especil pr uos pcietes especiles. El requiere u coid ord por u ezcl que coteg etre otrs coss, ozs de proteís 8 ozs de grs. El ecuetr l coid preprd pero co ls siguietes coposicioes: Proteís % Grs % Mezcl A Mezcl B 8 Cuáts ozs de cd ezcl deerá usr pr preprr su ezcl? Resolver geoétric lgericete. j Pr el odelo de oert ded: O : 7p D : p L solució es: p,q =,6 p,q =,6 c p, Q = 6, d Nigu terior. k Al resolver el oelo de oert ded Se otiee: 7 p : D p : O 7,,7 c,7 d 7, e Nigu terior. l Al resolver el siste: 9 9 Se otiee: 9 9,,,,,,,,,,,, c,,,,,, d,,,,,, PUEBAS DE MEJORAMIENTO copetecis. Oteeos:

99 /, / 8 7 /, 9 / 8 c / 8, / d,. E l epresió el vlor de T es k T w k w Y k w k w T T c T Nigu terior. k w k w k w d. Al resolver l ecució w c 6 w c el vlor de l icogit es c w wc c w w c cw c dw c.. Dd l ecució ;, l irció ls es: Si l ecució tiee dos ríces coplejs cojugds Si l ecució tiee ríces reles distits c Si l ecució tiee ríces reles distits d Si l ecució tiee ríces coplejs cojugds e ls rícesde l ecució so reles distits.. Dd l desiguldd, el cojuto solució es:,,,] [, c,], d, [,.6 REPRESENTACION GRÁFICA DE FUNCIONES. Al deiir u ució se puede tor coo u cojuto de prejs ordeds,, luego si = es u ució rel e doiio rgo reles. L ució Y = se deie por: {,/ R, R, = }. L represetció geoétric o es ás que el cojuto de prejs, e el plo crtesio. L prej, se otiee l drle vlores reles, oteiedo sí el de. Supogos que teeos el gráico de u ució = sí:

100 , ; Rgo : c d Do i io:, Recuerde: El doiio está sore el eje. El rgo sore el eje. EJEMPLO Hllr el doiio, rgo trzr el gráico de: = = +. Solució: Doiio: E este cso el doiio cosiste e el cojuto de los úeros reles pues culquier vlor que toe es rel. Rgo: Al igul que el doiio es el cojuto de los úeros reles.

101 Gráico: L ecució que os h ddo es liel por tto su gráico es u líe rect coo lo vereos. Pr el gráico hllos los cortes iterceptos co los ejes coordedos. Co = ecotros el corte co, hciedo = ecotros el corte co el eje sí: = = = = - resuiedo e u tl teeos: - Not: tod ecució liel siepre que o se dei etre itervlos o sistes uéricos, tiee coo doiio rgo el cojuto de los úeros reles, su gráic será u líe rect. Qué ocurre si se deie lo siguiete: : [-, -] [, ] = +? Cuál es doiio rgo? Cóo es su gráic? ejercicio. Hllr el doiio, rgo trzr el gráico de: = = - Doiio: Cosiste e todos los úeros reles, que todo vlor que toe es rel. Rgo: Deeos despejr sí:

102 Ahor deeos lizr l ctidd surdicl teiedo presete que est ctidd dee ser positiv o cero por tto: + / -, sí que el rgo cosiste e todos los úeros reles ores o igules -. R = [-,. Gráic: L ecució es cudrátic por tto su diujo es u práol. Pr cilitr ás el gráico dos lguos vlores teiedo presete los cortes iterceptos co los ejes coordedos. Co X = coseguios los cortes co sí: si = = -. Si = = - = por qué? Busqueos hor el puto de ái o íi co l siguiete orul:, c Pr uestro cso teeos:,, Lo terior lo podeos resuir e l siguiete tl: / - - / c Hllr el doiio, rgo trzr el gráico de: 9 Solució:

103 Doiio: Despejos teiedo presete que l ctidd surdicl dee ser positiv o cero, por tto: 9 - ctorizdo - + Pr resolver est desiguldd deeos teer presete: A Desigulos cero cd ctor. B L prte que os cupl l desiguldd; es decir su cojuto solució lo ilustrreos co u sigo + l prte que o cupl co u sigo -. L solució será el producto de sigos, oservdo que el sigo ddo l coiezo es or o igul, por tto l solució es l prte dode se ecuetr el sigo ás +. Lo terior lo resuios edite el étodo gráico siguiete: Por tto el doiio cosiste e el itervlo cerrdo: D = [-, ]. Si deseos estr seguros toos u e el itervlo solució, por ejeplo = teeos: 9 [-, ] l igul que -; pero si toos = - que está uer de [-, ] oservos que o cuple pues: el cul o es rel. Rgo: Deeos despejr pr oteer: elevdo os ieros l cudrdo teeos Alizdo l ctidd surdicl coo e el doiio: Utilizdo el iso procediieto que pr el doiio ecotros que el rgo es igul : [-, ], pero coo se trt de u ríz positiv, coo deeos teer e cuet el doiio, el rgo es etoces: R = [, ].

104 Gráic: Pr elorrl deeos teer presete el doiio. Coo se trt de u círculo ddo por l ecució: + =9 del cul solo podeos tor l prte positiv; es decir toos edio círculo. d Hllr el doiio, el rgo trzr gráico de: 6 Solució: Doiio: Despejos, luego lizos l ctidd surdicl l cul dee ser positiv o cero sí: 6 Oservos que el doiio correspode : D = -, -] [, + o tié D = R - -, ; es decir los reles eos el itervlo -,. Rgo: Deeos despejr, pr oteer: = - 6 elevdo os ieros l cudrdo teeos:

105 Rgo 6 6 por qué?. Oserveos que puede tor culquier vlor rel; pero coo trt de u ríz positiv su rgo se reduce : R = [, +. Gráic: Si toos todo el gráico de l ecució dd veos que se trt de u hipérol; pero pr uestro cso de cuerdo su doiio rgo solo toos los rles que está por eci del eje positivo. Dos lguos vlores que esté e el doiio o e el itervlo -,. Luego el gráico es: Doiio - No h gráic Doiio e Hllr doiio, rgo trzr el gráico de: 6 Solució: Doiio: Fctorizdo l ecució dd teeos: Veos que - - o puede hcer prte del doiio, que vuelve el deoidor cero por tto: D = R - {-, -}. De cuerdo esto podeos sipliicr l epresió dd pr oteer: = -. Rgo:

106 Cosiste e todos los úeros reles ecepto quellos que se otiee l reeplzr por - -; es decir: - = - - = 7 - = - - = - R = R - {-7, -}. Gráic: Diujos l epresió que otuvios l sipliicr; es decir = -. Pr ello ecluios ls prejs -, -7 -, - colocdo e el gráico uos gujeros. / ,- -,-7 Fució Vlor Asoluto Recordeos que el vlor soluto de u úero, deotdo por, es l distci de hst, sore l rect de los úeros reles. Recordeos deás que siepre so positivs o ; por tto, teeos: pr todo úero. Ejeplo, E resue: si si Gráic:

107 i Hllr el doiio, rgo trzr el gráico de: = = + Solució: Se trt de l ució vlor soluto. Doiio: Es el cojuto de todos los úeros reles, pues culquier vlor que toe es rel. D = R. Rgo: Cosiste e el cojuto de los úeros reles positivos, que el vlor soluto de cd rel es positivo. R = R. Gráico: Se usc los cortes co los ejes se d lguos vlores, pr oteer el siguiete gráico. Desplzos l gráic l izquierd uiddes, l ució origil es decir: j Trzr el gráico hllr doiio rgo de: = g = - +

108 Solució: Doiio: Es el cojuto de los úeros reles. Dg = R. Rgo: Rg = R -. Gráico: Por teer u sigo eos tes de ls rrs del vlor soluto tod ctidd que to v teer coo ige u úero egtivo, por tto: Fució Prte Eter o or etero L ució prte eter de culquier úero rel se deie por: dode es u etero Gráic:

109 Ejeplo Trzr el gráico de Solució Aplicdo l deiició teeos: Pr lguos vlore teeos:

110 k Hllr el doiio de: Solució: Deeos lizr qué vlores to cudo: A + <. B - + <. Oserveos que e os csos o to vlores reles por tto h de ser: C D o puede ser igul cero pues sí o eistirí, que o h divisió por cero. Resolviedo: ultiplicdo por - os ldos de l desiguldd teeos:, hor elevdo os ieros l cudrdo teeos: < - <. L solució totl es l itersecció de C co D sí:

111 - L prte doleete rd es l solució totl. D = [-,..7 IMAGEN DE UNA FUNCIÓN Se A, B cojutos o vcíos; se : A B u ució, = se ll ige de por l ució, que deotreos =. EJEMPLO Si = = - +. Clculr ls siguietes iágees:, -, Solució: = - + = - + =. - = = = = - + = - + = - + Si Hllr:, + h, h ;h h Solució: + h. E este cso + h = ; es decir dode está colocos + h. Luego: F[ + h] = + h +. h h = h h, rciolizdo:

112 = h h h h = h h h h h h = h h h = h c Dd g = -, ecotrr: g-, g½, g - gh, g, g -. Solució: g- = - - = 9. g½ = ½ - = / - = -½. g - gh = - - h - = - - h + = - h. g = - = -. g - = - - = = = IGUALDAD DE FUNCIONES Se = = g se dice = g si sólo si tiee el iso doiio, pr todo..9 OPERACIONES ENTRE FUNCIONES Se g dos ucioes, podeos deiir ls siguietes opercioes:

113 Su L su de g se deie por: + g = + g. Diereci L diereci de g se deie por: - g = - g. Producto El producto de g se deie por: g = g. Cociete El cociete de g se deie por: / g = / g, g. Not: El doiio e cd cso es l itersecció de el doiio de co el doiio de g, eceptudo el cociete dode dee ecluirse los vlores que hce g =. EJEMPLOS Se = - g ecotrr: + g, - g, g, / g el doiio e cd cso. Solució: + g = - + ; D = R; Dg = > - por qué?. D Dg = R [-, = D + g. - g = - - ; D g = [-,. Por qué?. g = - = -. D g = [-,. Por qué?. / g = - /. D/g = -,. Oserve que se dee ecluir -, pues si se to, el deoidor será cero lo cul o está deiido. Se = g = ecotrr: + g, g, / g. Solució: + g =

114 D = -, -] [,. Por qué?. Dg = [,. Luego D + g = D + Dg = [,. g = D g = [,.. / g = / = / = +. Pr el doiio sólo ecluios teeos: D / g =,. c Se = + / - g = / - 8. Hllr: + g, - g, g, / g doiio e cd cso. Solució: + g = D = R - {} Dg = R - {8}. D + g = R - {-8, }. - g ejercicio. g = 8 8 D g = R - {-8, }. / g = 8 8 Por qué?. D / g = R - {-8, }.

