TRIGONOMETRÍA DEL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

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1 TRIGONOMETRÍA DEL TRIÁNGULO RECTÁNGULO 8 En este caítulo 8.1 Ángulos sus medidas 8. Tigonometía del tiángulo ectángulo 8. Funciones tigonométicas de ángulos eseciales 8. Funciones tigonométicas de ángulos geneales Ejecicios de easo Un oco de histoia Los udimentos de la tigonometía se emontan al tabajo de matemáticos giegos, egicios, indios, áabes chinos. La alaba tigonometía se deiva de dos vocablos giegos: tigon,que significa tiángulo, meto,que significa medida. Po tanto, el nombe tigonometía hace alusión a las divesas elaciones ente los ángulos de un tiángulo sus lados. El astónomo matemático giego Hiaco, que vivió en el siglo ii antes de Cisto, fue uno de los inciales inventoes de la tigonometía. Las tablas de cuedas que elaboó fueon ecusoas de las tablas de valoes de las funciones tigonométicas que aaecían en todos los tetos de tigonometía hasta antes de la invención de la calculadoa de mano. El ime matemático euoeo que definió las funciones tigonométicas diectamente en téminos de tiángulos ectángulos en luga de cículos, con tablas de las seis funciones tigonométicas, fue el matemático astónomo austiaco Geog Joachim von Lauchen ( ), también conocido como Geog Joachim Rheticus. Además, Rheticus es ecodado oque fue el único discíulo de Nicolás Coénico (17-15) el ime defenso de la teoía heliocéntica del sistema sola ouesta o su maesto. Emezaemos este caítulo con una elicación de los ángulos dos fomas de medilos. La sección 8. se dedicaá a defini las funciones tigonométicas de los ángulos agudos de un tiángulo ectángulo. En la sección 8. etendemos estas definiciones a los ángulos geneales. Una ebanada de izza es un ejemlo de secto cicula. Véase el oblema 7 de los ejecicios

2 8.1 Ángulos sus medidas Vétice a) Dos medios aos Vétice Lado teminal Lado inicial b) Posición nomal Lado teminal Lado inicial FIGURA Lados inicial teminal de un ángulo Intoducción Comenzamos nuesto estudio de la tigonometía con la descición de los ángulos dos métodos aa medilos: en gados en adianes. Como veemos en la sección 9.1, la medida de un ángulo en adianes es lo que nos emite defini funciones tigonométicas en conjuntos de númeos eales. Ángulos Un ángulo se foma con dos aos o semiectas, que tienen un etemo común llamado vétice. A un ao lo llamaemos lado inicial del ángulo, al oto, lado teminal. Es útil imagina al ángulo como fomado o una otación, desde el lado inicial hasta el lado teminal, como se ve en la FIGURA 8.1.1a). El ángulo se uede one en un lano catesiano con su vétice en el oigen su lado inicial que coincida con el eje ositivo de las, como se ve en la figua 8.1.1b. En ese caso se dice que el ángulo está en su osición nomal o estánda. Medición en gados La medición de un ángul o en gados se basa en la asignación de 60 gados 1se escibe 60 al ángulo fomado o una otación comleta en sentido contaio al de las manecillas del eloj, como se indica en la FIGURA Entonces, otos ángulos se miden en función de un ángulo de 60, un ángulo de 1 es el que se foma o 1 60 de una otación comleta. Si la otación es contaia a la de las manecillas del eloj, la medida seá ositiva; si es en el sentido de las manecillas del eloj, la medida seá negativa. Po ejemlo, el ángulo de la FIGURA 8.1.a) se obtiene con un cuato de otación comleta en sentido contaio al de las manecillas del eloj, es También se ve en la figua 8.1.b) el ángulo fomado o tes cuatos de otación comleta en sentido de las manecillas del eloj. Este ángulo mide: FIGURA 8.1. Ángulo de 60 gados a) Ángulo de 90 b) Ángulo de 70 FIGURA 8.1. a) Medida ositiva; b) medida negativa FIGURA 8.1. Tes ángulos coteminales Ángulos coteminales Una comaación de la figua 8.1.a) con la figua 8.1.b) demuesta que el lado teminal de un ángulo de 90 coincide con el lado teminal de un ángulo de 70. Cuando dos ángulos en la osición nomal tienen los mismos lados teminales se dice que los ángulos son coteminales. Po ejemlo, los ángulos u, u 1 60 u 60 que se ven en la FIGURA 8.1. son coteminales. De hecho, la suma de cualquie múltilo enteo de 60 a un ángulo dado da como esultado un ángulo coteminal. Al evés, dos ángulos coteminales cualesquiea tienen medidas en gados que difieen o un múltilo enteo de 60. EJEMPLO 1 Ángulos ángulos coteminales En el caso de un ángulo de 960, a) Ubica el lado teminal taza el ángulo. b) Detemina un ángulo coteminal ente c) Detemina un ángulo coteminal ente CAPÍTULO 8 Tigonometía del tiángulo ectángulo

3 Solución a) Pimeo se detemina cuántas otaciones comletas se dan aa foma este ángulo. Al dividi 960 ente 60 se obtiene un cociente de, un esiduo de 0; esto es, Entonces, este ángulo se foma dando dos otaciones en sentido contaio al de las manecillas del eloj, haciendo desués de ota otación. Como se ve en la FIGURA 8.1.5a), el lado teminal de 960 está en el tece cuadante. b) La figua 8.1.5b) muesta que el ángulo de 0 es coteminal con un ángulo de 960. c) La figua 8.1.5c) muesta que el ángulo de 10 es coteminal con un ángulo de a) b) c) FIGURA Los ángulos en b) en c) son coteminales con el ángulo en a). Minutos segundos Con las calculadoas es conveniente eesa las facciones de gados con decimales, o ejemlo,.. Sin embago, tadicionalmente las facciones de gados se han eesado en minutos segundos, donde minutos (se escibe 60 )* (1) segundos (se escibe 60 ) () Po ejemlo, un ángulo de 7 gados, 0 minutos 5 segundos se eesa así: Algunas calculadoas tienen una tecla esecial DMS (notación DMS, acónimo en inglés que significa gados, minutos segundos) aa conveti un ángulo eesado en gados decimales en gados, minutos segundos vicevesa. Los siguientes ejemlos muestan cómo ealiza a mano estas convesiones. EJEMPLO Usa (1) () Convieta: a) 86. en gados, minutos segundos; b) en notación decimal. Solución En cada caso usaemos (1) (). a) Como 0. eesenta 100 de , tenemos (0.) (60 ) Ahoa bien, , o lo que debemos conveti 0.8 en segundos. Puesto que 0.8 eesentan 8 10 de , tenemos * El uso del númeo 60 como base se emonta a los babilonios. Oto ejemlo del uso de esta base en nuesta cultua es la medida del tiemo (1 hoa 5 60 minutos 1 minuto 5 60 segundos). 8.1 Ángulos sus medidas 57

4 Po tanto, (0.8)(60 ) b) En vitud de que , se desende que 1 5 ( 1 60). Del mismo modo, encontamos que 1 5 ( 1 60) 5 ( ). Así, tenemos ( 60) 1 1 1( 1 600) < Medida en adianes En el cálculo, la unidad más cómoda aa medi ángulos es el adián. La medida de un ángulo en adianes se basa en la longitud de un aco del cículo unitaio Como a sabemos, un ángulo u en osición nomal se uede considea como fomado o la otación del lado inicial, desde el eje ositivo de hasta el lado teminal. Como se ve en la FIGURA 8.1.6, el lado inicial de u ecoe una distancia t a lo lago de la cicunfeencia del cículo unitaio. Se dice que la medida de u es t adianes. En adianes se usa la misma convención que con la medida en gados: un ángulo fomado o una otación contaia a las manecillas del eloj se considea ositivo, mientas que un ángulo fomado o una otación en el sentido de las manecillas del eloj es negativo. Como la cicunfeencia del cículo unitaio es, un ángulo fomado o una otación en conta de las manecillas del eloj es adianes. En la FIGURA se han ilustado ángulos de /, /, adianes, esectivamente. De acuedo con las figuas 8.1.8c) 8.1.8d), un ángulo de adianes es coteminal con uno de adianes. u5 s. () En el caso en que el lado teminal de u ataviesa un aco de longitud s a lo lago de la cicunfeencia del cículo igual al adio del cículo, nos damos cuenta, o (), de que la medida del ángulo u es 1 adián. Véase la figua 8.1.6b) Lado teminal s Lado inicial Lado teminal Lado inicial a) b) FIGURA Ángulo cental en a); ángulo de 1 adián en b) s' ' s FIGURA Cículos concénticos La definición dada en () no deende del tamaño del cículo. Paa entende esto, lo único que necesitamos hace es dibuja oto cículo centado en el vétice de u de adio longitud de aco subtendido s. Véase la FIGURA Debido a que los dos sectoes ciculaes son similaes, las azones s/ s / son iguales. Po consiguiente, indeendientemente del cículo que utilicemos, obtendemos la misma medida en adianes de u. En la ecuación () se uede usa cualquie unidad de longitud conveniente aa s, eo es necesaio usa la misma unidad tanto aa s como aa. Así, u(en adianes) 5 s (unidades de longitud) (unidades de longitud) 58 CAPÍTULO 8 Tigonometía del tiángulo ectángulo

