Tema 2 Algebra de matrices

Transcripción

1 Tema lgebra de matrices. Operacioes co matrices. I la matriz idetidad de orde y P Calcula la matriz siedo I P P M La resolució del ejercicio es la siguiete: I P P P P M 9 7 M hora resolveremos el problema co Wiris: Para trabajar co matrices, primero debemos apreder a escribirlas. Ua vez que lo sepamos hacer, ya podremos trabajar co ellas, idepedietemete del úmero de filas y columas o de las operacioes que queramos hacer:. Escogemos la pestaña de Matrices e el meú superior: Figura.. Pichamos sobre el icoo correspodiete a matrices y os saldrá ua pequeña vetaa e la que escribiremos el úmero de filas y columas que deseamos. E este caso escogeremos ua de x: Figura.

2 Matemáticas II Tema.. ceptamos y obtedremos la matriz preparada para escribir los dígitos e ella: Figura. cotiuació lo que debemos hacer e este apartado es escribir la matriz P y la Idetidad de la siguiete maera: Figura. Para escribir la matriz idetidad, pulsamos el icoo e el que vemos ua I co u cuadrado e el subídice. E este cuadrado escribimos el tamaño de la matriz, que e este caso es. Cuado pulsemos igual, obtedremos ya la matriz idetidad de tamaño x. Debemos dejar claro, que para la realizació de este ejercicio, como os vamos a remitir a estas matrices para operar co ellas sólo poiedo su ombre, debemos pichar al fial de cada líea y pulsar el botó de itro para idicar que estamos detro del mismo ejercicio. Simplemete para comprobar que uestros cálculos so correctos (ya que co WIRIS o ecesitamos hacerlo paso por paso), calcularemos P, P y I.

3 Educado co Wiris. Solucioario de Problemas de Matemáticas para Segudo de Bachillerato Figura 5. Para escribir P, escribimos P y pulsamos el icoo que está represetado por u rectágulo co otro pequeño e el superídice. Para aseguraros, si poemos os poemos ecima co el rató pero o pichamos, os saldrá u letrero azul que os idica que es el botó para poer ua potecia. Ua vez lo hayamos pichado, os aparecerá sobre la P u cuadrado e el que, e este caso escribiremos u. simismo, para las multiplicacioes como P, deberemos usar el asterisco (*). E último lugar, escribimos la ecuació que queremos calcular, y al pulsar igual, obtedremos la matriz M: Figura. Como ya hemos aclarado, podríamos haber resuelto el ejercicio si realizar el segudo paso. Elace co el ejercicio resuelto e la web:. Ecuació matricial. Determia la matriz X que verifica: X B siedo: y 5 B

4 Matemáticas II Tema., Hallamos la matriz iversa de, que debe cumplir I : b a c a c a d c d b d b d b c a Despejamos X pasado B al segudo miembro y multiplicado por la derecha y por la izquierda por : B X B X B IXI B X Por tato: omprobamos que la matriz 5 5 X X C cumple hora resolveremos el problema co Wiris:. Lo primero que debemos hacer, igual que e el ejercicio aterior, es escribir las matrices co las que Figura 7. B X vamos a trabajar: Debemos dejar claro, al igual que e el primer caso, que para la realizació de este ejercicio, c mo os amos a remitir a estas matrices para operar co ellas sólo poiedo su ombre, debemos pichar al fial de s la matriz que ueremos calcular. De esa forma, sólo debemos pulsar el botó de igual, y obtedremos el resultado, es decir, la matriz que verifica uestra ecuació iicial. o v cada líea y pulsar el botó de itro para idicar que estamos detro del mismo ejercicio.. E segudo lugar, escribimos la igualdad que queremos verificar e fució de X que e q

5 Educado co Wiris. Solucioario de Problemas de Matemáticas para Segudo de Bachillerato 5 Figura 8.. Por último, como comprobació de uestro resultado: Figura 9. *Para escribir que queremos calcular la iversa de ua matriz escribimos el ombre (e este caso ) o la matriz y a cotiuació pichamos e el rectágulo que tiee escrito - e el superídice. Elace co el ejercicio resuelto e la web:. Combiació lieal de matrices. Estudiar si existe algú valor de que verifique: iembro e igualamos los elemetos que ocupa la misma posició: stas tres ecuacioes tiee la misma solució, 7 Efectuamos las operacioes del primer m gú E, que es el valor buscado. Que ocurriría si o tuviera todas la misma solució? Pues o existiría i úmero para el cual se verificara la igualdad.

