Tema 3 ANOVA y tablas de contingencia (Comparación de poblaciones)

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1 ECOLOGÍA METODOLÓGICA Y CUANTITATIVA Departamento de Ecología e Hidrología. Univeridad de Murcia Curo 008/009 Tema 3 ANOVA y tabla de contingencia (Comparación de poblacione). Introducción La Ecología e puede definir como la ciencia que etudia la relacione entre lo componente biótico y abiótico de la naturaleza. Gran parte de lo etudio ecológico tienen por finalidad invetigar cómo reponden la epecie frente a la variable ambientale. Para ello, la Etadítica dipone de método y técnica útile para detectar y decribir eta relacione. El objetivo de ete tema, y el iguiente, e proporcionar un conocimiento adecuado de lo procedimiento etadítico que pueden er empleado en la invetigación ecológica. Aunque en la mayoría de la técnica que e etudiarán a continuación lo procedimiento de cálculo e ejemplifican con dato reale, en la práctica debe recurrire al uo del ordenador. El objetivo fundamental del tema e, por tanto, proporcionar un conocimiento adecuado acerca del ignificado de la diferente técnica, u correcta aplicación, y la interpretación de lo reultado que proporcionan lo programa informático (el manejo de alguno de éto e aprenderá en la clae práctica). En eta introducción e conveniente hacer hincapié en el hecho de que la mayoría de la prueba o tet etadítico que e preentan en ete tema requieren la iguiente condicione para lo dato: que ean independiente que igan una ditribución normal que u varianza ean homogénea (homocedática) e independiente del valor de la variable ambientale. En primer lugar e neceario que lo dato ean independiente entre í. Como e recordará del Tema, la no independencia e una conecuencia de la peudorreplicación, y en lo etudio de campo ocurre frecuentemente cuando lo dato proceden de tranecto o muetreo repetido a lo largo del tiempo. En eto cao la obervacione conecutiva (en el epacio o en el tiempo) tienden a preentar valore imilare entre í. La olución a ete problema hay que bucarla en un dieño del muetreo (o del experimento) que evite eta circuntancia. El egundo upueto, de normalidad, rara vez e cumple en lo dato que maneja el ecólogo, pero pueden encontrare olucione mediante la tranformación de lo mimo. En concreto, el empleo de logaritmo (decimale o neperiano) produce reultado atifactorio en la mayoría de lo cao. Por último, en lo dato biológico e frecuente obervar cómo la varianza no on homogénea, ino que aumentan generalmente con el valor de la media; eta falta de independencia entre varianza y media debe evitare para una correcta aplicación de numeroo tet etadítico (lo denominado tet paramétrico). Como e verá en el iguiente ejemplo, la tranformación de lo dato uele er también eficaz para evitar el incumplimiento de ete último requiito.

2 Lo dato que aparecen en la Tabla forman parte de un muetreo de ave realizado en divera ierra de la Región de Murcia. En concreto e preenta el número de individuo de Sylvia undata (Curruca rabilarga) contado en 5 tranecto realizado en 4 ierra diferente. Tabla. Número de individuo de Sylvia undata preente en muetra de cuatro ierra de la Región de Murcia. La varianza de lo dato originale on mayore cuanto mayore on la media. La tranformación logarítmica, ln(x), corrige eta circuntancia. Autor: Carlo González Revelle DATOS ORIGINALES SIERRA DE LA TERCIA , 8,7 SIERRA DE LA TORRECILLA ,8 9,7 SIERRA DE LA MUELA ,6 45,8 SIERRA DE CARRASCOY ,0 4,5 DATOS TRANSFORMADOS SIERRA DE LA TERCIA,0,39,79 0,00,79,43 0,7 SIERRA DE LA TORRECILLA 0,69,0,0,39,6,6 0,40 SIERRA DE LA MUELA 0,69,95,79,08 3,00,90 0,68 SIERRA DE CARRASCOY 3,56,89 3,04,08,08,73 0,4 x x En definitiva, una tranformación previa de lo dato e, en la mayoría de lo cao, imprecindible para la correcta aplicación de numeroo tet. En lo diferente ejemplo que e analizan en ete tema e utilizará, en general, la tranformación ln(x+) i hay cero en lo dato, o ln(x) i no lo hay. Cuando lo dato no cumplen lo requiito mencionado, incluo depué de tranformado, pueden utilizare prueba alternativa (tet no paramétrico). Lo tet no paramétrico no on exigente con la caracterítica de lo dato y u utilización e cada vez má frecuente en la invetigación científica. La mayor complejidad de u cálculo ya no repreenta un inconveniente con el uo generalizado de ordenadore y paquete etadítico. Ante de iniciar el etudio de ete tema e conveniente recordar la nocione elementale relacionada con el contrate de hipótei y lo errore etadítico (tipo I y tipo II). Lo errore tipo I ocurren cuando e rechaza una hipótei nula verdadera, mientra que lo errore tipo II e cometen cuando no e rechaza una hipótei nula que en realidad e fala (Figura ). Uualmente, lo científico trabajan minimizando el error tipo I, y de forma generalizada e etablece el nivel de ignificación 0,05 como criterio de deciión para el rechazo de la hipótei nula. Lo valore de probabilidad (P) que proporcionan lo tet etadítico repreentan preciamente la probabilidad de obtener nuetro dato iendo cierta la hipótei; de eta forma e conidera que un valor de P menor que 0,05 e uficientemente bajo como para rechazarla. La diferente prueba etadítica que e preentan a continuación pueden claificare egún la naturaleza cualitativa o cuantitativa de lo dato biológico y ambientale. Aí, para el dearrollo de ete tema y el iguiente e eguirá el equema de la Figura.