115 . FUNCIÓN COMPUESTA. Deiició: Se g ucioes, l ució copuest, por o g, está deiid por: o g = g. se lee ó g de, e su deecto copuest g. El doiio de o g cosiste e el cojuto de todos los úeros reles e el doiio de g tles que g está e el doiio de. El doiio e otrs plrs es el de l ució que se otiee l il. Si : A B g: B C ilustrr edite u gráico go. Solució: A B g C go Otr or: Supogos que teeos u áqui u áqui g que ctú cosecutivete coo si uese u sol sí: Not: L coposició de ucioes o es couttiv e geerl. Cóo ilustrrí usted og?. EJEMPLOS Se = + g = + hllr: o g, g o, Doiio de o g g o. Solució: o g = g = + = + + =

116 = Recuerde lo visto e l ige de u ució. Aquí = +. g o = g = g + = + + = +. Dog = R; Dgo = R. Si t = e t ; ht = e t Solució: g = gt / ht hllr: Clculos e prier lugr gt luego el cociete. t g t g e t e t e t e g[ t] e e ; h t e si = g = 6 +. Hllr: o g, Doiio Rgo, Trzr el gráico. Solució: o g = 6 + = 6 +. Doiio: 6 Por qué?. ctorizdo. Ahor por el étodo de los sigos teeos: t e Luego D o g = -, ] [,. R o g = [,. Gráico:

117 d Se = g+. Hllr: o g, g o, D o g, Dg o. Solució: o g = g = = = g o = g = g = Doiio de o g = luego Dog = [ +,. Doiio de g o = >= >= >= >= >= Luego Dgo = -, -] [, CLASES DE FUNCIONES Fució Iectiv Se : A B

118 Se, dos eleetos de A, tles que, si, se dice que es iectiv o uo uo. Es decir equivle decir que, so dos iágees e el rgo de tles que ;. Ejeplo Veriicr que : Solució Se, tles que, etoces, Fució soreectiv : A B Se Siepre que rgo de este coteido e el codoiio de, es decir, rgo B cudo rgo de codoiio de, es decir rgo de = B, se dice que es soreectiv, o sipleete sore. B A Ejeplo : A B 7 es soreectiv, pues pr todo codoiio de doiio de tl que 7. Ejeplo, eiste u : A B o es soreectiv, iigú úero rel egtivo se puede epresr e l or. Oserveos que, codoiio. Fució Biectiv

119 Si es iectiv soreectiv se dice que es iectiv.. INVERSA DE UNA FUNCIÓN Se : B A U ució iectiv; si eiste u ució, : g A B g Tl que g o o g, decios que g es l ivers de. l otció es: Pr que l ivers eist, l ució dee ser iectivuo uo sore Ejeplo Hllr l ivers de Solució Pr hllr l ivers despejos. Por tto l ivers de es: Coproeos que eectivete es l ivers: o o Por tto coo otuvios e s coposicioes, cocluios que g es l ivers de. El grico de es el siguiete:

120 Oserveos que so sietrics co respecto l rect Ejeplo. Hllr el doiio pr que l ució teg ivers. Hlle l ivers c Trce el gráico de Solució El doiio de l ució es el cojuto de los úeros reles, pero si toos ls dos rs de l práol, est dej de ser iectivuo uo. Por tto podeos tor l r derech o l izquierd, e uetro cso vos tor l derch es decir de [,. Clculeos l ivers g Coproeos que eectivete es l ivers: og g go g g Heos coprodo edite l coposició de ucioes que g es l ivers de. L gráic es:

121 Ejeplo Pr l siguiete ució: ; veriique que es uo uo sore el doiio idicdo Hllr l órul de correspodeci de c Diuje e u iso plo d Veriique que o o que Solució Es uo uo sore el doiio ddo.

122 c Gráic o d

123 o Heos coprdo que g es l ivers de. EJERCICIOS RESUELTOS Hllr el doiio rgo de =. Solució: Doiio: Por trtrse de u ríz ipr puede tor culquier vlor rel, por tto su D = R. Rgo: Despejos : =. = +. Podeos oservr que puede tor culquier vlor rel. Luego:, R 6 Ecotrr el doiio rgo de: Solució: Doiio: Deeos coo prier pso ecluir - del doiio, que l divisió por cero o eiste. Por tto:.

124 ,] D. Rgo: Despejos : Podeos oservr que puede tor culquier vlor rel, por tto, [ R L gráic es c Si = + hllr: -,, ; h h h Solució: - = =. = + = 8 +. h h = h h h h 6

125 = h h h h 6 = h h h h h h h 6 6 = 6 h 7 Si = g = / + deuestre que g = Solució: Clculos = luego / + = + / + = que correspode. e si = g = hllr: + g + g/. Solució: por qué?. Si hp = p + /p p = p + ; hllr: h + p, h p, h / p, doiio e cd cso. Solució: h + p = p p p p p p p p p p p p p Dh+ = R {}. h p = p p p p p p p p p p Dh = R {}.

126 h / p = p p p p p p p p Dh/ = R {-, }. Pues cudo reeplzos p por - el deoidor es cero. 8 Dd l siguiete ució trce el gráico hlle el doiio. si si Solució: D = -, +. cuál es el rgo?. h E l terior ució hlle: -,,,. Solució: Toos l prte correspodiete sí: - = - =. = =. Ahor lo correspodiete. = =, = =. 9 Qué ore recie ls ucioes del ejeplo del uerl g?.

127 Respuest: Este tipo de ucioes se deoi copuests. Puede usted crer lgus?. j Hllr el doiio rgo de: 6 Solució: Doiio: Coo se oserv puede tor culquier vlor co ecepció de el cul hce el deoidor igul cero, por tto D = R {}. Rgo: Fctorizos el uerdor utilizdo divisió sitétic ecotros: = + + ; luego:, si sipliicos oteeos: = + + = Rgo: puede tor culquier vlor co ecepció de que es el úero ecotrdo l reeplzr por e l epresió que sipliicos, por tto: R = R {}. El gráico correspode u práol, de l cul ecluios el puto,. Cortes co los ejes: Co teeos: = =. Co teeos: = = = + + = - ó =. Recuerde: = si sólo si = ó = ;, R. Puto de íi: si > h íi - / ª, c / ª = -7/, -/. Resuiedo:

128 - - -7/ Y = -/, -7/,-¼ k Hllr l órul pr l ució represetd e l igur:, Solució: El prier segeto v desde,,. Utilizdo l ecució puto pediete clculdo previete l pediete teeos: ; El segudo segeto v desde,,. Utilizdo lo terior teeos:

129 ; 6 por qué? Recuerde: Ecució puto pediete: ; Por tto l ució pedid es: / si h / 6 si l Dds l siguietes ucioes decir cules so pres cules ipres: =, =, =, = +, = +. Solució: Recordeos que: A U ució es pr si - =, pr todo e el doiio de. B U ució es ipr si - = -, pr todo e el doiio de. Veos etoces: = = - = - = luego de cuerdo lo dicho e A est ució es pr. = = - = -, luego de B decios que est ució es ipr. = = - = - = -. Por tto es ipr. = + = - = =. Luego es ipr. Ejercicio.. LA FUNCIÓN POLINOMICA L ució polióic está deiid por:, úeros reles.. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS co,,,,

130 Vos ctorizr polioios edite lguos étodos prácticos. L divisió de plolioios vist e el cpitulo de lger, ecotros que el polioio P está ddo por: P D Q R Si D tiee l or r esto se covierte e P r Q R Dode R es de u grdo eor que r dee ser u costte. Est idetidd es vlid pr todos los vlores de icluedo = r. Luego: P r r r Q r R R. TEOREMA DEL RESIDUO Si se divide u polioio P etre r, etoces el residuo costte R est ddo por R = Pr. Ejeplo Hllr el residuo de dividir Solució Por el teore del residuo teeos: etre decir si solo si r es u ctor de P..6 TEOREMA DEL FACTOR. Luego l divisió es ect, es U polioio P tiee r coo u cero si sólo si tiee r coo ctor. Algus veces es ácil loclizr u cero de u polioio, el teore del ctor os puede udr ecotrr los deás ceros del polioio. Ejeplo Hllr los ceros de: P Solució P Así - es u cero. Por el teore del ctor + es u ctor de P.Los otros ceros los ecotros edite l divisió sitetic..7 Divisió Sitétic

