Muestreo Estadístico

Transcripción

1 Muestreo Estadístico Grado e Estadística. Curso Segudo Facultad de Matemáticas Uiversidad de Sevilla Tema 3 Estimadores de Horvitz-Thompso y Hájek. Estimador de Hase-Hurwitz ersió µ José A. Mayor Gallego Departameto de Estadística e Ivestigació Operativa Uiversidad de Sevilla

2 1 1. Estimador de Horvitz-Thompso Es u estimador geeral que sirve para estimar parámetros poblacioales lieales, como el total o la media poblacioales. Nosotros haremos el desarrollo iicial para estimar el total poblacioal, t y = Supogamos que se obtiee ua muestra, m, mediate u diseño muestral probabilístico, es decir, co la propiedad > 0, i U. Defiimos el estimador de Horvitz-Thompso o π-estimador de t y como, t yπ = π i eamos primeramete que es u estimador isesgado. Nótese que el desarrollo es fudametal la hipótesis > 0, i U, [ [ E[ t yπ = E = E I i = E[I i = = t y π i π i π i π i Seguidamete, para calibrar el error de muestreo, calcularemos la variaza de este estimador. Recordemos ates que si teemos ua combiació lieal de variables aleatorias, c 1 Z 1 + c 2 Z c Z, la Teoría del Cálculo de Probabilidades os dice que, [ c i Z i = c i c j Cov[Z i, Z j i=1 i,j=1 etoces, [ t yπ [ [ = = π i = I i Cov[I i, I j = Si el diseño es cuatificable o estimable, es decir, j > 0, ij U, i j, podemos costruir el siguiete estimador isesgado de la aterior variaza, [ t yπ = j La demostració de que dicho estimador es isesgado es casi obvia, y se deja como pequeñísimo trabajo persoal del alumo, que puede hacerlo por su cueta o mirarlo e cualquier libro de muestreo, por ejemplo Ferádez y Mayor(1995a). E resume, la variaza y ua estimació isesgada de la misma so, [ t yπ =

3 2 [ t yπ = j dode hemos supuesto j > 0, ij U, i j, es decir, diseño cuatificable. Para qué sirve esto? Pués ada más y ada meos que para costruir estimadores del total y calcular su error de forma automática, dado u diseño muestral cualquiera. Nótese que basta coocer las probabilidades de iclusió de primer y segudo orde. E caso de querer estimar la media, y U = 1 = 1 N N t y el estimador de Horvitz-Thompso adoptará la forma, ŷ Uπ = 1 N π i que obviamete tambié es isesgado. Para la variaza y u estimador isesgado de la misma tedremos, [ŷ Uπ = 1 N 2 [ŷ Uπ = 1 N 2 j dode hemos supuesto j > 0, ij U, i j, es decir, diseño cuatificable. A cotiuació expoemos u ejemplo Ejemplo. Estimació de y U mediate ua muestra obteida co u diseño MB(N, p) Para el muestreo o diseño MB(p) se tiee = p, j = p 2, = p 2 p 2 = 0 si i j y ii = p(1 p). Se tiee pués para la estimació de la media poblacioal, siedo la variaza, ŷ Uπ = 1 N [ŷ Uπ = 1 N 2 y ua estimació isesgada será, = 1 N = 1 N 2 [ŷ Uπ = 1 N 2 = 1 N 2 p = 1 Np p(1 p) p 2 yi 2 = 1 p p N 2 j yi 2 p(1 p) p 2 yi 2 = 1 p p p 2 N 2 yi 2