6 Matemáticas II Tema. hora resolveremos el problema co Wiris:. Plateamos la igualdad, iserta mos u argumeto vacío. De esta forma, cuado escribamos e ese espacio el úmero que creemos que es el correcto, os dirá si hemos acertado o o. Figura. Para crear u argumeto vacío os situamos e el lugar e el que queremos itroducir el argumeto. Etoces pulsamos e la pestaña Edició, y después e el rectágulo e cuyo iterior hay ua a verde. Etoces os saldrá ua vetaa que os preguta qué ombre le queremos poer: e este caso le llamaremos?. Por último pulsamos aceptar y obteemos uestro argumeto. Figura. Cuado pulsamos e igual os dice si es cierto o falso. cotiuació, e las Figuras y veremos las dos opcioes:

7 Educado co Wiris. Solucioario de Problemas de Matemáticas para Segudo de Bachillerato Figura. Figura. Elace co el ejercicio resuelto e la web:. Matriz iversa. Prueba que la matriz B o tiee iversa. x y Si B es la iversa de B, B B I. z t x y E este caso: z t x z x z y t y t Hemos obteido dos sistemas de ecuacioes que o tiee solució. Por tato, la matriz B o tiee iversa. hora resolveremos el problema co Wiris:. E primer lugar, escribiremos la matriz B, como e el primer y e el segudo ejercicio. Debemos recordar que cuado os vamos a referir a algo ya escrito, debemos mateeros e el mismo bloque. 7

8 Matemáticas II Tema. Figura.. Después de esto, escribimos B y pichamos, detro de la pestaña Matrices e el rectágulo elevado a -. Después picharemos e el botó de igual, obteiedo: Figura 5. No obteemos igua matriz como resultado, sio que WIRIS os señala que os hemos podido a equivocar al dar la orde, ya que o hay igú resultado posible. Esto os idica que o hay matriz iversa de B. Elace co el ejercicio resuelto e la web: 5. Operacioes co matrices. Si es ua matriz de orde tal que calcula B. B BB I I III y B I, siedo I la matriz idetidad de orde, Teiedo e cueta que:, I I, I I : B I B I 8

9 Educado co Wiris. Solucioario de Problemas de Matemáticas para Segudo de Bachillerato hora resolveremos el problema co Wiris:. Escribimos cuato vale y B: Figura.. cto seguido, escribimos B y pulsamos el botó de igual: Figura 7. Como vemos, teemos el mismo resultado que e el cálculo ordiario del ejercicio. Para llegar a B =I, solo teemos que aplicar las propiedades de la iversa y realizar los cálculos aritméticos. Elace co el ejercicio resuelto e la web:. Potecia -ésima Dada la matriz, calcula. 9

10 Matemáticas II Tema. Calculamos...,, Observamos que: ete es decir: i comprobamos que esta expresió de es válida para etoces será válida para cualquier ducció). C o Si Supoemos que sigue la misma regla para el expo, s que lo es:, S, (método de i omprobam ; etoces, hora resolveremos el problema co Wiris: ooce la poteci -sima podemos realizar este ejercicio para =, = y =5. Para resolver este ejercicio, debemos escribir la matriz co su ombre correspodiete (e este caso es ), y detro del mismo bloque escribir y elevarlo a la potecia que queramos, e este caso, y 5 spectivamete: Como Wiris o rec a re

11 Educado co Wiris. Solucioario de Problemas de Matemáticas para Segudo de Bachillerato Figura 9. Elace co el ejercicio resuelto e la web: 7. Ecuacioes co matrices. Calcula las matrices y B que verifica: y Para resolverlo se realiza los siguietes pasos: Multiplicamos por B B los dos miembros de la seguda ecuació y sumamos después las ecuacioes: Despejamos ; B B B B e la primera ecuació: B

12 Matemáticas II Tema. hora resolveremos el problema co Wiris:. El primer paso parte de la igualdad obteida, de multiplicar los dos miembros de la seguda ecuació por y sumer ambar. De esta forma teemos : Figura 9.. Lo segudo que debemos hacer es despejar B de la primera ecuació, obteiedo de esta forma la matriz B: Figura. Elace co el ejercicio resuelto e la web: 8. Ecuació matricial. Calcula X, Y, Z tales que: x y z y x 5 z 5 Trasformamos esa igualdad e u sistema de ecuacioes multiplicado, las matrices del primer miembro e igualado térmio a térmio:

13 Educado co Wiris. Solucioario de Problemas de Matemáticas para Segudo de Bachillerato y x yz 5 x zy x z 5 7 y x z x z 5 O bie: x z x 5 Se obtiee cuatro solucioes: z,,,,,,,,,,, hora resolveremos el problema co Wiris:. E primer lugar, resolveremos u sistema de ecuacioes para averiguar el valor de : Figura.. Nuestro segudo paso será resolver el sistema para y=: Figura.. hora resolveremos el mismo sistemaque el de la figura para y= -: Figura.