131 Supogos que se dese dividir l ució polióic or tiee:, de grdo, por u ució de l g r dode r Q Etoces por el ñlgorito de Euclides se r q R dode q es u polioio de grdo R, turlete, es u costte. Supogos que q tiee l or q. El ojetivo es deterir los coeicietes,,,, E tério de los coeicietes de. Pr l divisió sitétic deeos ecotrr los divisores eteros rcioles del tério idepediete. Veos edite u ejeplo coo es el procediieto. Toeos pr ello el polioio P Los divisores de so D, los divisores rcioles so: Y ecotros que u cero u ríz es -. Por tto dividos etre está ríz. Qué se hicios? vjos el lo ultiplicos por - lo escriios dejo de - suos el resultdo es 7, hor ultiplicos este resultdo 7po- oteeos 7, este resultdo lo suos co - oteeos, el cul ultiplicos por - oteeos - ilete suos este resultdo co oteeos. Al oteer cero pros plicos el lgorito de Eucldes. Es decir: P 7 Ahor ctorizos totlete el polioio. P Ejeplo Fctorizr copletete el polioio P 7 7

132 Solucio Los divisores de so,. Deeos pror co ellos hst que uo se ríz el rsiduo se cero. Proeos co. P 7 es cero podeos dividir etre Coo el residuo P 9 Seguios dividiedo hst oteer u epresio que podos ctorizr ás rpidete, coo u cudrátic. Los divisores so de uevo,. Proeos co -. P Dividios etre -. 9 P 7 Ahor ctorizos 7, Al ctorizrlo oteeos: 6 7 Por tto el polioio ctorizdo es: P.8 LA FUNCIÓN RACIONAL L ució que puede represetrse coo el cociete de dos ucioes polioiles, se deoi ució Rciol. Ejeplo

133 .9 FUNCION ALGEBRAICA L ució lgeric es quell que est ord por u úero de opercioes lgerics sore l ució idetidd l ució costte. Ests opercioes coprede l dicio, l sustrcció, l ultiplicció, l divisió, l potecició l etrcció de u ríz. Ejeplo. FUNCION IRRACIONAL U ució irrciol tie l or: Ejeplo Hllr el doiio rgo de ls ucioes: c Solució 6 Deeos ctorizr el deoidor el uerdor sí ecluir quellos úeros que hce cero el deoidor. 6 h Los divisores de so,,,. 6 g uo es ríz podeos dividir etre.

134 h g 7 Por tto l ució est dd por:,,, que so los úeros que hce cero el deoidor. Sipliicos: ecluios,,, E totl teeos: Doiio D Rgo R,, R /, Solució Es u ució irrciol deeos lizr lo que sucede detro de l ríz co el polioio. Este dee ser o o igul cero. 7 7 Divisores de D [ ],,, 7 Podeos dividir etre

135 7 7 = Por tto: Por el étodo de los sigos teeos: El doiio es: D,, Rgo: R, c Solució Deeos ctorizr el deoidor. Pr ello utilizos l divisió sitétic. Fctorizos el trioio oteeos:

136 Por tto deeos ecluir del deoidor los úeros -. Ahor deeos lizr l ríz del uerdor: El doiio cosiste e: [,. Los cortes co los ejes so: A si cort el eje e B Si cort el eje e: Elevdo l cudrdo teeos:. U gráico proido es: ECUACIONES IRRACIONALES U ecució e que igur lgú rdicl, se ll ecució irrciol.

137 Ejeplo Ejeplo Resolver l ecució: Solució Elevos l cudrdo sipliicos: Ejeplo Resolver Solució Dejos uo de los rdicles e l izquierd de l iguldd trsldos el otro l derech:

138 Ejeplo Resolver 8 Solució 89 sipliic os Utilizos l ecució cudrátic

139 Ejeplo Resolver Solució Trspoeos el tério Dividios etre Fctorizos Sipliicos oteeos:,, Resolver ls ecucioes j 6 k l

140 o p 9 6 q 6 r s 9 t. Fucioes Trozos Ls ucioes trozos so u iporttes e el estudio del cálculo so u utilizds e diretes pliccioes. Modelo geerl k si d c k k si k si U or ácil de diujrl es tor cd trozocd ució pequeñ drle vlores detro del itervlo que se os idic. Ecotrr doiio, rgo trzr l gráic de: si si Solució: Se trt de u ució trozos. Toos cd trozo Teeos u rl de u práol. si le dos vlores e el itervlo,

141 Deeos teer presete que coo l desiguldd es eor estrictete el tres toos jo l codició que e l gráic o se iclue. - - El otro trozo es u lie rect, que to vlores ores que Doiio: Cosiste e el cojuto de los úeros reles, pues todo está icluido coo lo vereos e el gráico. Rgo: Cosiste e el itervlo, Gráic: Es l siguiete: c Hllr doiio, rgo trzr el gráico de: Solució si si si

142 El prier trozo es u lie rect que to vlores ores que, el segudo trozo es u segeto de rect etre. el tercer trozoes otro segeto de rect que to vlores eores que. L gráic es l siguiete: Oserveos que: L gráic solo se cosigue utilizdo l iorció dd l coiezo, ddo vlores e los itervlos idicdos. Al uir todos los segetos del gráico, coproos que el doiio es el cojuto de los reles. c Rgo: Cosiste e R = {-, } 8, +. g Hllr el doiio, rgo trzr el gráico de: Solució: g si si si Doiio: Es el cojuto de los úeros reles. Por qué?. Dg = R. Rgo: Cosiste e los úeros {-,, }; es decir: Rg = {-,, }. Y que so ls úics iágees de cd segeto. Gráico: Está ordo por los segetos ddos, los cules or u gráico esclodo.

143 h Ecotrr el doiio, rgo trzr el gráico de: h si si si Solució: Doiio: Es el cojuto de los úeros reles, eceptudo el que se iclue. Coo vereos e el gráico. Dh = R - {}. Rgo: Es el cojuto de los úeros reles eceptudo que es l ige de. Por qué?. Rh = R - {}. Gráic: Se otiee ddo vlores e los itervlos ddos. h hllr doiio, rgo trzr el gráico de

144 Solució 6 si si si Es u ució trozos, co el étodo visto teeos: El prier trozo es u rect, pr vlores eores, el segudo trozo es u circuereci co rdio el tercer trozo correspode u rect pr vlores ores. Gráico Ejeplo Dd l gráic de l ució oteer l ució trozos.

145 Es el pso cotrrio, pr ecotrr l ució utilizos uestros coceptos sore ucioes ecucioes coo: ucioes lieles l ecució puto pediete l ecució cudrátic. Pr el prier trozo utilizos l ecució puto pediete. Est rect ps por los putos, -, -. Pr el segudo trozo teeos u práol de l or c, que ps por los putos,,,,. Coo o cooceos ls costte podeos hllrls co los putos por dode ell ps. c c c Resolviedo el siste de ecucioes, oteeos : 6, por tto l ució es: 6 Y ilete, el últio trozo es u rect que ps por,,. Por l ecució puto pediete, teeos: Ahor costruios l ució, teiedo e cuet los itervlos dode se ueve cd trozo. 6 si si si

146 . A Dd = - + Clculr: Tller de clse No -, +, c + h, d -. B se deiid por: : R R. hllr: -, z -, c + h, d h h C Si. Hllr: ; h -,, c -, d h h D Se l ució g: R R deiid por: ; h g si si Hllr: g, g, c g-. A Si t g t t 7 - g, g B Si R = S + P co P = R, R/, c R-. 8 s hllr: Si = g =. Hllr: o g, g o, c o g Se ls ucioes : RR g : RR deiids por : = + -, g = -. Hllr: o g, g o, c o, d g o g

147 Se ls ucioes : RR g : RR deiids por : = - -, g =. Hllr: o g-, g o, c g o -6, d o g -. 6 Si g t t t e H. Hllr: gh, Hgt. 7 Se = e g = l. Hllr: o g, g o, c o g, d o g. 8 Si r =, deuestre que: h r h r h h h 9 Si, pror que + - = -. Se: L c L, h L c L S r r c Hllr: S L h L. Si = - g = - Hllr: o g, Doiio de o g, c Rgo de o g. d Gráico de o g. e Elore el gráico de, g o g e el iso siste coordedo. Elore el gráico de ls siguietes ucioes: = - + = - c = - + d g = - + e = h = -

148 g = h = - i = - j i = k g = l = - 8 = - = o = - - p - = q = -/ r T = -/ s p = -p + 7 Cosidere l ució : Puede ser egtiv?. Puede ser or que?. c Puede ser =?. d Cuál es el doiio de l ució?. Se =, g =. Hllr: + g, - g, c g, d / g el doiio e cd cso. E los siguietes proles Hlle: A Doiio de l ució B Rgo de l ució C Gráic. = 6 6 = c d si si e = - 8 g h si si si h s si si si

149 i si si si g j si si k si si l si si si si G si si si L 8 o s si s si s s p q q si si q q q D Trce l grágic de cd u de ls siguietes ucioes e idique su doiio rgoepresel e l or. 6 c si si si 6 si 7 d e si si si 6 6. si si si si si 6

150 g. si 6 si 6 si si si si 8 6 E los siguietes ejercicios deiir ls siguietes ucioes deterir el doiio de l ució resultte. A + g B - g C g D / g E g / F o g G g o g c g g d g e g,, g g, g h g i g j g g k l g 7 Hállese ls óruls de ls ucioes represetds e ls siguietes igurs: T T T,, t t t t A -A

151 8 Se. Ecuetre dos ucvioes g tles que: 9 Se h g Ecotrr. go oh og Qué se puede decir de? h g o o h o og Pr cd u de ls siguietes ucioes: Veriique que es uo uo o iectiv sore su doiio. Hlle l órul de correspodeci de. c Diuje e u iso plo ls gráics de. d Veriique que, o o iv iii ii i Pr cd u de ls siguietes ucioes: Veriique que es uo uo o iectiv sore su doiio. Hlle l órul de correspodeci de. c Diuje e u iso plo ls gráics de. d Veriique que, o o co co, co, iii ii i Pr cd u de ls siguietes ucioes: Veriique que es uo uo o iectiv sore su doiio. Hlle l órul de correspodeci de. c Diuje e u iso plo ls gráics de. d Veriique que, o o 9 iii ii i

