CAPITULO IV: SERIES DE FOURIER

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1 CAPITULO IV: SERIES DE FOURIER 4.. ESPACIOS DE FUNCIONES: UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓN U primer prolem que ordremos es l covergeci de cierts series de fucioes. El cocepto de covergeci llev implícito el cocepto de límite y éste su vez, llev el cocepto de cercí, es decir, el cocepto de distci. L distci, e se defie co el vlor soluto, y este cocepto e espcios de fucioes, se defie como orm. Pr defiir orm, ecesitmos l siguiete DEFINICION : Se V u espcio vectoril (ev) rel o complejo. U producto iterior es u plicció que todo pr de elemetos u, v de V, le hce correspoder u úmero, deotdo por <u, v>, co ls siguietes propieddes: ); <u, v> 0; <u, u> = 0 u = 0. ) <u+ w, v>=<u, v>+<w,v>; <λu v>=λ<u, v>. c) <u, v>=<v, u>, de suerte que <u, λv>=λ<u, v>. (Revise el cso complejo). DEFINICION : U e.v. co producto iterior de llm espcio euclídeo (e.e.). Ejemplos:. co < y, > = y es u e.e. i i=. C[,] co < f,g >= f()g()d es u e.e. i 3. C[0,] co f,g >= ρ ()f()g()d es u e.e. E este cso se trt de u producto iterior < poderdo co fució peso ρ()>0 e [0,]. 0 OBSERVACION IMPORTANTE: El Ej. es u espcio de dimesió fiit. Los ejemplos. y 3, so espcios de dimesió ifiit. Estos espcios requiere u trtmieto cuiddoso!!. DEFINICION 3: Se llm orm sore u e.e. V u plicció u u, co ls siguietes propieddes: ) u 0, u = 0 u = 0 ) λ u = λ u c) u + v u + v, (desiguldd trigulr) OBSERVACIONES:. u v u + v u + v. Pruéelo.. L orm coicide co el vlor soluto si V=. DEFINICION 4: U e.v. co u orm se llm espcio ormdo (e). L relció etre orm y producto iterior está dd por: 49 Prof. Dr. Rúl F Jiméez

2 Se V u e.e, l epresió: u / =< u,u > u V. < uv, > u v uv, V se llm desiguldd de Schwrz. L iguldd se cumple si tl que v= u. DEFINICION 5: Se V u e.e. Se llm distci etre u y v l ctidd u v =d(u,v). NOTA: Si V= etoces u v = u - v =d(u, v) es l distci clásic. DEFINICION 6: Dos elemetos o ulos u, v V se dice ortogoles (OG) si <u, v>=0. Si <u, v>=0, etoces u+ v = u + v (Teorem de Pitágors) Si V es u e.v. rel, etoces, u+ v = u + v <u, v>=0. DEFINICION 7: U cojuto de vectores { i } de u e.v. V es ortogol (OG) si: i) i 0 i ii) < i, j >=0 i j Además, diremos que { i } es ortoorml (ON) si es OG y iii) i = i. Notció: { i } ON < i, j > = δ ij (delt de Kroecer). L propiedd más importte de los cojutos OG es que sus compoetes so lielmete idepedietes( l. i.). L etesió del cocepto l. i. cojutos ifiitos es trivil (uque poco opertiv...): "Todo cojuto ifiito de vectores es l.i. si y sólo si cd u de los sucojutos fiitos es l.i. Ejemplo 4. El espcio de los poliomios tiee dimesió ifiit y clrmete,,,, 3,... es l.i. e ese espcio. RECUERDOS : i). U cojuto OG es u se de u e.e. de dimesió ssi tiee vectores l.i. ii) Todo e.e. de dimesió fiit tiee u se ON. IDEA: Eteder estos coceptos espcios de dimesió ifiit. Ls comicioes lieles fiits pr epresr elemetos de esos espcios so hor comicioes lieles ifiits, es decir, "series". Luego precerá el prolem de l covergeci! 4. CONVERGENCIAS DE SUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES. A.- Covergeci de sucesioes de fucioes. Estmos iteresdos e fucioes defiids por epresioes del tipo: 50 Prof. Dr. Rúl F Jiméez

