pq N pq N s N Tema 14 : Estimación de parámetros. Pruebas de conformidad.

Transcripción

1 Tema 14 : Etimación de arámetro. Prueba de conformidad. Etimación de arámetro A artir de una muetra nunca odemo aber exactamente el valor de lo arámetro oblacionale, ero í odemo etimarlo de una forma razonable con un equeño margen de error, que odemo medir. La mejor etimación de un arámetro de la oblación a artir de una muetra e 1) el arámetro de la muetra, ólo i la muetra e grande 2) el intervalo de confianza ( I ó IC ) del arámetro de la muetra en todo lo cao (ea grande o equeña). Hay ue 2 tio de etimación: --la etimación untual, que ólo e oible i la muetra e grande: PaP PaM --la etimación or intervalo, que iemre e oible : PaP PaM ± E ó PaP (PaM-E PaM+E) iendo E el error muetral: E = c*e (muetra grande) ó E = t n-1* e (muetra equeña). e e el error etándar, que como ya hemo vito e la deviación etándar de la media de lo arámetro muetrale hallado en múltile muetra obtenida de una oblación (no confundir con la deviación etándar de una muetra). E oible calcularlo ya a artir de una ola muetra. a r a u n o r c e n ta je o r o o r c ió n : q e = a r a u n a m e d ia : e = *** Etimación or intervalo de un orcentaje o roorción : e el intervalo de confianza del orcentaje o roorción de la muetra a) muetra grande I = ± c q b) muetra equeña I = ± t ( n 1) q 14-1

2 Ejemlo 1: En una muetra de 100 etudiante de la Facultad F el 20% tienen ordenador ortátil. Etimar el orcentaje de la oblación que tendrá ordenador ortátil -etimación untual (e muetra grande) : 20% -etimación or intervalo : 20* 80 I = 20 ± 1,96 = 20 ± 7,84 = (12,2 27,8)% 100 Ejemlo 2:Se hace el mimo etudio ero en una muetra de 25 alumno y lo tienen el 20%. -etimación untual : no e oible, ue la muetra e equeña 20* 80 -etimación or intervalo: I = 20 ± 2,064 = 20 ± 16,51 = (3,49 36,5)% 25 La fórmula aquí exueta on la má encilla y uficiente ara la ráctica. En determinado cao uede er neceario un cálculo má exacto (aunque igue iendo aroximado) ara el que e recian rograma etadítico, dada u comlejidad.. EPITABLE da lo IC calculado or el método cuadrático de Flei, el binomial exacto y el de la media (mid-). En lo do ejemlo anteriore lo límite on: cuadrático de Flei binomial exacto media Ejemlo 1 (12,9 29,4) (12,7 29,4) (12,9 29,2) Ejemlo 2 (7,60 41,3) (6,83 40,7) (7,72 38,9) *** Etimación or intervalo de una media: e el intervalo de confianza de la media de la muetra a) muetra grande I = X ± c X I = X ± t n c) muetra equeña X ( 1) En eta fórmula lo que igue al igno ± e E y lo que igue a c ó t e e Ejemlo 1: En una muetra de tamaño 100 la media vale 33 y la deviación etándar 10. -etimación untual: 33 --etimación or intervalo: 10 I = 33 ± 1,96 = 33 ± 1,96 = (31,04 34,96) X 100 Ejemlo 2: Como en el ejemlo anterior, ero con una muetra de 25 -etimación untual : no e oible, ue la muetra e equeña -etimación or intervalo: 10 I = 33 ± 2,064 = 33 ± 4,13 = (28,87 37,13) X 25 *** Etimación or intervalo de un coeficiente de correlación E u intervalo de confianza. Su cálculo exacto e batante comlicado. Veremo do método: 1) gráfico de David 2) método de Zr (tranformación de Fiher) ---El gráfico de David e un método muy encillo, que no recia cáculo, ero u etimación e batante burda. Se buca en la arte uerior el valor de r y e une or una linea vertical imaginaria con el de la arte inferior; e marcan lo unto en que ea linea corta a la do del tamaño 14-2