152 . APLICACIONES DE LAS FUNCIONES Vereos cotiució u serie de pliccioes de ls ucioes ls ciecis diistrtivs ecoóics. Aálisis de Oert Ded. El puto de equilirio e el álisis de oert ded se otiee cudo l oert es igul l ded. Al igulr l ució de l oert l de ded se puede deterir l ctidd el precio de equilirio. A Curvs de Ded. E el cso ás coú, l pediete de u curv de ded es egtiv, es decir, edid que el precio uet, l ctidd de ded decrece vicevers. E lguos csos puede ser cero l pediete os idic que el precio es costte si cosiderr l ded. Cudo l ded es ideiid, os idic que el precio o iport l ded es costte. Veos u resue gráico: Precio Precio Precio Pediete Negtiv Pediete Cero Pediete o deiid Ctidd Dedd Ctidd Dedd Ctidd Dedd Precio Precio Precio Ctidd Dedd Ctidd Dedd Ctidd Dedd

153 B Curvs de Oert. E el cso ás coú, l pediete de l curv de oert es positiv, es decir, que l uetr el precio uet el steciieto decrece l decrecer el precio. Cudo l pediete de l curv es cero, os idic que el precio costte e idepediete de l oert. Si l curv de oert tiee pediete ideiid esto idic que l oert es costte e idepediete del precio. Veos u resue gráico: Precio Precio Precio Pediete Positiv Pediete Cero Pediete o deiid Ctidd e Oert Ctidd e Oert Ctidd e Oert Precio Precio Precio Ctidd e Oert Ctidd e Oert Ctidd e Oert NOTA: Es iportte clrr que e ecooí diistrció se utiliz el cudrte positivo el priero, si descrtr que l itersecció co orded pued ser positiv, egtiv o cero. L scis de l itersecció co X puede ser egtiv por tto quedr uer del itervlo de iterés. Esto es rzole puesto que los productores dej de orecer u rtículo tes de que el precio je cero. EJEMPLO Cudo el precio de u oo es 8 uiddes oetris, h dispoiles cjs e u tied grícol, si el precio es uiddes oetris h dispoiles cjs. Hllr l ecució de l oert pr este producto.

154 Solució: Utilizdo l or puto pediete de l ecució de l rect, teeos: - = - ; 8 - = / - 8 = / + Por qué?. Veos el gráico:, -, Los productores de u copñí h lzdo l ercdo l prooció de u uevo producto. Pr ello h sistido u lcé oserv que cudo el precio es uiddes oetris se vede 6 ejeplres del uevo producto, l jr uiddes oetris se vede. Cuál es l ecució de l ded?. Solució: = 6 = = = = - / - 6 = - / + 7. Gráico:

155 ,7 c U epres de l ciudd l teleóic uicipl, reliz u cotrto e el cul l epres, pgrá l teleóic l su de 8 uiddes oetris, l es por llds lrg distci si líite de tiepo. Cuál es l ecució de oert?. Solució: E este cso teeos u tipo especil de ució costte dode = 8 uiddes oetris. Gráico: 7, precio e uiddes oetris =8 Ctidd e oert Puto de equilirio equilirio e el ercdo De cuerdo lo visto, pr que hll equilirio e el ercdo se dee cuplir: Ctidd de ded igul Ctidd e oert. Algericete l ctidd el precio de equilirio se hll resolviedo siultáeete ls ecucioes de oert ded siepre que se use ls iss uiddes pr pr e s ecucioes. E lguos csos utilizreos ls vriles p q; p = precio, q = rtículos. Pr que teg setido se utiliz el prier cudrte por...

156 precio oert Puto de equilirio q o,p o Ded rtículos ctidd EJEMPLO Hllr el puto de equilirio de ls siguietes ecucioes de oert ded e lguos tetos se utiliz l otció Q = oert, Q = ded. Solució: d: = - 6 o: + =. De l ecució de ded = - 6 reeplzos el vlor de e l oert sí: coo = e d teeos: Puto de equilirio, = = = 8 = = - 6 = Ecotrr el precio l ctidd de equilirio si: d: p = - q : p = q + Solució: d = Luego: - q = q + q + q - =. Por qué? q + q - = q = -, v, q =. Sólo toos el puto q = el que tiee setido. Precio: Coo q = reeplzos e culquier de ls ecucioes oteeos p=.

157 Gráico: p q c Al precio de $ l ded de u rtículo es de uiddes, l precio de $ l ded del iso rtículo es de 6 uiddes, l precio de $ l oert del rtículo es ul l precio de $ l oert es de uiddes, hllr el puto de equilirio. Solució: p = q = p = q = p - = - / q p = - / q + + p = - / q +. P = q = p = q = 8 p - = / 8q - p = / 8 q +. De ls ecucioes teeos ls ecucioes de ded oert respectivete. d = o -q / + = q / 8 + q / 8 + q / - 7 = q - 98 = q = 98 / q = /

158 Reeplzdo e ó teeos que p = 9 / El puto de equilirio es /, 9 /. Ejercicio: Trzr el gráico. d L secció de ivestigció de ercdos de u copñí recoedó l gereci que rique ved u uevo producto. Luego de plis ivestigcioes, se poó l ide edite l ecució de ded siguiete: = p = 9 p. dode es el úero de uiddes que los distriuidores coprrá proleete cd es $p por uidd. Oserve que edid que el precio sue, el úero de uiddes disiue. Del deprteto de izs se otuvo l siguiete ecució de costo. C = g = 9 +. A Eprese el costo C coo u ució del precio p. B Eprese el igreso R coo u ució cudrátic del precio p. C Costru l gráic de ls ucioes de costo e igreso oteids e ls prtes A B e el iso siste de coordeds, e idetiique ls regioes de utilidd pérdid. D Clcule los putos de equilirio; es decir, ecuetre los precios l vlor ás próio e el cul R = C. E Cuál es el precio que produce el áio igreso? Solució: A C = 9 + pero = 9 p teeos etoces: C = p = p C = 6-9p que epres el costo e ució del precio. B Igreso = Precio por uidd, etoces R = p. R = p9 p R = 9p p. C Gráic:

159 D Clculos priero el puto de equilirio. Esto se logr co R = C 9p p = 6 9 p. p 99 p + 6 = Por qué? p - p + = Por qué? 8. 9 p 6, 8 p 88, p p, 6. CR Pérdid Utilidd P P Pérdid P E El áio igreso se produce $. Veos: Si el costo está por eci del igreso gráicete h pérdid. Si el igreso está por eci del costo gráicete h gci. Apliccioes isceláes. e Cudo l lir de croes se vede p uiddes oetris, los cosuidores de u puerto pesquero puede coprr Dp = /p lirs diriete, por l pescderí locl este precio es de Op = p - 8 lirs. A Elore el gráico de ls ucioes de oert ded e el iso siste coordedo. B Cuál es el precio de equilirio?. C Cuáts lirs de croes puede vederse este precio?.

160 D Supog que u gr recolecció iusitd de cró ocsioe que l ctidd orecid l precio p uiddes oetris se eleve p - lirs. Cuál es el uevo precio de equilirio? Solució: A Pr elorr el gráico es iportte hllr los putos e que se itersect s ucioes; es decir, hlldo los putos o puto de equilirio. Pr ello igulos: = D; /p - = p - 8 relizdo opercioes Resolviedo: p - p - =. Por qué? p - 9p + = p = 9, p = -. De estos vlores rechzos p = - por qué?. Ahor co p = 9 oteeos e l ecució de oert o ded l ige sí: 9 = 9-8 = luego 9, puto de itersecció. B p = 9 uiddes oetris. C A este precio solo se vede u lir. D De uevo igulos = D p - = /p - relizdo opercioes p - 6p - =.. p - p + =. L solució que toos es p =. Luego el precio de equilirio es uiddes oetris. Gráico: 9, P

161 U copñí uestr que l ded por u erccí está dd coo u ució de su precio e uiddes oetris p por Dp = 98-7p. L erccí se puede orecer segú l ució de oert Op = p + p - 6. A Cuál es el precio de equilirio?. B E cuto ecede l ctidd dedd l orecid cudo p =?. C E cuto ecede l ctidd orecid l ded cudo p =?. Solució: D = O 98-7p = p + p - 6 p + 7p - = ctorizdo p + p - = p = -, v, p = Sólo toos p =. Luego el precio de equilirio es: A p = B p = D = 98-7 = 9 = = Hceos l diereci pr ser e cuto ecede l oert l ded D - O = 9-99 = 7 uiddes oetris. Háglo pr p =. C p = D = 98-7 = 8. = = 9. L ctidd orecid ecede l dedd e 6. Por qué?. Háglo pr p =. g U copñí de hericids preset costos ijos de $ uiddes oetris, co u costo de $, uiddes oetris por hericid. Los hericids se vede $6, uiddes oetris cd uo. A Cuál es el costo totl de l epres?. B Cuál es l ució de igresos?. C Diuje ls ucioes de igresos costos sore el iso siste coordedo. D E qué puto se cort ls gráics?. Cuál es el sigiicdo ecoóico?

162 Solució: Recordeos: Costo totl = costos ijos + costos vriles. Igreso = precio por úero de rtículos. Algericete: A C = +, B R = 6, Ates de relizr el gráico es iportte ecotrr el puto de corte de ls gráics. C = R +, = 6, =, = por qué? C = +, = 6; R = 6, = 6 C Gráico: RC,6 Gci C=+, Pérdid R=6, D El puto de corte es, 6. El sigiicdo ecoóico e este cso es el puto de equilirio deás uestr l prte de gci pérdid. h U copñí de coestiles ric u gllet que preset ls siguietes crcterístics: Tiee or de disco. Posee e su iterior cre. Deido que los costos crece, l copñí reducirá el volue de su hri e u %. Pr logrr esto, l copñí tedrá igul el rdio eterior su grosor de cs. Se plirá el rdio de l cre el cul tiee,8 cs. L copñí dese hllr el uevo rdio de l cre co sus diesioes ver l igur.