3 f()=f () + f () + f 3 () f () +..., [,] 3, Pr iicir este estudio, deemos empezr co sucesioes de fucioes y ver si ells coverge o o, es decir, si l sucesió de fucioes represet u fució. Dicho e otrs plrs, si es verdd que: f()={ f ( ) } = ={f ()}. De los cursos de Cálculo, semos que si 0 [,] fijo etoces {f ( 0 )} es u sucesió de úmeros reles, y si ell coverge l úmero f( 0 ), etoces podemos escriir: f( ) = lim f ( ), 0 0 y decimos que f ( 0 ) coverge putulmete (CP) f( 0 ). Si esto es válido pr cd [,], etoces decimos que {f ()} coverge putulmete f() e [,]. NOTACION: () C.P. f () f() e [,] Supogmos que tods ls f i () y f() perteece u cierto espcio ormdo V. E tl cso, podemos epresr () como: () ε > 0, [,], N tl que f () f() < ε, > N, dode N puede depeder de ε y de. EXISTEN OTROS TIPOS DE CONVERGENCIAS?. L respuest es firmtiv; como veremos hy otros dos tipos de covergeci: l covergeci uiforme y l covergeci e medi. A. covergeci uiforme: Cosideremos los siguietes ejemplos Ejemplo 5. L sucesió de fucioes, [ 0, ] f ( ) =,, > lguos de cuyos gráficos prece e l Fig.3. Clrmete: CP 0, [ 0, ] f f = ( ) ( ), > Oservmos que tods ls f () so cotiu, pero f o lo es!. 5 Figur 3. Prof. Dr. Rúl F Jiméez

4 , / Ejemplo 6. Se f ( ) = se, / < < /, lguos de cuyos gráficos prece e l Fig.4, /, < 0 CP Clrmete, f( ) f( ) = 0, = 0, > 0 Oservmos que tods ls f () so derivles, pero f() o lo es!. Ejemplo 7., 0 / Se f =, / < < / 0, / CP. E este cso, f d 0, y si emrgo CP Figur 4 f ( ) = 0. Hg u gráfico y verifique l fd ( ) = 0 0 De estos tres ejemplos deducimos que l fució límite f pierde lgu propiedd que posee tods ls fucioes de l sucesió f!!! ES POSIBLE REMEDIAR ESTA SITUACION? Los gráficos de f () o se cerc l gráfico de f() e todo el itervlo [,]. Dicho de otro modo, si diujmos u d de cho ε lrededor de f, etoces los gráficos de cd f (), prtir de u cierto >N, o qued completmete detro de es d. Más ú, o eiste u tl N que lo cosig, es decir, o se cumple: (3) ε > 0, N, [, ] tl que f f <, > N dode N puede depeder de ε, pero NO de. Oserve que () y (3) so diferetes!!! ε DEFINICION 8. Decimos que {f } coverge uiformemete (CU) f e [,] si (3) es válid. Tmié decimos que f es el límite uiforme de {f }. NOTACION: f f, e [, ] CU CU CP 5 Prof. Dr. Rúl F Jiméez

5 Ejemplo 8. Se f ()=, [0,½], lguos de cuyos gráficos prece e l Fig. 5 Clrmete, limf ()=f(x)=0 (cp). Ddo ε>0, eligiedo N tl que N <ε, f () está e l frj >N, [0,½]. Notr que N o depede de, sólo de ε. Luego hy covergeci uiforme. Figur 5 Ejemplo 9. Se f ( ) =, + [ 0, ] lguos de cuyos gráficos prece e l Fig.6., Pr clculr lím f (), escriimos f ( )= + Oservmos que f (0)=0, y si 0, etoces lím f ()=0, [0,], luego f () 0 e [0,] (CP). Figur 6 Pr grficr ls f (), clculmos f ' ( ) ( ) =. Oservmos que e =/ se lcz los ( + ) máimos y f (/)=,, es decir, ls imágees crece desde 0 y luego decrece. Si elegimos ε =/, l codició de CU requiere que f() / f () f() + /, pero f()=0 e [0,/], luego / f() /. Pero tods ls f () lcz el vlor e lgú puto del itervlo [0,]. Luego, o hy CU. CRITERIO PARA LA CONVERGENCIA UNIFORME DE SUCESIONES. Supogmos que f () y f() so cotius e [,], etoces: CU f () f() e [,] ε = má f () f() 0,. Ejemplo 0. Dd l sucesió f() =, [0, ], demostrr que f 3 () 0 pr cd + [0,] y determir si l covergeci es o o uiforme. 53 Prof. Dr. Rúl F Jiméez

6 SOL: Clrmete f ( )=. 3 + Si =0, f (0)=0, f (0) 0, Pr ]0,], límf lím ( ) / = 3 = 0. + / Luego, f()=0 e [0,] ε =má f (). Pr hllr este máimo, clculmos f ' ( ) ( + ) ( ) = 3 = ( + ) ( + ) 3. 3 / f '()=0 = = -3/ ε =f ( )= =, o hy CU. ε o coverge 0. Luego EJERCICIOS. Dds ls sucesioes de fucioes {f } sore el itervlo I estudie si eiste u fució f: I tl que lím f = f. E qué csos l sucesió CU f? 0, ) I =, f () = d) I=[-,], f, > ( )= e ) I=[0,], f( )= e) I=, f e ( )= e c) I=],+[, f( )=. Estudie el límite de ls siguietes sucesioes: ) I=3, f( )= + ( )= + + ) I=[-,], f( )= + f) I=[0,], f () = + c) I=[-,], f ( )= + g) I=[0,+ [, f ( )= + 54 Prof. Dr. Rúl F Jiméez