5 aece se una cantidad sin dimensión. Po ejemlo, si s 5 6 ulgadas 5 ulgadas, entonces la medida del ángulo en adianes es u5 ulgadas ulgadas 5, donde es simlemente un númeo eal. Po esta azón, algunas veces se omite la alaba adianes cuando el ángulo se mide en adianes. Retomaemos esta idea en la sección 9.1. Una otación comleta del lado inicial de u atavesaá un aco igual en longitud a la cicunfeencia del cículo. Se desende de () que una otación 5 s 5 5 adianes. Tenemos la misma convención que antes: un ángulo fomado o una otación en sentido contaio a las agujas del eloj se considea ositivo, mientas que un ángulo fomado o una otación en el sentido de las agujas del eloj es negativa. En la FIGURA ilustamos ángulos en las osiciones estándaes de /, /, adianes, esectivamente. Tenga en cuenta que el ángulo de / adianes que se muesta en a) se obtiene de un cuato de una otación comleta en sentido contaio a las agujas del eloj; es deci 1 ( adianes) 5 adianes. El ángulo que esenta la figua 8.1.8b), obtenido de un cuato de otación comleta en el sentido de las agujas del eloj, es / adianes. El ángulo ilustado en la figua 8.1.8c) es coteminal con el ángulo de la figua 8.1.8d). En geneal, la suma de cualquie múltilo enteo de adianes a un ángulo eesado en adianes da como esultado un ángulo coteminal. Al evés, dos ángulos coteminales cualesquiea eesados en adianes difeián en un múltilo enteo de. π π π π a) b) c) d) FIGURA Ángulos eesados en adianes EJEMPLO Ángulo coteminal Detemina un ángulo ente 0 adianes, que sea coteminal con u 5 11/ adianes. Taza el ángulo. Solución Como, 11/,, se esta el equivalente de una otación, o sea adianes, aa obtene De igual foma, una altenativa es ocede como en el inciso a) del ejemlo 1, dividi: 11/ 5 1 /. Entonces, un ángulo de / adianes es coteminal con u, como vemos en la FIGURA π 11π Fómulas de convesión Si bien muchas calculadoas científicas tienen teclas que convieten mediciones ente gados adianes, ha una foma fácil de ecoda la elación ente FIGURA Ángulos coteminales del ejemlo 8.1 Ángulos sus medidas 59

6 las dos medidas. Como la cicunfeencia de un cículo unitaio es, una otación comleta mide adianes, también 60. Po consiguiente, 60 5 adianes, o adianes. () Si () se inteeta como adián, entonces se obtienen las dos fómulas siguientes aa conveti ente gados adianes. CONVERSIÓN ENTRE GRADOS Y RADIANES adián 1 adián 5 a 180 b (5) (6) Con una calculadoa se hacen las divisiones en (5) (6), se llega a 1 < adián 1 adián < TABLA EJEMPLO Convesión ente gados adianes Conveti a) 0 a adianes, b) 7/6 adianes a gados, c) adianes a gados. Solución a) Paa conveti gados en adianes se usa la ecuación (5): # a 180 adiánb 5 9 adián. b) Paa conveti adianes en gados, se usa la ecuación 16: c) De nuevo se usa (6): 7 6 adianes # 11 adián a180 b adianes 5 # (1 adián) 5 # a 180 b 5 a 60 esuesta aoimada edondeada a dos decimales. b < La tabla que sigue muesta las medidas de los ángulos de uso más fecuente, eesadas en adianes en gados. Gados Radianes 0 Teminología El lecto ecodaá que, en geometía, a un ángulo de 90 se le llama 6 ángulo ecto, a un ángulo de 180 se le llama ángulo ecto doble. En adianes, / es un ángulo ecto, es un ángulo ecto doble. Un ángulo agudo mide ente o ente 0 / adianes, un ángulo obtuso mide ente o ente / adianes. Se dice que dos ángulos agudos son comlementaios si suman 90 1o / adianes. Dos ángulos ositivos son sulementaios si suman 180 1o adianes. Un tiángulo que contiene un ángulo ecto se llama tiángulo ectángulo. Un ángulo cuo lado teminal 60 CAPÍTULO 8 Tigonometía del tiángulo ectángulo

7 coincide con un eje de coodenadas se llama ángulo cuadantal. Po ejemlo, 90 (o / adianes) es un ángulo cuadantal. Un tiángulo que contiene un ángulo ecto se llama tiángulo ectángulo. Las longitudes a, b c de los lados de un tiángulo ectángulo satisfacen la elación itagóica a 1 b 5 c, donde c es la longitud del lado ouesto al ángulo ecto 1la hiotenusa ; los otos dos lados, a b, son los catetos. EJEMPLO 5 Ángulos comlementaios sulementaios a) Calcula el ángulo que es comlementaio de u b) Calcula el ángulo que es sulementaio de f 5 / adianes. Solución a) Como dos ángulos son comlementaios si suman 90, se ve que el ángulo que es comlementaio de u 5 7. es 90 u b) Como dos ángulos son sulementaios si suman adianes, se ve que el ángulo que es sulementaio de f 5 / adianes es f5 5 5 adianes. Longitud de aco Un ángulo u con su vétice en el cento de un cículo de adio se llama ángulo cental. La egión dento del cículo contenida en el ángulo cental u se llama secto. Como se ve en la FIGURA , la longitud del aco del cículo abacado 1subtendido, o cotado o el ángulo u se eesenta con s. Cuando se mide en adianes, el ángulo cental u coesonde a u/ de una otación comleta. Po consiguiente, el aco abacado o u es u/ de la cicunfeencia del cículo. Así, la longitud s del aco es s s 5 u 1 5 u, FIGURA Longitud de aco s, deteminada o un ángulo cental u sieme que u se eese en adianes. Este esultado se esume como sigue: Teoema Fómula de la longitud del aco Un ángulo cental de u adianes en un cículo de adio abaca un aco de longitud s 5 u. (7) Mediante la ecuación (7) se uede eesa la medida u en adianes de un ángulo cental, en un cículo, en función de la longitud del aco abacado s del adio del cículo: u 1en adianes 5 s. EJEMPLO 6 Cálculo de la longitud del aco Calcula la longitud del aco abacado o un ángulo cental de: a) adianes en un cículo de 6 ulgadas de adio, b) 0 en un cículo de 1 ies de adio. Solución a) De acuedo con la fómula (7) de la longitud del aco, con u 5 adianes, 5 6 ulgadas, s 5 u Entonces, la longitud del aco es de 1 ulgadas. b) Pimeo se debe eesa 0 en adianes. Recodamos que 0 5 /6 adianes. Entonces, de la fómula (7) de la longitud del aco, s 5 u /6 5. Entonces, la longitud del aco es < 6.8 ies. Con fecuencia, los alumnos alican la fómula de la longitud del aco en foma incoecta, oque usan gados. Recuede que s 5 u sólo es válida si u se eesa en adianes. 8.1 Ángulos sus medidas 61

