CAPÍTULO 8 INFERENCIA SOBRE UNA POBLACIÓN NORMAL

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1 CAPÍTULO 8 IFERECIA SOBRE UA POBLACIÓ ORMAL 8.1 ITRODUCCIÓ En el preente capítulo e introducen la técnica báica de inferencia obre una población normal, obre cuya media y deviación típica e deea obtener concluione a partir del análii de lo dato de una muetra extraída de la mima. Para hacerla má intuitiva, la cuetione tratada e introducen a partir del análii de un problema concreto Sobre dicho problema e recuerdan, en primer lugar, lo concepto de hipótei nula, y de riego de primera y egunda epecie que e vieron en el capítulo anterior y e introduce el concepto de intervalo de confianza, de gran importancia en la Inferencia Etadítica. Para abordar la cuetione que e tratan en ete tema, y en lo iguiente, e neceario introducir previamente alguno concepto báico obre la ditribución de la caracterítica muetrale. En ete capítulo e dan, de forma muy intética, la idea fundamentale al repecto, introduciéndoe lo reultado concreto a medida que e van neceitando poteriormente. En ete contexto e introduce también la ditribución t de Student, que e manejará en todo el reto del texto. Se expone también la forma de llevar a cabo lo análii mediante la utilización del paquete etadítico Statgraphic, ya manejado en anteriore capítulo. 8.2 U EJEMPLO Una máquina llenadora de bola de malla de mandarina, de la que e uan en lo almacene de confección de eta fruta, e regula para obtener un peo de 2000 gramo. Debido a una erie de caua de variabilidad (variación en el calibre de la fruta, impreciión en la peada automática,...) e impoible obtener contantemente bola que peen exactamente 2000 gramo; el peo obtenido e realmente una variable aleatoria, definida obre la población de toda la bola que e confeccionan. Se conidera que la máquina etá bien regulada i la media de dicha variable aleatoria e Para controlar i eto e aí, e ha tomado al azar una muetra de 15 bola, cuyo peo e recogen a continuación:

2 Qué puede decire obre la media y obre la varianza de la variable etudiada? En epecial, puede admitire que la máquina etá bien regulada o, por el contrario, hay evidencia de que la media e diferente de 2000 y debe, por tanto, procedere a reajutar la máquina? 8.3 ORMALIDAD DE LOS DATOS La mayor parte de la técnica de inferencia etadítica cláica obre variable aleatoria continua, aumen que la variable muetreada e ditribuyen normalmente. Ante, por tanto, de aplicar eta técnica e aconejable analizar hata qué punto el modelo normal e adecuado, a la vita de lo dato obtenido, para analizar la pauta de variabilidad de la variable etudiada. ota importante: todo modelo matemático potulado para el etudio de un fenómeno real (ea la ditribución normal, el péndulo matemático, o lo rectángulo) implica neceariamente una implificación y abtracción de éta. (Carece por tanto de entido la cuetión de i un determinado modelo e "verdadero" o "correcto" para aplicarlo a una realidad concreta! Sin embargo í que e importante planteare i la realidad etudiada e "lo uficientemente parecida" a la potulada por el modelo, como para que la aplicación de éte conduzca a reultado "válido" o "útile" en la práctica. Autoevaluación: Exiten en el mundo mucho péndulo contituido por un hilo inextenible y in peo del que cuelga una maa puntual in volumen que ocila in rozamiento en el vacío? Quiere ello decir que la fórmula del periodo del péndulo matemático no puede aplicare nunca en la práctica? Se podría aplicar dicha fórmula para calcular aproximadamente el periodo de un péndulo contituido por un trozo de papel colgado de una goma ocilando en medio de un vendaval? Exiten divero tet etadítico formale para etudiar la normalidad de uno dato (tet Gi-do, tet de Kolmogorov, etcétera...). En nuetra opinión eto tet on de dudoa utilidad práctica, contituyendo "la repueta correcta a una pregunta equivocada". En efecto, la pregunta a la que pretenden reponder ( proceden mi dato de una ditribución normal teórica?) carece de entido. La pregunta realmente relevante ería: " e la pauta de variabilidad contatada en lo dato lo uficientemente parecida a la potulada por el modelo matemático de la ditribución normal, como para que pueda aplicarle lo reultado teórico deducido para éta?". 95