7 d) I=[-,], f ( )= + 3. Estudie l covergeci putul y l CU de ls siguietes sucesioes de fucioes. Averigüe si hy otros criterios pr determir l CU de sucesioes de fucioes. ) I=[0,], f ( )= + 3 e) I=[0,], f ( )= e ) I=[0,], e + e f( ) = ( + ) f) I= [0,], f( )= + c) I=[-,], f( )= g) I= ]0,[, f se = d) I=[-,], f( )= e h) I=[0,], f ( ) se = PROPIEDADES IMPORTANTES DE LAS SUCESIONES UNIFORMEMENTE CONVERGENTES: Ls demostrcioes de los teorems ddos cotiució, qued como ejercicios. CU TEOREMA : "Supogmos que f f e [, ]. Si cd f es cotiu e [,], etoces f es tmié cotiu". Supogmos que f CU e [,]. Si c [,], etoces podemos formr u uev sucesió F defiid por F ( ) = f( t) dt, =,,3...El siguiete resultdo estlece l covergeci de est uev sucesió. c TEOREMA : "Supogmos que f fe [,], y supogmos que cd f es cotiu e [,], etoces l sucesió F () CU F( ) = ftdt ( ) e [,]". CU c El siguiete teorem os permite oteer coclusioes sore sucesioes que so derivles térmio térmio. TEOREMA 3: "Supogmos que f ( 0 ) coverge e u puto 0 de [,] y que f [,]. Etoces f CU u fució derivle tl que f '()=g() [,]". EJERCICIOS. E cd u de ls siguietes sucesioes defiids sore, estudie si: i) f es cotiu ii) l sucesió {f } coverge u fució cotiu: 55 Prof. Dr. Rúl F Jiméez ' CU g e

8 ) 0, si < 0 f( )= + ) f( ) =, si 0, si > c), si / f =, si / < < /, si /. Demuestre que l sucesió {f }, defiid sore [0,] por f ( )= e, coverge u { } fució itegrle y que, si emrgo, lím f ( ) d 3. Se {f } l sucesió sore [0,] defiid por: ) f ( ) = ( ), si 0 / ) f ( ) =, si / < < / 0, si / Cuál es l fució f=lím f?. Es verdd que 0 = =+. { } fd ( ) lím { f( d ) } 0 0 =? 4. Se f : l sucesió de fucioes defiid por:, si / f = se, si / < < /, si / Compruéese que f es derivle pr todo, y que l sucesió coverge u f, que o es cotiu e. se 5. Se f : l sucesió de fucioes defiid por: f() =. Demuestre que hy CU, que f es derivle e pr todo, y que { f ' ( 0 )} o tiee límite. 6. Se f :[0,] 3 l sucesió de fucioes defiid por:f ( )= 3 3. Cuál es l fució + f=lím { f }?. Demuéstrese que l sucesió o CU, y que si emrgo, f '= límf '. fució 7. Se f : l sucesió de fucioes defiid por:f ( )= +. Hállese el límite de {f } y de {f ' }. Determíese e que itervlos l covergeci es uiforme. B. CONVERGENCIA DE SERIES DE FUNCIONES: 56 Prof. Dr. Rúl F Jiméez

9 DEFINICION 9. Se f :[, ] u sucesió de fucioes. U serie de fucioes es u pr de sucesioes f y s cuyos térmios está relciodos por: i) s ( ) = f( ) (sums prciles) i i= ii) f( ) = s( ); f( ) = s( ) s ( ). NOTACION: = f( ) o simplemete f. L fució s se llm -ésim sum prcil de l serie, y l fució f se llm térmio geerl de l serie. Not: Ls series de potecis (-) so csos especiles de series de fucioes. DEFINICION 0. Se f u serie de fucioes sore u cojuto M de. Diremos de f CP coverge si eiste u fució f: M tl que s( ) f( ). E tl cso f se llm sum de l serie y se deot por S. Así mismo diremos que f coverge f. Not: Ls series o covergetes se llm divergetes. Ejemplo., M=]-,[ coverge S=, ]-,[. = Ejemplo. ( ), M= diverge, pero l mism serie, co M=[0,] coverge = 0, = 0 f ( ) =, 0 < < DEFINICION. Se f u serie de fucioes sore u cojuto M de. Diremos que f CU coverge uiformemete e M, si eiste u fució f: M tl que s f. CRITERIO PARA LA CU DE SERIES DE FUNCIONES: CRITERIO DE WEIERSTRASS Se f u serie de fucioes sore u cojuto M de y se u serie covergete de úmeros reles, tles que f (),, M. Etoces f es uiforme y solutmete covergete sore M. Ejemplo 3. Determie l CU de l serie de fucioes =, M=[,+ [. SOL: Clrmete, co >. Luego eiste CU siempre que ],+ [. Ejemplo 4. Determie l CU de l serie de fucioes se, M=[-½, ½]. 57 Prof. Dr. Rúl F Jiméez