4 Reducció de variaza Ahora vamos a ver como, escogiedo adecuadamete las probabilidades de iclusió de primer orde, y bajo determiadas codicioes, el estimador de Horvitz-Thompso puede presetar ua variaza reducida lo que se traduce e ua estimació más exacta. Lo haremos para el total poblacioal. E primer lugar, bajo la codició de que el diseño muestral es de tamaño de muestra fijo, vamos a probar la siguiete expresió alterativa de la variaza, coocida co el ombre de fórmula de Yates-Grudy-Se, [ t yπ = 1 ( yi y ) 2 j 2 para lo cual, cosideramos el cuadrado, ( yi y ) 2 j = ( ) ( 2 yi yj + ) 2 2 y al descompoer el sumatorio aparece e primer lugar térmios del tipo, ( ) 2 yi = ( ) 2 yi Se deja como ejercicio [recuérdese que j = E[I i I j probar que para diseños de tamaño de muestra fijo se cumple, = 0, i U por lo que, j U ( ) 2 yi = ( ) 2 yi j U j U = 0 E resume, al descompoer el doble sumatorio de la variaza, los dos primeros térmios so ulos, co lo que os queda al fial, [ t yπ = 1 2 ( 2) = que es la expresió geeral de la variaza del estimador de Horvitz-Thompso del total poblacioal. U resultado, ya obvio a estas alturas, es que la variaza expresada por la fórmula de Yates-Grudy-Se, admite el siguiete estimador isesgado, supoiedo que el diseño es cuatificable, [ t yπ = 1 2 j ( yi y ) 2 j Ua cosecuecia imediata de la fórmula de la variaza de Yates-Grudy-Se, supoiedo que el diseño es de tamaño fijo, es que si las probabilidades de iclusió de primer orde fuera proporcioales a los correspodietes valores de la variable de estudio, es decir, =, i = 1, 2,..., N

5 4 se tedría que, por lo que, ( yi y ) 2 j = 0, i, j U [ t yπ = 0 siedo esto cierto tambié para la estimació de la media, cuya variaza sólo se diferecia e el factor 1/N 2 ; ello sigifica que el muestreo o produciría error. Esto resulta, por supuesto, imposible de llevar a la práctica pues los valores o se cooce de atemao; pero sí es posible e muchas situacioes coocer los valores de variables auxiliares relacioadas co la variable Y y emplearlas para defiir las probabilidades de iclusió de primer orde. Co ello ya o se coseguirá que la variaza sea ula pero sí que se reduzca cosiderablemete. Esta idea da lugar a lo que se cooce como Diseños Muestrales co Probabilidades de Iclusió Proporcioales al Tamaño, o diseños ΠPS e siglas, que por su importacia será estudiados específicamete e u Tema posterior. NOTA: ΠPS es u acróimo de Iclusio Probabilities Proportioal to Size. 2. Estimador de Hájek de la media poblacioal El estimador que vamos a costruir a cotiuació es, como estimador de Horvitz- Thompso, de carácter geeral para cualquier tipo de diseño muestral probabilístico, y tambié se basa e las probabilidades de iclusió de primer orde. E pricipio, sólo se defie para la media poblacioal, y como caso particular, para proporcioes. Supogamos pues que se quiere estimar el parámetro media poblacioal, y U = 1 N t y Este parámetro es u cociete o razó etre el total, t y, y N. El total podemos estimarlo mediate el estimador de Horvitz-Thompso, t yπ = y si expresamos N como, N = 1 es decir, el total de la variable UNO sobre la població, podemos estimarlo tambié mediate el estimador de Horvitz-Thompso, N π = y si estimamos la media poblacioal mediate el siguiete estimador cociete, 1 ŷ U = 1 N t yπ

6 5 obteemos por sustitució el siguiete estimador de la media, coocido como estimador de Hájek, / ŷ UHJ = Nótese que este estimador es ua razó o cociete de estimadores isesgados, por lo que comparte la problemática que ya vimos para estimador alterativo de la media de ua subpoblació e relació a la estimació de su variaza. Por esta razó, pospoemos para u tema posterior, el Tema 4., el estudio de esta cuestió. EJEMPLO 1 eamos qué sucede para el diseño de muestral aleatorio simple, MAS(N, ). Al ser = /N, se cumple que 1/ = N/, y por cosiguiete, siedo pues, 1/ 1 = N / /(/N) ŷ UHJ = = = 1 = y 1/ N m es decir, coicide co la media muestral que es el estimador usual que ya vimos e el Tema 2., y que coicide co el estimador de Horvitz-Thompso. EJEMPLO 2 eámoslo ahora para el diseño de Berouilli, MB(N, p). E este diseño, = p. Supogamos que la muestra obteida, m, o es vacía, es decir, tiee algú elemeto, pues e caso cotrario, o tiee setido cotiuar. El estimador de Hájek será, / /p ŷ UHJ = = 1/ 1/p = (m) = y m si embargo, el estimador de Horvitz-Thompso es, / ŷ Uπ = = 1 N Np que o coicide es la media muestral. Luego, para el muestreo de Beroulli, el estimador de Hájek de la media poblacioal es la media muestral pero el estimador de Horvitz-Thompso o.