3 A eta pregunta, en vez de con tet etadítico formale de ajute a ditribucione, e reponde mejor a partir de una repreentación gráfica encilla como un hitograma o un gráfico en papel probabilítico normal. Eta repreentacione pueden ademá detectar la preencia de dato anómalo (poiblemente la má grave y frecuente forma de no normalidad) y ugerir modelo alternativo en lo cao en lo que el normal aparezca como poco adecuado. Dado que quince dato e un número muy reducido para elaborar un hitograma, parece preferible en el ejemplo limitare a obtener una repreentación de lo dato en papel probabilítico normal. Tal como e ve en la figura, dicha repreentación no muetra ningún indicio claro de no normalidad, por lo que e aumirá el modelo normal como adecuado para el análii poterior. 8.4 AÁLISIS DESCRIPTIVO DE LA MUESTRA La primera fae del análii de cualquier conjunto de dato debe iempre conitir en un etudio decriptivo de lo mimo, tanto mediante gráfico (hitograma, diagrama Box-Whiker, Plot ormal), como calculando lo principale "etadítico (media, deviación típica, cuartile, coeficiente de aimetría y curtoi, etc...) Ete análii puede realizare, por ejemplo, mediante Statgraphic que proporciona la alida que e recoge a continuación A la vita de lo reultado la hipótei de normalidad igue apareciendo como aceptable, pueto que lo valore de lo coeficiente de aimetría y curtoi etandarizado on batante cercano a cero. 96

4 Sin embargo, un imple análii decriptivo no e uficiente para tomar deciione a partir de lo dato Autoevaluación: la media muetral ha reultado igual a , y e por tanto diferente de 2000 Quiere ello decir que la máquina llenadora e ha deajutado y que, por tanto, hay que detener la producción y proceder a reajutar la máquina? Procediendo de eta forma itemáticamente: mejoraremo mucho nuetro proceo?, lo empeoraremo? Si la máquina llenadora etá bien ajutada, o ea i u media e m = 2000: E eguro que en una muetra al azar de 15 bola e obtendrá iempre exactamente x =2000? E poco probable que pae eo? E prácticamente impoible que eo ocurra alguna vez? eceitamo por tanto algún procedimiento que no permita obtener concluione obre el valor de m en la población, a partir de la información que hemo obtenido en la muetra. Ete tipo de procedimiento contituyen el objeto de la Inferencia Etadítica. 8.5 ESTUDIO DE LA HIPÓTESIS M = EFOQUE DEL PROBLEMA Dado que la máquina e ajutó inicialmente a 2000 gr. y que no e ha producido ningún hecho excepcional en la planta (la muetra e ha tomado para hacer un control rutinario), parece razonable aumir como hipótei de alida que m e igual a 2000 a no er que la información contenida en la muetra indique lo contrario A eta hipótei que e toma como bae de partida y que, en cierto entido, refleja nuetro conocimiento previo de la ituación, e le denomina en Inferencia Etadítica Hipótei ula H 0 El proceo de razonamiento eguido para etudiar i eta hipótei nula e o no admiible, e intuitivamente el iguiente: Si m = 2000 x debería er 2000 Por tanto, e admitirá que m=2000 i x e "cercana" a 2000 y e rechazará dicha hipótei i x no e "cercana" a 2000 Pero... qué debería entendere por "cercana"? Para reponder a eta pregunta e neceario cuantificar, de alguna manera, hata qué punto un parámetro etimado a partir de una muetra, como x, puede diferir por el azar del muetreo del valor m de ee parámetro en la población muetreada. Seguidamente e aborda de forma muy intética eta cuetión. 97