163 A,8 c c Solució: A Ate todo recordeos que el volue de u disco está ddo por: Vsolido = r h, dode r = rdio, h = grosor. Pr uestro prole =,. Adeás: V = Volue prcil. V = Volue de l cre ctul. V t = Volue totl de l gllet hri. V c = Volue uevo de l cre. V t = V - V Clculeos V V =, cs =, cs V =,,8 cs = 9, cs V t =, - 9, =, cs Coo el volue reducirá e u / coservdo el rdio eterior el grosor; trjdo co el volue restte; es decir 9%. Teeos: Luego: V t = 6,8 cs.,9 / = 6,8 cs. Relizdo opercioes teiedo e cuet que V t =, cs. Teeos: 6,8 =, - 6,8r. 6,8 -, = -6,8r. Sipliicdo

164 --, = -6,8r -. Despejdo r teeos: r Sólo toos r =,9 cs que es el que os iteres, pues es positivo. i El costo de producir cico uiddes de u rtículo es de $6 el costo totl de producir ocho uiddes es de $7, suiedo que el coportieto de l ució costo totl es liel, hllr: A El costo totl e ució de ls uiddes producids. B El costo ijo. C El costo totl cudo se produzc 6 uiddes. D El costo totl cudo se produzc dos doces. Solució: A Se dee hllr l ecució de l rect que ps por los putos, 6 8, 7. Luego: Priero hllos l pediete Ahor utilizos l ecució puto pediete: - 6 = - = + B Costo ijo, pr ello hllos C. C = + El costo ijo es de uiddes oetris. C C6 = 6 + = uiddes oetris. D C = + = uiddes oetris. j U copñí Risrldese procesdor de cé, tiee l producir el gro por kilos, u costo vrile de $, uiddes oetris costos ijos de $ uiddes oetris. A Cuál es l ecució de costo liel?. B Cuál es el costo de procesr kilos de gros de cé e u dí?. Solució:

165 A Se c el costo e uiddes oetris de procesr kilos de cé dirios, el odelo pr este cso es liel; es decir tiee l or: = costo vrile por uidd. = costo ijo. Y c = +. Aquí: = $, = $ luego Y c =, +. B El costo de procesr kilos se otiee reeplzdo: = e Y c = +. etoces: Y c = + Y c =, +. Y c = uiddes oetris. El gráico es el siguiete: Recuerde que pr trzr el gráico se dee hllr los iterceptos, coo lo hicios e el gráico de ucioes. c, c =, + -9, k U tied grícol tiee l siguiete polític: Por eos de cjs de tiprsitrio vedido se descuete, cetvos de dólr. Por ás de eos de se les descuet, cetvos de dólr por ote, por o ás se les descuet,8 cetvos de dólr por ote. A Eprese l tri de descueto que hce l tied e ució del grupo de vet. B Cuál es el doiio de l ució?. C Cuáto es el horro pr cjs coprds?. D Cuál es el horro por cjs?. Solució:

166 Se trt de u ució esclod copuest, veos porque: Pr eos de se descuet, por uidd coprd, lo que podeos resuir sí:, si Pr eos de el descueto es de,6 por uidd, lo que resuios sí:,6 si < Y pr ás de el descueto es de,8 por uidd.,8 si. Lo terior lo resuios sí: T = tri; T = tri por uidd. B Doiio: DT = Z + - {}., si T, 6 si 9, 8 si C T =,6 = 6 uiddes oetris. El horro es de 6 uiddes oetris. D T =,8 = uiddes oetris. Ejercicio: Elore el gráico. l Alguos zootecists iólogos estudiro los eectos utricioles e truchs que se liet co u diet que coteí % de proteí. L proteí cosistí e e de huevo hri de íz. Al vrir el porcetje P de e e l ezcl de proteís, el grupo de ivestigdores estió que el ueto proedio e peso gros de u il durte u cierto período ue p, e dode: p = - / p + p +. p. Hlle el ueto e peso. Solució: - / es el áio.

167 Clculeos = - / + +. = = 7; es decir, el áio es 7 gros. Ejercicio: Elore el gráico. U copñí de ivestigció educciol iró co el goiero coloio, u cotrto pr producir u películ sore evlució de l educció pr ser usd e escuels sics. El costo e uiddes oetris de producir películs está ddo por C = Si l ir vede u películ por p uiddes oetris, etoces = Dp = - p. se puede veder. A Qué precio dee corr por películ si se dese veder películs?. B Eprese los igresos de l ir R coo u ució del úero de películs que puede veder u precio deterido. C Deterie l utilidd o pérdid de l ir si se quiere veder películs. D Eprese ls utiliddes U de l ir coo u ució del úero de películs que se puede veder u precio ddo. E Pr que vlores de lcz l ir el puto de equilirio?. F Use los vlores de que usted ecotró e E pr deterir sí los precios por películ e el puto de equilirio. Solució: A E prier lugr despejeos p e ució de. = Dp = p = - p - = p p Pr = p Que es el precio de películs. 7 p = 9 uiddes oetris. B Recordeos que igreso = Precio por úero de rtículos. Pr este cso los rtículos so ls películs por tto:

168 R R C Utilidd = Igreso - costo totl. el precioo 9 7 U 9 7 U U 9 7 U 9 7 U = -. El sigo eos os idic que h pérdids. D Del puto terior: U 9 7 E El puto de equilirio se logr cudo R = C. - / = = 7 + relizdo opercioes =. Por qué?. Resolviedo l ecució cudrátic teeos: = = = 9 = = 9. Los vlores so =, v, = 9. F P = - / ; = p = - / =

169 Luego: = 9 p = - 9 / = 7 p = uiddes oetris. p = 7 uiddes oetris. U idustri está diseñdo el epque pr u uevo producto, lo está relizdo de crtuli rectgulr de cs por cs, se costrue u cj iert, cortdo de ls esquis cudrdos igules de áre doldo hci rri l crtuli pr orr ls crs lterles ver igur. El ricte quiere hllr el volue V de l cj e ució de coo se pr otros epques.??? Volue = áre de l se por l ltur, es u prlelepípedo. Áre de l se = - - = V = V = o Pr propósitos de seguridd u ricte ple colocr u rd e u áre rectgulr de lceieto 8 cs dcete u ediicio, utilizdo éste, coo uo de los ldos del áre que se dee curir ver igur l rej que corre prlel l ediicio qued rete u crreter costrá $ uiddes oetris por cd c istldo, e tto que l rej pr los otros ldos cuest $ uiddes oetris por c istldo. Epresr el costo coo u ució de. Ediicio crreter

170 Solució: = 8 cs áre = 8 /. Costo por el ldo es C = Costo por el ldo es C = Costo totl = +. Coo = 8 / C = + 8 / C = + /. $/c. p U copñí de uses de Pereir orece pseos turísticos pr visitr lugres turisticos e Arei. Uo de los pseos, cuest $UM por perso, h teido u ded proedio de psjeros por se, cudo se redujo l tri $UM, l ded sel pso ser lrededor de usurios. Supoiedo que l ecució es liel, i epresr el igreso e ució de los usurios. ii Cuál es el igreso áio? Solució: i Se el úero de usurios por se se p el precio del psje pr el pseo. L coorded, p, l segud coorded, p, estr sore l curv de ded. Por l órul puto pediete, teeos: 7 p p Ahor; recordeos que el igreso es p ctidd por igreso, por tto: 7 p R = 7 ii Coo se trt de u ució cudrátic, hllos el vertice este es el puto áio, es decir el igreso áio.

171 c, 7, 7 7,97 q El igreso esul R oteido por veder oos pr los prtidos del Deportivo Pereir es u ució de l ded del ercdo, el igreso esul l ded so: R = p - p = - p. Cóo depede R de? Solució: Si R = p p = g, R puede epresrse coo u ució de por edio de l coposició: R = - p. R = o g. L ució de p está dd por: R = p = p p si ergo, co ojeto de oteer g epresos p coo ució de, sí: p = / - sustituios p e R oteeos: = / - - / -. = /. R = -,.

172 Así epres el igreso esul R coo u ució de l ded e el ercdo. r Ls vets de u epres de productos veteririos creciero de $UM 6 e $UM e 8. Supoiedo que ls vets se proi u ució liel, eprese ls vets V e ució del tiepo t. Solució Hciedo Pr t = 6 v, por tto: 6 6; luego l ució pedid es: V t 6t 6 s U epres que orece servicios cotles, luego de vrios álisis ecotrro que ls ucioies de igreso costo est dds por: R q 8 q q C q 6 q Hlle el puto de equilirio l ái gci. Solució 8q q q q q 6q 8q 6q q q q q q q Por tto los putos de equilirio so:,,8 L ució de utilidd está dd por:

173 U q 8q q U q q U q q U q q 7 Hllos el vértice: 6q q q 9 7 c,, 6 7, 7 L ái gci se otiee cudo: U 7 7 Gráic t El costo proedio lrgo plzo tié se proi u ució cudrátic. Ecuetre el íio costo proedio lrgo plzo, hlldo el vértice de l ució trce el gráico, si l ució está dd por : C q q Solució C q q q. q Vértice o puto de íi: c,, 7, 6

174 Gráic Tller de clse No L ució de ded pr u producto de u ricte es p = p = - q, e dode p es el precio e uiddes oetris por uidd cudo se tiee u ded sel de q uiddes. Clcule el ivel de producció que iiz los igresos totles del ricte deterie el igreso. U egocio coiez e 98 co u cpitl eto de $UM. Los igresos proedios esules so $UM los gstos proedio esules so $UM 8. Tods ls utiliddes se retiee e el egocio. Clcule el cpitl eto del egocio l il de 98. Eprese el cpitl eto CNt del egocio los t eses después de eero Priero de 976, coo ució de t. Diuje l ució. c Deterir l ctidd de puto de equilirio de u epres, ddos los siguietes dtos: costos ijos totles,, costos vriles por uidd $. Igresos totles por l vet de q uiddes, ddo por: R q.