7 6 3. Muestreo co reemplazamieto. Estimador de Hase- Hurwitz Ya vimos e el Tema 2., como es posible cosiderar muestreos e los que los elemetos pueda aparecer repetidos e la muestra. La situació sería similar a la extracció de bolas de ua caja e la que hay N bolas umeradas de 1 a N, devolviedo a la caja la bola obteida e cada extracció. Esto se vio para el caso particular de que todos los elemetos tuviera la misma probabilidad, 1/N de ser seleccioados e cada extracció. Ahora lo veremos e geeral y costruiremos u estimador ad hoc para este tipo de muestreo. E efecto, a veces resulta útil extraer la muestra permitiedo que los elemetos se repita si limitació, es decir, co reemplazamieto, y supoiedo probabilidades respectivas, {p 1, p 2,..., p N p i 0 i, N p i = 1} i=1 La extracció se puede llevar a cabo aplicado el método acumulativo o el método de Lahiri, veces sobre la població U, si cotrolar que haya o o repeticioes. Al fial, os ecotramos co elemetos, e los que puede haber repeticioes. Como para el caso del estimador de Horvitz-Thompso, empezaremos supoiedo que se quiere estimar el parámetro total poblacioal, t y = Ya o os sirve el estimador de Horvitz-Thompso, que se ha ivetado, y así fucioa, bajo el supuesto de que el muestreo es si reemplazamieto. Ahora defiimos el uevo estimador, llamado de Hase-Hurwitz, t yhh = p i Para ver que es isesgado, tampoco os sirve aquí las variables idicadoras I i pues al ser el muestreo co reemplazamieto, estas variables NO proporcioa iformació sobre el úmero de veces que u elemeto aparece e la muestra. Defiimos pues las uevas variables idicadoras, más poderosas, i U, f i (m) = úmero de veces que i aparece e la muestra m obteida Por simplicidad, omitiremos la m e f i (m). Claramete, para u i determiado, f i es ua variable aleatoria discreta co distribució biomial, Bi(, p i ). Además, el vector aleatorio (f 1, f 2,..., f N ) sigue ua distribució multiomial, M(; p 1, p 2,..., p N ). Tedremos pues, E[f i = p i [f i = p i (1 p i ) Cov[f i, f j = p i p j, i j El estimador puede escribirse como, t yhh = f i p i

8 7 por lo que, E [ t yhh = E[f i = = t y p i siedo pues isesgado. Calculemos su variaza, [ t yhh [ = f i = p i y 2 i 2 p 2 [f i + i i j= U p i p j Cov[f i, f j = yi 2 2 p 2 p i (1 p i ) + i = = 1 yi 2 (1 p i ) p i p i i j U [ ( ) 2 yi p i t 2 y i j U p i p j ( p i p j ) A cotiuació, para facilitar el desarrollo, vamos a itroducir el siguiete cambio de variable, z i =, i = 1, 2,..., N p i co lo cual la variaza del estimador queda, [ t yhh = 1 [ ( ) 2 yi p i t 2 y = 1 [ zi 2 p i t 2 y p i = 1 [ zi 2 p i + t 2 y 2t 2 y = 1 [ = 1 = 1 (z 2 i + t 2 y 2t y z i ) p i = 1 ( ) 2 yi t y p i p i Seguidamete, vamos a demostrar que, [ t yhh = ( z 2 i + t 2 y ( z i t y ) 2pi 1 ( ) 2 yi t yhh ( 1) p i )p i 2t y z i p i es u estimador isesgado de la variaza. Para ello, observemos primero que, t yhh = 1 z i por lo que z i = t yhh

