1 3PROBLEMARIO RESUMEN

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1 PROBLEMARIO RESUMEN GUIAS PUBLICADAS POR EL DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS PURAS Y APLICADAS DE LA UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR TRIMESTRE: ENERO C MARZO 8. DISPONIBILIDAD La gu as a continuaci n corresponde a la semana,,,4,5,6,7,8 tiene las soluciones de las gu as,,4,5,6,7. S rvase de ayuda para practicar matem ticas.

2 Universidad Sim n Bol var Departamento de Matem ticas Puras y Aplicadas Enero - Marzo, 8 MA- Practica: semana y/o Ejercicios sugeridos para la semana y/o. Cubre el siguiente material: Antiderivadas, Integral indenida (incluyendo funciones trigonom tricas y sus inversas), Introducci n al rea, notaci n sigma, rea por medio de pol gonos inscritos y circunscritos.. Recordando las derivadas de varias funciones estudiadas en el curso de MA-, halle una antiderivada para cada una de las siguientes: a) л + л. b) / + 6с/ c) 6с п cos( п ) 6с sec() tan(). d) 6с csc(5t) cot(5t) + t 6с5/ + t + 5t 6с 8.. Halle las siguientes integrales indenidas: ( л 5 a) + л ) + л d. 6с b) л arctan() + d. c) sen ()cos() (7 6сsen ()) d. d) tan ()d (Sugerencia: recuerde que tan () + = sec ()). e) y л 6с ydy (Sugerencia: utilice el cambio de variable 6с y = u). f ) + d (Sugerencia: = + 6с ).. Halle la integral indenida de cada una de las siguientes funciones (de manera que sea una primitiva continua): 6Ь 6Ь 6с, < a) f() = 5, s < < 6Ь 6с > b) f() = 6с. 4. Haga el bosquejo de la gr ca de la funci n que se da en el intervalo [a,b]; despu s divida [a, b] en n subintervalos iguales. Calcule el rea del correspondiente pol gono circunscrito para varios valores de n (n =, 4, 5,...), por ltimo haga n З ч. a) f() = + ; a = 6с y b =. b) f() = + + ; a = 6с y b =.

3 Universidad Sim n Bol var Departamento de Matem ticas Puras y Aplicadas Enero - Marzo, 8 MA- Practica: semana y/o Ejercicios sugeridos para la semana y/o. Cubre el siguiente material: Propiedades de la integral denida, primer y segundo teorema fundamental del c lculo, regla de sustituci n para integrales indenidas y denidas. Material Adicional: C lculo de Area y Teorema de simetr a.. Resuelva las siguientes integrales indenidas a) sen() 6сsen () d. b) sen(4) cos()cos() d. c) cos () sen()d.. Halle las siguientes integrales denidas: a) g(t)dt con g(t) = t 6с 6с. 6с b) 4 w dw. c) ( 6с )d. 6с d) п sen () cos()d. e) 6с л 6с t dt. f ) п 6с п (5 + sen() )d. g) п/ 6с п/ sen5 ( х)d х. Sugerencia: Utilice el Teorema de simetr a. h) 6с 6с t 6с (t 6с4t+) dt.. Halle la derivada de las siguientes funciones: a) л л t sen(t)dt. b) (t + )dt. c) t dt. 4. Halle f Д ( п ) si f() = sen(5t)dt. 5. Halle la integral denida de cada una de las siguientes funciones en el intervalo que se indica: 6Ь 6Ь g(t), s 6с э t < a) f(t) = h(t), s < t э 6Ь s no intervalo [ 6с, ]. donde g(t) = 6с(t + ) + y h(t) = t 6с +. En el

4 DPTO. DE MATEMATICAS MA- 6Ь 6Ь, s э < b) f() =, s э < 6Ь 4 6с s э э 4 en el intervalo [, 4]. 6. Hallar el rea de la regi n limitada por las gr cas de las siguientes funciones. a) f() = y g() = 6с. b) f() =, g() = 6с y =. c) f() = 6с 6с, g() = +, los ejes coordenados y la recta =. { ( + ) d) f() = +, s < ( 6с ) y g() = +. +, s щ 4 7. Calcule (4 + )d como l mite de sumas de Riemann (Al tomar la partici n que divide a [, 4] en n subintervalos de igual longitud, seleccione a k como el etremo izquierdo de cada intervalo).

5 Universidad Sim n Bol var Departamento de Matem ticas Puras y Aplicadas Enero - Marzo, 8 MA- Practica: semana 4 Ejercicios de repaso.. Sea f() una funci n continua en R. Se sabe que f()d =, 9 f()d = y 7 f()d = 5. Halle la integral 9 f( )d.. Pruebe que la funci n H() = denida para >, es constante. / t + dt + t + dt. Sea f() una funcion continua, decreciente, positiva, denida en todo R y tal que l m З ч f() =. Demuestre que + l m З ч f(t)dt = (Sugerencia: demuestre que para todo se cumple э + f(t)dt э f()). 4. Halle la antiderivada mas general de las siguientes funciones: a) f(u) = arctan(u) +4u. b) f(u) = sen( л u) л u. ( лu+ c) f(u) = л ) u u. 5. Halle las siguientes integrales: a) л t 6Хt 6Х4 л +t dt donde 6Хt 6Х4 denota la parte entera de t. 4 п b) sen() d. c) 6с ( 5 6с sen() (+ ) ) d. 6. Sea f() = 6с + 6с. Sea P la partici n del intervalo [, ] siguiente: P = {, 54, 74 }, Halle:

6 DPTO. DE MATEMATICAS MA- a) L f (P), la suma inferior asociada a P, b) U f (P), la suma superior asociada a P, c) f()d utilizando sumas de Riemann. 7. Halle el rea de la regi n limitada por las gracas de las funciones: a) f() =, h() = 6с y =. b) y = 6с, y + + = y las rectas y = 6с, y =. c) y = + 4 y y =. 8. Determine todos los valores de c que satisfacen el teorema del valor medio para integrales para f() = /( + ) en el intervalo [, ]. Respuestas:. 8.. Derivando a H() con respecto a, se obtiene que H Д () =. Por lo tanto, H() tiene que ser constante.. Por hipotesis, f() es una funci n decreciente, continua y positiva en su dominio: Utilice el Teorema de acotaci n luego, tome limite. 4. a) arctan (u) 4 + C. b) 6с cos(u) + C. = а (( + ) 6с ) э c) 6с u 6с 6с u 6с/6 6с u 6с7/ 7 + C. э f( + ) э f(), 6я6 й Dom(f). + f(t)dt э f() а (( + ) 6с ) = f(), 5. a) л 6с л (vease que: 6Хt 6Х4 = si э t < y 6Хt 6Х4 = si э t < л ). b) 8. c). 6. a) L f (P) =,98. b) U f (P) =,875. c) f() = 6с + 6с es una funci n continua en [, ], entonces f es integrable en [, ]. Sea P = { =,,..., n 6с, n = } una partici n regular del intervalo [, ] donde cada k = + k 6р = + k n con k =,,...,n y 6р = n. Si seleccionamos k = k, f( k ) = f( k ) = 6с( + k n ) + ( + k ) 6с. Es decir, n f( k ) = k n ( 6с k ). n

7 DPTO. DE MATEMATICAS MA- Asi, ф n k= f( k) 6р = n ( ф n k= k 6с n ф n k= k) = n ( n(n+) ) ( ) 6с n(n+)(n+). n 6 Luego, l m n З ч n ф f( k ) 6р = /6 ж, 666. k= 7. a) /4. b) /. c) /. 8. c = 6с + л. Para aportar cualquier sugerencia o comentario, por favor escriba a mdiaspar@usb.ve.