10 SOL: f (),, M y como coverge se CU y CA. CRITERIO DE DIRICHLET Si () es u fució positiv moóto decreciete e pr cd [,], si () tiede uiformemete cero e [,], y si u () y se que CU o ie oscile fiitmete e [,], etoces l serie ()u () CU e [,]. Propieddes de ls series uiformemete covergetes: Ls demostrcioes de los siguietes teorems qued como ejercicios l lector. TEOREMA 4. "Supogmos que l serie f CU S. Si cd térmio de l serie es cotiuo e [,], etoces su sum S tmié es cotiu y f ( ) d= f ( ) d= S( ) d". Cudo eiste CU podemos itercmir ls opercioes e. TEOREMA 5. "Si f () CP S() e [,] tl que f C [,] y f '() CU g e [,], etoces S'()=g(), [,]". TEOREMA 6. "Si f () CU S etoces f () CP S". EJERCICIOS 3. Demuestre que l serie defiid e [0,] por es uiformemete covergete. =, es covergete, pero o. Demuestre que l serie defiid e por covergete. ( ) se + = es uiformemete 3. Estúdiese l covergeci y l CU de ls siguietes series e defiids por: ) ( ) e) = ( + ) = l( + ) ) l f) se = ( + ) = c) g) e se = = 58 Prof. Dr. Rúl F Jiméez

11 d) h) cos cos = + = 4. Estúdiese l covergeci y l CU de f sore M dd por: ) M=[-½,½], f( ) = ( ) ) M=[-,], f( )= c) M=[0,+ [, f = ( + )[( + ) + ] d) M=]0,[, f = 34 / + e) M=]0,[, cos f( ) = log ( + ) 5. Demuestre ls siguietes relcioes: ) = l ) +... = ( l ) c) +... = ( 3) d) = (l ) Demuestre que l serie = + coverge e el itervlo [0,]. Determie su sum y estudie si l covergeci es uiforme. 7. Demuestre que: ) d = 3 = + l d ) = 3 = l l ( + ) 3 3 CONVERGENCIA EN MEDIA DEFINICION. Se f u sucesió de fucioes cotius. Decimos que f coverge e medi CM u fució cotiu f, y escriimos f f e [,], si / lím f f = lím ( f( ) f( ) ) d =0, 3 Ejemplo 5. L sucesió {,,,...} C[-,] CM f()=0 e [-,]. E efecto, 59 Prof. Dr. Rúl F Jiméez

12 / lím 0 = lím ( d) / = lím = 0, Si emrgo, {,, 3,...} NO CP 0 e [- +,], pues e = coverge, y e = - o coverge!. Covergeci Uiforme Covergeci e Medi C. ORTOGONALIDAD DE FUNCIONES DEFINICION 3. U fució f:[,] se dice cotd e [,] si eiste M>0 tl que f() <M [,], y se dice cudrdo itegrle si f ( ) d<+. NOTA: Co u defiició más geerl de itegrl (itegrl de Leesgue), el espcio de ls fucioes cudrdo itegrles sore [,], costituye uo de los espcios de fucioes más importtes e ls pliccioes. Se le deot por L [,]. Se trt de u espcio euclídeo co producto iterior itegrl y es uo de los más coocidos espcios de Hilert Ejemplo 6. Verificr que l sucesió de fucioes cudrdo itegrles {cos }, =0,,,.. es OG e [0,]. Hllr el cojuto ON socido. SOL: < cos,cosm >= 0 cos cosmd, m = 0 se( + m) se( ) [cos( + m) + cos( m)]d, m m = +, m + m m 0 = 0. Además, clrmete, <,cos>=0,. Pr oteer el cojuto ON socido, deemos clculr f ( ), =0,,,3... i) 0: f ( ) = cos d = ( + cos ) d = = cos = ii) =0: = d = =. EJERCICIOS 4. Pror que: 0 El cojuto ON será }, cos, cos,..., cos / / = ) { se,,cos es OG e [-,], y hllr el cojuto ON socido. =. = 60 Prof. Dr. Rúl F Jiméez