14 Matemáticas II Tema. Elace co el ejercicio resuelto e la web: 9. Rago de ua matriz. Estudia el rago de la matriz M ra? M segú los valores de a. Existe algú valor de a para el que sea M a a a Para resolver la actividad propuesta realizamos los siguietes pasos: Trasformamos la matriz M para hacer todos los ceros posibles e ella: a a a ( ª ) ( ª ) (ª ) (ª ) a (ª ) a a a ( ª ) (ª ) ( ª ) a ( ª ) a a Hacemos a a Si a, M ra( M ) Por tato, si a o Si a, ra ( M ) a, ra ( M ) M Si a, es decir, a y a, ra ( M ) El rago de M liealmete idepedietes para cualquier a. o puede ser igual a para igú valor de a por que las dos primeras filas so hora resolveremos el problema co Wiris: Para resolverlo co Wiris hay que calcular el rago para a=, para a= - y para otro cualquier valor de a, e este caso se ha hecho para a=. E primer lugar, calcularemos el rago para a=:

15 Educado co Wiris. Solucioario de Problemas de Matemáticas para Segudo de Bachillerato Figura.. Después calcularemos el rago para a=-: Figura 5.. Por último, calcularemos el rago para cualquier valor de a, e este caso para a=: Figura. *Par a calcular el rago de ua matriz, sólo teemos que escribir la palabra rago delate de la matriz y pulsar el botó igual. Elace co el ejercicio resuelto e la web: 5

16 Matemáticas II Tema.. Iterpretació matricial de euciados. La tabla adjuta muestra la catidad de vitamias, B y C que posee cada uo de los productos P, Q, R y S por uidad de peso: a) Queremos elaborar ua dieta e la que etre todos los productos y de maera que cotega uidades de vitamia, 5 de vitamia B y de vitamia C. Es posible hacerlo? De cuatas maeras? b) Si la catidad de producto Q es de uidades, cuales será las catidades de los otros productos e esa dieta? c) Obté, e fució de la catidad Q que etre e la dieta, las catidades de los otros productos. Etre que valores habría de estar la catidad de producto Q? cotiuació se resuelve cada uo de los apartados: a) Llamemos (x y z t ) a las catidades de cada uo de los productos P, Q, R y S que iterviee e la dieta. Para que la dieta tega las catidades de vitamias requeridas, debe cumplirse la siguiete igualdad. Q P R S B C P x Q y R z S t Q P R S B C B C = 5 Multiplicado e igualado las matrices llegamos al sistema: x y z t x z t 5 y t Mediate el Método de Gauss podemos comprobar que el sistema es compatible idetermiado. Por ello, puede elaborarse ifiitas dietas de los productos P, Q, R, S co las vitamias exigidas. b) Hacemos y= y resolvemos el sistema que resulta. Obteemos la solució x=, z=, t=. La dieta estará formada por uidades de P, de Q, de R y de S. c) Resolvemos el sistema e fució de y (catidad de producto Q que iterviee e la dieta). Hacemos y y obteemos las solucioes 8,,,, que os idica la catidad de P, Q, R, S que forma cada ua de las posibles dieta s. Para que estas catidades o sea egativas, debe variar etre y. es decir:.

17 Educado co Wiris. Solucioario de Problemas de Matemáticas para Segudo de Bachillerato hora resolveremos el problema co Wiris:. Para ello, pichamos e operacioes y posteriormete e resolver sistema. Etoces idicamos que el sistema tiee tres ecuacioes: Figura 7.. Después plateamos el sistema de ecuacioes, itroduciedo los datos: Figura 8.. hora lo resolvemos pulsado el botó igual, pero podemos ver que o tiee ua solució por icógica, sio que es compatible idetermiado. Figura 9. 7

18 Matemáticas II Tema.. Sustituimos la icógita y por, obteiedo lo mismo que e el desarrollo ateior t=, X= y z=. Figura. 5. Por último, resolvemos el sistema e fució a y, siedo y. Figura. * Para escribir la letra pichamos e la pestaña Griego y e ella, buscamos esta letra. Elace co el ejercicio resuelto e la web: 8