8 8.1 Ejecicios Las esuestas a los oblemas imaes seleccionados comienzan en la ágina RESP-0. En los oblemas 1 a 16, tace el ángulo indicado en la osición nomal. Tenga en cuenta que cuando no ha símbolo de gados 1 en una medida angula, quiee deci que el ángulo está eesado en adianes En los oblemas 17 a 0, eese el ángulo dado en notación decimal En los oblemas 1 a, eese el ángulo dado en téminos de gados, minutos segundos En los oblemas 5 a, convieta los gados en adianes En los oblemas a 0, convieta los adianes en gados En los oblemas 1 a, calcule el ángulo coteminal de cada ángulo indicado a) ente 0 60, b) ente CAPÍTULO 8 Tigonometía del tiángulo ectángulo

9 5. Encuente el ángulo ente 60 0 que es coteminal con el ángulo del oblema Encuente el ángulo ente 60 0 que es coteminal con el ángulo del oblema. En los oblemas 7 a 5, calcule el ángulo coteminal de cada ángulo indicado a) ente 0 adianes, b) ente 0 adianes Calcule las medidas, en gados en adianes, del ángulo que ecoe la manecilla de las hoas de un eloj en hoas. 66. Conteste la egunta del oblema 65 del minuteo. 67. La Tiea gia sobe su eje una vez cada hoas. Cuánto tada en gia un ángulo de a) 0 b) / 6 adianes? 68. El laneta Mecuio comleta una otación sobe su eje cada 59 días. Qué ángulo 1medido en gados gia en a) 1 día teeste, b) 1 hoa c) 1 minuto? Encuente el ángulo ente 0 adianes que es coteminal con el ángulo del oblema Encuente el ángulo ente 0 adianes que es coteminal con el ángulo del oblema 9. En los oblemas 55 a 6, calcule un ángulo que sea a) comlementaio b) sulementaio del ángulo indicado, o diga o qué no uede calculase ese ángulo Calcule las medidas, en gados en adianes, del ángulo fomado o a) tes quintas ates de una otación en sentido contaio al de las manecillas del eloj, b) cinco un octavo otaciones en el sentido de las manecillas del eloj. 6. Calcule las medidas, en gados en adianes, del ángulo obtuso fomado o las manecillas de un eloj a) a las 8:00, b) a la 1:00 c) a las 7:0. Planeta Mecuio del oblema Calcule la longitud del aco abacada o un ángulo cental de adianes, en un cículo de a) adio b) adio Calcule la longitud del aco abacado o un ángulo cental de 0 en un cículo de a) adio b) adio. 71. Calcule el ángulo cental u en un cículo de adio 5, si u subtiende un aco de longitud de 7.5. Eese u en a) adianes b) gados. 7. Calcule el ángulo cental u en un cículo de adio 1 si u subtiende un aco de / de longitud. Eese u en a) adianes b) gados. 7. Demueste que el áea A de un secto fomado o un ángulo cental de u adianes en un cículo de adio es A 5 1 u. Pista: use la oiedad geomética de oocionalidad: la elación del áea A de un secto cicula ente el áea total del cículo es igual a la elación del ángulo cental u ente el ángulo de una evolución comleta,. 7. Cuál es el áea de la banda cicula oja de la FIGURA , si u se eesa a) en adianes b) en gados? Pista: use el esultado del oblema 7. R FIGURA Banda cicula del oblema Ángulos sus medidas 6

10 75. Velocidad angula lineal Si dividimos (7) o el tiemo t, obtenemos la elación v 5 v, donde v 5 s/t se llama velocidad lineal de un unto en la cicunfeencia de un cículo v 5 u/t se llama velocidad angula del unto. Un satélite de telecomunicaciones se coloca en una óbita geosincónica cicula a km o encima de la sueficie de la Tiea. El tiemo que tada el satélite en ealiza una evolución comleta alededo de la Tiea es de hoas, 56 minutos, segundos el adio de la Tiea es de 6 78 km. Vea la FIGURA a) Cuál es la velocidad angula del satélite en ad/s? b) Cuál es la velocidad lineal del satélite en km/s? Satélite Tiea 7. Alejandía 7. Raos estadios del Sol Siene FIGURA La Tiea del oblema Movimiento cicula de un oo Un oo se hace gia en tono a un cículo en el etemo de su codón de 100 cm. a) Si hace 6 evoluciones en segundos, calcule su aidez de gio 1es la magnitud de su velocidad angula, en adianes o segundo. b) Calcule la aidez lineal 1es la magnitud de su velocidad lineal a la que viaja el oo, en centímetos o segundo. FIGURA Satélite del oblema Péndulo de eloj Un éndulo de eloj tiene 1. m de longitud, oscila descibiendo un aco de 15 cm. Calcule a) el ángulo cental b) el áea del secto que bae el éndulo en una oscilación. Pista: aa contesta el inciso b), use el esultado del oblema 61. Alicaciones divesas 77. Navegación maítima Una milla náutica, o milla maina, se define como la longitud del aco abacado, en la sueficie de la Tiea, o un ángulo cental que mide 1 minuto. Si el diámeto de la Tiea es de 7 97 millas teestes, calcule cuántas millas teestes ha en una milla náutica. 78. Cicunfeencia de la Tiea Alededo de 0 a.c., Eatóstenes calculó la cicunfeencia de la Tiea con las siguientes obsevaciones. A mediodía del día más lago del año, el Sol estaba diectamente aiba de Siene (ahoa Aswan), mientas que estaba inclinado 7. de la vetical en Alejandía. Ceía que las dos ciudades estaban en el mismo meidiano, suuso que los aos del Sol son aalelos. Así, llegó a la conclusión que el aco de Siene a Alejandía ea subtendido o un ángulo cental de 7.. Vea la FIGURA En esos días, la distancia medida de Siene a Alejandía ea de estadios. Si un estadio equivale a 559 ies, calcule la cicunfeencia de la Tiea en a) estadios b) millas. Demueste que los datos de Eatóstenes llegan a un esultado dento de 7% del valo coecto, si el diámeto de la Tiea, con aoimación de cientos de millas, es de millas. Yoo de los oblemas Más oos Si ha un nudo en el codón del oo del oblema 68, a 0 cm del oo, calcule a) la aidez angula del nudo b) la aidez lineal. 81. Movimiento cicula de un neumático Si un automóvil con neumáticos de 6 ulgadas de diámeto viaja a 55 millas o hoa, calcule a) la cantidad de evoluciones o minuto de sus neumáticos b) la aidez angula de los neumáticos, en adianes o minuto. 8. Diámeto de la Luna La distancia omedio de la Tiea a la Luna según NASA es de millas. Si el ángulo subtendido o la Luna a los ojos de un obsevado en la Tiea es de 0.5, cuánto mide aoimadamente el diámeto de la Luna? La FIGURA no es a escala. Luna mi 0.5º Obsevado en la Tiea FIGURA El aco ojo eesenta el diámeto aoimado de la Luna 6 CAPÍTULO 8 Tigonometía del tiángulo ectángulo

11 8. Tigonometía del tiángulo ectángulo Intoducción La alaba tigonometía 1del giego tigonon, tiángulo, metia, medición se efiee a la medición de tiángulos. En la sección. se definieon las funciones tigonométicas mediante coodenadas de untos en el cículo unitaio, o medio de adianes se udieon defini las funciones tigonométicas de cualquie ángulo. En esta sección demostaemos que las funciones tigonométicas de un ángulo agudo de un tiángulo ectángulo tienen una definición equivalente en función de las longitudes de los lados del tiángulo. Teminología En la FIGURA 8..1 se ha tazado un tiángulo ectángulo, sus lados se identifican con a, b c 1que indican sus longitudes esectivas, uno de los ángulos agudos eesentado o u. Po el teoema de Pitágoas, a 1 b 5 c. El lado ouesto al ángulo ecto se llama hiotenusa; los otos lados son los catetos del tiángulo. Los catetos indicados con a b son, esectivamente, el cateto adacente al ángulo u el cateto ouesto al ángulo u. También usaemos las abeviatuas hi, ad o aa eesenta las longitudes de esos lados. hi ad o FIGURA 8..1 Definición de las funciones tigonométicas de u Definición 8..1 Funciones tigonométicas Las funciones tigonométicas de un ángulo agudo u en un tiángulo ectángulo son s e n u5 o hi t a n u5 o ad s e c u5 hi ad cos u5 ad hi c o t u5 ad o c s c u5 hi o. (1) Dominios El dominio de cada una de estas funciones tigonométicas es el conjunto de todos los ángulos agudos. En la sección 8. etendeemos estos dominios aa inclui otos ángulos, aate de los agudos. Luego, en el caítulo 9, veemos cómo se definen las funciones tigonométicas con dominios fomados o númeos eales, en luga de ángulos. Los valoes de las funciones tigonométicas deenden sólo del tamaño del ángulo u, no del tamaño del tiángulo ectángulo. Paa entende esto, considee los dos tiángulos ectángulos que se muestan en la FIGURA 8... Como los tiángulos ectángulos tienen el mismo ángulo agudo u son semejantes, o tanto, las azones de los ángulos coesondientes son iguales. Po ejemlo, o el tiángulo ojo de la figua 8..a) tenemos c a a) b sen u5 o hi 5 b, o 5 cateto ouesto, hi 5 hiotenusa c mientas que en el tiángulo azul más equeño de la figua 8..b) tenemos sen u 5 o hi 5 b c. c' b' a' b) FIGURA 8.. Tiángulos semejantes Sin embago, como el tiángulo ojo es semejante al tiángulo azul, debemos tene que b c 5 b c. En otas alabas, obtenemos el mismo valo de sen u indeendientemente del tiángulo ectángulo que utilicemos aa calculalo. Se uede deci lo mismo de las estantes cinco funciones tigonométicas. 8. Tigonometía del tiángulo ectángulo 65