13 NOTA: L OG de este cojuto e C[-,], idic que este cojuto es l.i. Además, como todo cojuto de + vectores e u espcio de dimesió, es l.d.; se cocluye que C[-,] es de dimesió ifiit!! ) se L =, L>0, es OG e [0,L] y e [-L,L]. Oteg el cojuto ON socido. c),se,cos, es OG e [-T/,T/]. T T = d) ( ) 3 5 3,,, ( 3 ), es OG e [-,]. DEFINICION 4. Se ρ:[,] u fució cotiu sore [,], ρ>0 e [,]. U cojuto {g ()} es OG e [,] co respecto l fució poderdor ρ() si: = < g( ), g( ) > ρ( g ) ( g ) ( d ) = 0, i j. i j i j Este producto iterior se cooce como producto iterior poderdo. NOTA: Si ρ(), etoces el producto iterior poderdo coicide co el producto iterior clásico } = Ejemplo 7. Verifique que {e se es ON e [0,] co respecto l fució poderdor ρ( ) = 4. e 4.3 SERIES GENERALIZADAS DE FOURIER A. Etesió del cocepto de se espcios de dimesió ifiit: Semos que el cojuto φ, φ, φ3,... φ,... de elemetos de u e.e. V, form u se si todo elemeto f V puede escriirse e l form () f = c i φ i i= dode ls c i so costtes y l serie CONVERGE!!. QUE SIGNIFICA QUE () CONVERJA? Clrmete, covergeci hci u elemeto de V. Por ejemplo, si V=C[,] y f es l fució cotiu f:[,], etoces l covergeci e () o sigific covergeci u vlor prticulr de (dode esté defiids tods ls φ i y f()). Más precismete, si s = ciφ i= etoces l covergeci e () sigificrá: () lím s f = 0, 6 Prof. Dr. Rúl F Jiméez i

14 es decir, covergeci e medi. Por lo tto, si V=C[,], etoces () puede escriirse como / ( ) 0 (3) lím s() f() d =. Not: Es ovio que si eiste CU de s f, etoces () es válido. E lugr de ses ON, usremos el térmio cojuto ortoorml completo, cudo trtmos co e.e. de dimesió ifiit. Pr clrr esto, ecesitmos el siguiete cocepto: PROPIEDAD DE CAUCHY: Se V u e.e. y {f } V tl que lím f f = 0. Etoces (4) ε > 0, N( ε): f f ε, m N. m DEFINICION 5 U sucesió f que verific l propiedd (4) se llm sucesió de Cuchy. Tod sucesió covergete es u sucesió de Cuchy. DEFINICION 6. Si tod sucesió de Cuchy de V coverge u elemeto de V, se dice que V es u espcio completo. Ejemplo 8. co l orm euclíde es u espcio completo. DEFINICION 7. U cojuto ON {φ j } V e.e. es completo si todo elemeto f V es el límite, e el setido de l CM, de u sucesió {f }, dode cd f es u comició liel fiit de los φ j DEFINICION 8. U espcio completo pr u orm socid u producto iterior se llm espcio de Hilert. Ejemplo 9. So espcios de Hilert : l =espcios de ls sucesioes de úmeros reles tles que y = espcio de ls -upls de úmeros complejos, i= i <, L [,], etc. Not: Los espcios de Hilert so herrmiets ásics e l Mtemátic Aplicd, y permite resolver vridos prolems de l Igeierí E todo espcio de Hilert podemos hcer "geometrí": ortogolidd, proyeccioes, Volvmos (): f = c i φ i i= Si d segur l covergeci de l serie u elemeto f del espcio, escriimos 6 Prof. Dr. Rúl F Jiméez

15 F c i φ i, y se dice que l "represetció e serie" de f es forml, es decir, podrí crecer de sigificdo mtemático. DEFINICION 9. L serie f = c i φ i se llm serie geerlizd de Fourier, y los úmeros (reles o i= complejos) ci se llm coeficietes geerlizdos de Fourier de f co respecto l cojuto ON completo {φ i }. OBSERVACIONES IMPORTANTES:. Tods ls comicioes lieles de u úmero fiito de seos y coseos costituye u suespcio W de V de dimesió fiit.. Tods ls comicioes lieles fiits de seos y coseos form u suespcio W de V de dimesió ifiit. TEOREMA 7. "Se {φ i } u cojuto ON y supogmos que f está ddo por f = c i φ i (CM), etoces ci = <f, φ i >". i= Pr demostrr este teorem ecesitmos el cocepto de "mejor proimció", que veremos eseguid. Este teorem firm que siempre que f pued epresrse como u serie, que coverge e medi, dode los coeficietes de l serie está uívocmete determidos y dee ser los coeficietes geerlizdos de Fourier. Ejemplo 0. Hllr los coeficietes geerlizdos de Fourier de f C[-,], defiid por f()=, co se se se3 respecto l cojuto ON:,,,... SOL: c luego podemos escriir se =< f, φ >= d, =,,3,..., impr = se =, pr c = ( ) se se 3 se Not: Más delte veremos que est serie CM, luego, podemos escriir 63 Prof. Dr. Rúl F Jiméez