5 8.6 DISTRIBUCIOES E EL MUESTREO Introducción Sea una población a cuyo individuo va aociada una variable aleatoria X. Para obtener concluione obre la ditribución de eta variable e obtiene una muetra aleatoria contituida por individuo de la población. (Una muetra e dice que e aleatoria -en la terminología etadítica e utiliza la expreión muetra aleatoria imple- i puede coniderare que todo lo individuo de la población han tenido la mima probabilidad de etar incluido en la muetra y i, ademá, dicho individuo han ido eleccionado independientemente uno de otro). De una mima población e poible "a priori" obtener una gran cantidad de muetra diferente de tamaño (de hecho la cantidad e infinita i lo e la población original). Exite por tanto una población de poible muetra, o ea una nueva población cuyo individuo on dicha muetra. A cada individuo de eta nueva población e le pueden hacer correponder diferente caracterítica numérica (por ejemplo: la media muetral x o la deviación típica muetral de la muetra coniderada) que erán por tanto nueva variable aleatoria. E muy importante comprender bien la idea expreada en el párrafo anterior. Eta idea implica que cualquier caracterítica muetral (como x o ) e una nueva variable aleatoria, variable cuya ditribución dependerá de la exitente en la población muetreada y del tamaño de la muetra. Aí, por ejemplo, la media muetral x e una variable aleatoria y, como tal, tiene una media y una deviación típica que dependerán, en general, de la ditribución exitente en la población de la que la muetra ha ido extraída. Autoevaluación: Tienen entido la iguiente expreione? La media de la media muetral La varianza de la media muetral La media de la varianza muetral La varianza de la varianza muetral Podría intuitivamente avanzar cuale cree que erán lo valore de alguna de la caracterítica eñalada? Cualquier función de lo valore muetrale, como lo on por ejemplo la media muetral x o la deviación típica muetral, e denomina un etadítico. De acuerdo con lo que acaba de exponere todo etadítico e una variable aleatoria, cuya ditribución dependerá en general de la ditribución de la población y del tamaño de la muetra Ditribución de x La media muetral e define, como abemo, por la expreión: x = X + K+ X 1 Si la población muetreada tiene de media m y de varianza σ 2, cada una de la X i que contituye la muetra erá el valor obervado de una variable aleatoria con dicha media y varianza. 98

6 Como la media de una uma de variable e la uma de la media, y la contante puede alir fuera al hallar eperanza matemática, e obtiene inmediatamente el iguiente importante reultado: æ 1 ö 1 ( ) ç X + K+ X E(X ) + K+ E(X ) m + K+ m E x = E = = = m è ø Por tanto, la media de la media muetral e la media poblacional. Por otra parte, aplicando la do propiedade de la varianza vita en el apartado 5.7.1, e obtiene: ( ) Var x æ X + K+ X ö Var(X ) + K+ Var(X ) + K+ = Var ç = = = = è ø Por tanto, la varianza de la media muetral e la varianza de la población dividida por el tamaño de la muetra. En conecuencia a medida que aumenta diminuirá σ 2 ( x ) y reultará má improbable que x tome valore que difieran mucho de la media poblacional m. Ete reultado jutifica la idea intuitiva habitual de coniderar má "fiable" la concluione obtenida a partir de una muetra grande que la derivada de una muetra pequeña. Digamo, por último, que como una conecuencia inmediata del Teorema Central del Límite vito en el capítulo anterior, la media muetral x, al er el reultado de umar una erie de variable independiente, tiende a ditribuire normalmente, aunque la población de la que e haya extraído la muetra no iga una ditribución normal. ota:en el cao particular, muy importante en la práctica, de que en la población muetreada la variable e ditribuya normalmente, x e ditribuye normalmente, ea cualea el tamaño de la muetra, e, en conecuencia, normal tipificada. x - m igue una ditribución Evaluación: Se extrae una muetra de tamaño de una población normal de deviación típica σ=3. Calcular cuanto debe valer como mínimo i e deea tener una probabilidad inferior al 1% de que la diferencia entre la media muetral y la media poblacional ea uperior a 1 (Ver repueta al final del tema) La ditribución t de Student En la inferencia repecto a media en poblacione normale deempeña un papel fundamental la ditribución t de Student. (El nombre procede del eudónimo con que firmaba u trabajo el matemático Goet, que la dearrolló en el curo de u trabajo centrado en la indutria cervecera). Siendo X una variable [0,1] e Y una variable Gi-do con grado de libertad independiente de la anterior, e dice que t igue una ditribución t de Student con grado de libertad i: 99