12 hi 15 FIGURA 8.. Tiángulo ectángulo del ejemlo 1 8 EJEMPLO 1 Valoes de las funciones tigonométicas Detemina los valoes eactos de las seis funciones tigonométicas del ángulo u del tiángulo ectángulo de la FIGURA 8... Solución En la figua 8.. se ve que el cateto ouesto a u tiene 8 de longitud, que el cateto adacente tiene 15 de longitud. De acuedo con el teoema de Pitágoas, la longitud de la hiotenusa es c así c 5 " Entonces, de acuedo con (1), los valoes de las seis funciones tigonométicas son: s e n u5 o hi 5 8, 17 cos u5ad hi , t a n u5 o ad 5 8, 15 c o t u5 ad o , s e c u5 hi ad 5 17, 15 c s c u5 hi o Identidades o cociente ecíocas Eisten muchas elaciones imotantes ente las funciones tigonométicas. Las básicas se esentan a continuación se denominan identidades fundamentales, debe memoizalas. Identidades o cociente: tan u5 sen u u, cot u5cos cos u sen u Identidades ecíocas: sec u 5 1 cos u, csc u 5 1 sen u, cot u 5 1 tan u. () () Las identidades () () se obtienen de la definición Po ejemlo, la imea de las identidades o cociente se comueba como sigue: sen u o /hi 5 cos u ad/hi 5 o 5 tan u. ad Las demás ueden comobase del mismo modo. Con estas identidades odemos obtene los valoes de las seis funciones tigonométicas una vez que conocemos los valoes de sen u cos u. EJEMPLO Usa () () Dado que sen u 5 5 cos u 5 5, encuente los valoes de las estantes cuato funciones tigonométicas. Solución Con base en las identidades fundamentales, tenemos tan u5 sen u cos u f 5 s e c u5 1 cos u c s c u5 1 sen u c o t u5 1 tan u v d de () d de () 66 CAPÍTULO 8 Tigonometía del tiángulo ectángulo

13 Aunque usamos la identidad ecíoca de () aa calcula cot u, también odíamos habe usado la identidad o cociente de () aa calcula cot u. EJEMPLO Usa un tiángulo ectángulo Dado que cos u 5 1 tan u 5!, calcule sen u. Solución Paa obtene sen u, multilicamos la imea identidad de () o cos u: sen u 5cos utan u 5 1 #! 5!. El siguiente ejemlo ilusta que si conocemos el valo de sólo una función tigonomética de un ángulo agudo, odemos obtene los valoes de las otas cinco funciones si dibujamos el tiángulo aoiado. EJEMPLO Uso del tiángulo Si u es un ángulo agudo sen u5 7, detemina los valoes de las demás funciones tigonométicas de u. Solución Se taza un esquema de un tiángulo ectángulo con un ángulo agudo u que satisfaga sen u5 7, haciendo que o 5 e hi 5 7, como se ve en la FIGURA 8... Según el teoema de Pitágoas, FIGURA 8.. Tiángulo ectángulo del ejemlo 7 ad 1 1ad 5 7 entonces 1ad Po tanto, ad 5 "5 5 "5. Los valoes de las cinco funciones tigonométicas estantes se obtienen con las definiciones de (1): c o s u5 ad hi 5 "5, s e c u5 hi 7 ad 5 7 "5 5 7 "5 15, t a n u5 o ad 5 "5 5 "5 15, cot u 5 ad o 5 "5, csc u 5 hi o 5 7. Cofunciones El uso de la teminología seno coseno, tangente cotagente, secante cosecante es esultado de la siguiente obsevación. Como se muesta en la FIGURA 8..5, si los dos ángulos agudos de un tiángulo ectángulo ABC se denominan a b a es la longitud del lado ouesto a a, b es la longitud del lado ouesto a b, c es la longitud del lado ouesto al ángulo ecto, entonces, o la definición 8..1, A α c b FIGURA 8..5 Ángulos agudos a b de un tiángulo ectángulo β B C a sen a5 a c 5 cos b, cos a5b 5 sen b, c tan a5 a 5 cot b, b cot a 5b a 5 tan b sec a5 c b 5 csc b, csc a5c 5 sec b. a Debido a que la suma de los ángulos de todo tiángulo es 180 (o adianes), los ángulos agudos a b de un tiángulo ectángulo son comlementaios. Po tanto, el coseno de un ángulo agudo es igual al seno del ángulo comlementaio, la cotangente de un ángulo agudo 8. Tigonometía del tiángulo ectángulo 67

14 es igual a la tangente del ángulo comlementaio, la cosecante de un ángulo agudo es igual a la secante del ángulo comlementaio, vicevesa. Po esta azón decimos que seno coseno, tangente cotangente secante cosecante son cofunciones una de ota. Podemos esumi esta eosición en una sola oación: Las cofunciones de ángulos comlementaios son iguales. () Identidades de cofunción 8..5, entonces Si a b son los ángulos agudos del tiángulo de la figua a1b5 o a5 b. Debido a que cos b 5 sen a, obtenemos cos b5sen a bb. Esta última eesión es una de las seis identidades o cofunción. Identidades de cofunción: cos u5sena ub cot u5tana ub csc u5seca ub sen u5cosa (5) ub tan u5cota ub sec u5csca ub o, lo que es lo mismo, cos u5sen(90 u) sen u5cos(90 u) c o t u5tan(90 u) csc u5sec(90 u) t a n u5cot (90 u) s e c u5csc(90 u). (6) En (5) (6) se sobeentiende que u se mide en adianes gados, esectivamente. EJEMPLO 5 Usa (5) (6) Po (5): T ángulos comlementaios a) cot 6 5 tana 6 b 5 tan b) cos 5 sena b 5 sen. Po (6): c) csc 7 5 sec(90 7 ) sec 6 d) cot 15 5 tan(90 15 ) 5 tan 75. T Identidades itagóicas Si sólo conocemos el valo de una función tigonomética de un ángulo agudo, odemos calcula los valoes de las otas cinco funciones sin utiliza las elaciones de (1). Debido a que el tiángulo de la figua 8..1 es un tiángulo ectángulo, el teoema de Pitágoas elaciona las longitudes de los lados del tiángulo mediante a 1 b 5 c. 68 CAPÍTULO 8 Tigonometía del tiángulo ectángulo

