UNIDAD 1: NÚMEROS REALES

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1 I.E.S. Rmó Girldo UNIDAD : NÚMEROS REALES. ALGUNOS NÚMEROS IRRACIONALES El úmero pi: (J.H. Lmert demostró e 770 que es irrciol) r L L Lcircufereci r d d El úmero ríz de dos: (y se sí e tiempos de Pitágors que es irrciol) d Cuál es l logitud de l digol? Aplicdo el teorem de Pitágors : d d Demostrció de l irrciolidd de : Supogmos que co y primos etre sí (es decir, l frcció es irreducile). Etoces: y que si es irreducile, etoces tiee que ser tmié irreducile. El úmero de oro: (Phi, e hoor l escultor griego Fides) Cuál es l logitud de pr que los rectágulos se semejtes? Pr que los rectágulos se semejtes se tiee que verificr: de dode : (es l solució positiv de l ecució terior) Eucido de Euclides de Teorem de Pitágors (Proposició I.47, del Liro I, de Los Elemetos ): E los triágulos rectágulos el cudrdo del ldo que sutiede el águlo recto es equivlete los cudrdos de los ldos que comprede el águlo recto. Iverso del Teorem de Pitágors (Proposició I.48, del Liro I, de Los Elemetos ): Si e u triágulo el cudrdo costruido sore uo de los ldos es igul los cudrdos costruidos sore los resttes ldos del triágulo, el águlo compredido por esos ldos resttes del triágulo es recto. ipri Deprtmeto de Mtemátics

2 . NÚMEROS REALES NATURALES ENTEROSCERO NEGATIVOS RACIONALES REALES DECIMALES EXACTOS FRACCIONARIOS PUROS PERIÓDICOS MIXTOS IRRACIONALES (Decimles o ectos y o periódicos) Recuerd que hy úmeros que o so reles: 4 6,,, 4,.... PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON NÚMEROS REALES SUMA: c c () Asocitiv: () Comuttiv: () Eisteci de elemeto eutro (el cero): 0 (4) Eisteci de elemeto opuesto (desigdo por Cosecuecis que se otiee: PRODUCTO (i) Rest: (ii) c c () Asocitiv: (6) Comuttiv: (7) Eisteci de elemeto eutro (el uo): ): 0 (8) Eisteci de elemeto iverso (represetdo por o ): 0. (9) Distriutiv: c c siempre que Por cumplir ls ueve propieddes teriores se dice que es u cuerpo comuttivo: Cosecuecis: (i) Divisió:,, cuerpo comuttivo de los úmeros reles : Mtemátics I

3 I.E.S. Rmó Girldo (ii) 4. LA RECTA REAL Se le puede sigr u scis cd úmero rel, y recíprocmete, es decir, todo puto de l rect grdud le correspode u úmero rel. De este modo, l rect rel está complet, o se le puede ñdir más putos i más úmeros, por ello se hl de l rect rel y de su propiedd de completitud.. Por qué, 04 o es u úmero irrciol?. Determi y rzo cuáles de los siguietes úmeros so rcioles y cuáles irrcioles.,, 0,0,,,, Clsific los siguietes úmeros e turles, eteros, rcioles, irrcioles y/o reles. 4 0,,07,, 0, , 4,,, 6,, 4. Rzo cuál de ls siguietes frses es ciert: ) Todo úmero deciml se puede epresr como u frcció. ) Los úmeros reles se puede epresr como u úmero deciml limitdo o periódico. c) Todo úmero rciol es rel. d) Todo úmero etero es rciol. e) Hy úmeros reles que o puede epresrse como u frcció. f) Etre dos úmeros rcioles hy ifiitos irrcioles. g) Los úmeros irrcioles o se puede epresr como u úmero deciml.. EL ORDEN DE LOS NÚMEROS REALES Algericmete el orde se epres medite el símolo : es meor que, y se escrie cudo 0 es myor que, y se escrie cudo Propieddes del orde: () y c c () c c c c si c0 () c c si c 0 (4), se tiee que o ipri Deprtmeto de Mtemátics