3 muetral; eo unto traladado horizontalmente a la ecala lateral dan lo límite del IC de r. Dada el oco detalle del gráfico hay que hacer interolacione. Ver el gráfico en la ágina 14-6 Para una r de 0,600 y un tamaño muetral de 50 el límite inferior etá en 0,400 y el uerior en 0,750.ICr (0,400 0,750) ---- or Zr : E la tranformación de Fiher, que igue la ditribución normal r c -- Zr = ln ± 2 1 r 3 aquí e abren do ocione: 1) utilizar la tabla de Zr ara leer lo límite del intervalo (ver la tabla en la ágina 14-7): --el reultado e redondea a 2 decimale; i la muetra e equeña, e toma t n-3 en vez de c --e buca en la tabla a que valore de r correonden eta do Zr; on lo límite del IC. En el ejemlo la Zr valen 0,41 y 0,98, a la que correonden en la tabla, redondeando a 3 decimale, valore de r = 0,388 y 0,753 ; ICr = (0,388 0,753) 2) utilizar una fórmula, que invierte la tranformación inicial (cálculo exacto): Para cada valor de Zr : 2Zr r : = e 1 e 2Zr + 1 En el ejemlo e obtiene: El gráfico de Davi no ha dado una buena aroximación Otro ejemlo: r = 0,400 ; = Davi: ICr = (0,140 0,600) ---Zr. La Zr valen 0,14 y 0,71 y or tanto ICr = (0,139 0,611) ---El cálculo exacto da ICr = (0,137 0,610) IC = (0, 386 0, 753) * * * Prueba de conformidad Sirven ara comrobar i una muetra uede roceder de una oblación determinada. Contetan a la regunta: uede roceder una muetra de media (o orcentaje) tal de una oblación de media (o orcentaje) cual? ; e conforme la muetra con lo eerado ara la oblación?... Fundamento etadítico Ver i el arámetro de la muetra etá dentro del intervalo de robabilidad de la oblación. H 0 : no hay diferencia ignificativa entre muetra y oblación; or tanto í uede roceder. H 1 : hay diferencia ignificativa entre muetra y oblación; or tanto no uede roceder. Si no e dice otra coa, e toma como único nivel de ignificación el de 0,05. Técnica E la habitual en lo roceo de contrate: ---e alica la fórmula adecuada, que deende del tio de variable y u tamaño. Al reultado lo llamamo Z. ---comaramo Z, tomado en u valor aboluto, Z,con el atrón de referencia: -i Z e menor: no e rechaza H 0. Se concluye que í uede roceder, que e conforme... -i Z e igual o mayor que el atrón de referencia: e rechaza H 0 y e aceta H 1 ; e decir, e concluye que no uede roceder, que no e conforme... r 14-3

4 Fórmula Veremo tre: la correondiente a la conformidad de una roorción o orcentaje, la conformidad de frecuencia y la conformidad de una media. 1) roorción o orcentaje Z = m * q Valoración muetra grande : or la D muetra equeña: e multilican y q de la oblación or --i ambo roducto on 5 (ó 500, i e %) : or la D --i alguno de ello e < 5 (ó 500) : or t n-1 2) frecuencia uar la fórmula de contrate nº 3 (ver ágina 16-4) Valoración or χ 2 con g.l. = nº de modalidade - 1 3) media Z (X X ) m = Valorar or D, i e muetra grande; i e equeña or t n-1 En la conformidad de media hay que tomar la de la oblación, i e conocida. Si no lo e, e toma la de la muetra, que e u mejor etimación. Ejemlo: 1- La enfermedad A e abe que tiene una mortalidad del 25%. Obervamo una eidemia de 80 cao, de lo que fallecen 24. E aún una eidemia normal o e má grave? Solución: Para alicar la fórmula neceitamo calcular m y q, ue el reto ya lo conocemo. m e el % de defuncione: 24*100/80 = 30%. q = = 75% Z = = 1,03 25*75 80 H 0 : e conforme, e una eidemia normal al er >30, valoramo or c 0,05 = 1,96. z < c 0,05 ; or tanto no e uede rechazar H 0. Lo obervado etá dentro de lo eerado, e conforme, la diferencia obervada e exlican or la variacione del azar. Y contetando a la regunta: o odemo rechazar la hiótei de que e trata de una eidemia normal. 2- Como todo orcentaje uede er tranformado en frecuencia y vicevera, ete ejercicio e uede reolver contratando la frecuencia obervada (O) y la eerada (E), utilizando la fórmula de contrate nº 3 i no e alicable or er E<3, hay que utilizar la exacta de Fiher 14-4