175 d Cosidere que se requiere $ uiddes oetris de costos pr ricr uiddes de u producto, que el costo de uiddes es de $7 uiddes oetris. Si el costo C está relciodo e or liel co l producció que deterie l ecució liel que relcio C q clcule el costo pr ricr uiddes. Elore el gráico. e El deprteto de ivestigció de ercdos de u epres recoedó l gereci que l copñí rique ved u uevo producto proetedor. Después de plis ivestigcioes, el deprteto poó l recoedció e l ecució de ded: = p = 6 - p. Dode es el úero de uiddes que los distriuidores coprrá proleete cd es $p uiddes oetris por uidd. Oserve que edid que el precio sue, el úero de uiddes disiue. Del deprteto de izs se otuvo l siguiete ecució de costos: C = E dode $7 uiddes oetris es el costo ijo uctur gstos geerles $6 uiddes oetris es el costo vrile por uidd teri pri, vets, trsporte, lceieto, etc. l ecució de igresos ctidd de diero R, que recie l copñí por veder uiddes $p uiddes oetris por uidd es R = p ilete l ecució de utilidd es U = R - C. A Eprese el costo C coo u ució liel del precio p. B Eprese el igreso R coo ució cudrátic del precio p. C Costru l gráic de ls ucioes costo e igreso, oteids e ls prtes A B e el iso siste coordedo, e idetiique ls regioes de utilidd pérdid. D Clcule los putos de equilirio, es decir, ecuetre los precios l vlor ás próio e el cul R = C. E Clcule el precio que produce el áio igreso. El íz tiee u costo de c de dólr pr ctiddes hst de 6 lirs de c de dólr por lir, e el cso de ctiddes por eci de l 6 lirs. Si C deot el costo de lirs de íz, eprese C coo u ució de. Elore el gráico. g U grjero tiee etros de cerc e l cul deliitrá u lgo rectgulr pr l crí de truch. Cuál es el áre ái que puede cercr?. Oserve l igur. Lgo

176 h L producció de cé de cd árol e u cultivo es de - kilos, e dode es l desidd co que se plt los ároles es decir, el úero de ároles por hectáre. Deterie el vlor que hg de l producció totl por hectáre u áio. Elore el gráico proido. i L ded de cierto rtículo está ddo por = - p, e dode p es el precio por uidd del rtículo. El igreso esul R oteido de ls vets de este rtículo está ddo por: R = - p. Cóo depede R de?. j U ricte h ecotrdo que el costo de producció de sus priers uiddes es de C = - - uiddes oetris. A Cuál es el costo de ricció de ls priers uiddes?. B Cuál es el costo de ricció de l vigési tercer uidd?. k U prque zoológico cor l etrd él co l siguiete polític: Niños eores de ños o pg; iños etre ños pg, uiddes oetris ores de ños de edd pg,6 uiddes oetris. Eprese l tri de etrd coo u ució de l edd de l perso trce el gráico. l U copñí dese ricr u ote cilídrico co el i de gurdr gu pr situcioes de eergeci. El ote tiee cs de volue. Hlle ls diesioes que dee teer pr epler l eor ctidd posile de teril elore el gráico. ver l igur. =rdio =ltur Are r rh Volue r h U epres que ric ertiliztes tiee costos ijos de $ uiddes oetris el costo de o de or del teril es de $ uiddes oetris por ertilizte. Deterie l ució de costo, es decir, el costo totl coo u ució del úero de ertiliztes producidos. Si cd ertilizte se vede $ uiddes oetris, ecuetre l ució de igresos l ució de utiliddes. U icroepresrio puede coprr zs l orist los precios siguietes: c de dólr por kilo si dquiere hst kilos; c de dólr por kilo pr ctiddes etre 6 kilos; c de dólr por kilo pr ctiddes ores de 6 kilos. Deterie el costo C de dquisició de kilos de zs.

177 ñ El igreso R oteido por veder uiddes está ddo por R = -,. Deterie el úero de uiddes que dee vederse l es de odo que iice el igreso. Cuál es el igreso áio?. o U copñí vede u producto rzó de 6 uiddes oetris por uidd. Los costos de teri pri so de uiddes oetris por uidd, los costos por o de or so de uiddes oetris por uidd, los costos de erque so de uiddes oetris por uidd los costos ijos ules so de 7 uiddes oetris. A Deterie l ució de utilidd U, e dode es igul l úero de uiddes vedids. B Cuáts uiddes se dee veder i de oteer u utilidd ul de uiddes oetris. p U copñí vede u producto rzó de 7 uiddes oetris por uidd. Los costos por o de or so de uiddes oetris por uidd, los costos de erque so de uiddes oetris por uidd los costos ijos ules so de 8 uiddes oetris. A Deterie l ució de utilidd U, e dode es igul l úero de uiddes vedids. B Cuáts uiddes se dee veder i de oteer u utilidd ul de 6 uiddes oetris?. q U orgizció de epledos de u epres ple slir de ecursió l isl de S Adrés esquir llí e el i de ño. Se h corddo co u pequeñ copñí de esquí cuático e dode deás se proporcio lietos, equipo, hitció oletos de cie, u costo de $ uiddes oetris por perso, u costo ijo de uiddes oetris por el rreglo de ctividdes especiles. Los costos de trsporte se esper que se rzó de uiddes oetris por perso. L epres crg cd epledo uiddes oetris por el pquete copleto icluído el trsporte. A Cuátos epledos se requiere i de oteer el equilirio?. B Si l epres susidi el vije cotriuedo co 7 uiddes oetris, cuátos epledos se requiere?. r U ir está desrrolldo u cpñ pulicitri por t.v. los costos del desrrollo costos ijos so de uiddes oetris, l ir dee pgr uiddes oetris por iuto por ls iterseccioes de t.v. L ir esti que cd iuto de pulicidd, d por resultdo us vets dicioles de uiddes oetris. De estos uiddes oetris, se sore 7 e curir los costos vriles de producció de los rtículos dee epler uiddes oetris pr pgr el iuto de pulicidd. El resto es cotriució l costo ijo l utilidd. A Cuátos iutos de pulicidd so ecesrios pr recuperr los costos de l cpñ pulicitri?. B Si l ir eple est cpñ pr iterseccioes de 6 iutos, deterie los igresos totles, los costos totles producció pulicidd, l utilidd totl o l pérdid resulttes de est cpñ pulicitri.

178 s U epres cosult sore el costo de pulicidd e televisió ecuetr que: El costo eto si icluir el costo ijo, de grció de u iuto de u deterido coercil es de uiddes oetris el costo totl de grció de iutos del iso coercil es de uiddes oetris. Asuiedo que el coportieto de l ució costo totl, es liel, hllr: A El costo coo ució totl de l durció del coercil. B El costo ijo. C El costo de u coercil de edi hor. D El costo totl de u progr de iutos. E El costo totl de u progr de 7 iutos. t El costo de cepillos pr lipir teris de vehiculos est dd por: q C q ; q q Dode C es el costo e iles de UM uiddes oetris. Trce el gráico de est ució. u Supog que el cosuo C coo ució del igreso Y está ddo por Dode C Y est edidos e illoes de UM. i Cuál es l ctidd cosuid cudo el igreso es illoes de UM? ii Cuál es l ctidd horrd cudo el igreso es illoes de UM? iii Cuál es l ctidd cosuid cudo el igreso es cero? iv Cuál es l propesió rgil l cosuo? v Diuje l curv igreso cosuo? v L ded de u estleciieto eductivo por res de ppel coo u ució de su precio e UM por res está dd por D p. p. Supog que el goiero eige u ipuesto de 8 cetvos de UM por l copr de u res. Eprese l ded del cosuidor coo u ució del precio e UM ecluedo el ipuesto. Ecuetre el ipuesto totl recuddo por el goiero si el precio ecluedo el ipuesto es $UM 6,. c Eprese el ipuesto totl coo ució del precio ecluedo el ipuesto. L ució de ded pr u ue producido por u oopolist es D p p. Eprese los igresos oopolísticos coo u ució R del úero de uiddes que se puede veder u precio ddo. Si l ució de costo-producció pr l ir es C 6, deterie ls utiliddes U de l ir.

179 c Diuje ls ucioes de igreso costo producció sore el iso siste coordedo. El costo totl de producir uiddes de u ercci es u ució de tipo cudrático de. C c Los costos ijos de producció so $UM. Si C $ UM, C $ UM, deterie los vlores de, c.. Fució Epoecil. E teátics coo e l vid cotidi ls ucioes epoeciles so iporttes, pues co ells podeos ecotrr pliccioes e creciieto de polcioes creciietos iológicos, etc. L ució:, úero rel co > Epoecil co se. se deoi ució Propieddes. Si, R, R, etoces: c gsi d e hsi Gráicos de l ució epoecil co se.