4 Por cumplir ests cutro propieddes se dice que el cojuto de los úmeros reles está totlmete ordedo.. Si, 0 y, qué relció de desiguldd eiste etre y? 6. Si 0 y 0, qué relció de desiguldd eiste etre y? 7. Si, yz, so úmeros reles positivos y qué relció de orde eiste etre y z y z e y? Itervlos y semirrects: - Itervlo ierto de etremos y :, : - Itervlo cerrdo de etremos y :, : - Itervlos semiiertos, :, : - Semirrects, :, :, :, : - Rect rel, 8. Idic qué itervlos o cojutos uméricos está represetdos, y represet los que flt:, 4,,,, / 4,,,, 4,,, / Recuerd que el cojuto de los úmeros rcioles co l sum y el producto tmié es u cuerpo comuttivo que está totlmete ordedo. Si emrgo, hy u propiedd fudmetl que cumple y que o cumple, y que es l que los difereci. Dich propiedd es el iom del supremo: Todo cojuto o vcío y myordo de úmeros reles tiee supremo, es decir, el cojuto de sus myortes tiee míimo. Eiste diversos procedimietos pr itroducir el cuerpo de los úmeros reles. E los métodos costructivos se prte de los úmeros turles, prtir de ellos se defie los eteros y prtir de éstos últimos los rcioles. El prolem se preset l hor de defiir los úmeros reles prtir de los úmeros rcioles. Pr ello, eiste vrios procedimietos, pero iguo de ellos es ituitivo, uque todos coduce cojutos que tiee ls misms propieddes (ls de cuerpo comuttivo totlmete ordedo más el iom del supremo) y que so mtemáticmete idistiguiles, por lo que se hl del cojuto de los úmeros reles. Por el cotrrio, los métodos iomáticos dmite l eisteci de u cojuto que verific ls propieddes teriormete reseñds, y que o es otro que el de los úmeros reles. Mtemátics I 4

5 I.E.S. Rmó Girldo Represet gráficmete los úmeros reles que verific,, 4. Idic e cd cso, de qué itervlo se trt. 0. Siedo que 0 y, determi el itervlo l que perteece. y 6. RADICALES Defiició: Se defie l ríz ésim de u úmero rel por: dode 0 si pr y si es impr. Los elemetos de u rdicl so: Coeficiete Ídice k Rdicdo Propiedd: m m Defiició: Se dice que dos rdicles so equivletes cudo, l epresrlos e form de poteci co epoete frcciorio, sus ses so igules y ls frccioes de epoetes so equivletes: m p q m p q m q y so equivletes ( ) p Otrs propieddes de ls ríces: m r mr () co r 0 () ipri Deprtmeto de Mtemátics

6 () (4) m m () m m Opercioes co ríces: - Sum y rest: Tiee que teer el mismo ídice e idético rdicdo, esto es, dee ser semejtes. Se sc fctor comú el rdicl y se sum o se rest los coeficietes. - Multipliccioes y divisioes: Se puede multiplicr y dividir ríces que teg el mismo ídice, multiplicdo o dividiedo los correspodietes rdicdos. Rciolizció de deomidores: Es el proceso que se sigue pr elimir ls ríces de ls epresioes frccioris. Estudiremos dos csos: ) E el deomidor sólo hy u rdicl. E este cso, multiplicremos umerdor y deomidor por u rdicl coveiete, de form que l efectur l multiplicció del deomidor os quede u úmero etero. (Recuerd que pr poder multiplicr los rdicles, éstos tiee que teer el mismo ídice, y pr que se pued simplificr el rdicdo resultte, su epoete tiee que ser igul l ídice). ) E el deomidor hy u sum o u rest, y uo de los sumdos es u rdicdo. E este cso, se multiplic umerdor y deomidor por l epresió cojugd (se otiee cmido el sigo que hy etre los sumdos) del deomidor. (Recuerd que e el deomidor siempre qued sum por difereci, y plicmos l correspodiete fórmul). Clcul: ) c) ) d) : : 0. Oper y simplific: 6 8 ) d) 6 ) 7 c) 8 6 e) 7 40 f). Reliz ls siguietes opercioes: ) Mtemátics I 6

7 I.E.S. Rmó Girldo ) 6 c) d) e) f) g) 4. Etre fctores de los rdicles y reliz ls siguietes opercioes: 4 ) ) c) d) e) Efectú y simplific: ) ) 6 c) 6 8 yz y z d) ,000 0,0 0,00 6. Rcioliz: ) ) c) d) 7. Rcioliz: ) ) 7 7 c) 8. Rcioliz y efectú: ) 7 7 ) 7 7 ipri Deprtmeto de Mtemátics 7

8 9. Oper y simplific: 7. VALOR ABSOLUTO Defiició: si 0 si 0 Propieddes del vlor soluto: () () () (desiguldd trigulr) (4) k (co k 0) k k Distci etre dos úmeros reles: d, 0. Hll:,,,, 7, 0, (Idicció: No te dejes llevr por l ruti).. Averigu pr qué vlores de se cumple ls siguietes relcioes: ) ) c) 4 d) 4 e) 4. Epres medite desigulddes y cojutos ls siguietes epresioes: ) 7 ) 8 c) 6 d) 9 e) f) g) 4 7 h) 6 8. LOGARITMOS Co l reducció del trjo de vrios meses de cálculo uos pocos dís, el iveto de los logritmos prece her duplicdo l vid de los stróomos. Pierre Simo Lplce El logritmo e se 0 y de u úmero N (llmdo rgumeto) es el epoete l que hy que elevr l se pr que dé dicho úmero: log N N Mtemátics I 8