7 X t = Y n En la figura iguiente e refleja la forma de la función de denidad de una variable t de Student con 5 grado de libertad. Como puede apreciare la ditribución e imétrica repecto al origen, que e la media de la variable, recordando mucho a una [0,1]. En realidad la varianza de la t de Student e algo mayor que 1 (concretamente σ 2 = / ( -2), aumiendo que >2), pero tiende a 1 a medida que aumentan lo grado de libertad. De hecho cuando tiende a la variable t de Student tiende a ditribuire como una [0,1]. La tabla de la iguiente hoja refleja, para diferente valore de α y, lo valore t α tale que la probabilidad de que una variable t de Student con grado de libertad ea uperior a t α e igual a α. Autoevaluación: Obtener un valor x tal que la probabilidad de que una t de Student con 10 grado de libertad ea en valor aboluto mayor que x, ea igual al 5%. La importancia de la ditribución t de Student en la Inferencia Etadítica radica en el iguiente reultado: iendo x y la media y la deviación típica de una muetra de tamaño extraída de una población normal de media m, el etadítico: - t = x m igue una ditribución t de Student con -1 grado de libertad. ota: Apréciee la analogía entre la expreión anterior y la vita al final de El hecho de utituir en aquélla una deviación típica poblacional σ (generalmente deconocida) por u etimación muetral, e traduce en que el etadítico paa de tener una ditribución [0,1] a una t de Student con -1 grado de libertad (que on lo grado de libertad con que etá etimada σ). 100

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9 8.7 COTRASTE DE LA HIPÓTESIS m = 2000 Al final del Apartado 8.5 preguntábamo hata qu re punto debía diferir lamedia muetral x del valor hipotético 2000 para que fuera razonable rechazar la Hipótei ula H 0 m = 2000 x La olución conite en baare en el etadítico t calc = (donde =15 e el tamaño de la muetra) que, de acuerdo con lo vito al final del apartado 8.6.3, eguirá una ditribución t de Student con 14 grado de libertad (y erá por tanto próximo a 0) i e cierta la hipótei de que m e igual a Por otra parte, i m e diferente de 2000, la t calc tomará en general valore má lejano de cero (poitivo i m>2000 ó negativo i m<2000) que lo eperable para una variable t de Student. Por tanto, una forma razonable de proceder erá rechazar la hipótei nula i la t calc reulta demaiado grande (en valor aboluto) para er una t de Student Y cómo podemo cuantificar hata qué punto la t calc e "demaiado grande" para er una t de Student? calculando la probabilidad de que una t de Student tome valore tan grande o má que la t calc. A eta probabilidad, que puede obtenere en la tabla de la t, e le denomina el p-value, y contra má baja ea mayor erá la evidencia repecto a la faledad de H 0. Frecuentemente e opera en Etadítica rechazando la hipótei nula i el p-value e inferior a Ello e equivalente, en nuetro ejemplo, a rechazar la hipótei nula i el etadítico t reulta mayor (en valor aboluto) al valor correpondiente al punto t 14 (0.05) que, como puede conultare en la tabla correpondiente, e 2.14 Como en el ejemplo: x tcalc = = = < e deduce que la hipótei nula m = 2000 e aceptable, o ea, que e compatible con lo dato obervado en la muetra. Autoevaluación: contra má pequeño ea el p- value, má ignificativa e dice que e la diferencia entre m y Que una diferencia ea muy ignificativa etadíticamente, quiere decir que e muy grande? Cuando en el ejemplo coniderado e admite la hipótei nula, quiere decir que hemo demotrado etadíticamente que m e igual a 2000? (Ver repueta en el Anejo al final del Tema) En íntei, la operativa general propueta para analizar i e admiible la hipótei H 0 : m = m 0 e la iguiente: Calcular t x - m 0 calc = y rechazar H 0 i t calc > t -1 ( ), donde t -1 (α) e un valor, que e buca en tabla tal que P( t -1 >t n-1 (α))=α, donde en nuetro ejemplo hemo operado con =