15 Si dividimos este último esultado o c, obtenemos a /c 1 b /c 5 1 o a a. c b 1 a b c b 5 1 (7) Asimismo, si dividimos a 1 b 5 c o a b, obtenemos, a su vez, 1 1 a b a b 5 a c a b (8) a a b b a c. b b (9) El uso de la definición aoiada de (1) en los esultados de (7), (8) (9) oduce oto conjunto de identidades imotantes. Identidades itagóicas: sen u 1 cos u 5 1 (10) 1 1 tan u 5 sec u (11) cot u csc u. (1) En las fómulas (10), (11) (1), el cuadado de las funciones tigonométicas se escibe (sen u) 5 sen u, (cos u) 5 cos u, (tan u) 5 tan u, etcétea. EJEMPLO 6 Usa (11) Si u es un ángulo agudo tan u 5!5, calcule el valo de cos u. Solución Ha vaias fomas de esolve este oblema. Una de ellas es usa la identidad itagóica (11): sec u5tan u11 5 (!5 ) , o tanto, sec u 5!6. Debido a que sec u 5 1/cos u, tenemos que cos u 5 1/sec u. Po tanto, cos u 5 1/!6 5!6 /6. Notas del aula Como veemos en la sección 9., todas las identidades esentadas en esta sección son válidas con cualquie ángulo u ( no sólo con ángulos agudos). 8. Ejecicios Las esuestas a los oblemas imaes seleccionados comienzan en la ágina RESP-1. En los oblemas 1 a 10 detemine los valoes de las seis funciones tigonométicas del ángulo u del tiángulo FIGURA 8..6 Tiángulo del oblema FIGURA 8..7 Tiángulo del oblema 8. Tigonometía del tiángulo ectángulo 69

16 s FIGURA 8..8 Tiángulo del oblema s FIGURA Tiángulo del oblema FIGURA 8..9 Tiángulo del oblema 5 FIGURA Tiángulo del oblema 5 5 FIGURA Tiángulo del oblema FIGURA 8..1 Tiángulo del oblema 7 1 En los oblemas 11 a 0, use las identidades esentadas en esta sección aa obtene los valoes de las cuato funciones tigonométicas estantes del ángulo agudo u. 11. sen u 5!1, cos u 5!1 1. sen u 5 1!10, cos u 5!10 1. sen u5, cos u5! sen u 5 5!6, cos u 5 1!6 15. sen u 5 1!65, tan u cos u 5 5!9, cot u csc u 5 5, sec u sen u5 1, cot u57! cos u 5 1, csc u 5! 0. sen u5 1, cot u57!50 En los oblemas 1 a 8, dibuje el tiángulo aoiado aa obtene el valo de las funciones tigonométicas estantes FIGURA 8..1 Tiángulo del oblema 8 FIGURA 8..1 Tiángulo el oblema 9 1. sen u cos u 5!5. sec u 5!. csc u 5!10 5. tan u cot u sec u CAPÍTULO 8 Tigonometía del tiángulo ectángulo

17 8. tan u 5 9. Si cos (!6!), obtenga el valo eacto de sen Si cos (!6!), obtenga el valo eacto de sec Si tan (/8) 5! 1, obtenga el valo eacto de cot (/8).. Si tan (/8) 5! 1, obtenga el valo eacto de tan (/8). En los oblemas a 6, use las identidades de esta sección aa obtene el valo eacto de la eesión tigonomética dada. No use calculadoa.. sen 1 1 cos 1. sen 5 1 sen cos 18 1 sen tan sec 7. tan 8 sec 8 8. csc 1 1 cot 1 9. sen 10 sen 10 sen 80 cos sec 0 csc cot 1 cot 9. 1 cos 11 sec 11. sen 8 cot 8 csc sen cot sec 5. sen 10 cos 80 1 cos 10 sen tan 0 cot 60 sec 0 csc 0 En los oblemas 7 a 5, dado que cos 0 5!/, use las identidades de esta sección aa obtene el valo eacto de la función tigonomética esentada. No use calculadoa. 7. sen 0 8. cos tan cot sec 0 5. csc 0 5. cos 0 tan 0 5. tan 0 1 cot Funciones tigonométicas de ángulos eseciales Intoducción Los ángulos de 0 (/6 adianes), 5 (/ adianes) 60 (/ adianes) se considean eseciales oque se esentan mu a menudo en el estudio de tigonometía su uso en cálculo. Po tanto, es mu conveniente que aenda los valoes eactos del seno coseno de cada uno de estos ángulos. En la siguiente elicación obtenemos estos valoes o medio de algunos esultados de la geometía euclidiana. Valoes de sen 5 cos 5 Paa obtene los valoes de las funciones seno coseno de un ángulo de 5, consideamos el tiángulo ectángulo isósceles con dos lados iguales de longitud 1 que se ilusta en la FIGURA Po la geometía euclidiana sabemos que los ángulos agudos de este tiángulo son iguales; o tanto, cada ángulo agudo mide 5. Paa obtene la longitud de la hiotenusa, alicamos el teoema de Pitágoas: 1 5 hi = (hi) 5 (1) 1 (1) 5 da o esultado hi 5!. 1 5 Po consiguiente, o (1) de la sección 8. obtenemos sen 5 5 o hi 5 1! 5! cos 5 5 ad hi 5 1! 5!. () (1) FIGURA 8..1 Tiángulo ectángulo isósceles 8. Funciones tigonométicas de ángulos eseciales 71

18 Valoes de sen 0 cos 0 Paa obtene los valoes de las funciones tigonométicas de los ángulos de 0 60, consideamos el tiángulo equiláteo AOB con lados de longitud que se ilusta en la FIGURA 8..a). Po la geometía euclidiana sabemos que los tes ángulos de un tiángulo equiláteo miden cada uno 60. Como se muesta en la FIGURA 8..b), si dividimos en dos el ángulo en O, entonces CO es la bisectiz eendicula de AB. Se desende que / AOC 5 1 / AOB 5 1 (60 ) 5 0, AC 5 1 AB 5 1 () 5 1 / ACO A A O C 0 O 60 B B a) b) FIGURA 8.. Tiángulo equiláteo en a); dos tiángulos ectángulos conguentes en b) Si alicamos el teoema de Pitágoas al tiángulo ectángulo ojo ACO de la figua 8..b), obtenemos (CO) Desejamos CO obtenemos CO 5!. Po tanto, del tiángulo ectángulo ACO (1) de la sección 8., obtenemos los siguientes valoes: sen 0 5 o hi 5 1 cos 0 5 ad hi 5!. () () Valoes de sen 60 cos 60 Ahoa usamos el ángulo de 60 del tiángulo ectángulo ojo ACO de la figua 8..b) e identificamos o 5!, ad 5 1 e hi 5. Po tanto, sen 60 5 o hi 5! cos 60 5 ad hi 5 1. (5) (6) Cofunciones No tuvimos que usa un tiángulo ectángulo aa obtene los valoes en (5) (6). Recuede que en la sección 8. demostamos que las cofunciones de ángulos comlementaios son iguales. Así, (5) (6) se desenden de inmediato de los esultados de () (): sen 60 5 cos 0 5! cos 60 5 sen CAPÍTULO 8 Tigonometía del tiángulo ectángulo

19 EJEMPLO 1 Valoes de las otas funciones tigonométicas Obtenga los valoes de tan (/6), cot (/6), sec (/6) csc (/6). Solución El ángulo de 0 es equivalente a /6 adianes. Usando las identidades o cociente ecíoca de la sección 8. junto con los esultados de () (), obtenemos t a n c o t s e c c s c 6 5 sen( /6) cos(/6) 5 1 /!/ 5 1! 5! tan(/6) 5 1 1/! 5!!/ 5! 5! cos(/6) sen(/6) 5 1 1/ 5. Dejaemos que usted mismo obtenga los valoes de tan u, cot u, sec u csc u de u 5 / u 5 / como ejecicio. Véanse los oblemas 1 de los ejecicios 8.. La tabla 8..1 esume los valoes de las funciones seno, coseno tangente que acabamos de detemina aa los ángulos eseciales de 0, Como mencionamos en la intoducción a esta sección, estos valoes de funciones se usan con tanta fecuencia que ceemos que debe memoizalos. Conoce estos valoes las identidades fundamentales que estudiamos antes le emitiá detemina cualquiea de las funciones tigonométicas de estos ángulos eseciales. TABLA 8..1 u u (gados) (adianes) sen u cos u tan u !!!! 1 60! 1! EJEMPLO Obtención de los valoes eactos Obtenga el valo eacto de la eesión tigonomética dada. a) b) c) 1 sen 6 cos sen cos 0 tan 60 cos 6 Solución En cada caso usaemos la infomación de la tabla a) sen cos 5 a! b b) cos 0 tan 60 5! #! 5 c) 1 sen 6cos #! 6 #! 5 1!! 5! 8. Funciones tigonométicas de ángulos eseciales 7