9 I.E.S. Rmó Girldo Los logritmos de se 0 se llm decimles y se represet por log, y los logritmos de se e se llm turles o eperios y se represet por l o L.. Clcul, plicdo l defiició: ) log 04 ) log0,00 c) log d) 64 e) log e e log e e f) log 8 g) log h) log 4. Aplicdo l defiició de logritmo resuelve los siguietes ejercicios: ) 6 ) ) 9 4) log 64 ) log 8 6) log00 0 7) log6 0, 8) log 0 0) log ) log 8 7 ) log 4) log 6 Propieddes: ) log y log 0 log MN log M log N ) 0 9) log ) log4 7 ) ) log M log M log N siempre que N 0 N m 4) log N mlog N m Trsformció de logritmos: loge N ) log N log Otrs propieddes: e log 4 8 6) Los logritmos de u úmero e dos ses iverss y so opuestos. 7) Coocidos los logritmos e u se myor que se puede hllr fácilmete e culquier otr se.. Clcul: ) log 6 ) log log 6 c) Actulmete, est otció está e desuso y se utiliz l otció log pr represetr el logritmo eperio. ipri Deprtmeto de Mtemátics 9

10 6. Clcul: ) log000 ) log c) log 0,0 d) e) 8 log0 f) log 0 g) log 0 7 log0 h) log 0,00 7. Si z y log0,, log0, y log0 c,, cuáto vldrá log0 z? c 8. Si semos que log0, cuáto vldrá el logritmo deciml de? 9. Clcul e ls siguietes igulddes: ) log ) log 0,04 0. Clcul: ) log log log8 log 64 ) log log 8 log. Clcul: log ) log 8 c) log 8 ). Clcul: e ee ee e e e log log log log log e. Hll el vlor de e los siguietes csos: ) log7 ) log 0 c) log8 4. Hll el vlor de e los siguietes csos: ) log 64 ) log49 7 c) log 4 8. Hll el vlor de e los siguietes csos: ) log 0 ) log c) log 0, Averigu el vlor umérico de ls siguietes epresioes: ) log e) log log 0 ) log f) log c) log g) 0 log d) log 64 h) log 64 i) log 0 j) log log Mtemátics I 0

11 I.E.S. Rmó Girldo 7. Clcul: 00 ) log0 ) log 6 c) log 6 d) log 8. Aplicdo el logritmo co l se que elijs, simplific l epresió: Z 9. Siedo que log0 0,000 hll los logritmos decimles de: ) 0,00 ) c) 0, 6 d) 0, 00 6 e) 4 0,008 f) Hll l se de los logritmos e ls siguietes igulddes: ) log 4 4) log 4 7) log 0,00 ) log 9 ) log 6 8 8) log 0,06 ) log 6 4 6) log 0, 9) log 0 4. Hll el resultdo de ls siguietes epresioes: ) log6 log4 log4 6 ) loglog64 log9 log7 49 ) log 4 log8log6 6 log464 4) log log 0, log6 log0, 9 6 c 4. Si el logritmo de A e se es, epresr e fució de los siguietes logritmos: A 6 ) log 7 A ) log ) log A 8 7 4) log ) log A A 9. APROXIMACIÓN DE NÚMEROS REALES 9.. Cifrs sigifictivs Cifrs sigifictivs: So quells que tiee u sigificdo rel y, por tto, port lgu iformció. Algus regls pr l determició del úmero de cifrs sigifictivs: ª Regl: E úmeros que o cotiee ceros todos los dígitos so sigifictivos: 4,669 4 cifrs sigifictivs 4, cifrs sigifictivs ª Regl: Cudo los ceros está etre dos dígitos sigifictivos, se cosider sigifictivos:,00 4 cifrs sigifictivs, cifrs sigifictivs 00 ipri Deprtmeto de Mtemátics