10 Riego de 1ª y 2ª epecie α erá por lo tanto la probabilidad que tenemo, operando de eta forma, de equivocarno rechazando H 0 cuando e cierta. A α e le denomina, como abemo, Riego de 1ª epecie. (ota: en general en Etadítica la palabra "riego" e un término técnico que ignifica "probabilidad de cometer un error") En general e utilizan valore de α=0.05 (como en el ejemplo) ó α=0.01 (i e requiere tener un riego de 10 epecie muy bajo). Autoevaluación: o ería mejor operar con riego de 10 epecie lo má bajo poible? Qué problema e preentaría en la práctica i queremo reducir al máximo la probabilidad de equivocarno rechazando la H 0 cuando ea cierta? Si e opera con α muy bajo (en el ejemplo: i ólo queremo reajutar la máquina i etamo muy eguro de que e ha deajutado), e aumenta a cambio el Riego de 2ª epecie, que e, como abemo, la probabilidad de aceptar H 0 cuando e fala (no reajutar la máquina pee a habere deajutado). Se conidera generalmente que α=0.05 e un compromio razonable entre ambo riego. ota técnica importante: el ingeniero no debe, in embargo, obeionare ciegamente en u etudio con uno valore concreto de (0.05 ó 0.01) La utilización de uno valore límite o crítico para el p-value que eparan lo reultado ignificativo de lo no ignificativo no e má que un anacronimo, reflejo de época en la que el cálculo exacto de eto p-value e hallaba fuera del alcance del invetigador, que ólo podía hacere una idea al repecto comparando lo valore por él obtenido con lo reflejado en una tabla que generalmente e limitaban a eto do nivele. E el p-value, por tanto, lo que refleja el grado de evidencia de uno reultado contra la H 0 y, en conecuencia, lo que debería acompañar al análii de dicho reultado, y no ólo la contatación de i reulta uperior o inferior al 5%. Porque qué diferencia hay, en la práctica, entre un p-value del 4.9% o del 5.1%? 8.8 ITERVALO DE COFIAZA PARA m Que la H o m=2000 ea admiible para lo dato obtenido, no quiere decir que hayamo demotrado que m e igual a De hecho, mucho otro valore hipotético de m también hubieran reultado admiible con lo dato obtenido. Cómo podemo, a partir de la muetra, contruir un intervalo que tenga a priori una probabilidad elevada (1-α) de contener el valor deconocido m de la media poblacional? Como x - m e ditribuye como una t -1, y iendo P( t -1 >t n-1 (α))=α, e æ x - m ö cumplirá que: P ç - t- 1( a ) < < + t -1( a ) = 1- a è ø de donde e obtiene inmediatamente 103

11 æ ö P ç x - t -1( a ) < m < x + t -1( a ) = 1-a è ø é ù Por tanto êx - t- 1( a ) ; x + t- 1( a ) ú contituye un intervalo de confianza con ë û una probabilidad 1-α de contener a m. (A 1-α e le denomina también "nivel de confianza"). Autoevaluación: qué interpretación práctica tiene la probabilidad 1-α aociada a un determinado intervalo de confianza? (Ver repueta en el Anejo al final del Tema) é ù En el ejemplo: ê ; ú = [ ; ] contituye ë û un intervalo de confianza para la media m del proceo, para un nivel de confianza del 95%. ota: como e lógico, el intervalo contiene el valor m=2000, lo que era de eperar dado que la hipótei m=2000 ha reultado aceptable. 8.9 ITERVALO DE COFIAZA PARA Siendo 2 la varianza muetral obtenida en una muetra de tamaño extraída de una 2 población ormal de varianza 2, e demuetra que ( - 1) igue una ditribución 2 Gi-do con -1 grado de libertad.(la ditribución Gi-do fue etudiada en el capítulo anterior) A partir de ete reultado e encillo obtener un intervalo de confianza para, tal como e expone a continuación. 2 En efecto, como ( - 1) igue una ditribución 2 2 con (-1) grado de libertad, de la tabla de la 2 e poible obtener do valore, g 1 y g 2, tale que P(g 1 < 2 c <g 2 ) = (Por ejemplo, P(5.63< c 2 14 <26.1) = 0.95) 2 Por tanto, P(g 1 < ( - 1) <g 2 2 ) = 1- de donde e obtiene 2 2 æ 2 ö P ç ( - 1) < < ( - 1) = 1- a è g2 g1 ø 104

12 2 2 é ù ê( - 1) ; ( -1) ú contituirá, en conecuencia un intervalo de confianza para la ë g2 g1 û é 2 2 ù varianza poblacional 2, y ê ( -1) ; ( -1) ú erá un intervalo de confianza êë g2 g1 úû para la deviación típica poblacional. é ù En el ejemplo ê (15-1) ; (15-1) ú = [14.5 ; 31.2] erá el intervalo de êë úû confianza, con un nivel de confianza del 95%, para AÁLISIS MEDIATE STATGRAPHICS La obtención de intervalo de confianza para la media y la varianza de una población, aí como el contrate de una hipótei obre el valor de la media, puede llevare a cabo mediante la opción decribe... numeric data... one-variable analyi del paquete Statgraphic. La única entrada que hay que dar e el nombre de la variable en la que etán guardado lo valore muetrale. (En el ejemplo a dicha variable, que contiene lo 15 valore obervado para lo peo de la bola, e le ha denominado peo-bola) El programa proporciona en primer lugar lo etadítico báico decriptivo de la muetra. Mediante el botón derecho del ratón e poible olicitar un tet de hipótei para un determinado valor m 0 de la media y el riego de 1ª epecie que e deee (m 0 y e fijan dentro de pane_option). El reultado e: También mediante el botón derecho del ratón e poible olicitar intervalo de confianza, con un determinado nivel de confianza, para m y para : 105