16 se = ( ) = UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓN Ejemplo. Si pr l mism fució del Ej. 0, cosidermos el cojuto ON :, cos, cos,..., etoces, los coeficietes geerlizdos de Fourier so: d = 0, cos d = 0, =,,3, Es clro que est SGF o represet l fució co respecto este cojuto ON, es decir, o se tiee l iguldd =0. MORALEJA: A veces l SGF o represet f V. B. Mejor proimció e medi: Se Γ u plo de 3, y v Γ. Se u=proy v Γ. Es clro que v-u es OG co u, es decir, <v-u,u>=0 y se cumple l relció pitgóric: u + v-u = v. Oserve l Fig.8 Además: i) Si w es culquier otro vector de Γ, etoces v-u < v-w ii) Si i,j so OG y uitrios, es decir, ON e Γ, etoces u=<v,i>i+<v,j>j Geerlicemos ests ides... Figur 8 TEOREMA 8. "Se φ, φ,...,φ u cojuto ON fiito e V, y W el suespcio geerdo por ls φ i. Etoces, pr culquier f V eiste g W tl que i) <f- g, g> =0 ii) g + f g = f iii) Si h es culquier otro elemeto de W, etoces f g < f h iv) g está dd por g = c φ, co c =< f,φ > ". = = DEM.: Se h = φ u elemeto de W. Etoces, 64 Prof. Dr. Rúl F Jiméez

17 UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓN f h =< f h, f h>=< f, f > < f, h>+< hh, > Pero los φ so ON y c = <f, φ >, luego = < ff, > < f, φ >+< φ, φ >. f h =< f, f > c + = = = = = = = ( 5 ) =< ff, > + ( c) c Notmos que est últim epresió lcz u míimo cudo = c, es decir, cudo g=h. Así hemos prodo iii) y iv). Como g = = c, podemos hcer = c e (5) y result ii). Pr i): Como < f g, g>=< f, g> < g, g>=< f, c φ > c = c c = 0 ž DEFINICION 0. L fució g determid por el teorem terior se llm mejor proimció e medi (cudrátic) de f e el espcio W. E térmios de l orm de V, g es el elemeto de W "más próimo" f. Ejemplo. Se f()=+ C[-,] y se W el suespcio geerdo por el cojuto ON φ = cos, φ = se, φ3 = cos 3. Hllr l mejor proimció e medi de f e W. SOL.: Deemos hllr g tl que g= c cos + c se+ c3 cos 3. 4 Pero c = ( + )cos d= 4 ; c = ; c3 =. Compruéelo!! 9 4 g ( ) = 4cos se cos3. 9 Ahor estmos e codicioes de pror el teorem 9. DEM.: (Teorem 9). Como f = c i φ i, se tiee que i= f < f,φ > φ f c φ = = lím f cφ =. = 0. Pero c φ es u elemeto de W, luego 65 Prof. Dr. Rúl F Jiméez

18 Así lím f < f,φ > φ = 0. De quí se sigue que f = < f,φ > φ. Luego, restdo est serie de () se tiee: ( c < f, φ > ) φ = 0. De l CM de est últim serie, result el teorem. Notció: W es el espcio geerdo por φ, φ,...,φ. Del Teorem 0, se tiee el siguiete: COROLARIO : Se φ, φ,... u cojuto ON ifiito e V y se f V co coeficietes de Fourier c =< f φ, >, =,,3,...Si s = c φ es l -ésim sum prcil, etoces = i) Pr cd, s es l mejor proimció e medi de f e W. ii) Pr cd, vle (6) N c K K= f iii) L serie coverge. = iv) lím c =0. c DEM.: i) ovio por el teorem 0. ii) c + f s = f = DESIGUALDAD DE BESSEL iii) E (6) hcemos oservdo que f o depede de. iv) ovio. El resultdo más importte pr ls SGF está coteido e el siguiete: TEOREMA 9. "Se φ, φ,... u cojuto ON completo. Se f V y c =< f,φ > los coeficietes de Fourier de f. Etoces, l serie c φ coverge e medi f y vle : (7) = c = f IDENTIDAD DE PARSEVAL". DEM.: (ver Aálisis Mtemático, Protter-Morrey, pg. 458). 66 Prof. Dr. Rúl F Jiméez