20 Uso de calculadoa Se ueden obtene aoimaciones de los valoes de las funciones tigonométicas con una calculadoa científica. Sin embago, antes de usa una calculadoa aa obtene valoes de funciones tigonométicas de ángulos medidos en adianes, es necesaio selecciona el modo de adianes de la calculadoa. Si los ángulos se miden en gados, entonces ha que selecciona el modo de gados antes de ealiza los cálculos. Además, si los ángulos se dan en gados, minutos segundos, antes deben convetise a decimales. Las calculadoas científicas tienen teclas con las leendas sin, cos tan aa calcula los valoes de estas funciones. Paa obtene los valoes de csc, sec o cot, se usan las teclas sin, cos tan con la tecla de ecíoco 1/. El siguiente ejemlo ilusta el oceso. EJEMPLO Usa una calculadoa Use una calculadoa aa aoima cada uno de lo siguiente: a) sen 5 b) cos 8 15 c) sec 0. d) cot 7 Solución a) En ime luga, debemos aseguanos de que la calculadoa esté funcionando en modo de gados. A continuación, intoducimos 5 usamos la tecla sin aa obtene sen 5 < , que es una aoimación con siete decimales del valo eacto!/ dado en (1). b) Puesto que el ángulo está dado en gados minutos, imeo es necesaio convetilo a foma decimal: ( 15 60) Ahoa, con la calculadoa en modo de gados, intoducimos 8.5 usamos la tecla cos aa obtene cos cos 8.5 < c) Como no se indican los gados, econocemos que este ángulo está medido en adianes. Paa evalua sec 0., usaemos la identidad fundamental sec u 5 1/cos u. Con la calculadoa en modo de adianes, intoducimos 0., usamos la tecla cos luego oimimos la tecla 1/ aa saca el ecíoco del esultado. Así, tenemos sec cos 0. < d) Obsevamos que este ángulo está medido en adianes configuamos la calculadoa en consecuencia. Pimeo intoducimos, dividimos o 7, usamos la tecla tan luego la tecla 1/ aa obtene cot tan 7 < Ejecicios Las esuestas a los oblemas imaes seleccionados comienzan en la ágina RESP-1. En los oblemas 1, use los esultados de esta sección aa obtene los valoes de tan u, cot u, sec u csc u del ángulo dado / 7 CAPÍTULO 8 Tigonometía del tiángulo ectángulo

21 En los oblemas a, obtenga el valo eacto de la eesión tigonomética dada. No use la calculadoa.. cos. tan 6 5. sec 5 csc 5 6. sen 60 cos 0 7. sen cot 8. 6 sec csc sec 5 csc tan 60 cot sen cos 1 cos sen 1. cos cos 6 sen sen tan tan sen 5 cos 15. tan 5 cot sec 1 csc sen (/) sec (/)! sen(/) cos(/) 19. sen 0 1 cos cot 0 10 csc tan(/) tan(/6) 1 1 tan(/)tan(/6) tan(/) 1 tan(/) 1 tan(/)tan(/) En los oblemas a, use una calculadoa aa obtene los valoes aoimados de las seis funciones tigonométicas del ángulo dado. Redondee su esuesta a cuato osiciones decimales Paa la discusión. Sin usa la calculadoa, obtenga el valo eacto del oducto tan # tan # tan c 89 tan Funciones tigonométicas de ángulos geneales Intoducción Hasta el momento sólo hemos definido las funciones tigonométicas de los ángulos agudos. Sin embago, muchas alicaciones de tigonometía incluen ángulos que no son agudos. En consecuencia, es necesaio amlia la definición de las seis funciones tigonométicas en (1) de la sección 8. a todos los ángulos geneales. Como es natual, necesitamos que la definición amliada coincida con la definición anteio sieme que el ángulo sea agudo. Paa logalo, ocedemos de la siguiente manea. Sea u un ángulo agudo en osición estánda seleccionemos el unto P(, ) en el lado teminal de u. Si 5 d(o, P) 5! 1, en la FIGURA 8..1 vemos que, eesentan la longitud de los lados de un tiángulo ectángulo. Como 5 o, 5 ad 5 hi, o la definición 8..1 tenemos que O P(, ) FIGURA 8..1 Un ángulo agudo sen u 5, cos u 5, tan u 5. (1) 8. Funciones tigonométicas de ángulos geneales 75

22 Las eesiones de (1) nos oocionan un modelo en el que basaemos nuesta definición amliada aa cualquie ángulo u en osición estánda, como los que se ilustan en la FIGURA 8... P(, ) P(, ) P(, ) a) FIGURA 8.. Ángulos que no son agudos b) c) Ahoa tenemos la siguiente definición de las funciones tigonométicas de un ángulo en geneal. Definición 8..1 Funciones tigonométicas Sea u cualquie ángulo en osición estánda sea P(, ) cualquie unto, eceto (0, 0) en el lado teminal de u. Si 5! 1 es la distancia ente (0, 0) P(, ), las funciones tigonométicas se definen como sigue: sen u 5 tan u 5 cos u 5 cot u 5 () sec u 5 sieme que ningún denominado sea 0. csc u 5 Se uede demosta, usando tiángulos semejantes, que los valoes de las seis funciones tigonométicas deenden sólo del ángulo u no del unto P(, ) que se seleccione en el lado teminal de u. La justificación de esta aseveación es como la que se esentó en el caso de los ángulos agudos en la ágina 61. Los ángulos son múltilos imaes de /. Dominios Una función tigonomética definida en () seá indefinida si su denominado es ceo. Puesto que P(, ) Z (0, 0), 5! 1 nunca es ceo. Po tanto, los dominios de las funciones seno coseno constan en su totalidad de ángulos u. Sin embago, las funciones tangente secante seán indefinidas si el lado teminal de u está situado en el eje, oque entonces 5 0. Po tanto, los dominios de tan u sec u constan en su totalidad de ángulos u, eceto los que miden en adianes 6/, 6/, 65/, así sucesivamente. Usando notación de conjuntos con base en el hecho de que un enteo ima se uede escibi como n 1 1, n un enteo, los dominios de las funciones tangente secante son: {u u Z (n 1 1)/, n 5 0, 61, 6, } o { u u Z (n 1 1)90, n 5 0, 61, 6, } 76 CAPÍTULO 8 Tigonometía del tiángulo ectángulo

23 Las funciones cotangente cosecante no están definidas aa ángulos cuos lados teminales se sitúan sobe el eje, oque entonces 5 0. Po consiguiente, los dominios de cot u csc u constan en su totalidad de ángulos u, eceto los que miden en adianes 0, 6, 6, 6, así sucesivamente; es deci, {u u Z n, n 5 0, 61, 6, } o {u u Z 180 n, n 5 0, 61, 6, }. Puesto que 5! 1, se desende que # #, o lo que es lo mismo, / # 1 / # 1. Po tanto, como antes, Los ángulos son múltilos enteos de. Asimismo, como / $ 1 / $ 1, tenemos que sen u # 1 cos u # 1 () csc u 1 $ 1 sec u $ 1 () Las desigualdades en () () son válidas aa cada u en el dominio de cada una de estas funciones. EJEMPLO 1 Valoes de las funciones tigonométicas Obtenga los valoes eactos de las seis funciones tigonométicas del ángulo u si u está en osición estánda el lado teminal de u contiene el unto P(, 1). Solución En la FIGURA 8.. se eesenta gáficamente el lado teminal del ángulo obtuso u. Con las identificaciones 5, 5 1, tenemos o () que 5 " 1 5 "() 1 (1) 5!10, P(, 1) FIGURA 8.. Ángulo u del ejemlo 1 sen u5 1!10 5!10 10, c o s u5!10 5!10 10, tan u5 1 51, c o t u5 1 5, sec u5!10 5!10, c s c u5!10 1 5!10. EJEMPLO Valoes de las funciones tigonométicas Obtenga los valoes de las seis funciones tigonométicas de u si u 5 /. Solución Pimeo colocamos u en osición estánda, como se muesta en la FIGURA 8... De acuedo con la definición 8..1, odemos elegi cualquie unto P(, ) en el lado teminal de u. Po conveniencia, vamos a selecciona P(0, 1) aa que 5 0, 5 1 5! Po tanto, sen a b , c o s a b , cot a b , c s c a b P(0, 1) π Sin embago, las eesiones tan u 5 / sec u 5 / son indefinidas aa u 5 /, uesto que 5 0. FIGURA 8.. Ángulo u del ejemlo Signos algebaicos Según el cuadante en el que se sitúe el lado teminal de u, una o las dos coodenadas de P(, ) uede se negativa. Puesto que 5! 1 es sieme ositivo, 8. Funciones tigonométicas de ángulos geneales 77