13 8.11 ITERVALO DE COFIAZA PARA UA PROPORCIÓ Vamo a etudiar la forma de obtener un Intervalo de Confianza para la proporción p de individuo de una población que verifican cierto uceo, a partir de la frecuencia X obervada en una muetra de tamaño Sabemo que, i no e pequeña, la variable Binomial X e ditribuye de forma aproximada como una ormal de media p y = p(1 - p) En conecuencia, la frecuencia relativa con la que e ha obervado el uceo, p*=x/, p(1 - p) e ditribuirá aproximadamente como una ormal de media p y igual a Por lo tanto, i z /2, obtenido de la tabla de la ormal, e el valor que verifica: Prob(- z /2 < (0,1) < z /2 ) = 1-, e cumplirá que: æ P* -p ö æ p(1 - p) p(1 - p) ö æ p(1 - p) p(1 - p) ö Prob - za/2 < < za/2 = Prob - za/2 < P *- p < za/2 = Prob P *- za/2 < p < P* + za/2 = 1 - a ç p(1 p) / ç ç è - ø è ø è ø Con lo que lo do límite de la deigualdad de la derecha definirían un Intervalo de Confianza para p con un nivel de confianza 1-. Como en la expreión del intervalo de confianza aparece el valor de p, que e deconocido, e utituye por u etimación p*, iendo también conveniente utituir el valor z /2, aociado a una ormal, por el percentil correpondiente t n-1, /2 de una t de Student con -1 grado de libertad. La expreión del Intervalo de Confianza para p queda, por tanto: æ * a/2 P *(1 - P*) * a/2 P *(1 - P*) ö ç P - t n-1 ; P + t n-1 è ø Evaluación: e deea hacer una encueta para etimar el % de votante a lo diferente partido en una próxima eleccione. Qué tamaño mínimo debe tener la muetra i e deea que la probabilidad de cometer un error uperior a 5 punto porcentuale en la etimación de una determinada proporción P ea inferior al 1%? (Ver repueta al final del capítulo) 106

14 8.A AUTOEVALUACIOES RESUELTAS Y EJERCICIOS 8.A.1 Repueta a alguna Autoevaluacione Evaluación: Se extrae una muetra de tamaño de una población normal de deviación típica σ=3. Calcular cuanto debe valer como mínimo i e deea tener una probabilidad inferior al 1% de que la diferencia entre la media muetral y la media poblacional ea uperior a 1 (Ver repueta al final del tema) Como x - m x - m = (0,1) 3 æ ö P P ç 3 ha de er < 0.01 è ø x - m P( x -m >1) = ç > 3 = ( (0,1) > 3) En la tabla de la normal e ve que para que e cumpla eto / 3 ha de er > > (3x2.575) 2 = 60 Autoevaluación: contra má pequeño ea el p-value, má ignificativa e dice que e la diferencia entre m y Que una diferencia ea muy ignificativa etadíticamente, quiere decir que e muy grande? Cuando en el ejemplo coniderado e admite la hipótei nula, quiere decir que hemo demotrado etadíticamente que m e igual a 2000? Un error muy frecuente, e la confuión entre ignificación etadítica e importancia práctica. El problema e de naturaleza emántica, y deriva de utilizar, para deignar un concepto técnico etadítico concreto, un vocablo - ignificativo - que tiene un entido diferente en el lenguaje habitual. Si la diferencia entre m y 2000 e muy ignificativa etadíticamente, la interpretación práctica correcta e que reulta cai eguro que dicha diferencia no e nula, y no neceariamente que la diferencia en cuetión ea muy importante. Por otra parte, el que no e rechace una H 0, no ignifica que e haya demotrado que dicha hipótei nula e cierta, ino ólo que la mima e compatible con lo dato obervado, como lo erían probablemente también mucha otra hipótei alternativa. Autoevaluación: qué interpretación práctica tiene la probabilidad 1-α aociada a un determinado intervalo de confianza? El aerto probabilítico aociado a un determinado intervalo de confianza, como por ejemplo æ ö P ç x - t- 1( a ) < m < x + t- 1( a ) = 1- a debe interpretare como que exite una è ø probabilidad 1- de que lo do límite del intervalo (que on aleatorio al depender de lo parámetro muetrale x y ) comprendan entre ello al verdadero valor (deconocido) de la media poblacional m, y no como que exite una probabilidad 1- de que la media eté entre lo do valore obtenido en un intervalo concreto La media m no e una variable aleatoria, porque no exite una población a la que vayan aociado lo poible valore de m, y en la que una proporción 1- de lo individuo tengan valore de m comprendido en dicho intervalo. Lo que í que exite e una población de poible muetra, a cada una de la cuale le correponde un determinado intervalo de confianza, y en la que una proporción 1- de la muetra llevan aociado intervalo de confianza que cubren al verdadero valor de m Por tanto, cuando e dice (hablando con poca preciión) que exite una "probabilidad" 1- de que un determinado intervalo contenga al verdadero valor de m, el término "probabilidad" no debe entendere en el entido técnico frecuencialita definido en ete libro, ino en un entido 107

