GUIÓN 4. DIFRACCIÓN. - se emplea la técnica conocida como difractometría láser para la medida de diámetros de hilos en base al patrón de difracción

Transcripción

1 GUIÓN 4. DIFRACCIÓN Ojetivos E esta práctica se aaliza el feómeo de la difracció. E particular - se estudia la difracció de u haz láser por u hilo delgado - se emplea la técica coocida como difractometría láser para la medida de diámetros de hilos e ase al patró de difracció Materiales Baco óptico co 2 jietillos. Láser de He-Ne. Hilos metálicos a medir (2 uds.), motados sore u marco de diapositiva. Motate para diapositivas. Patalla rígida vertical co ase. Papel laco y cita adhesiva. Fleómetro. Regla. Itroducció 1. Difracció por ua aertura rectagular. La propagació de u haz de luz moocromática se ve perturada cuado se iterpoe e su camio u ojeto opaco. La distriució de itesidad lumiosa e la zoa de propagació imediatamete posterior al ojeto, que se puede oservar directamete sore ua patalla, se caracteriza por la aparició de ua zoa de somra co la misma geometría que el propio ojeto. A medida que oservamos la somra sore la patalla a mayor distacia del ojeto aparece co mayor claridad uas fluctuacioes (máimos y míimos) de itesidad alrededor de los ordes de la somra Guió 4: Difracció- 1

2 geométrica que la emascara, resultado cada vez más difícil idetificar su forma origial. Si se sigue aumetado la distacia de oservació llega u mometo e el que la distriució de itesidad ya o recuerda e asoluto a la somra del ojeto iterpuesto. Estos feómeos, que se deomia de difracció, so característicos de los movimietos odulatorios e geeral. Se produce siempre que ua oda (de cualquier aturaleza) iteraccioa co u ostáculo durate su propagació (ver referecia R1). X' X P S Z' Z Y' Y Fig. 1. Difracció por ua aertura. Para realizar u aálisis cuatitativo de los feómeos de difracció cosideraremos el caso secillo de ua fuete putual moocromática que emite ua oda esférica que icide sore ua pared plaa e la que se ha practicado ua aertura rectagular de acho (fig. 1). La oda icidete, al atravesar la aertura se difracta. Segú el pricipio de Huyges (ver referecia R2), cada puto de la aertura se covierte e u emisor de odas secudarias esféricas. La perturació total e u cualquier puto P al otro lado de la pared será el resultado de la superposició de estas odas secudarias. El feómeo de la difracció es, por tato, ua maifestació más de los feómeos de iterferecia y para que se produzca de maera oservale dee ocurrir que (ver referecia R3) C1) Las oscilacioes de las odas e P se superpoe sore la misma ase. C2) Las oscilacioes de las odas e P so coheretes (tiee la misma frecuecia y diferecia de fase idepediete del tiempo). Guió 4: Difracció- 2

3 Asumiedo que esto es así e uestro caso, y para oteer el valor de la perturació total e primera aproimació, descompoemos la aertura e N zoas de acho costate = [1] N El -ésimo tramo de la aertura geera ua perturació e P dada por cuyo vector rotatorio asociado es A [ ( P t )] ξ ( P, t ) = A se ϕ, [2] ( cos [ ] aˆ + se [ ϕ ] aˆ ) = 0,1,2,3..., N 1 ( P, t ) = A ϕ [3] o De la misma forma que e la iterfercia por N aerturas (ver referecia R3), la perturació gloal e P es armóica y se puede escriir como cuyo vector rotatorio asociado el la suma [ ( P t )] ξ ( P, t ) = A se ϕ, [4] N A ( P, t ) = A ( P, t ) [5] = 1 X P r 1 r N Y Z D Fig. 2. Difracció por ua aertura e la aproimació de Frauhofer Buscaremos ua epresió aalítica eplícita para el módulo del vector [5] e la llamada aproimació de Frauhofer e la que se cosidera que el puto P está e u plao de oservació paralelo a la pared y situado a ua distacia D de ella e las siguietes codicioes (fig. 2): H1) La fuete S está muy alejada de la pared y la oda icidete sore la aertura puede cosiderarse plaa. Guió 4: Difracció- 3