9 8 siedo pues, [ t yhh = 1 ( ) 2 yi t yhh = ( 1) p i 1 ( 1) (z i t yhh ) 2 = = 1 ( 1) (zi 2 + t yhh 2 2z i t yhh ) [ 1 zi 2 + t 2 yhh 2 t yhh z i = ( 1) y si cosideramos las dos igualdades, [ [ E zi 2 = E zi 2 f i = zi 2 E[f i = zi 2 p i [ 1 zi 2 t yhh 2 ( 1) E[ t yhh 2 = [ t yhh + E 2[ t yhh = [ t yhh + t 2 y tedremos, E[ [ t yhh = = [ 1 ( 1) E zi 2 t yhh 2 [ 1 zi 2 p i t 2 y [ t yhh ( 1) = 1 [ zi 2 p i t 2 y [ t yhh 1 = 1 [ [ t yhh [ t yhh = [ t yhh 1 E resume, observemos que co el cambio de variable itroducido se tiee las siguie-

10 9 tes expresioes, de iterés tato teórico como práctico, para el estimador t yhh, t yhh = z m [ t yhh = 1 (z i t y ) 2 p i [ t yhh = 1 ( ) zi 2 p i t 2 y [ t yhh = 1 2 [ t yhh = p i p j (z i z j ) 2 1 (z i z m ) 2 = 1 ( 1) s2 zm Todas ellas, salvo la cuarta, ha ido apareciedo a lo largo de los desarrollos aterior. La cuarta se demuestra mediate u cálculo directo si mayor dificultad. Realmete es casi obvia. E caso de que el parámetro a estimar sea la media poblacioal, y U, basta teer e cueta que y U = t y /N, co lo que el estimador de Hase-Hurwitz adoptará la forma, ŷ UHH = 1 N p i siedo obviamete isesgado, y tato las expresió de la variaza como su estimació isesgadas será las del total multiplicadas por el factor 1/N 2. Es posible itroducir u uevo cambio de variable para que las expresioes sea las mismas. E efecto, si ahora el cambio es, z i = Np i, i = 1, 2,..., N se tiee otra vez obviamete,

11 10 ŷ UHH = z m [ŷuhh = 1 (z i y U ) 2 p i [ŷuhh = 1 ( ) zi 2 p i y 2 U [ŷuhh = 1 2 [ŷuhh = p i p j (z i z j ) 2 1 (z i z m ) 2 = 1 ( 1) s2 zm Observemos que, tato e el caso del total como de la media, el cálculo práctico asociado a la estimació se reduce al cálculo de ua media muestral y de ua cuasivariaza muestral. Observemos tambié que, de forma similar a lo que ocurre co el estimador de Horvitz- Thompso, si las probabilidades de de selecció so proporcioales a la variable de estudio, p i, i = 1,..., N se tedría, tato para el caso del total como de la media, que los valores z i so costates por lo que, aplicado por ejemplo la cuarta igualdad de las listas ateriores, se tedría que la variaza de la estimació es CERO, es decir, el muestreo o produciría error. Esto resulta, por supuesto, utópico pues los valores o se cooce de atemao; pero sí es posible e muchas situacioes coocer los valores de variables auxiliares relacioadas co la variable Y y emplearlas para costruir las probabilidades de selecció. Co ello o se coseguirá que la variaza sea ula pero sí que se reduzca cosiderablemete. Esta idea da lugar a lo que se cooce como Diseños Muestrales co Probabilidades de Selecció Proporcioales al Tamaño, o diseños PPS e siglas. eamos ahora u ejemplo e el que particularizamos los resultados ateriores para el muestreo aleatorio simple co reemplazamieto. Las expresioes obteidas ya fuero aticipadas e el Tema 2., auque si expoer su demostració. EJEMPLO 3 Si el muestreo MAS(N, ) lo efectuamos devolviedo al cojuto el elemeto obteido, teemos el llamado muestreo aleatorio simple co reemplazamieto, deotado como MASR(N, ), que cosiste e seleccioar e cada extracció u elemeto de U, co probabilidad costate 1/N. Es decir, p i = 1/N, i = 1,..., N. Si queremos estimar la media poblacioal a partir de ua muestra ua muestra obteida mediate MASR(N, ), aplicado el estimador de Hase-Hurwitz, tedremos, ŷ U = 1 N p i = 1 N /N = y m