24 cada una de las seis funciones tigonométicas de u tiene valoes negativos ositivos. Po ejemlo, sen u 5 / es ositivo si el lado teminal de u se sitúa dento de los cuadantes I o II (donde es ositivo), sen u 5 / es negativo si el lado teminal de u está situado dento de los cuadantes III o IV (donde es negativo). La FIGURA 8..5 esume los signos algebaicos de las seis funciones tigonométicas definidas en (). Po conveniencia, si el lado teminal de u se sitúa dento del cuadante II, nos efeiemos a u como un ángulo del cuadante II o diemos que u está en el cuadante II. Emleaemos teminología simila cuando mencionemos ángulos cuos lados teminales se sitúan dento de los cuadantes I, III o IV. II I cos u < 0 sen u > 0 cos u > 0 sen u > 0 tan u < 0 cot u < 0 tan u > 0 cot u > 0 sec u < 0 csc u > 0 sec u > 0 csc u > 0 cos u < 0 sen u < 0 cos u > 0 sen u < 0 tan u > 0 cot u > 0 tan u < 0 cot u < 0 sec u < 0 csc u < 0 sec u > 0 csc u < 0 III IV FIGURA 8..5 Signos algebaicos de las seis funciones tigonométicas EJEMPLO Usa la figua 8..5 En qué cuadante está situado el lado teminal de u si sen u 0 tan u 0? Solución En la figua 8..5 obsevamos que la función seno es ositiva aa los ángulos en los cuadantes I II la función tangente es negativa en los cuadantes II IV, o tanto, el lado teminal de u debe situase dento del cuadante II. P(, ) O FIGURA 8..6 Un ángulo abitaio u Identidades itagóicas, segunda ate Las identidades ecíocas, o cociente itagóicas de los ángulos agudos que se esentaon en la sección 8. también son válidas aa los ángulos geneales. Po ejemlo, aa obtene las identidades itagóicas, sea u cualquie ángulo en osición estánda. Como se muesta en la FIGURA 8..6, sea P(, ) cualquie unto, eceto el oigen, en el lado teminal de u. De nuevo, si 5 d(o, P) 5! 1, entonces tenemos 1 5. Dividiendo ambos lados de la última ecuación o, obtenemos o a b 1 a b 5 1. Reconociendo que / 5 cos u / 5 sen u obtenemos la identidad itagóica básica sen u 1 cos u 5 1 (5) En (5) seguimos la convención que sen u se escibe en ime témino. Si dividimos ambos lados de (5), a su vez, o cos u sen u, obtenemos 1 1 tan u 5 sec u (6) cot u csc u. (7) Las fómulas (5), (6) (7) son idénticas a (10), (11) (1) de la sección 8.. Sin embago, a difeencia de estas últimas, las funciones tigonométicas de (5), (6) (7) son válidas aa todos los ángulos cuas funciones están definidas, los valoes de las funciones ueden tene valoes negativos. Retomaemos las identidades itagóicas (en el caítulo 9) cuando demostemos que es osible defini las funciones tigonométicas de númeos eales, en vez de ángulos. 78 CAPÍTULO 8 Tigonometía del tiángulo ectángulo

25 EJEMPLO Usa (5) Dado que cos u 5 1 que u es un ángulo del cuadante IV, obtenga los valoes eactos de las cinco funciones tigonométicas estantes de u. Solución Sustituimos cos u 5 1 en (5) obtenemos sen u1a 1 b 5 1 sen u Puesto que el lado teminal de u está en el cuadante IV, sen u es negativo. Po tanto, debemos selecciona la aíz cuadada negativa de 8 9: Vea la figua sen u 5 Ä 8 9 5!. Ahoa, usando tan u 5 sen u cos u, cot u 5 1 tan u, sec u 5 1 cos u, csc u 5 1 sen u, encontamos que los valoes de las cuato funciones estantes son tan u 5! / 1/ 5!, c o t u5 1! 5!, sec u5 1 1/ 5, c s c u5 1!/ 5!. EJEMPLO 5 Usa (6) Dado que tan u 5 sen u 0, obtenga los valoes eactos de las cinco funciones tigonométicas estantes de u. Solución Si tan u 5 en la identidad 1 1 tan u 5 sec u, tenemos que sec u () 5 5. Puesto que tan u es negativo en los cuadantes II IV sen u es ositivo en los cuadantes I II, el lado teminal de u debe esta situado en el cuadante II. Po tanto, deducimos que De sec u 5 1/cos u, se desende que Usando tan u 5 sen u/cos u, obtenemos sec u 5!5. cos u 5 1 sec u 5 1!5 5!5 5. Entonces, sen u5cos u tan u5a!5!5 b() c s c u5 1 sen u 5 1!5/5 5!5 c o t u5 1 tan u Funciones tigonométicas de ángulos geneales 79

26 En la sección 8. obtuvimos los valoes eactos de las seis funciones tigonométicas de los ángulos eseciales de 0, 5 60 (o /6, / /, esectivamente, medidos en adianes). Estos valoes se ueden usa aa detemina los valoes eactos de las funciones tigonométicas de cietos ángulos que no son agudos o medio de un ángulo de efeencia. Definición 8.. Ángulo de efeencia Sea u un ángulo en osición estánda tal que su lado teminal no se sitúa sobe un eje de coodenadas. El ángulo de efeencia u aa u se define como el ángulo agudo fomado o el lado teminal de u el eje. La FIGURA 8..7 ilusta esta definición aa los ángulos que tienen lados teminales en cada uno de los cuato cuadantes. u = u' u' u u' u u u' a) b) c) d) FIGURA 8..7 Un ángulo u (ojo) su ángulo de efeencia u (azul) EJEMPLO 6 Ángulos de efeencia Obtenga el ángulo de efeencia de cada ángulo u. a) u50 b) u5 c) u510 d) u5 9 Solución a) En la FIGURA 8..8a) obsevamos que u 5 0. b) Po la figua 8..8b), u 5 u 5 / 5 /. c) Po la figua 8..8c), u 5 u d) Puesto que u 5 9/ es coteminal con 9 1 5, tenemos que u 5 / [figua 8..8d)]. u = 0 = u' u' u = π u = 10 u' u = 9π u' a) b) c) d) FIGURA 8..8 Ángulos de efeencia del ejemlo 6 80 CAPÍTULO 8 Tigonometía del tiángulo ectángulo

27 Poiedad de los ángulos de efeencia La utilidad de los ángulos de efeencia en la evaluación de las funciones tigonométicas es esultado de la siguiente oiedad: El valo absoluto de toda función tigonomética de un ángulo u es igual al valo de esa función en el ángulo de efeencia u. Po ejemlo, sen u 5 sen u, cos u 5 cos u, así sucesivamente. Comobaemos la oiedad anteio con la función seno. Si el lado teminal de u está situado dento del cuadante I, entonces u 5 u sen u es ositivo, o tanto sen u 5 sen u 5 sen u. En la FIGURA 8..9 vemos que si u es un ángulo de los cuadantes II, III o IV, tenemos sen u P P 5 0 sen u 0, donde P(, ) es cualquie unto en el lado teminal de u 5 " 1. P(, ) = u' u u u' P(, ) u u' P(, ) a) FIGURA 8..9 Ángulos de efeencia b) c) Ahoa odemos elica un ocedimiento aso o aso aa detemina el valo de las funciones tigonométicas de cualquie ángulo u. CÁLCULO DEL VALOR DE UNA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA Suonga que u eesenta cualquie ángulo. i) Obtenga el ángulo de efeencia u. ii) Detemine el valo de la función tigonomética de u. iii) Seleccione el signo algebaico coecto del valo de ii); aa ello, considee en qué cuadante está situado el lado teminal del ángulo u. EJEMPLO 7 Calcula valoes usando ángulos de efeencia Obtenga los valoes eactos de sen u, cos u tan u de cada uno de los siguientes ángulos. a) u5 b) u510 c) u5 9 Solución Seguimos el ocedimiento que acabamos de elica junto con la tabla 8..1 de la sección 8.. a) En el inciso b) del ejemlo 6 encontamos que el ángulo de efeencia de u 5 / ea u 5 /. Ahoa sabemos que sen (/) 5!/, cos (/) 5 1/, tan (/) 5!. Debido a que u 5 / es un ángulo del cuadante II, donde el seno es ositivo, eo el coseno la tangente son negativos, concluimos que sen 5!, cos 51 tan 5!. 8. Funciones tigonométicas de ángulos geneales 81