8 Universidad Sim n Bol var Departamento de Matem ticas Puras y Aplicadas Enero - Marzo, 8 MA- Practica: semana 5 Ejercicios sugeridos para la semana 5. Cubre el siguiente material: Vol menes de s lidos.. En los siguientes problemas dibuje la regi n R acotada por las gr cas de las ecuaciones dadas y muestre la rebanada vertival representativa. Despu s encuentre el volumen del s lido generado al hacer girar R en torno al eje. a) y =, = 4,y =. п b) y =, =, = 4,y =. c) y = л 9 6с,y = entre = 6с y =.. En los siguientes problemas dibuje la regi n R acotada por las gr cas de las ecuaciones dadas y muestre la rebanada horizontal representativa. Despu s encuentre el volumen del s lido generado al hacer girar R en torno al eje y. a) y = л, =,y =. b) = л y, =,y = 4. c) = y /,y = 9, =. d) y = 4,y = 4.. Encuentre el volumen del s lido generado al hacer girar la regi n en el primer cuadrante acotada por la curva y =, la recta = 4 y el eje, en torno a: a) La recta = 4. b) La recta y = Sea R la regi n acoatada por y = y y =. Encuentre el volumen del s lido que resulta cuando R se hace girar alrededor de: a) El eje. b) El eje y. c) La recta y =. 5. La base de un s lido es la regi n acotada por y = 6с y y = 6с 4. Las secciones transversales del s lido, que son perpendiculares al eje, son cuadrados. Encuentre el volumen del s lido.

9 Universidad Sim n Bol var Departamento de Matem ticas Puras y Aplicadas Enero - Marzo, 8 MA- Practica: semana 6 y/o 7 Ejercicios sugeridos para la semana 6 y/o 7. Cubre el siguiente material: C lculo de volumenes de s lidos de revoluci n, funciones eponenciales, logaritmicas, hiperb licas y sus inversas.. Halle las derivadas de las siguientes funciones: a) z = ln( ) + (log 7 ( п + e)) 5. b) y = л e + e л. c) y = 6с. d) y = л log ( 6с ). e) y = п+ + ( + п). f ) y = con >. g) y = g() f(), suponga que g() y f() son diferenciables y g() es siempre positiva. h) e +y = y (derivada implicita). i) y = coth( arctanh()). j) y = ln( arccosh()). k) y = 5 senh () + cosh() 6с arcsenh( ).. La regi n acotada por y = e 6с,y =, = y =, se hace girar con respecto al eje y. Encuentre el volumen del s lido de revoluci n resultante (ver el gr co). Gr fica de y=ep( 6с ) с. 6с.4 6с 6с 6с. Encuentre el rea de la regi n acotada por y = cosh(), y =, = 6с ln(5) y = ln(5). 4. Halle las siguientes integrales

10 DPTO. DE MATEMATICAS MA- a) d. ln() b) d. c) ( + 6с ) d. d) ( + )e +6 d. e) e+ d. f ) 6v+9 v +9v dv. g) cot( х)d х. h) sec(u) csc(u)du. i) coth( ) ln(senh( ))d. senh(z j) /4 ) 4 л dz. z 5. Considere la regi n R que se muestra en la siguiente gura. Formule una integral para el volumen del s lido que se generacuando se hace girar R alrededor de la recta dada, utilice el m todo que se indica. a) El eje (arandelas). b) El eje y (cascarones). c) La recta = a (cascarones). d) La recta = b (cascarones). 6. Considere la regi n R que se muestra en la siguiente gura. Formule una integral para el volumen del s lido que se generacuando se hace girar R alrededor de la recta dada, utilice el m todo que se indica.

11 DPTO. DE MATEMATICAS MA- a) El eje y (arandelas). b) El eje (cascarones). c) La recta y = (cascarones). Ejercicios opcionales 7. La intensidad del sonido se mide en decibeles, en honor de Alejandro Graham Bell (847-9), inventor del tel fono. Si la variaci n en la presi n es de P libras por pulgada cuadrada, encuentre la intensidad L en decibeles es L = log (, P) Encuentre la variaci n en la presi n por una banda de rock a 5 decibeles. 8. La magnitud M de un terremoto en la escala de Richter es M =, 67 log (, 7E) +, 46 donde E es la energ a del terremoto en kilowatts-hora. Encuentre la energ a del terremoto de magnitud La formula de Stirling dice que para n grande podemos aproimar n! = а а а n por n! ж л ( n n пn e) Calcule! de manera eacta, luego de forma aproimada mediante la formula anterior.

12 Universidad Sim n Bol var Departamento de Matem ticas Puras y Aplicadas Enero - Marzo, 8 MA- Practica: semana 8 Ejercicios sugeridos para la semana 8. Cubre el siguiente material: Integraci n por partes, algunas integrales trigonom tricas y sustituci n.. Demuestre la identidad sec() = sen() cos() + cos() + sen() y despu s util licela para deducir la f rmula sec()d = ln sec() + tan() + C. п sen(). Eval e d +cos (sugerencia: haga la sustituci n u = 6с п y despu s utilice propiedades () de simetr a).. Halle las siguientes integrales a) ln()d. b) ln ()d. c) tan()d лsec () 6с4. d) arctan()d. e) arctan()d. f ) ln(ln()) d. g) cos(ln())d. h) ( 6с ) ep()d. i) e 6сe 6с e +e 6с d. j) e л 4 6сe 6d. 4. Sean A = ep(s) cos(t)d y B = ep(s) sen(t)d. Demuestre que sb + ta = ep(s) sen(t) + C (sugerencia: halle sb utilizando integraci n por partes). 5. Demuestre que cos а ( б)d = cos а 6с ( б)sen( б) + а 6с а б а cos а 6с ( б)d. Luego, halle cos 6 ()d.

13 Universidad Sim n Bol var Departamento de Matem ticas Puras y Aplicadas Enero - Marzo, 8 MA- Practica: semana 9 Ejercicios sugeridos para la semana 9. Cubre el siguiente material: algunas integrales trigonom tricas, sustituci n trigonom trica para racionalizar y completaci n de cuadrados.. Halle las siguientes integrales utilizando el cambio de variable sugerido: л a) 6сa d, sugerencia: = a sec(t). arcsen() b) л( 6с ) d, sugerencia: = sen(t). c) л a 6с d, sugerencia: = л a cos(t). л. Encuentre 4 6с d por medio de la sustituci n u = л 4 6с y por medio de una sustituci n trigonometrica (conveniente). Despues compare sus resultados. Recuerde que csc()d = ln csc() 6с cot() + C.. Resuelva las siguientes integrales utilizando completaci n de cuadrados a) d л +4+5 d, sugerencia: ( + ) + = y + = tan(t). b) л 6с + + d, sugerencia: 5 4 6с ( 6с ) = 6с + + y 6с = л 5 sen(t). c) л t 6с 6tdt, sugerencia: t 6с = sec(). 6с 6с d) d, sugerencia: 6с6+ 4. Halle las siguientes integrales a) sen(4y) cos(5y)dy. b) sen 4 (t) cos 4 (t)dt. c) tan 4 ()d. d) tan 6с () sec 4 ()d. e) csc (y)dy. f ) п/ п/4 sen (z) л cos(z)dz. g) sen(z) cos (z)+cos(z) 6с dz. = ( 6с6)+5 ( 6с) +4 ( 6с) +4. dt h) +cos (t), sugerencia: + cos (t) = cos () + sen (), cos () + sen () = cos (t)( + tan (t)) y = sec (t) +cos (t) +tan (t). i) sen () cos()d, sugerencia: utilice integraci n por partes.