19 E el espcio de ls fucioes secciolmete regulres y ormlizds y periódics, el cojuto, cos, se, =,,3,...es ON COMPLETO!!!. Deducimos que será importte estudir este espcio de fucioes... C. El espcio de ls fucioes secciolmete cotiús. Hemos visto que eiste fucioes cotius cuys SGF o coverge l fució, es decir, l SGF o l represet. Por otr prte, eiste fucioes discotius cuys SF sí coverge l fució (est covergeci puede o ser uiforme). Pr teer ueos teorems de covergeci, que icluy covergeci de fucioes discotius, deemos cosiderr espcios "más grdes" que el espcio de ls fucioes cotius C[,]. DEFINICION. U fució f:[,] se dice secciolmete cotiu e [,] si: i) f está defiid y es cotiu [,], slvo e u úmero fiito de putos de [,]. ii) los límites + f( ) = lím f( + h); f( ) = lím f( h) 0 + h h eiste 0 [, ]. Si 0 es u puto de cotiuidd, etoces f( 0 + ) f(0 - ). Si 0 es u puto de discotiuidd, etoces f( 0 + )-f( 0 - ) =: [f(0 )]<+ mide l mgitud del slto, como muestr l Fig. 9 Figur 9 DEFINICION. Diremos que f:[,] es regulr e [,] si f, f ' so cotius e [,], e.d. f C [,], y diremos que es secciolmete regulr (o suve por trmos) si f, f ' so secciolmete cotius e [,]. 67 Prof. Dr. Rúl F Jiméez

20 Figur 0 E l Fig. 0 prece el gráfico de u fució secciolmete cotiu. Diuje l derivd, y dig si es secciolmete regulr o o. NOTA: Los evetules sltos de discotiuidd de f ' ocurre e los mismos putos dode ocurre los sltos de f. NOTACION: SC[,]=espcio de ls fucioes secciolmete cotius e [,]. El vlor de f SC[,] e los putos de discotiuidd, jueg u importte rol e el Aálisis de Fourier. DEFINICION 3 Diremos que f SC[,] está ormlizd si su vlor e los putos de discotiuidd es el promedio de f( 0 + ) y f(0 - ). RECUERDOS : Si f SC[,] tiee putos de discotiuidd e,,..., -, etoces i (8) f( ) d = f( ) d. i= i Los vlores de ls itegrles del segudo miemro de (8) o está fectdos por el vlor de f e i. Luego, l itegrl de f SC[,] tiee el mismo vlor que l itegrl de f ormlizd. Ls comicioes lieles fiits de fucioes secciolmete cotius so tmié secciolmete cotius, y vle l iguldd: f, g SC[,], λ,µ esclres. (9) [ λ f( ) d + µ g( )] d = λ f( ) d + µ g( ) d Además, f SC[,]: (0) m( ) f( ) d M( ), si m f() M e [,]. Si f SC[,] y F está defiid por F( ) = f( t) dt, etoces F, F ' so cotius, slvo e los putos dode f o es cotiu. Luego, F es secciolmete cotiu e [,]. Es ovio que: 68 Prof. Dr. Rúl F Jiméez

21 () C[,] SC[,]. Es SC[,] u espcio euclídeo?. Co qué producto iterior? Pesdo e l iclusió (), ce pregutrse si el producto iterior e C[,], < fg, >= fgd ( ) ( ) es tmié el producto iterior pr SC[,]?. L respuest es NO!!!! Cosideremos el siguiete ejemplo: Se f()=0 e [,], slvo e u úmero fiito de putos, dode f tom culquier vlor rel, como muestr l siguiete Fig.. Ovimete, f() 0 e [,], si emrgo < f, f > = f d=0 Oh!! Por lo tto, co este ejemplo o se verific u de ls codicioes del producto iterior: <, > 0 si 0. Figur. U fució ul "csi todo puto". Est dificultd desprece si psmos por lto el hecho que u fució ul o es idéticmete ul, y se l trt como si lo fuese. Podemos decir, etoces, que l fució de este ejemplo es ul csi e todo puto, y escriimos f=0 c.t.p. Pr ser cosistetes, deemos cosiderr como igules dos fucioes f,g SC[,], si ells sólo difiere e u úmero fiito de putos. E tl cso escriimos () f,g SC[,], f()=g() c.t.p. [,]. Por lo tto, el producto iterior e SC[,] será el mismo de C[,], pero gregdo c.t.p. Luego, podemos firmr que SC[,] es u espcio euclídeo. RECUERDOS: ) f:[-, ] es u fució pr si f(-)=f() e [,]. ) f pr e itegrle fd ( ) = fd ( ), f impr e itegrle fd ( ) 0 = 0. c) (pr)(pr)=(impr)(impr)= pr; (pr)(impr)= impr. d) f,g priddes opuests fg = 0 f, g so OG e SC[-, ]. 69 Prof. Dr. Rúl F Jiméez