15 má coloquial como medida del grado de confianza que e puede tener en que la afirmación anterior e cierta. Evaluación: e deea hacer una encueta para etimar el % de votante a lo diferente partido en una próxima eleccione. Qué tamaño mínimo debe tener la muetra i e deea que la probabilidad de cometer un error uperior a 5 punto porcentuale en la etimación de una determinada proporción P ea inferior al 1%? Como * * p - p p - p = e ditribuye aproximadamente como una (0,1) p(1 - p) p(1 - p) æ * p - p P( p*-p >0.05) = P ç > 0.05 p(1 - p) = P ( (0,1) > 0.05 p(1 - p) ) er < 0.01 ç - è p(1 p) ø Mirando en la tabla de la normal e ve que para que e cumpla eto ö 0.05 ha de ha de er p(1 - p) p( 1- p) mayor que y, por tanto debe er mayor que = p( 1- p) Dado que p e deconocido, y teniendo en cuenta que p(1-p) nunca puede er mayor que 0.25 (valor que e alcanzaría i p fuera igual a 0.5), en la expreión nterior e utituye por ee valor, obteniéndoe finalmente > x0.25 = = 664 perona 8.A.2 Ejercicio adicionale Suponiendo que lo alumno encuetado contituyen una muetra repreentativa de lo jóvene epañole, obtener un intervalo de confianza para la media y para la deviación típica de la etatura de lo jóvene varone en nuetro paí. Un etudio reciente afirma que lo jóvene epañole tienen una etatura media de 175 cm. con una deviación típica de 7 cm. Son admiible eta afirmacione a la luz de la información contenida en la encueta? Hallar un intervalo de confianza para la altura media de la nube que granizan (Dato en el archivo datgrani.f3 1 ) La variable analizada tiene una ditribución aimétrica poitiva, como puede comprobare a partir de un gráfico en papel probabilítico. Comprobar que la aimetría e meno marcada i e realiza una tranformación logarítmica de la variable y repetir el análii trabajando con la variable tranformada, hallando un intervalo de confianza para la mediana de la altura de la nube que granizan. Comparar la concluione obtenida en lo do cao. Para contratar la hipótei nula de que la varianza de una población normal e igual a 10, e toma de la mima una muetra de 25 dato, decidiéndoe aceptar la H 0 i la varianza muetral reulta comprendida entre 5.75 y a) Calcular el riego de 1ª epecie α del procedimiento utilizado b) Qué riego β de 2ª epecie tendrá dicho procedimiento i la varianza de la población e realmente igual a 15? 1 Todo lo archivo de dato que e mencionan en ete texto pueden bajare libremente de la URL Lo alumno de la Univeridad Politécnica de Valencia pueden también bajárelo del Poliformat de la aignatura. 108

16 En una encueta realizada obre 80 emprea química epañola, 20 tenían certificado u itema de calidad egún la ISO Obtener un intervalo de confianza (con un nivel de confianza del 95%) para la proporción P de emprea química epañola que tienen certificado u itema de calidad 109