14 Universidad Sim n Bol var Departamento de Matem ticas Puras y Aplicadas Enero - Marzo, 8 MA- Practica: semana y Ejercicios sugeridos para la semana y. Cubre el siguiente material: integraci n de funciones racionales por medio de fracciones parciales, Regla de L'Hopital, integrales impropias y ejercicios de repaso.. El matem tico alem n Karl Weierstrass (85-897) observo que el cambio de variable u = tan(/), 6с п < < п transforma cualquier funcion racional de seno y coseno en una funcion racional de u. Para probar por que, usamos las formulas del seno y del coseno del angulo doble: ( )( ) u sen() = sen(/) cos(/) = л л = u + u + u + u ( ( ) cos() = cos (/) 6с sen u (/) = л 6с л = + u ) 6с u + u + u Finalmente, como u = tan(/) es = arctan(u), luego d = +u. Utilice el cambio de variable de Weierstrass para hallar las siguientes integrales: a) d cos() 6с4 sen(). b) d sen()+tan(). c) sen()d cos ()+cos() 6с6. d) d cot()( 6сcos()).. Halle las siguientes integrales utilizando el metodo de fracciones simples a) d +. b) (+)d ( 6с). c) d ( 6сln())( 6сln()). d) ( 6с)d ( 6с). e) ( 6с8 6с)d (+)( 6с)( +). f ) ( 6с)d 4 6с. g) ( +5 +6)d h) ( + 6с)d 6с. i) п/4 cos()d ( 6сsen ())(sen ()+).

15 DPTO. DE MATEMATICAS MA-. Encuentre cada l mite a) l m З (cos()) csc(). b) l m З ч. c) l m З ч (ln( + ) 6с ln( 6с )). d) l m З ч R e) l m З + л +e 6сt dt. R sen(t)dt. 6с f ) l m З ч ( + ). g) l m З ч /. h) l m З +(sen()). ( ) / i) l m arcsen() З. 4. Eval e cada integral impropia o demuestre que diverge a) ч b) ч c) ч e d) ч 4 d. d (+ ). d ln(). d ( п 6с) /. ч d e). 6с ч e ч d f ) 6с ч ++. g) ч n 6с e 6с d (utilice el hecho que, para cualquier n mero positivo n eiste un n mero M tal que < n 6с e э para щ M ). 5. En cada uno de los siguientes casos, estudie la convergencia de la integral impropia a) ч b) ч d л +. d л e. c) ч 6с ч e 6с d. ч 6. Eiste una sutileza en la denici n de f()d ilustrado por medio del siguiente ejercicio. 6с ч Demuestre que ч a) sen()d diverge. 6с ч a b) l m a З ч sen()d = (recuerde que la funcion sen() es una funcion impar). 6сa

16 Universidad Sim n Bol var Departamento de Matem ticas Puras y Aplicadas Enero - Marzo, 8 MA- Practica: semana y/o Ejercicios sugeridos para la semana y/o. Cubre el siguiente material: Antiderivadas, Integral indenida (incluyendo funciones trigonom tricas y sus inversas), Introducci n al rea, notaci n sigma, rea por medio de pol gonos inscritos y circunscritos.. Recordando las derivadas de varias funciones estudiadas en el curso de MA-, halle una antiderivada para cada una de las siguientes: a) л + л с + + 6с + C. + b) / + 6с/ с + arctan() + 6с + + C. + c) 6с п cos( п ) 6с sec() tan(). 6с п sen( п ) 6с sec() + C. d) 6с csc(5t) cot(5t) + t 6с5/ + t + 5t 6с 8. csc(5t) 6с t 6с5 + + t+ + 5t 6с 8t + C Halle las siguientes integrales indenidas: ( л 5 a) + л ) + л d. 6с ( л 5 + л + )d л = л 5 d + л d + 6с d л 6с = arc sen() + C. b) л arctan() + d. Utilizando el cambio de variable u = arctan(), tenemos que du = + d. Asi, л arctan() d = л + udu = u + + C + = arctan() C.

17 DPTO. DE MATEMATICAS MA- c) sen ()cos() (7 6сsen ()) d. Considerando el cambio de variable t = 7 6с sen (), tenemos que 6сdt = sen () cos()d y sen () cos() dt (7 6с sen ()) d = 6с t = 6с t 6с+ 6с + = 7 6с sen () + C. d) tan ()d (Sugerencia: recuerde que tan () + = sec ()). tan ()d = (sec () 6с )d = sec ()d 6с d = tan() 6с + C. e) y л 6с ydy (Sugerencia: utilice el cambio de variable 6с y = u). Utilizando el cambio de variable 6с y = u, tenemos que 6сdy = du 6м dy = 6сdu y y = 6с u. Asi, y л 6с ydy = 6с ( 6с u) л udu = 6с л udu + u л udu = 6с u u + du = 6с u f ) + d (Sugerencia: = ю ). + u + 5 ( = 6с ( 6сy) + ( 6сy)5 5 ) + C + d = + 6с + d = + 6с + d = ( ) + 6с d = ( 6с + + +) d = ( d 6с d +) = + arctan() + C.. Halle la integral indenida de cada una de las siguientes funciones (de manera que sea una primitiva continua): 6Ь 6Ь 6с, < a) f() = 5, s < < 6Ь 6с >

18 DPTO. DE MATEMATICAS MA- f()d = F()+C donde F() = 6Ь 6Ь 6Ь R tales que 6с + C, < 5 + C, s < < 6с + C > con C,C, C,C й 6с + C = 5 + C + C = 4 + C Ya que para ser una primitiva continua debe satisfacer: l m Зa 6с F() = l m Зa + F() = F(a), para a = y a =. 6Ь 6Ь 6с + 6, э Una posible soluci n es: F() = 5, s < < 6Ь 6с + 6 щ b) f() = 6с. f()d = F()+C donde F() = 6Ь 6Ь 6Ь R tales que 6с + C, э 6с 6с + + C, s 6с < < 6с + C щ + C = 6с + C + C = 6с + C 6Ь 6Ь 6с, э 6с Una posible soluci n es: F() = 6с + + 4, s 6с < < 6Ь 6с + 8 щ con C, C,C,C й 4. Haga el bosquejo de la gr ca de la funci n que se da en el intervalo [a,b]; despu s divida [a, b] en n subintervalos iguales. Calcule el rea del correspondiente pol gono circunscrito para varios valores de n (n =, 4, 5,...), por ltimo haga n З ч. a) f() = + ; a = 6с y b =. Podemos aproimar el rea bajo la gr ca y = + para los 6с э э, utilizando pol gonos circunscritos y considerando como: Para n =, A(R) ж ф i= A(R i) = 6. 6р i = i 6с i 6с = b 6с a n =, 6я6i, э i э n. n

19 DPTO. DE MATEMATICAS MA- 4 Grafico de Y=X с 6с Para n = 4, A(R) ж ф 4 i= A(R i) = 5, 65. Grafico de Y=X с 6с Para n = 5, A(R) ж ф 5 i= A(R i) = 5, 4. Grafico de Y=X с 6с Para n = 5, A(R) ж ф 5 i= A(R i) = 4, 59.