12 ª Regl: Los ceros l izquierd del primer dígito que o es cero sirve solmmete pr fijr l posició de l com deciml y o so sigifictivos: 0,00 cifr sigifictiv 0,00 0,004 4 cifrs sigifictivs 0,004 4ª Regl: E u úmero co dos dígitos decimles, los ceros files l derech de l com deciml so sigifictivos: 0,00 cifrs sigifictivs 0,00 9,00 4 cifrs sigifictivs 9, Aproimció Redodeo: Cosiste e prescidir de ls cifrs que sigue u determid, sumdo u uidd est últim si l primer elimid es o superior. 9.. Errores E : Error soluto r Error soluto vlor ecto vlor proimdo V V ecto pro. Este error tiee l uidd de l mgitud medid, os idic l cot de error o icertidumre de uestr medició (proimció) y por coveio se suele epresr co u sol cifr sigifictiv que dee ser del mismo rgo que l últim de l medid (proimció). Error reltivo E r : A veces o import tto l icertidumre de u medid como su precisió. Por eso se itroduce el Error soluto Error reltivo Vlor ecto No tiee uidd y suele epresrse e tto por cieto. De lgu form os idic l precisió de l medid (proimció), y que cuto meor se el error reltivo más precis será l medid (proimció). Así, el error reltivo result especilmete relevte porque os relcio el error cometido co el vlor de lo medido. U error de mm result mgífico si se mide l logitud de u crreter de 00 km (represet u desvició de u prte por cd 00 milloes), decudo si se mide u mes de m e iceptle si se mide u hormig de mm. E los tres csos el error soluto es el mismo, pero su cercí reltiv l vlor ecto es distit. Acotció de errores Al redoder u úmero hst u orde cometemos u error soluto que cumple: E 0 y que se deomi cot de error soluto. Si cosidermos u cot de error soluto,, siedo E, se cumple: Er V pro. Mtemátics I

13 I.E.S. Rmó Girldo y se deomi cot de error reltivo Opercioes co redodeos Regl : El resultdo de u sum o rest de úmeros redodedos (o ectos) h de ser redodedo l cifr que correspod l myor error soluto de los dtos. Regl : Si se multiplic o divide úmeros redodedos, el producto o cociete se redoderá l meor úmero de cifrs sigifictivs que pose los fctores. 4. Los tiempos de utilizció de u red de comuiccioes se redode por eceso curtos de hor. Aproim de est form los siguietes tiempos: 9 mi; 8 mi; 8 mi. 44. Al medir l logitud de u clle, otuvimos 00 m, co u error soluto meor que m. Al medir l ltur de u hitció, otuvimos,80 m, co u error soluto meor que cm. Qué medid se hizo co más precisió? 4. ) Complet l siguiete tl de proimcioes de 6 : Por defecto Por eceso,4 ) Clcul el error máimo y cot el error reltivo que se produce l tomr 6, Complet l tl: 7 7 Error 7 Error Por defecto,7 Por eceso, Qué error soluto cometemos l proimr el resultdo de 4,96 + 0,7 + 0,8 por el úmero 0,49? 48. Si proimmos 0,469 por 0,, qué error soluto se comete? Y si lo proimmos por 0,4? Cuál es l mejor proimció? Rzólo. 49. Se puede escriir? Justific l respuest y di cuál es el orde de error cometido. 0. Ls tigus civilizcioes y coocí proimcioes del úmero. Así, los iloios tom como vlor de, los egipcios,604 y Arquímedes estleció ls siguietes desigulddes: y E.600, Otho dio u de ls mejores proimcioes trvés de l frcció que prece e el ejercicio terior ( ). Clcul el error soluto que se comete co cd u de ls proimcioes teriores. ipri Deprtmeto de Mtemátics

14 . A prtir del S. XVII y co el cimieto y desrrollo del Cálculo Ifiitesiml es cudo se otiee umeross epresioes de e fució de sums o productos ifiitos. Algus de ésts so: Clcul l proimció de e cd epresió, utilizdo los úmeros que se d e cd u y que so previos los putos suspesivos.. A u perso se le estim u esttur de 80 cm, siedo e relidd de 87 cm; uo de sus primos le sig u esttur de 40 cm, cudo es de 47 cm. ) Clcul el error soluto y reltivo de cd medid. ) Cuál de ls dos medicioes es más precis? Rzo l respuest.. L epresió deciml del úmero e es: e, U form de oteerlo de form proimd, es utilizdo frccioes cotius. Su epresió deid Euler es: e Clcul ls cutro primers proimcioes l úmero e. 4. Si se quiere oteer 7 co cutro cifrs ects, qué proimcioes deemos tomr pr y 7?. Cuáts cifrs ects tedrá u proimció de 4 comete o eced del %? pr que el error reltivo que se 6. Se quiere oteer el resultdo de y co u precisió de milésims, es decir, co icertidumre meor que medi milésim. Cuáts cifrs ects se dee tomr e ls proimcioes de y? 7. Se dese clculr l cpcidd de u depósito cilídrico. Se tom ls siguietes medids: diámetro del depósito: 9 cm, ltur: 80 cm. Clcul su cpcidd e litros y epres el resultdo idicdo su icertidumre. Mtemátics I 4