180 Crcterístics.. Su doiio correspode todos los úeros reles.. El rgo está ddo por:, c. Es creciete. d. Su corte co el eje es el puto,. No toc el eje. Se dice que es u curv sitótic Pr l segud or de l curv cudo es egtivo ell tiee ls siguietes crcterístics: Crcterístics. e. Su doiio correspode todos los úeros reles.. El rgo está ddo por:, g. Es decreciete. h. Su corte co el eje es el puto,. No toc el eje. Se dice que es u curv sitótic. El gráico es el siguiete:

181 Detro de l ució epoecil prece u u iportte que cuple co ls iss crcterístics gráicos, l diereci l hce l se e. e Recordeos que el úero e tiee u vlor proido de Ejeplo 8 Trzr el gráico de: Solució: Hceos u pequeñ tulció: / / /8

182 Grico: Eiste gráicos u poco ás coplejos coo por ejeplo: Hceos u tulció: - - /7 /7 Est curv es siilr l os cp de Guss que e estdístic se cooce coo distriució orl.. Ecucioes epoeciles. Pr resolver ecucioes so u iporttes ls propieddes pero e especil gsi hsi

183 Ejeplo Resolver ls siguietes ecucioes: e d e c Solució: utilizos l propiedd g. 6 8, 8, o d e Utilizos l propiedd h Fució Logrític L ució: log Se deoi ució logrític de se. e e c

184 L ució logrític l epoecil so ucioes iverss. El logrito es l poteci l cul dee elevrse pr oteer. Crcterístics. El doiio correspode los úeros reles positivos, El rgo es el cojuto de los úeros reles. Si > l gráic de l ució es creciete e todo su doiio. Si < <, l gráic es decreciete. El corte co el eje es e el puto,. Gráicos:

185 Propieddes. log log poteci propiedd de l log log cociete propiedd del log log log producto del propiedd log log log e d c Aplicció de ls propieddes. Ejeplo Escriir coo su o diereci. w u t R z 6 log log

186 Solució: Pr resolver estos ejercicios deeos utilizr ls propieddes teriores teiedo e cuet cul se utiliz priero. Por ejeplo pr el cso utilizos priero el cociete, luego el producto ilete l poteci. log z 6 log log z 6 log log log z 6 log log log z 6 Pr el ejercicio priero jos l poteci eterior de l epresió luego hceos lo del ejercicio. w R t log u Hgos hor el cso cotrrio. Escriir coo u solo logrito. w R t log u w log R t log u wlog R log t log u w R log R log t log u log log log Solució: w log log log w log log log w w

187 Al igul que l ució epoecil, eiste pr l ució logrític u ució lld logrític turl que tiee coo se el úero e. Dich ució está dd por: L o log e Cuple ls iss propieddes su gráico es igul. Propieddes cojuts epoecil logrític. log log l e Le. Ecucioes epoecil logrític. Pr resolver ecucioes epoeciles logrítics utilizos ls propieddes de s ucioes l deiició de logrito. Ejeplo Resolver ls ecucioes: log 7 log ; Rt 6 log log log ; Solució: Rt,; ; 7 log 7 log 7 7 log log log log

188 log log log 7 7, o, / c log por deiició Solució: Toos logritos co se e os ldos. log log log log log log log log log log log log Si oservos co cuiddo l últi epresió es u ecució cudrátic. Hceos u cio de vrile pr ver ejor l epresió: u log u u u, o, u Rechzos l solució egtiv, puesto que o eiste solució pr logritos egtivos. Recuperdo l vrile teeos: log. Escriir coo su o diereci Tller de Clse No 7 log log z w w E A

189 . Resolver ls siguietes ecucioes. log c.9 dlog e log 8 log 8. escriir coo u solo logrito. log log c 7 log log c log log W c.6 Apliccioes de ls ucioes epoecil logrític. Es u coú ecotrr pliccioes e iologí, quíic, edici ísic.. El úero de otes de jó líquido rc LM e u cierto Q t.t Q e Si h supoerercdo después de t hors, está ddo por otes de jó iicilete, cuáts otes hrá después de tres dís? Solució: Pr t = teeos Q Q. e E tres dís hrá: Q 7 e.7 H creciieto de ls vets.,6 8,77. Se cree que uchs iversioes de diero tiee u creciieto epoecil ddo por: P t P e kt Dode P es l ctidd de diero e el tiepo t, P idic l polció cudo t = k es l costte de creciieto ts porcetul de creciieto. Deterir el período pr que u ctidd de diero se duplique. Solució:

190 P P Si se duplic u ctidd, Luego: P P kt e logritos os ldos teeos: kt l ctidd se duplicrá cudo: e Todo l k t l t. k Si l costte de creciieto de deterid ctidd de diero es. t se epres e hors, el tiepo que trd l polció e duplicrse será: l t.7 hors... Vid edi. V V U ució de deciieto epoecil tiee l or geerl Dode V es el vlor de l ució e el tiepo t, V idic el vlor de l udó cudo t = k es l costte de deciieto ts porcetul de deciieto. Muchos procesos turles se crcteriz por el coportieto de deterioro epoecil. Uo de los ás utilizdos es el de desitegrció de lgus sustcis rdictivs. U de ls edids utilizds es l vid edi. Es el tiepo que u ctidd de sustci trd e ser reducid por u ctor de ½. Supogos que l ctidd de u sustci rdictiv se clcul por edio de l ecució cudo: V V e kt.. V V e kt Todo logritos os ldos teeos: k t L. l. t k e kt. L ctidd de sustci se reducirá l itd L costte de desitegrció de u eleeto quíico es k., dode t se ide e ños. U ctidd de este eleeto se reducirá l itd de su tño si: l. t 8.ños... U de ls ucioes iporttes e epideiologí es l ució logístic l A B e cul est dd por: t, t Su gráico es: A kt

191 . E l couidd de u rrio de Pereir l diseició de u cierto virus de l gripe ue tl que t ses después de su rote t persos se hí cotgido, dode: t e. 9 t Cuts persos teí gripe e el rote, después de ses, c después de ses. Solució:.9 e.9 e c e.9 99 Qué ocurre si cotiú ideiidete? Solució: Al decir ideiidete quiere decir iiito por tto siólicete toos u ctidd u grde que siolizos por: e.9 Quiere decir que si o se to edids epideiológics cotiurí persos iectds por el virus de l gripe. 6. Supógse que se ivierte $UM u ts de iterés ul del %. Clculr el sldo después de ños si el iterés se cpitliz. Triestrlete esulete c Diriete d Cotiuete. Solució

192 Pr clculr el sldo después de ños, si el iterés se cpitliz triestrlete, plicr l órul t, P, r, k. A $ UM 6.6. A $ UM c A $ UM d Pr el iterés cpitlizdo cotiuete epler l orul co t, P r. k t r A t P co k A t r t Pe A e Resolver ls siguietes ecucioes: c log d8 e 8 log 6. Dd l ecució: log Tller geerl No log log log w Deuestre que:.8 log w log log, log o, log l l w l log

193 . Resolver ls ecucioes. 8 t t c l og 7 log 7. Escriir coo su o diereci. w A H l R Q e T H log 6 W. Escriir coo u solo logrito. l l w 7l Z l l l c. Sipliicr. 6 6 log 6 log 6 6. Trzr el gráico de: d 6 e e log e. c log 7. L copñí JG dqurio hce ños ciert piez de u áquir e $UM 6. Su vlor ctul es $UM. Si el vlor de revet de l áqui se disiue e or epoecil, Cuál será detro de cico ños? / 8. L sorció de ros se clcul edite l ecució: I L k I o Hllr el vlor de I.

194 H. Cuál es el ph? 9. Si. Se esti que e l ciudd de Pereir el porcetje de vivieds cuos hittes tiee coputdor está ddo por: 7 t.67e.6t t Dode t se ide e ños, co t = correspodiete l iicio de. Qué porcetje de vivieds teí coputdores e l iicio de de 8?. Ciert sustci dece siguiedo l órul edido e ños. Cuál es l vid edi? Q Q e.t dode t está. U polció de cteris crece de er que su tiepo de duplicció es de hors. Si l polció cost ho de u illó, cuál será l polció e 6 hors?. Ciert sustci rdioctiv tiee vid edi Qué rcció de u ctidd iicil quedrá después de dís?. Trzr el gráico de. c 7 d 9 c 6. U ediceto iectdo por ví itrusculr u dulto de 7 ños sigue l le t t t. Dode t e ilésis de segudo es el tiepo de llegd de l sustci l torrete sguíeo. Cuál es el tiepo íio de llegd de l sustci l torrete sguíeo? Trce el gráico eplique.. Si u ctidd crce epoecilete, vrido e % cd es, l co de cuátos eses hrá triplicdo su vlor iicil? 6. Hllr el vlor de que cupl l siguiete iguldd 6 77,,.. 7. U cliete solicito uprésto u ctidd icier por $UM 6, co el cuerdo de que pgrí tto cpitl coo los itereses, e pgos esules de $UM 8 el priero, $UM 9 el tercero sí sucesivete. Hllr l su totl de los pgos eectudos. 8. L presió toséric PA, e lirs por c puede clculrse. h proidete edite l órul PA.9e. Dode h es l ltur sore el ivel del r e k. Costru l gráic de est ecució pr el itervlo h.

195 9. Ciertos registros sore cotició ietl cusd por lgus idustris idic que cerc de u rrio de l ciudd de Pereir e prtes por,t illó está dd por N e Núero de coties por illó t es el úero de ses de cotició. Costru l gráic pr t.. Después de u lrg ivestigció, dos ecoóists ecotrro que si los ieros de u grupo epresril de Arei de vet e iversió de diero e l c ciol de se clsiicro segú el úero de veces e que cd uo prticip e dich iveresió, el úero de veces, N L l L ési perso clsiicd que prticipó, se clculó proidete edite. L l le N L L e L Dode L ue el úero de veces de l perso que otuvo l or clsiicció de especies e los cerros. Costru l ecució supoiedo L.. Señle l respuest correct. REPASO DE CONCEPTOS U ució es u regl que sig cd úero del cojuto de prtid u sol u ige e el cojuto de llegd. U ució es u regl que sig ás de u vlor e el cojuto de llegd. c U ució sig coo íio dos vlores del cojuto de prtid l cojuto de llegd. d Nigu terior.. L solució del siste de ecucioes: 8, -, - c,- d Vcío. está ddo por:. U lortorio de productos quíicos dese surtir u pedido de litros de u solució ácid l %. Si se tiee dispoiles e el lcé solucioes l % l 8%, Cuátos litros de cd uo de ells se dee ezclr pr cuplir co el pedido?. Cuál es l deiició de logrito? r. U odelo de copr vet está ddo por D k e, Dode es l desidd de l polció ivolucrd, D es el úero de vets k r so costtes. Copruee que: k r l k D