20 DPTO. DE MATEMATICAS MA- 5 Grafico de Y=X с 6с Para n = k, f( i ) = ( 6с + i k ) + = i k y A(R) ж k ф A(R i ) = i= k ф i= k f( i) = k ф i= 9i k = 9 k k ф i= i = 9 k(k + ). k 9 k(k+) Luego, l m k З ч = 4, k 5. b) f() = + + ; a = 6с y b =. Podemos aproimar el rea bajo la gr ca y = + + para los 6с э э, utilizando pol gonos circunscritos y considerando como: Para n =, A(R) ж ф i= A(R i) = 6, р i = i 6с i 6с = b 6с a n =, 6я6i, э i э n. n 5 Grafico de Y=X +X+ 5 6с 6с Para n = 4, A(R) ж ф 4 i= A(R i) = 5, 75.

21 DPTO. DE MATEMATICAS MA- 6 5 Grafico de Y=X +X с 6с.5.5 Para n = 5, A(R) ж ф 5 i= A(R i) = 4, Grafico de Y=X +X с 6с.5.5 Para n = k, f( i ) = ( 6с + i k ) + ( 6с + i) + = i 6с i + k k k y A(R) ж ф k i= A(R i) = ф k i= f( k i) = ф k 4i i= 6с ф k i k i= + ф k 6 k i= k = 4 k k(k+)(k+) 6 6с k(k+) k(k+)(k+) Luego, l m k З ч 6с 6 k sombreada es 4. k(k+) k + 6 = 4. Es decir, el rea eacta de la regi n 5 Grafico de Y=X +X с 6с.5.5

22 DPTO. DE MATEMATICAS MA- Para aportar cualquier sugerencia o comentario, por favor escriba a mdiaspar@usb.ve. 7

23 Universidad Sim n Bol var Departamento de Matem ticas Puras y Aplicadas Enero - Marzo, 8 MA- Practica: semana y/o Ejercicios sugeridos para la semana y/o. Cubre el siguiente material: Propiedades de la integral denida, primer y segundo teorema fundamental del c lculo, regla de sustituci n para integrales indenidas y denidas. Material Adicional: C lculo de Area y Teorema de simetr a.. Resuelva las siguientes integrales indenidas a) sen() 6сsen () d. Utilizando la igualdad sen () = 6с cos () obtenemos que 6с sen () = + cos (). Si realizamos el cambio de variable u = cos(), du = 6с sen()d. Asi, b) sen(4) cos()cos() d. sen() 6сsen () d = 6сdu +u = 6с arctan(u) + C = 6с arctan(cos()) + C. Encontrar un cambio de variable apropiado, no siempre es evidente. Por tanto, no debemos olvidar que eiste la posibilidad de resolver un problema con propiedades trigonometricas. Utilizando la igualdad sen(m) = sen(m) cos(m) obtenemos que sen(4) = sen() cos() y sen() = sen() cos(). Asi, sen(4) d = sen()cos() d = sen() d cos()cos() cos()cos() cos() = sen()cos() d = 4 sen()d cos() = 6с4 cos() + C. c) cos () sen()d. cos () sen()d = cos () cos() sen()d = ( 6с sen )() cos() sen()d Realizando el cambio de variable u = 6с sen () y du = 6с6 sen() cos()d, obtenemos que ( 6с sen )() cos() sen()d = 6с 6. Halle las siguientes integrales denidas: udu = 6сu + C = 6с( 6с sen ()) + C.

24 DPTO. DE MATEMATICAS MA- a) g(t)dt con g(t) = t 6с 6с. 6с 6Ь 6Ь t 6с si t > Como g(t) = t 6с 6с = 6Ь 6сt si t э 4 b) w dw. 6с g(t)dt = 6с 6сtdt = 6сt 6с= + 4 =. 4 c) ( 6с )d. 6с 6Ь 6Ь Como f() = 6с = 6Ь 6с ( 6с )d = d) п sen () cos()d. w 6с+ wdw = 6с + 4 = 6с w 4 = 6с 4 6с 6с = 4. si < 6с si щ 6с d + 6сd = 6с + 6с = 6с7. Realizando el cambio de variable r = sen(), dr = cos()d y el limite de integraci n superior e inferior seran respectivamente: a = sen() = y b = sen( п/) = 6с. Asi, п = 6с sen () cos()d = r dr = 6с ( r 6с 6с 6с ) r dr = 6с 9. e) 6с л 6с t dt. Sea 6Ь л f() = л 6Ь + t si t < 6с t = 6Ь л 6с t si t щ Dado que f es una funci n par (por ser f( 6сt) = f(t)), podemos utilizar el Teorema de simetr a л л 6с t dt = 6с tdt 6с tomando el cambio de variable u = 6с t (du = 6сdt), л л л 6с tdt = 6с udu = udu

25 DPTO. DE MATEMATICAS MA- Es decir, 6с л л 4u / 6с t dt = udu = = 4 л. f п ) 6с п (5 + sen() )d. 6Ь 6Ь 6с sen() si 6с п э э Como f() = sen() = 6Ь sen() si э э п Claramente, f es una funci n par y 5 una funcion impar. Entonces, п 6с п ( 5 + sen() )d = п 6с п 5 d + = 6 п 6с п п sen() d 6 п 6с п + sen()d = 6с cos() п = ( + ) = 4. g) п/ 6с п/ sen5 ( х)d х. La funci n sen( х) es una funci n impar, f( х) = sen 5 ( х) tambien lo es; ya que, f( 6с х) = sen 5 ( 6с х) = 6с sen 5 ( х) = 6сf( х). Luego, por el Teorema de simetr a п/ 6с п/ sen5 ( х)d х =. Soluci n Alternativa: п/ 6с п/ sen 5 ( х)d х = = п/ 6с п/ п/ 6с п/ sen( х)(sen ( х)) d х sen( х)( 6с cos ( х)) d х. Utilizando el cambio de variable u = cos( х), du = 6с sen( х)d х con a = cos( 6с п/) = / y b = cos( п/) = /. Asi, h) 6с 6с t 6с (t 6с4t+) dt. п/ 6с п/ sen 5 ( х)d х = п/ 6с п/ = 6с sen( х)( 6с cos ( х)) d х / / ( 6с u ) du =. Utilizando el cambio de variable u = t 6с4t+, du = (t 6с4t)dt = (t 6с)dt con a = 4 y b = 8. Asi, 6с 6с t 6с dt = 8 du = 6с 4 du (t 6с4t+) 4 u 8 u = 6с ( 6с ) u 4 8 = ( 6с + ) =

26 DPTO. DE MATEMATICAS MA-. Halle la derivada de las siguientes funciones: 4 a) л л t sen(t)dt. Sea F() = л л t sen(t)dt = л л t sen(t)dt + = 6с л л л t sen(t)dt + t sen(t)dt л t sen(t)dt Aplicando el primer Teorema Fundamental del C lculo, obtenemos que ( л л ) ( л ) D (F()) = 6сD t sen(t)dt + D t sen(t)dt = 6с л sen( л ) + л sen( ). b) (t + )dt. Sea F() = (t + )dt = (t + )dt + (t + )dt = 6с (t + )dt + (t + )dt Aplicando el primer Teorema Fundamental del C lculo, obtenemos que ( ( ) D (F()) = 6сD (t + )dt) + D (t + )dt = 6с( + ) + ( + ). c) t dt. Sea F() = dt = dt + dt t t t = 6с dt + dt t t Aplicando el primer Teorema Fundamental del C lculo, obtenemos que ( ) ( ) D (F()) = 6сD dt + D t dt t = 6с + =. 4. Halle f Д ( п ) si f() = sen(5t)dt. Sea f() = sen(5t)dt = sen(5t)dt + sen(5t)dt = 6с sen(5t)dt + sen(5t)dt