22 Ejemplo. Si f impr f()cosd = 0 Si f pr f() sed = 0. UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓN e) Tod fució f:[-, ] se puede epresr como l sum de u fució pr co u fució impr. Ejemplo 3. f()=e f p ()=½[e + e - ] ; f i ()=½[e -e - ] SERIES DE FOURIER EN SC[-, ] DEFINICION 4. Se llm serie de Fourier (SF) de f SC[-,] l epresió 0 (3) f ( ) = + cos+ se, = dode (4) = f( )cos d; = 0,,... = f( )se d, =,,3,... so los coeficietes de Fourier. OBSERVACION IMPORTANTE: Notr que l epresió (3) es simplemete u comició liel (ifiit) de u elemeto de f SC[-,], co respecto l se, cos, se, cos, se,... Usdo ls ides del Teorem 9, podemos escriir f, (5) f ( ) = < > < > + f,cos + < f,se > cos se (CM) cos se = (3) y (4). Pero, como = d =, cos = cos d = ; se = se d =, oteemos Ejemplo 4., Hllr l SF de l fució f SC[-,] defiid por f( ) = < < 0, 0 < <. 4, SOL: Como f es impr, =0 ; = 0, =,3,5,... 4 se( ) f ( ) = =,4,6,... = CM. 4 se3 se5 o ie f ( ) = se Prof. Dr. Rúl F Jiméez

23 E l Fig. mostrmos cómo ls sums prciles de l SF de l fució del ejemplo terior, proim f. Es itereste oservr que podemos proimr fucioes discotius por fucioes cotius (más ú, por fucioes de clse C ) 4 se 3 4 se 3 se 5 se 7 se + 3 se Figur. Aproimció de fucioes discotius por fucioes cotius. TEOREMA 0. (Covergeci putul de SF e SC[-,]). "Se f SC[-,] co f ' SC[-,], etoces l SF de f coverge putulmete los vlores: (6) (7) + f ( 0) + f ( 0), 0 (, ) + f( ) + f( ), e =± ", < < 0 CP Ejemplo 5. E el cso del ejemplo terior, SF 0, =,0,., 0 < < E =/, el vlor de l SF es =4/[- /3 + /5 - / ] es decir, teemos l serie de Leiitz : /4 = -/3 +/5 - / E =/4 /4= [ - /3 - /5 - /7 -...]. NOTA. Eiste fucioes cotius cuys SF diverge e u ctidd fiit de putos de [-,]. Luego, l eigeci que f() se tl que f ' SC[-,] se impoe pr grtizr l CP de l serie. El prolem de hllr u fució cotiu cuy SF diverj e todo puto de [-,] está ierto Si l SF 0 (8) f ( ) = + cos+ se = 7 Prof. Dr. Rúl F Jiméez

24 coverge u vlor 0, digmos, cudo = 0, etoces l SF tmié coverge el mismo vlor e todos los putos 0 +, etero, deido l -periodicidd de cos, se y l fució costte 0 /. Si (8) CP f() e [-,], etoces (8) coverge e todo l fució F(), que es l etesió -periódic de f(), como lo muestr l Fig. 3. Figur 3. Covergeci e todo 3 de l serie de Fourier de u fució ritrri f:[-,] 3. TEOREMA. "L SF de u fució suve por trmos y -periódic CP e todo. Más ú, si F es l etesió -periódic de f, etoces l SF coverge F( 0 ), si 0 es puto de cotiuidd, y l SF coverge [F( 0 + )+F(0 - )]/, si 0 es u puto de discotiuidd"., Ejemplo 6. Se f( ) = < 3., 3 < 4 A qué vlor coverge l SF de f pr cd [-,]?. SOL: El gráfico de F() está ddo por Figur 4. 0, = 0,, CP De ese gráfico, deducimos fácilmete que l SF < < 0, 0 < <. Más delte volveremos l covergeci de SF. EJERCICIOS 5.. Hllr el desrrollo e SF de ls siguietes fucioes; trzr l gráfic de l serie oteid, poiedo prticulr teció los putos de discotiuidd: 7 Prof. Dr. Rúl F Jiméez

25 ), < < 0 f()= / 0, < < ) f()= se c) /, / f()= 0, / / /, / d) f()= (-)(+),-. ) Hllr el desrrollo e SF de l fució f()= 0, < 0, 0 < ) Usr est serie pr demostrr que = Hllr el desrrollo e SF de l fució 0, < < 0 f()= cos, 0 < < y trzr l gráfic de l serie oteid. 4. Coocids ls SF de ls fucioes f() y g(), verigüe cuál es l SF de l fució αf( ) + βg( ), α,β esclres. 0, < < 0 5. ) Pruee que ls SF de f( ) = y f 0, < <, respectivmete se( ) + = + ( ), se = ) Usdo ests series y el ej.4, hllr el desrrollo e SF de:, < < 0 i) f()=, 0 < < ii) f()= +, < < 0, 0 < < 73 Prof. Dr. Rúl F Jiméez