12 11 es decir, la media muestral. Seguidamete, co el cambio de variable empleado ateriormete para el caso de la media, z i = Npi = tedremos para la variaza, [ŷ U = 1 (z i y U ) 2 p i = 1 ( y U ) 2 1 N = 1 1 ( y N U ) 2 = 1 σ2 yu y para la variaza estimada obteemos, [ŷ U = 1 s2 zm = 1 s2 ym Observemos que es similar a la que se obtiee e el caso de muestreo aleatorio simple si reemplazamieto, salvo el factor (1 f). Esta catidad suele deomiarse factor de correcció por població fiita Utilidad del muestreo co reemplazamieto La aplicació del muestreo co reemplazamieto se realiza más a ivel teórico que real. E efecto, o es usual realizar e ua població muestreo co reemplazamieto para estimar parámetros. No obstate, la teoría del muestreo co reemplazamieto es de suma importacia como vamos a ver a cotiuació. Ya hemos visto ateriormete, cuado hemos estudiado el estimador de Horvitz-Thompso, que si el procedimieto de muestreo da lugar a uas probabilidades de iclusió de primer orde proporcioales a ua variable coocida adecuada, se puede coseguir ua reducció del error de muestreo. Los diseños muestrales de este tipo se deomia ΠPS y hay cietos de procedimietos para implemetarlos. No obstate, al itetar estimar la variaza, por ejemplo cuado se estima el total, os ecotramos co la expresió, [ t yπ = j e las que, como puede verse, aparece las probabilidades de iclusió de segudo orde, j. Así como las de primer orde so fáciles de calcular, las de segudo suele ser muy complicadas, e icluso imposibles de calcular e alguas situacioes e las que carecemos de suficiete iformació. Por el cotrario, la variaza estimada del estimador de Hase- Hurwitz del total [ t yhh = 1 (z i z m ) 2 = 1 ( 1) s2 zm, siedo z i = p i o ofrece la más míima dificultad de cálculo. Etoces, teiedo e cueta que el muestreo co reemplazamieto, usualmete produce u leve aumeto de la variaza de la estimació, se puede emplear la expresió aterior para obteer ua estimació de la variaza, aú sabiedo que dicha estimació es ua aproximació por exceso; esto es lo que llamamos estimació coservadora; y dará lugar a u itervalo de cofiaza algo más amplio.

13 12 Por ejemplo, si trabajamos co u ivel de cofiaza del 95 %, el itervalo obteido co el método aterior tedría ua cofiaza real igual o superior a dicho ivel, auque o podamos calcular esta cofiaza. Aclaremos que todo esto o tiee setido si el muestreo es tal que las j se tiee o so fáciles de calcular, pues e tal caso se emplea la expresió propia si mayor problema. Por ejemplo, para el muestreo aleatorio simple sabemos que j = ( 1)N 1 (N 1) 1 y además dispoemos de ua expresió fácil para estimar la variaza por lo que sería absurdo recurrir al procedimieto aterior. E resume, cuado o dispogamos de las j, y estimamos el total mediate el estimador de Horvitz-Thompso, t yπ = π i estimaremos la variaza como si hubiéramos aplicado el estimador de Hase-Hurvitz, es decir, co la fórmula, [ t yhh = t yhh = p i 1 (z i z m ) 2 = 1 ( 1) s2 zm, siedo z i = = p i dode, por aalogía, hemos igualado a p i, es decir, p i = /. Notemos que esta metodología NO AUMENTA LA ARIANZA DE LA ESTIMACIÓN, que es la que es, sio que proporcioa ua sobrestimació de dicha variaza, siedo ello preferible a o dar igua estimació y por lo tato o poder calcular el error de muestreo. Referecias y bibliografía recomedada [1 Ferádez García, F.R. y Mayor Gallego, J.A. (1995a). Muestreo e poblacioes fiitas: Curso básico. E.U.B. Edicioes Uiversitarias de Barceloa. [2 Ferádez García, F.R. y Mayor Gallego, J.A. (1995b). Ejercicios y prácticas de muestreo e poblacioes fiitas. E.U.B. Edicioes Uiversitarias de Barceloa. [3 Lohr, S.L. (2010). Samplig: Desig ad Aalysis. 2d Editio. Brooks/Cole. Iteratioal Editio. [4 Särdal, C., Swesso, B. ad Wretma, J. (1992). Model Assisted Survey Samplig. Spriger-erlag. New York, Ic.