27 DPTO. DE MATEMATICAS MA- Aplicando el primer Teorema Fundamental del C lculo, obtenemos que ( ) ( f Д ) () = 6сD sen(5t)dt + D sen(5t)dt = 6с sen() + sen(5). 5 Asi, f Д ( п) = 6с п п sen(5 п)+ 4 sen(5 п ). Dado que sen(+k п) = sen(), 6я6k й Z 6м sen(5 п) = sen( п) = 6с y sen(5 п/) = sen( 6с п/) =. Tenemos que, f Д ( п) = п. 5. Halle la integral denida de cada una de las siguientes funciones en el intervalo que se indica: 6Ь 6Ь g(t), s 6с э t < a) f(t) = h(t), s < t э 6Ь s no intervalo [ 6с, ]. donde g(t) = 6с(t + ) + y h(t) = t 6с +. En el f(t)dt = int 6сg(t)dt + 6с h(t)dt dado que g(t) = 6с(t + ) + = 6с(t + t) y que h(t) = 6сt para t й [, ], tenemos que 6Ь 6Ь b) f() = 6Ь 6с f(t)dt = 6с 6с (t 6с t)dt 6с tdt = 6с =, s э <, s э < 4 6с s э э 4 en el intervalo [, 4]. 4 f()d = d + d + 4 (4 6с )d = Hallar el rea de la regi n limitada por las gr cas de las siguientes funciones. a) f() = y g() = 6с. 4 6с 6с 6с 6с.5 6с 6с.5.5.5

28 DPTO. DE MATEMATICAS MA- Para calcular el area de la region limitada, debemos hallar primero los puntos para los cuales se cumple que = 6с. Es decir, = ю, entonces el area de la region limitada es ( 6с )d 6с 6с 6с b) f() =, g() = 6с y =. ( ) d = ( 6с )d = ) ( 6с = с.5 6с 6с.5 6с El area de la region limitada es ( 4 d + d = 4 + ) = 4. c) f() = 6с 6с, g() = +, los ejes coordenados y la recta =. 4 6с 6с Para calcular el area de la region limitada, debemos hallar primero el punto (positivo) para el cual f() = 6с 6с =. Esto se satisface para = л 6с, entonces el area de la region limitada es A(R) = ( + )d 6с л 6с ( 6с 6с )d + л 6с 6с( 6с 6с )d = ( + )d 6с ( 6с 6с )d = ( ) ( + + )d = + + = 8.

29 DPTO. DE MATEMATICAS MA- { ( + ) d) f() = +, s < ( 6с ) +, s щ y g() = с 6с 6с 6с Para calcular el area de la region limitada, debemos hallar primero los puntos para los cuales se cumple que 6с + = ( + ) + y + = ( 6с ) +. Es decir, hallar los puntos para los cuales ++ = ( = 6с o = 6с) y 6с+ = ( = o = ). Entonces el area de la region limitada es ( 6с 6с ) A(R) = ( 6с + )d 6с (( + ) + )d 6с 6с ( ) + (( + ) + )d 6с ( 6с + )d 6с 6с ( ) + (( 6с ) + )d 6с ( + )d ( ) + ( + )d 6с (( 6с ) + )d 6с A(R) = ( 6с 6с 6с )d + ( + + )d 6с 6с + ( 6с + )d + ( 6с + 6с )d Dado que las regiones son simetricas, ( ) A(R) = ( 6с + )d + ( 6с + 6с )d = Calcule (4 + )d como l mite de sumas de Riemann (Al tomar la partici n que divide a [, 4] en n subintervalos de igual longitud, seleccione a k como el etremo izquierdo de cada intervalo). f() = 4 + es una funci n continua en [, 4], entonces f es integrable en [, 4]. Sea P = {a =

30 DPTO. DE MATEMATICAS MA- 8,,..., n 6с, n = b} una partici n regular del intervalo [, 4] donde cada k = +k 6р = + k n con k =,,...,n y 6р = n. Si seleccionamos k = k 6с, f( k ) = f( k 6с ) = 4 k 6с +. Es decir, f( k ) = 4( + (k 6с ) n 8(k 6с ) ) + = +. n Asi, ф n k= f( k 6с) 6р = n ( ( ) n + 8 ( ф n n k= k) 6с 8) = n + 8 n(n+) 6с 8 n n = n а (5n 6с 4) = n 6с4 n. Luego, l m n З ч n ф k= f( k 6с ) 6р = l m n З ч n 6с 4 n = el l mite eiste, entonces 4 (4 + )d = l m n З ч n ф f( k 6с ) 6р =. k= Para aportar cualquier sugerencia o comentario, por favor escriba a mdiaspar@usb.ve.

31 Universidad Sim n Bol var Departamento de Matem ticas Puras y Aplicadas Enero - Marzo, 8 MA- Practica: semana 5 Ejercicios sugeridos para la semana 5. Cubre el siguiente material: C lculo de volumenes de s lidos de revoluci n. Para hallar el volumen de un s lido de revoluci n utilizaremos los m todos vistos en teoria: M todo de discos, arandelas o cascarones (tubos). Para m s informaci n vea las ultimas 9 paginas.. En los siguientes problemas dibuje la region R acotada por las gr cas de las ecuaciones dadas y muestre la rebanada representativa. Despu s encuentre el volumen del s lido generado al hacer girar R en torno al eje. a) y =, = 4,y =. п Utilizando el m todo de discos: V = п 4 ( п ) d = 4 5 п. b) y =, =, = 4,y =.

32 DPTO. DE MATEMATICAS MA Utilizando el m todo de discos: V = п 4 ( ) d = п 4. c) y = л 9 6с,y = entre = 6с y = с 6с Utilizando el m todo de discos: V = п 6с ( л 9 6с ) d = 6 п.. En los siguientes problemas dibuje la region R acotada por las gr cas de las ecuaciones dadas y muestre la rebanada representativa. Despu s encuentre el volumen del s lido generado al hacer girar R en torno al eje y. a) y = л, =,y =.

33 DPTO. DE MATEMATICAS MA Utilizando el m todo de cascarones: V = п 9 ( 6с л )d = 4 п. Otra posibilidad, 5 con el m todo de discos V = п (y ) dy. b) = л y, =,y = Utilizando el m todo de cascarones: V = п 4 (4 6с ())d = п. Otra posibilidad, 4 con el m todo de discos V = п 4 ( л y) dy. c) = y /,y = 9, =.