4 H2) El plao de oservació está muy alejado de la aertura (es decir, D >>). H3) La zoa de oservació e el plao está próima a la zoa cetral de iterferecia (es decir os iteresa putos P co coordeadas (,y) tales que D >>, y). Co estas hipótesis podemos asumir las siguietes aproimacioes como válidas: 1) Las perturacioes e todos los putos de la aertura está e fase. 2) Las amplitudes de todas las odas secudarias que se superpoe e P so iguales ( A 1 = A 2 =...= A N = A 0 ) de forma que cuado la iterferecia es destructiva se produce N X' ξ 1 r 1 -r N Z' ξ O B θ/2 θ/2 R A A i C A N θ η A 1 Fig. 3. Detalle de la geometría de los rayos e la aertura e la aproimació de Frauhofer Fig. 4. Diagrama del vector rotatorio para la difracció por ua aertura e la aproimació de Frauhofer ausecia total de perturació. 3) Los águlos que iterviee e la geometría del prolema so pequeños de forma que las odas que llega a P viaja prácticamete e la misma direcció (fig. 3). E estas codicioes, la máima diferecia de camio etre las odas secudarias, que se estalece etre las que geera los ordes superior ( 1 ) e iferior ( N ) de la aertura, puede evaluarse como r 1 r2 se ta = D [6] lo que se correspode co u desfase máimo θ = 2π 2π se = λ λ D [7] Guió 4: Difracció- 4

5 Por lo tato, si tomamos cada vez u mayor úmero N de segmetos e la aertura co achos cada vez más pequeños (es decir, hacemos teder N a ifiito y a cero co Ν = costate) la suma [5] tiede a la itegral Ω A ( P, t ) = d A ( P, t ) [8] dode ( cos [ ] aˆ + se [ ] aˆ ) d A ( P, t ) = da ϕ ϕ [9] y es el vector rotatorio ifiitesimal asociado a la perturació e P que geera u tramo de acho d. Geométricamete la itegral [8] se correspode co la suma de vectores ifiitesimales [9]. Estos, a su vez, se apoya e u arco de circuferecia BC de radio R (fig. 4) que sutiede respecto a u puto O u águlo θ dado por [7] (valor del desfase máimo etre odas secudarias geeradas por la aertura). Co esta perspectiva resulta claro que el módulo del vector suma se puede evaluar como θ A = 2 R se [10] 2 que es la logitud de la cuerda asociada al arco BC. La logitud del propio arco BC θ A ma = 2 R [11] 2 se correspode co la máima amplitud posile e el patró de difracció (cuado todos los vectores ifiitesimales se superpoe e fase). Empleado [10] y [11] oteemos para la amplitud del patró de difracció la epresió θ se 2 A ( θ ) = A ma [12] θ 2 dode θ viee dado por [7]. La distriució de amplitud de difracció [12] (fig. 5) está caracterizada por u máimo cetral e =0 (máimo de orde cero) rodeado de máimos secudarios de mucha meor amplitud. Los míimos se produce e las posicioes D = λ = ± 1, ± 2, [13] Guió 4: Difracció- 5

6 A/A ma 1 /λd Fig. 5. Distriució de amplitud e el patró de difracció de ua aertura rectagular. El valor de se cooce como orde y se utiliza para idetificar cada míimo. La distacia etre míimos de orde + y viee dada por 2 D = λ [14] Cosideremos ahora el caso particular de la difracció de odas lumiosas por u hilo de diámetro. La teoría demuestra que si el diámetro del hilo o es i ta grade que se aproime al diámetro del haz de ilumiació, i ta pequeño que apeas itercepte eergía lumiosa del mismo, el patró de difracció del hilo será prácticamete el mismo que el de ua aertura de acho ecepto e putos muy cercaos al cetro del patró (ormalmete la zoa e la que el modelo de la redija o es aplicale al hilo se reduce al máimo de orde cero). E estas codicioes el diámetro del hilo puede evaluarse midiedo la distacia etre míimos de orde + y como 2 D = λ = 2 D λ y [15] Este es el fudameto de la técica de medida coocida como difractometría láser que esayaremos e esta práctica. Guió 4: Difracció- 6

7 Sistema eperimetal. El elemeto cetral del sistema eperimetal es u láser de He-Ne (λ=633m) motado sore u jietillo e u aco óptico. El láser ilumia el hilo que se pretede medir que está colocado vertical u horizotalmete e u portadiapositivas. El patró de difracció del hilo se oserva y caracteriza sore ua patalla rígida vertical co ase. Procedimieto de medida. Ua vez situado el hilo e posició vertical se dee girar suavemete el láser respecto al eje vertical (la misma arra cilídrica que soporta el láser permite este movimieto) hasta que el hilo itercepta el haz. Se dee realizar u ajuste fio e la posició del haz láser de modo que la figura de difracció sore la patalla sea simétrica. Para caracterizar la figura de difracció sore la patalla fijamos co cita adhesiva u papel e ella. Sore el papel trazamos ua pequeña raya vertical e la posició de cada míimo de itesidad. E el caso de que el hilo se sitúe e posició horizotal será ecesario modificar la altura del láser o del hilo. El ajuste fio e altura se realiza desplazado el soporte del hilo a lo largo del aco aprovechado que el haz láser o está eactamete paralelo al aco. Patalla X Láser Hilo I/I ma 1 1 D Fig. 6. Motaje eperimetal de la técica de difractometria láser. Guió 4: Difracció- 7