5 O E Muerto Vivo TOTAL Z = (24-20) 2 /20 + (56-60) 2 /60 =1,07, que e menor que χ 2 (1, 0 05) = 3,84. Por tanto no e uede rechazar H 0 y e llega a la mima concluión 3-: Puede roceder una muetra de 20 erona con un número de fumadore de 10 de una oblación de fumadore del 45%? --- Problema de conformidad entre la roorción o orcentaje obervado en una muetra y lo eerado en una oblación. H 0 : no hay diferencia ignificativa entre muetra y oblación, í uede roceder la muetra de ea oblación, hay conformidad. Pm=(10/20)*100=50% P= 45% Q=55% =20 Z = (50-45)/ (45*55)/20 = E muetra equeña : como *P y *Q >500, e valora or c de la D : Z < c0 05 (=1,96) y or tanto no e uede rechazar H 0 : Sí uede roceder ---- También e uede reolver contratando frecuencia, la obervada en una muetra y la teórica correondiente a una oblación. H 0 : no hay diferencia ignificativa entre muetra y oblación, í uede roceder la muetra de ea oblación, hay conformidad. O E Fumad o Fum TOTAL Z = (10-9) 2 /9 + (10-11) 2 /11 = 0 20, que e menor que X 2 (1, 0 05) = 3.84 y or tanto no e uede rechazar H 0; í uede roceder la muetra de ea oblación. 4-: Un Laboratorio Farmacéutico afirma que la tableta XYZ calman el dolor de etómago durante or lo meno 4 hora en una roorción de Para comrobarlo e hace una exeriencia con 20 erona enferma, elegida al azar. El reultado e oitivo en 12 aciente. Etá ete reultado de acuerdo con lo afirmado or el Laboratorio? ---- Problema de conformidad entre la roorción o orcentaje obervado en una muetra equeña y lo eerado en una oblación. H 0 : no hay diferencia ignificativa entre muetra y oblación, í uede roceder la muetra de ea oblación, hay conformidad, el reultado etá de acuerdo con lo afirmado or el Laboratorio. Pm=(12/20)*100=60% P=85% Q=15% =20 Z = (60-85)/ (85*15)/20 = Como e muetra equeña y *Q <500 e valora or t(19,0 05)=2 093 Z > t y or tanto e rechaza H0 a ee nivel de ignificación. La muetra no e conforme con la oblación: el reultado obtenido no etá de acuerdo con lo afirmado. Sentido: Hemo obtenido un reultado eor También e uede reolver contratando frecuencia, la obervada en una muetra y la teórica correondiente a una oblación. H 0 : no hay diferencia ignificativa entre muetra y oblación, í uede roceder la muetra de ea oblación, hay conformidad. O E Calma o calma. 8 3 TOTAL Como un valor E e <5, ero mayor de 3 : Z = ( ) 2 /17 + ( ) 2 /3 = 7 94, que e mayor que X 2 (1, 0 05) = 3.84 y or tanto, igual que ante, e rechaza H 0. 5-: Un Laboratorio farmacéutico declara que u tableta ABC contienen 100 mg de roducto activo, con una varianza de 100. Hacemo una rueba con 36 tableta tomada al azar y encontramo una media de 95 mg con = 12. Contradice ete reultado lo afirmado or el Laboratorio? --- Problema de conformidad entre la media aritmética de una muetra y la de la oblación. H 0: ea muetra uede roceder de la oblación, e conforme con ella, no hay diferencia ignificativa entre amba... Valoración or la c correondiente a 0 05, que vale 1 96 (e muetra grande) Z = ((95-100)* 36) /10 =

6 -3 = 3 > 1 96, luego e rechaza H 0: : no hay conformidad, la muetra no uede roceder de ea oblación, lo reultado contradicen lo afirmado or el fabricante. Sentido: hay meno rinciio activo Ya que e conoce, e toma la de la oblación (= 100 = 10) y no la de la muetra. Anexo: Gráfico de David 14-6

7 Tabla de Zr 14-7