34 DPTO. DE MATEMATICAS MA Utilizando el m todo de cascarones: V = п 7 (9 6с / )d = 656 п. Otra posibilidad, 4 con el m todo de discos V = п 9 (y/ ) dy. d) y = 4,y = Utilizando el m todo de cascarones: V = п (4 6с 4 )d = п. Otra posibilidad, con el m todo de arandelas V = п 4 (( л y ) 6с ( y 4 ) )dy.. Encuentre el volumen del s lido generado al hacer girar la regi n en el primer cuadrante acotada por la curva y =, la recta = 4 y el eje, en torno a: с 6с4 6с6 6с

35 DPTO. DE MATEMATICAS MA- a) La recta = 4. Utilizando el m todo de cascarones: V = п 4 (4 6с ) л d = 4 п 5. 5 b) La recta y = 8. Z Y 6с X En el graco, podemos observar que el solido de revolucion cuyo volumen deseamos calcular es la gura de color rojo. Utilizando el m todo de arandelas: V = п 4 (8 6с (8 6с л ) ) d 74 п Sea R la regi n acotada por y = y y =. Encuentre el volumen del s lido que resulta cuando R se hace girar alrededor de: с. 6с.4 6с.6 6с.8 6с a) El eje Z 6с. 6с.4 6с.6 6с.8 6с X 6с Y

36 DPTO. DE MATEMATICAS MA- Utilizando el m todo de arandelas: V = п ( 6с 4 )d = п 5. 6 b) El eje y. Utilizando el m todo de cascarones: V = п ( 6с )d = п 6. c) La recta y =. Al girar la region acotada por y = y y = alrededor de la recta y =, podemos observar que al intersectar el solido con cualquier seccion transversal perpendicular nos dara una region cuya area no es ni cuadrada, ni triangular o redonda. Pero, s concideramos una secci n transversal diagonal de manera que la region interseccion resultante sea una circunferencia, tendriamos el area de una gura geometrica conocida; solamente faltara epresar su radio r en funci n de la variable. Observando la gura anterior, podemos deducir que r = hipotenusa а cos( п/4) donde hipotenusa = 6с. Entonces, r = л ( 6с ). Por lo tanto, A() = пr = п( 6с ) y V = A()d. Es decir, V = п ( 6с ) d = п La base de un s lido es la regi n acotada por y = 6с y y = 6с 4. Las secciones transversales del s lido, que son perpendiculares al eje, son cuadrados. Encuentre el volumen del s lido.

37 DPTO. DE MATEMATICAS MA y= 6с 6с 6с.5.5 y= 6с 4 V = A()d, con A() = l () (observe que la regi n de la base del solido es simetrica con respecto al eje y). El lado del cuadrado en funci n de la variable esta dado por l() = ( 6с 4 ) 6с ( 6с ) = 6с 4. Asi, V = ( 6с 4 ) d = 6 5.

38 y R Vn = п R H 6рy H 6рy TUBOS y H Vn = п R H 6р 6р R

39 6р V = п R 6р R DISCOS y V = п R 6рy R 6рy

40 y 6р V = п ( R C r ) 6р r R ARANDELAS y V = п ( R C r ) 6рy r R 6рy

41 S lido de revoluci n generado por un recinto plano al girar alrededor del eje OY y y H H y = f ( ) R R Recinto generador S lido de revoluci n generado

42 H y = f ( ) y Proyecci n sobre el eje OX: y 6р 6р 6р H H C f ( ) V = п [ H C f ( )] 6р Por tubos: V = п 6А6 [ H 6с f ( ) ] = 7 = R d

43 H y = f ( ) y 6рy = f - ( y ) R 6рy Proyecci n sobre el eje OY: y H R Por discos: V = п f ( y ) y y = 7 = H с dy 6рy V = п [ f C ( y ) ] 6рy

44 S lido de revoluci n generado por un recinto plano al girar alrededor del eje OX y y H H y = f ( ) R R Recinto generador S lido de revoluci n generado

45 H y = f ( ) y 6р R Proyecci n sobre el eje OX: y H 6р R Por arandelas: V = п 6А6 H 6с [ f ( ) ] = 7 = R d H y = f ( ) 6р V = п [ H C f () ] 6р

46 y H y y = f ( ) 6рy = f - ( y ) R Proyecci n sobre el eje OY: y H R Por tubos: V = п y 6А6 f ( y ) y y = 7 = H 6с dy y V = п y f - ( y ) 6рy 6рy

47 Universidad Sim n Bol var Departamento de Matem ticas Puras y Aplicadas Enero - Marzo, 8 MA- Practica: semana 6 y/o 7 Ejercicios sugeridos para la semana 6 y/o 7. Cubre el siguiente material: C lculo de volumenes de s lidos de revoluci n, funciones eponenciales, logaritmicas, hiperb licas y sus inversas.. Halle las derivadas de las siguientes funciones: a) z = ln( ) + (log 7 ( п + e)) 5. dz d = ln( ) п (log 7( п + e)) 4. ln(7)( п + e) b) y = л e + e л. dy d = ep( ) л ep( ) + ep(). c) y = 6с. d) y = л log ( 6с ). dy d = ln()(4 6с ) 6с. dy d = ln()( 6с ) ln() л log ( 6с ). e) y = п+ + ( + п). f ) y = con >. dy d = ( п + )( pi + ln( п + )( п + ) 6с). dy d = ( + ln()).

48 DPTO. DE MATEMATICAS MA- g) y = g() f(), suponga que g() y f() son diferenciables y g() es siempre positiva. Si g Д () = 6м g() = C con C >, entonces 6Ь ( ) dy 6Ь4 6Ь g() f() f Д () ln(g()) + f() g Д () ы d = g Д () Si 6Ь4 6Ь ( Д f () ln(c) ) C f() g Д () = h) e +y = y (derivada implicita). Supongamos que y depende de, derivando ambos lados de la ecuaci n con respecto a. Es decir, obtenemos que d ( ) e +y = d (4 + + y), d d ( + y Д) e +y = + y Д i) y = coth( arctanh()). e +y + y Д e +y = + y Д e +y 6с = y Д ( 6с e +y ) 6м dy d = 6с. j) y = ln( arccosh()). dy d = 6с csch ( arctanh()). 6с dy d = л 6с arccosh(). k) y = 5 senh () + cosh() 6с arcsenh( ). dy d = senh() cosh() + cosh() + senh() 6с arcsenh( ) 6с л +.. La regi n acotada por y = e 6с,y =, = y =, se hace girar con respecto al eje y. Encuentre el volumen del s lido de revoluci n resultante (ver el gr co).

49 DPTO. DE MATEMATICAS MA- Gr fica de y=ep( 6с ) с. 6с.4 6с 6с 6с El gr co resultante de rotar la regi n acotada alrededor del eje y se muestra en la siguiente gura с 6с 6с 6с Si utilizamos el m todo de cascarones, V = п ep( 6с )d. Realizando el cambio de variable u =, obtenemos que V = п 4 ep( 6сu)du = п ( 6с e 6с4 ).. Encuentre el rea de la regi n acotada por y = cosh(), y =, = 6с ln(5) y = ln(5). La regi n acotada por y = cosh(),y =, = 6с ln(5) y = ln(5) y se muestra en la siguiente gura с 6с.5 6с 6с.5.5.5

50 DPTO. DE MATEMATICAS MA- y A = ln(5) cosh()d = senh() ln(5) =, Halle las siguientes integrales a) d. d = 6с ln() + C. b) ln() d. ln() d = ln () + C. c) ( + 6с ) d. ( + 6с) d = ( 6с 6с). ln() d ) ( + )e +6 d. ( + )e +6 d = e +6 + C. e) e+ d. f ) 6v+9 v +9v dv. e + d = ( e 5 6с e ). 6v + 9 v + 9v dv = ln v + 9v + C. g) cot( х)d х. cot( х)d х = ln sen( х) + C. h) sec(u) csc(u)du. Dado que sec(u) csc(u) = = sen (u)+cos () = tan(u) + cot(u) sen(u)cos(u) sen(u) cos(u) sec(u) csc(u)du = tan(u)du + cot(u)du = 6с ln cos(u) + ln sen(u) + C.