8 Actividad E ase a medidas de la distacia etre míimos del patró de difracció de u hilo determiaremos su diámetro. Toma de datos 1. Motaje y verificació del sistema eperimetal. 1.1 Realizar el motaje de la figura 6. Realizar u esquema del sistema eperimetal real tal y como está motado e el laoratorio e el que se refleje los detalles que se cosidere relevates (Esquema 1.1). AVISAR AL PROFESOR/A NO PROSEGUIR CON LAS ACTIVIDADES HASTA OBTENER SU VISTO BUENO. 1.2 Coectar el láser. Girar suavemete el láser respecto al eje vertical (la misma arra cilídrica que soporta el láser permite este movimieto) hasta que el hilo itercepta el haz. Se dee realizar u ajuste fio e la posició del haz láser de modo que la figura de difracció sore la patalla sea simétrica. Aotar la iformació que se cosidere relevate (Esquema 1.1). E el caso de que el hilo se sitúe e posició horizotal será ecesario modificar la altura del láser o del hilo. El ajuste fio e altura se realiza desplazado el soporte del hilo a lo largo del aco aprovechado que el haz láser o está eactamete paralelo al aco. 2. Caracterizació del patró de difracció del hilo Fijar u papel co cita adhesiva a la patalla y situar ésta perpedicularmete al haz láser, a ua distacia del hilo de aproimadamete 1 m. Medir co la mayor precisió posile dicha distacia que deomiaremos D i. Trazar sore el papel ua pequeña raya vertical e la posició de cada míimo de itesidad, e el mayor úmero posile de míimos que se pueda uicar co claridad si omitir iguo itermedio. Ojo co o mover la patalla durate este proceso. Al termiar medir de uevo la distacia hilo-patalla D f y escriir e el propio papel los valores D i, D f y el valor omial del diámetro del hilo (el marcado e la diapositiva). Guió 4: Difracció- 8

9 2.2 Repetir el mismo procedimieto co el hilo 1 pero co ua distacia hilo-patalla del orde de 2m (se puede emplear el mismo papel desplazado la patalla lateralmete o camiado la posisició del papel sore la patalla para que la ueva figura de difracció esté e ua posició diferete) (at. 2.2). 2.3 Aotar e las talas 2.1 y 2.2 los valores de D i, D f y y las correspodietes distacias etre los ceros de itesidad de ordees + y -. para cada ua de la series 2.1 y Caracterizació del patró de difracció del hilo Repetir los apartados 2.1, 2.2 y 2.3 co el hilo 2 (at. 3.1 y 3.2) Tratamieto de datos 4. Evaluació del diámetro de los hilos. 4.1 Completar la tala 2.1 co el valor medio de la distacia de traajo D, las distacias etre míimos ormalizadas y, su valor medio y y su desviació típica s N-1. Repetir el procedimieto para las talas 2.2, 3.1 y 3.2. Calcular tamié los correspodietes errores sistemáticos y aleatorios para D, y e y. N es el úmero de datos y la columa marcada co Σ puede emplearse para aotar las sumas de todos los valores de ua fila, cuado así iterese para realizar los cálculos. 4.2 Trasladar a la tala 4.2 los valores oteidos e 4.1 para D y y e las cuatro series de datos los correspodietes errores sistemático, aleatorio y total e cada caso (ver referecia R4). Para cada serie de datos, evaluar el diámetro del hilo d empleado el modelo [15] co el valor medio y. Evaluar el error total e d asumiedo que el error e λ es despreciale. Discusió y aálisis 5. Discusió de los resultados. 5. Realizar ua reve discusió de los resultados cosiderado los siguietes aspectos: - So coicidetes los valores del diámetro oteidos por difractometría láser co el diámetro omial de los hilos? Guió 4: Difracció- 9

10 - Cuál de las dos distacias empleadas para la medida parece más acosejale? Referecias R1 M. Aloso, E.J. Fi, Física, Cap. 35, pp , Adisso-Wesley Ieroamericaa, R2 R3 R4 Material e fotocopiadora: Trasparecias del tema 1 Movimieto odulatorio. Apartado 1.8, pp Material e fotocopiadora: Iterferecia y difracció I. Material e fotocopiadora: Magitudes físicas y medidas. Teoría de errores. Apartado Medidas directas repetidas umerosas veces e codicioes prácticamete idéticas, pp Guió 4: Difracció- 10