28 b) En elación con el inciso c) del ejemlo 6, obsevamos que el ángulo de efeencia es u 5 0. Usando la oiedad de los ángulos de efeencia el hecho de que el lado teminal de u 5 10 se sitúa en el cuadante III, obtenemos sen 10 5sen 0 5 1, c o s 10 5cos 0 5!, u t a n 10 5 tan 0 5!. consulte los signos algebaicos d coectos en la figua 8..5 c) Po el inciso d) del ejemlo 6 sabemos que el ángulo de efeencia u 5 /. En vista de que u 9/ es un ángulo del cuadante IV, se desende que sena 9 b 5sen 5!, c o s a 9 b 5 cos 5!, t a n a 9 b 5tan 51. EJEMPLO 8 Cálculo de ángulos Calcule todos los ángulos u que satisfacen 0 # u 60 tales que sen u Solución Po lo que sabemos de los ángulos eseciales de 0, 60 90, nos damos cuenta de que u 5 0 es una solución. Usando 0 como ángulo de efeencia en el segundo cuadante, como se ilusta en la FIGURA 8..10, obtenemos u como segunda solución. Como la función seno es negativa aa los ángulos de los cuadantes III IV, no ha más soluciones que satisfagan 0 # u 60. FIGURA Soluciones del ejemlo 8 EJEMPLO 9 Cálculo de ángulos Calcule todos los ángulos u que satisfacen 0 # u tales que cos u 5!/. Solución Puesto que el valo dado de la función coseno es negativo, en ime luga deteminamos el ángulo de efeencia u tal que cos u9 5!/. Po la sección 8. sabemos que u9 5 /. En vitud de que la función coseno es negativa aa los ángulos de los cuadantes II III, colocamos el ángulo de efeencia u9 5 / como se muesta en la FIGURA A continuación obtenemos u 5 / u 5 5/ como soluciones. u' = π u = π u' = π u = 5π a) b) FIGURA Soluciones del ejemlo 9 8 CAPÍTULO 8 Tigonometía del tiángulo ectángulo

29 Notas del aula En esta sección delibeadamente evitamos usa calculadoas. Paa comende lenamente la tigonometía, es esencial que domine los concetos sea caaz de ejecuta, sin la auda de una calculadoa, los tios de cálculos simlificaciones que hemos estudiado. Los siguientes ejecicios deben esolvese sin ecui al uso de una calculadoa. 8. Ejecicios Las esuestas a los oblemas imaes seleccionados comienzan en la ágina RESP-1. Recomendamos que no use la calculadoa aa esolve ninguno de los siguientes oblemas. En los oblemas 1 a 10, evalúe las seis funciones tigonométicas del ángulo u si u se encuenta en la osición estánda el lado teminal de u contiene el unto dado. 1. (6, 8). (1, ). (5, 1). (8, 15) 5. (0, ) 6. (, 0) 7. (, ) 8. (5, 1) 9. (!, 1) 10. (!,!) En los oblemas 11 a 18, encuente el cuadante en el que se sitúa el lado teminal de un ángulo u si u satisface las condiciones dadas. 11. sen u 0 tan u 0 1. cos u 0 sen u 0 1. tan u 0 sec u 0 1. sec u 0 csc u cot u 0 sen u csc u 0 cot u sen u 0 cos u tan u 0 csc u 0 En los oblemas 19 a 8, se oociona el valo de una de las funciones tigonométicas del ángulo u. Con base en el valo dado la infomación adicional, detemine los valoes de las cinco funciones tigonométicas estantes de u. 19. sen u 5 1, u está en el cuadante II 0. cos u 5 5, u está en el cuadante II 1. tan u 5, u está en el cuadante III. cot u 5, u está en el cuadante III. csc u 5 10, u está en el cuadante IV. sec u 5, u está en el cuadante IV 5. sen u 5 1 5, cos u 0 6. cos u 5, sen u 0 7. tan u 5 8, sec u 0 8. tan u 5 8, sec u 0 9. Si cos u 5 10, encuente todos los valoes osibles de sen u. 0. Si sen u 5 7, encuente todos los valoes osibles de cos u. 1. Si sen u cos u 5 0, encuente todos los valoes osibles de sen u cos u.. Si cot u 5, encuente todos los valoes osibles de csc u.. Si sec u 5 5, encuente todos los valoes osibles de sen u cos u.. Si cos u 5 sen u, encuente todos los valoes osibles de tan u, cot u, sec u csc u. 8. Funciones tigonométicas de ángulos geneales 8

30 5. Comlete la tabla siguiente. u (gados) u (adianes) sen u cos u tan u /6 1/!/!/ 5 /!/!/ 1 60 /!/ 1/! 90 / /!/ 1/! 15 / 150 5/ /6 1/!/!/ 5 5/ 0 / 70 / 00 5/ 15 7/ 0 11/ Comlete la tabla siguiente. u (gados) u (adianes) csc u sec u cot u /6!/! 5 /!! 1 60 /!/!/ 90 / / 15 / 150 5/ /6 5 5/ 0 / 70 / 00 5/ 15 7/ 0 11/ CAPÍTULO 8 Tigonometía del tiángulo ectángulo

31 En los oblemas 7 a 5, obtenga el valo eacto de la eesión dada. 7. cos 5 8. sena 7 6 b 1 9. cot tan 1. sena b. cos 6. cot u 5! 6. tan u 5 1 Alicaciones divesas 65. Tio libe En cietas condiciones, la altua máima que alcanza un balón de basquetbol lanzado desde una altua h a un ángulo a medido desde la hoizontal, con velocidad inicial v 0 está dada o 5 h 1 (v 0 sen a)/g, donde g es la aceleación debida a la gavedad. Calcule la máima altua que alcanza un tio libe si h 5.15 m, v m/s, a g m/s.. csca 6 b. tan 5. sec (10 ) 6. csc sen cos (5 ) 9. tan sen cot (70 ) 5. sec (00 ) En los oblemas 5 a 58, obtenga todos los ángulos u, donde 0 # u 60, que satisfagan la condición dada. 5. tan u 5! 5. sen u cos u 5! 56. sec u 5! 57. csc u cot u 5 1! En los oblemas 59 a 6, obtenga todos los ángulos u, donde 0 # u, que satisfagan la condición dada. 59. sen u cos u sec u 5! 6. csc u 5 Tio libe 66. Lanzamiento de bala El ango de una bala lanzada desde una altua h sobe el nivel del suelo, con velocidad inicial v 0 en ángulo u con esecto a la hoizontal se uede aoima con R 5 v 0 cos f (v g 0 sen f1"v 0 sen f1gh ), donde g es la aceleación debida a la gavedad. a) Si v m/s, f 5 0 g m/s, comae los angos logados o las altuas de lanzamiento h 5.0 m h 5. m. b) Elique o qué un incemento de h oduce incemento de R si los demás aámetos se mantienen fijos. c) Qué imlica esto sobe la ventaja que la altua le da a un lanzado de bala? 67. Aceleación debida a la gavedad Debido a su otación, la Tiea se ensancha en el ecuado se alana en los olos. Como esultado, la aceleación debida a la gavedad vaía deendiendo de la latitud u. Los estudios satelitales han demostado que la aceleación debida a la gavedad g sat se uede aoima con la función g sat sen u sen u. a) Calcule g sat en el ecuado (u 5 0 ), b) en el olo note, c) a 5 latitud note. 8. Funciones tigonométicas de ángulos geneales 85