196 6. L pediete de u rect est deiid por u e sore u e. 7. Señle l respuest correct. U ució e l cul todos los eleetos del cojuto de prtid está socidos co u úico electo e el cojuto de llegd se deoi: Fució costte porque o sor eleetos e el cojuto de llegd. Fució costte porque sor eleetos e el cojuto de llegd. c Fució costte porque cd eleeto del cojuto de prtid tiee u sol ige. d Fució costte porque l ige es l is pr todos los eleetos del doiio. 8. Si, el vlor de + está ddo por: c d 9. El odelo de lco úico, ipcto úico de l letlidd iducid por D N D7 rdició, está ddo por l ecució: S e, Dode S es l rcció N superviviete, N el úero de céluls que sorevive u dosis D, N el úero iicil de céluls D 7 u dosis costte relciod co l rdiosesiilidd celulr. Hllr el vlor de D.. Veder árcos so spectos suete iporttes pr l proesió de u ecooíst.co recueci se dee teer precució deido l ldo posileete dverso los eectos erctilists de ls edicis. Ls ecucioes: k d I d k I P e R P e,, T k l e Dode T es el ivel visits e térios del úero de édicos P, I sigiic los l itervlos de l d visits k, w es l seivid. R es l visit resuid. w Supógse que cudo se visit édicos cd hors. Aquí, d =. deido su durcó, dee reducirse l visit. Al tiepo ás corto, deterie el ivel de visits l visit resuid.. L le de Glto de l hereci estlece que l ilueci de los cestros de u idividuo es coo sigue: Cd pdre ½, cd uelo /, cd isuelo /, etc. Que tt ilueci tedrí u cestro de hce geercioes? proidete 6 ños.

197 . Pr cd geerció, el úero de uestros cestros directos pdres, uelos, etc. se dol. Si pesos e ños pr u geerció, cuátos cestros tedrí hce 7 ños? 99? Oserve que e el tiepo de cristo l polció de l tierr se esti e 8. persos.. U copñí Pereir dquirió hce tres ños u prte de coputdor e $UM 6 su vlor ctul de revet es es $UM si el vlor de revet de l prte de coputdor disiue e or epoecil Cuál será detro de ños?. U epres oserv que l ded de esul de su uev lie de coputdores PC t eses después de itroducir está líe l ercdo está dd por D t e.t t.. U copñí Dosquerdese que ric prtes pr DVD esti que el porcetje de prtes pr DVD está dd por 78 F t t.7t.87e Dode t se ide ños, co t = correspodiete l iicio de 987 Qué porcetje de prtes teí estos prtes l iicio de 987 de?

198 MISCELANEA SOBRE FUNCIONES Co est iscele se prtede que el estudite dquier u serie de coceptos copetecis, pr eretr el curso de clculo direcil e itegrl su etreieto pr el ee il.. Hllr el doiio de ls siguietes ucioes trce el gráico. c d e. Se Trce l gráic de. Ecuetre l ecució de l rect que ps por los putos,,. h c Ecuetre sipliique. h. Se ls ucioes : g : deiids por, g. Hllr : g o o g c g o d o g7 e o. Se : deiid por Hllr c d. Se co Veriique que es uo uo sore el doiio Hlle l órul de correspodeci de. c Diuje sore el iso siste coordedo d Veriique que o o.,6. 6. Relice todo lo terior pr Hlle l ivers de 8. Utilice l gráic de l ució que se ilustr pr oteer l gráic de cd u de ls ucioes solicitds.

199 h g e d c 9. Resuelv ls siguietes ecucioes log l l 7 / d c l l l g e e e j i h l l l log log / / l l k. E cd uo de los ejercicios use el logrito turl pr despejr e ució de. e e e e e d e e c e e. resolver ls desigulddes l l d c e e

200 . Se dese costruir u tque si tp de ltur etros de se cudrd de ldo etros, de tl er que el áre lterl l del odo su u áre de 9 Etre que vlores dee estr pr oteer u tque co u cpcidd or o igul.. dds ls ucioes,,,,,,,,,,,,,,,, g Hllr:. ilustre gricete g o c g o og. Trce el gráico de ls siguietes ucioes hlle su doiio. si si si 9 c g e d. si 8 si si, si 9, si h 7 l j i

201 6. Supog que l ivestigció de ercdos, ecotró u ecució de ded dd por p l ecució de costo dd por C. Eprese el costo C coo u ució liel del precio P. Eprese el igreso R coo u ució cudrátic del precio P. c Costru ls gráics de costo e ireso e el iso siste coordedo, e idique ls zos de pérdid gci puto de equilirio. d Clcule el precio que produce el áio igreso. 7. U ricte produce iltros pr puriicció del ire u costo $UM por uidd. Los iltros se vede $UM cd uo. A este precio, los cosuidores coprro resortes l es. El ricte ple uetr el precio de los iltros esti que por cd icreeto de $UM e el precio, se veder iltros eos cd es. Epresr l utilidd esul del ricte coo ució del precio de vet de los iltros. Trce el grico señle el puto áio. 8. E u dí proedio de vero de u gr ciudd, el ídice de cotició ls 9: AM es de prtes por illó, uet e or liel 7 prtes por illó cd hor hst ls : PM. Se C l ctidd de cotites e el ire hors después de ls 9: AM. Eprese C coo u ució liel de. Cuál es el ídice de cotició del ire l : PM? c Costru l gráic de l ució C pr 9. d Cuál es l pediete de l gráic? Qué sigiic l pediete? PUEBAS DE MEJORAMIENTO copetecis. El doiio de l ució est ddo por, [,,, c,], e. Dds ls ucioes: e g l i Ls ucioes so iverss etre si ii o g iii es u sítot horizotl de iv el doiio de g es el cojuto de los reles. Sí Ls ircioes so corrects Sí ls ircioes so corrects c Sí ls ircioes so corrects d Sí ls ircioes so corrects

202 e Sí ls ircioes so corrects. Dd l ució: sí sí sí L irció ls es: El doiio de l ució es el cojuto de los úeros reles L ució o es pr c L ució es ivertile e los reles.. L ució de l igur B coprd co, es: c c g e c g d c g c c c g c g. E l ecució i i R s el vlor de es: i R R s i d i Ri c i R s i s R i l l l l 6. El vlor de r e l ecució r t P e A es t A P r d r A p r c t AP r t P A r l l l l 7. Al resolver l ecució log log oteeos coo solució

203 Costo Totle Milloes c d,6 Ls ircioes cierts so:. c. e. d. c d c d e 8. Al resolver l ecució epoecil. Oteeos 9. El siguiete gráico represet el vlor totl del costo de u ecooí. L ució liel está represetd por CT 8 Fució de costos 8,7 8,6 8, 8, 8, 8, 8, 8 7,9 7,8 7,7 6 8 Uiddes Vedids De cuerdo lo terior l pediete de l rect correspode A. Costos seivriles B. Costos ijos C. Utilidd Uitri D. Mrge de Cotriució E. Costos vriles. L gráic que ejor represet l ució es

204 . Si log log log c d etoces to el vlor de:. El vlor de que veriic siulteete ls ecucioes 7 log log log log es: c d 6 Pr Pesr. Dos oreros, uo viejo otro jove, vive e u iso prteto trj e l is áric. El jove v desde el prteto l ric e iutos ; el viejo, e iutos. E cutos iutos lczrá el jove l viejo, ddo os su pso orl, si éste sle de cs iutos tes que el jove?. U isecto trt de suir l tope de u poste de 8. Cd dí sue etros cd oche, ietrs duere, resl etro. Cuáto tiepo trdrá e lczr el tope del poste?. H u étodo corto pr elevr l cudrdo úeros que teri e.

205 6 Hlle el úero pr e los ejeplos de rri. Despúes, si usr lápiz i ppel, clcule los productos siguietes: c 88 d 99. RESUMEN

206 APENCIDE A Fucioes trigooétrics u itroducció Águlos. U águlo se or cudo u segeto de rect e el plo gir co respecto otro lrededor de su etreo coú. U grdo es l ctidd que dee girr u segeto de rect pr que su etreo lire trce de u círculo. 6 Fórul de coversió Covertir rdies. Grdos 8 rdies 8 rdies sipliicdo teeos: rdies. Algus ucioes Trigooétrics. Pr culquier águlo: Se Cos

207 Si toos u círculo de rdio igul uo teeos. De cuerdo que se cos Se Cos : se Cos Ldo opuesto l águlo hipoteus ldo dcetel águlo hipoteus Ldo opuesto Tg Ldo dcete Idetiddes:. Se cos. Cos se se. Tg cos cos. Co t g se. Sec cos 6. Cosc se Su diereci de águlos t X t Y. t X Y t X t Y t X t Y 6. t X Y t X t Y Águlos doles. se X Y se X cosy cos X se Y. se X Y se X cosy cos X se Y.cos X Y cos X cosy sex se Y.cos X Y cos X cosy se X sey

208 i se se cos. ii cos cos se t iii.t t Ejeplo 8: Si sea Hllr ls deás ucioes. Solució: Utilizos el teore de Pitágors pr hllr el ldo dcete o ltte. Cos A Cotg A Csc A Tg A Sec A Tller de Clse Especil.. Covertir rdies: 6 c 7 d 9 e. Si se Hllr ls deás ucioes trigooétrics.. Ddo que Cos X Hllr ls otrs ucioes.

209 . Ddo Cos Ecotrr ls otrs ucioes. se A se A cosa se A cosa se A se cos cos ctg se se cos sec se ctg sec se sec. Pror que: sec A 6. Pror que: tga 7. Deostrr que: 8. Deostrr que: 9. El root de l igur, est hciedo u esuerzo F. Deuestre que el esuerzo F pr teer l crret e l rp, está ddo por: W se cos F cos se Dode W es el peso de l cj μ es el coeiciete de ricció. Si es el águlo de iclició t, deuestre que F W t. Trce los gráicos de: cos se c t d se