51 DPTO. DE MATEMATICAS MA- i) coth( ) ln(senh( ))d. Realizando el cambio de variable u = ln(senh( )), se obtiene que coth( ) ln(senh( ))d = u du = u 6 + C. 5 Devolvemos el cambio de variable realizado coth( ) ln(senh( ))d = ln (senh( )) + C. 6 senh(z j) /4 ) 4 л dz. z Realizando el cambio de variable u = z /4, se obtiene que senh(z /4 ) 4 л dz = senh(u)du = cosh(u) + C. z Devolvemos el cambio de variable realizado senh(z /4 ) 4 л dz = cosh(z /4 ) + C. z 5. Considere la regi n R que se muestra en la siguiente gura. Formule una integral para el volumen del s lido que se generacuando se hace girar R alrededor de la recta dada, utilice el m todo que se indica. a) El eje (arandelas). R = f() y r = g(), entonces V = п b a (f () 6с g ())d. b) El eje y (cascarones). V = п b (f() 6с g())d. a

52 DPTO. DE MATEMATICAS MA- c) La recta = a (cascarones). V = п b ( 6с a) (f() 6с g())d. a d) La recta = b (cascarones). V = п b (b 6с ) (f() 6с g()) d. a 6 6. Considere la regi n R que se muestra en la siguiente gura. Formule una integral para el volumen del s lido que se generacuando se hace girar R alrededor de la recta dada, utilice el m todo que se indica. a) El eje y (arandelas). R = f(y) y r = g(y), entonces V = п d c (f (y) 6с g (y))dy. b) El eje (cascarones). V = п d y (f(y) 6с g(y))dy. c c) La recta y = (cascarones). V = п d ( 6с y) (f(y) 6с g(y))dy. c Ejercicios opcionales 7. La intensidad del sonido se mide en decibeles, en honor de Alejandro Graham Bell (847-9), inventor del tel fono. Si la variaci n en la presi n es de P libras por pulgada cuadrada, encuentre la intensidad L en decibeles es L = log (, P)

53 DPTO. DE MATEMATICAS MA- 7 Encuentre la variaci n en la presi n por una banda de rock a 5 decibeles. P = L, Entonces, la variaci n en la presi n por una banda de rock a 5 decibeles es igual a 4,66 а libras por pulgada cuadrada. 8. La magnitud M de un terremoto en la escala de Richter es M =, 67 log (, 7E) +, 46 donde E es la energ a del terremoto en kilowatts-hora. Encuentre la energ a del terremoto de magnitud 7. E = M 6с,46,67, 7 entonces, la energ a del terremoto de magnitud 7 es igual a 5,7 а 8 kilowatts-hora. 9. La formula de Stirling dice que para n grande podemos aproimar n! = а а а n por n! ж л ( n n пn e) Calcule! de manera eacta, luego de forma aproimada mediante la formula anterior. De forma eacta! = Utilizando la formula de Stirling! ж

54 Universidad Sim n Bol var Departamento de Matem ticas Puras y Aplicadas Enero - Marzo, 8 MA- Practica: semana 8 Ejercicios sugeridos para la semana 8. Cubre el siguiente material: Integraci n por partes, algunas integrales trigonom tricas y sustituci n.. Demuestre la identidad sec() = sen() cos() + cos() + sen() y despu s util licela para deducir la f rmula sec()d = ln sec() + tan() + C. sen() + cos() = cos()cos()+sen()(+sen()) cos() +sen() (+sen()) cos() = sen()+(sen ()+cos ()) (+sen())cos() = (+sen()) (+sen())cos() = cos() = sec(). As, sec()d = sen()d cos() + cos()d + sen() realizando los cambios de variables u = cos(), du = 6с sen()d y v = + sen(), dv = cos()d en las integrales anteriores sec()d = sen()d cos() = 6сdu u + dv v + cos()d +sen() = 6с ln u + ln v + C = 6с ln cos() + ln + sen() + C = ln sec() + tan() + C п sen(). Eval e d +cos (sugerencia: haga la sustituci n u = 6с п y despu s utilice propiedades () de simetr a).

55 DPTO. DE MATEMATICAS MA- Realizando el cambio de variable u = 6с п, du = d, п sen() d = п +cos () 6с п = п 6с п = п 6с п (u+ п) sen(u+ п) du +cos (u+ п) (u+ п) sen(u) du +cos (u) u sen(u) du + п +cos (u) 6с п u sen(u) La funci n +cos (u) es una funci n impar, por lo tanto, п 6с п funci n sen(u) +cos es una funci n par. Entonces, (u) п sen() d = п +cos () 6с п = п п 6с п = п п п sen(u) +cos (u) du sen(u) +cos (u) du sen(u) +cos (u) du. п sen(u) +cos (u) du. Realizando el cambio de variable u = cos(), du = 6с sen()d; as, п п. Halle las siguientes integrales sen() d = п п +cos () = 6с п 6с sen(u) +cos (u) du du +u = п du = (arctan(u)) 6с +u 6с = п ( п 4 + п 4) = п. u sen(u) du = +cos. Adicionalmente, la (u) a) ln()d. Utilizando integracion por partes y considerando como f() = ln() y g Д () = d, tenemos que f Д () = d/ y g() = ; asi, d ln()d = ln() 6с = ln() 6с + C. b) ln ()d. Utilizando integracion por partes y considerando como f() = ln () y g Д () = d, tenemos que f Д () = ln()/ y g() = ; asi, ln()d ln ()d = ln () 6с = ln () 6с ( ln() 6с ) + C. c) tan()d лsec () 6с4.

56 DPTO. DE MATEMATICAS MA- tan()d л sec () 6с 4 = sen()d л 6с4 cos () cos() cos () sen()d = л 6с 4 cos () Realizando el cambio de variable u = cos(), du = 6с sen()d; tenemos que tan()d л sec () 6с 4 = 6с du л. 6с 4u Realizando el cambio de variable u = cos( х)/, du = 6с sen( х)/d х; obtenemos que du 6с sen( х)d х 6с л = 6с 4u л sen () = 6с х + C, devolviendo los cambios tan()d л sec () 6с 4 = 6с arc cos( cos()) + C. d) arctan()d. Utilizando integracion por partes: sea f() = arctan() y g Д () = d; asi, f Д () = d + d, g() = y arctan()d = arctan() 6с d +. Realizando el cambio de variable: u = + y du = d. Tenemos que, d du + = u = ln(u) + C = ln( + ) + C Por ultimo, arctan()d = arctan() 6с ln( + ) + C e) arctan()d. Integrando por partes, consideramos como g Д () = y f() = arctan()d entonces g() = 4 /4 y f Д () = /( + )d; asi, arctan()d = 4 ( 4 arctan() 6с 4 + d ) = 4 = 4 = 4 = 4 ( 4 arctan() 6с ( ) ) 6с d + ( 4 arctan() 6с ( 6с + 6с + ) ) d ( 4 arctan() 6с ( ) ) 6с + + d + + ( 4 arctan() 6с 6с + arctan() ) + C.

57 DPTO. DE MATEMATICAS MA- f ) ln(ln()) d. Cambio de variable: u = ln(), du = d/. As, ln(ln()) d = ln(u)du = u ln u 6с u + C = ln ln ln 6с ln + C. 4 g) cos(ln())d. Integraci n por partes: sea f() = cos(ln()) y g Д () = d, f Д () = 6с sen(ln()) d y g() =. As, cos(ln())d = cos(ln()) + sen(ln()) d. Integrando por partes otra vez: sea f() = sen(ln()) y g Д () = d, f Д () = cos(ln()) d y g() =. Obtenemos que, cos(ln())d = cos(ln()) + sen(ln()) 6с cos(ln()) d. Es decir, cos(ln())d = cos(ln()) + sen(ln()) cos(ln())d = ( cos(ln()) + sen(ln())). h) ( 6с ) ep()d. Integrando por partes: sea f() = 6с y g Д () = e d, f Д () = ( 6с)d y g() = e As, ( 6с ) ep()d = ( 6с )e 6с ( 6с )e d = ( 6с )e + e 6с e d Por otro lado, integrando por partes la ultima integral, sea f() =, g Д () = e d, f Д () = d y g() = e. Tenemos que, e d = e 6с e d. Integrando por partes otra vez, sea f() =, g Д () = e d, f Д () = d y g() = e ( e d = e 6с e 6с ) e d = e 6с e + e. As, ( 6с ) ep()d = ( 6с ) ep() + e 6с ( e 6с e + e ).