15 I.E.S. Rmó Girldo 8. U hitció rectgulr mide 4,7 m por 7, m. Se h relizdo ls medids co u cit métric que preci cm. Clcul su áre y eprésl correctmete. 0. NOTACIÓN CIENTÍFICA U úmero se dice que está escrito e otció cietífic cudo está ddo e l form 0 dode es u úmero deciml, co u úic cifr e l prte eter (distit de cero), y es u úmero etero. Ls regls pr operr co úmeros escritos e otció cietífic se supoe coocids, y como pr operr se v utilizr l clculdor cietífic y/o gráfic, o merece l pe deteerse más e este puto. Ejercicio: 9. Oper y epres e otció cietífic: ),4 0 4,7 0 ) 0 0 4, 0 4 c),0 6,0 0 d) e) f) 4,760,9640 7, , , 0, ,70. SUCESIONES.. INTRODUCCIÓN U sucesió de úmeros reles es u cojuto ordedo de ifiitos úmeros reles,,...,,... siedo el térmio geerl. Se represet por o por. Más formlmete, u sucesió es u fució f : f : f, f,... y sí, 60. Oté el térmio geerl de ests sucesioes: ), 4, 6, 8, 0, ), 4, 9, 6,, c), 4, 6, 8, 0, ipri Deprtmeto de Mtemátics

16 d),, 7, 9,, e),,,,,,... f), 8,, 8,, g), 8, 7, 64,, h) 8, 4,,, 0,, 7 i),,,... 4 j),,,, Hll lguos térmios de ls sucesioes ) ) e idic el úmero l que se proim. 6. Escrie los cico primeros térmios de l sucesió recurrete,, 6. Escrie los cutro primeros térmios de ls sucesioes de térmio geerl: 4 ) ) c c) 64. Hll los cico primeros térmios de l sucesió recurrete, siedo y determi el úmero l que se proim... MONOTONÍA Y ACOTACIÓN Se dice que u sucesió de úmeros reles es: ) Creciete, cudo ) Decreciete, cudo c) Moóto, cudo es creciete o decreciete. Ls sucesioes costtes so l vez crecietes y decrecietes, y recíprocmete. Ejemplos: Ls sucesioes y L sucesió o es moóto. so crecietes, mietrs que y so decrecietes. U sucesió se llm cotd si eiste u úmero rel M 0 tl que pr todo se cumple l desiguldd Mtemátics I 6

17 I.E.S. Rmó Girldo M Ejercicio: 6. Comprue que ls sucesioes defiids medite ls siguietes regls so cotds: ) ) 4cos.. CONVERGENCIA DE UNA SUCESIÓN Ituitivmete, decimos que el límite de u sucesió es el úmero L si los térmios de dich sucesió se v proimdo L, y escriiremos o lim o lim ipri Deprtmeto de Mtemátics 7 L L L Si L, etoces L cudo es grde. L pregut que surge es cómo de grde tiee que ser pr que L simple : depede de l proimció desed y de l sucesió e cuestió.? L respuest es El úmero rel es el límite de l sucesió de úmeros reles, cudo, pr culquier úmero positivo, podemos ecotrr u térmio de l sucesió 0 tl que l distci de los ifiitos térmios posteriores 0 l úmero es meor que : lim 0,, tl que pr, 0 0 Ls sucesioes que tiee límite se llm covergetes y ls que tiede hci se llm divergetes. Propieddes elemetles de l covergeci de sucesioes: Supogmos que, y y y. Etoces: ) y y ) y y c) y y d) y y e) y y f) siempre que y 0, y 0 y y Otr propiedd o t elemetl: Si f : D es cotiu y, D, etoces: E prticulr, si, se tiee que: f f ) ) siempre que 0 y 0 ) e e 4) l l siempre que 0 y 0

18 y y ) siempre que 0, 0 y y Límites y desigulddes: Supogmos que, y y y. Etoces: y y El úmero e lim e, e y e, Límites ifiitos ) ) Si e y, etoces: si + si 0 si 0 0 si, 0, so idetermicioes. ) Los csos 4) ) Estudi l covergeci de ls siguietes sucesioes: ) 4 c) ) d) 0, 67. Clcul el límite de ls siguietes sucesioes: ) c) ) d) 68. Clcul el límite de ls siguietes sucesioes: ) ) c) d) d c e) 4 f) e f 4 Mtemátics I 8