58 DPTO. DE MATEMATICAS MA- i) e 6сe 6с e +e 6с d. e 6с e 6с senh() e + e 6сd = cosh() d = ln(cosh()) + C. 5 j) e л 4 6сe 6d. Realizando el cambio de variable u = e, du = e d; se tiene que e л d = du л 4 6с e 6 4 6с u = arc sen(u/) + C = arc sen(e /) + C. 4. Sean A = ep(s) cos(t)d y B = ep(s) sen(t)d. Demuestre que sb + ta = ep(s) sen(t) + C (sugerencia: halle sb utilizando integraci n por partes). sb = ep(s) sen(t)d Integrando por partes: sea f() = sen(t) y g Д () = se s d, f Д () = t cos(t)d y g() = e s. As, sb = ep(s) sen(t)d = e s sen(t) 6с t ep(s) cos(t)d = e s sen(t) 6с ta. Es decir, sb + ta = e s sen(t). 5. Demuestre que cos а ( б)d = cos а 6с ( б)sen( б) + а 6с а б а cos а 6с ( б)d. Luego, halle cos 6 ()d. Integrando por partes: sea f() = cos а 6с ( б), g Д () = cos( б)d, f Д () = 6с( а 6с ) cos а 6с ( б) sen( б) бd y g() = sen( б). Asi, б cos а ( б)d = б cos а 6с ( б) sen( б) + ( а 6с ) cos а 6с ( б) sen ( б)d. Dado que sen ( б) = 6с cos ( б), se tiene que cos а ( б)d = б cos а 6с ( б) sen( б) + ( а 6с ) cos а 6с ( б)( б)d 6с ( а 6с ) cos а ( б)d. Es decir, а cos а ( б)d = б cos а 6с ( б) sen( б) + ( а 6с ) cos а ( б)d = ( а 6с ) а б cos а 6с ( б) sen( б) + а Luego, cos 6 ()d = sen() cos5 () anterior, tenemos que cos а 6с ( б)( б)d cos а 6с ( б)( б)d. cos 4 ()d. Aplicando de nuevo la formula

59 DPTO. DE MATEMATICAS MA- 6 cos 6 ()d = sen() cos5 () ( 8 sen() cos () + 4 ) cos ()d Entonces, cos 6 ()d = sen() cos5 () + 5 ( 6 8 sen() cos () + ( ( + sen(4) ))) + C. 4 4

60 Universidad Sim n Bol var Departamento de Matem ticas Puras y Aplicadas Enero - Marzo, 8 MA- Practica: semana 9 Ejercicios sugeridos para la semana 9. Cubre el siguiente material: algunas integrales trigonom tricas, sustituci n trigonom trica para racionalizar y completaci n de cuadrados.. Halle las siguientes integrales utilizando el cambio de variable sugerido: л a) 6сa d, sugerencia: = a sec(t). л 6сa d = a tan (t)dt = a (tan(t) 6с t) + C = л 6с a 6с a arcsec(/a) + C = л 6с a 6с a arc cos(a/) + C. arcsen() b) л( 6с ) d, sugerencia: = sen(t). arcsen() л ( 6с ) d = t sec (t)dt = t tan(t) + ln(cos(t)) + C c) л a 6с d, sugerencia: = л a cos(t). = arc sen() л 6с ln( л 6с ) + C. л a 6с d = 6сa sen(t)dt = 6сa = 6сa = 6сa (t 6с sen(t) cos(t)) + C ( arc cos(/ л a) 6с л a 6с a (t 6с sen(t)/) + C ) + C. л. Encuentre 4 6с d por medio de la sustituci n u = л 4 6с y por medio de una sustituci n trigonometrica (conveniente). Despues compare sus resultados. Recuerde que csc()d = ln csc() 6с cot() + C. Sea u = л 4 6с 6м 4 6с u = y udu = 6сd. Asi, л 4 6с d = л 4 6с d = 6с u du 4 6сu = u + ln( u 6с u+ ) + C = u + ln ( (u 6с) 4 6сu ) + C = л 4 6с + ln ( ( л 4 6с 6с) ) + C.

61 DPTO. DE MATEMATICAS MA- Por otro lado, si realizamos el cambio de variable = sen(t), d = cos(t)dt. As, л 4 6с d = cos (t) sen(t) dt = (csc(t) 6с sen(t)) dt = (ln csc() 6с cot() + cos(t)) + C = ln ( (csc() 6с cot()) ) + cos(t) + C ( ( 6с = ln л ) ) 4 6с + л 4 6с + C. Claramente, ambas soluciones son iguales.. Resuelva las siguientes integrales utilizando completaci n de cuadrados a) d л +4+5 d, sugerencia: ( + ) + = y + = tan(t). d л d = ln O O O O л ( + ) O O O O + C. b) л 6с + + d, sugerencia: 5 4 6с ( 6с ) = 6с + + y 6с = л 5 sen(t). л 6с + + d = 5 8 c) л t 6с 6tdt, sugerencia: t 6с = sec(). лt 6с 6tdt = (t 6с 6) л t 6с 6t 6с 6с d) d, sugerencia: 6с6+ 4. Halle las siguientes integrales ( ( ) ( ) л ) 6с 6с + 6с arc sen л 6с л л + C = ( 6с6)+5 ( 6с) +4 ( 6с) +4. 6с 9 ln ( t 6с + л t 6с 6t ) 6с 6с 6 + d = ln ( 6с 6 + ) + 5 ( 6с arctan a) sen(4y) cos(5y)dy. sen(4y) cos(5y)dy = 6с 8 cos (9y) + cos(y) + C. + C. ) + C.

62 DPTO. DE MATEMATICAS MA- b) sen 4 (t) cos 4 (t)dt. sen 4 (t) cos 4 (t)dt = 6с 4 sen (t) cos 5 (t) 6с 48 sen (t) cos5 (t) c) tan 4 ()d. + 9 sen (t) cos (t) + sen (t) cos (t) C. tan 4 ()d = tan () 6с tan() + + C. d) tan 6с () sec 4 ()d. tan 4 ()d = 6с csc () + ln(tan()) + C. e) csc (y)dy. csc (y)dy = 6с csc(y) + ln csc(y) 6с cot(y) + C. п/ f ) п/4 sen (z) л cos(z)dz. Realizando el cambio de variable u = cos(z) du = 6с sen(z)dz п/ п/4 sen (z) л cos(z)dz = = л / ( u/ 6с 7 u7/ ( 6с u ) л udu ) л / =, 5. sen(z) g) cos (z)+cos(z) 6с dz. sen(z) cos (z) + cos(z) 6с dz = (ln cos(z) 6с 6с ln cos(z) + ) + C. dt h) +cos (t), sugerencia: + cos (t) = cos () + sen (), cos () + sen () = cos (t)( + tan (t)) y = sec (t) +cos (t) +tan (t). dt + cos (t) = л ( л ) arctan tan(t) + C. i) sen () cos()d, sugerencia: utilice integraci n por partes. sen () cos()d = 4 sen4 () + 6 sen () cos() + sen() cos() 6с + C.