3 Deciión: Realidad: No rechazar H 0 Rechazar H 0 H 0 cierta Deciión correcta (probabilidad = α) Error Tipo I (probabilidad = α) H 0 fala Error Tipo II (probabilidad = β) Deciión correcta (probabilidad = β) Figura. Errore etadítico tipo I y tipo II. Figura. Prueba etadítica aplicable en la invetigación ecológica, claificada egún la caracterítica de lo dato biológico y ambientale.. Tet de la t y análii de la varianza (ANOVA) En numeroa ocaione el ecólogo e plantea la comparación entre poblacione que preentan caracterítica ambientale diferente. Supóngae, por ejemplo, que e quiere comparar la denidade de una planta en diferente tipo de utrato. En ete cao, la variable ambiental (tipo de utrato) e de naturaleza cualitativa, y preenta un determinado número de modalidade (por ejemplo: caliza, arcilla y arena). El objetivo de la invetigación e centra en determinar i exiten diferencia ignificativa de abundancia entre lo ditinto tipo de utrato, e decir, i la planta en cuetión e ve afectada por la naturaleza del utrato. En Etadítica, una variable ambiental de tipo cualitativo o nominal e denomina factor, aunque en Ecología ete término e puede utilizar inditintamente para variable ambientale cualitativa o cuantitativa. Para analizar la relacione entre poblacione y factore ambientale exiten diferente técnica etadítica que e comentan a continuación. En el cao má imple, el factor ambiental preenta únicamente do modalidade mutuamente excluyente. El 3

4 método tradicional para comparar do media e el tet de la t. Ete etadítico igue la ditribución de la t de Student, y e calcula egún la expreión: t = ( n ) + ( n ) x n + n x n + n n n () A pear de u aparente complejidad, cuando lo tamaño de la muetra on grande (>30), la expreión () puede implificare notablemente: t = x n x + n () Y en cualquier cao, iempre que lo tamaño de muetra ean iguale (n = n = n ), la ecuación () e reduce a: t = x x + n (3) La hipótei nula (H 0 ) para ete tet e que la media on iguale, y lo grado de libertad que hay que coniderar on ν = (n + n - ) para la do primera expreione, y ν = (n - ) para la última. Por otra parte, lo límite de confianza para la diferencia entre media e pueden calcular egún l ( x x ) tα [ ] x = ν x l ( x x ) + tα [ ] x = ν x (4a) (4b) iendo t α[ ν ] el valor de la ditribución t de Student para el nivel de ignificación α y ν grado de libertad, y x x el error típico de la diferencia entre do media, e decir, el denominador de la expreión (), () ó (3). Ante de u aplicación, hay que tener en cuenta que el tet de la t requiere, como ya e ha comentado anteriormente, normalidad en lo dato e igualdad de varianza para amba variable (olana y umbría). Para comprobar la normalidad puede utilizare el denominado tet de Shapiro-Wilk, de cálculo complejo, mientra que para comprobar que la varianza poblacionale no on ignificativamente ditinta puede recurrire el tet de la F. Ete último tet e aplicable en el cao imple de do única varianza, y e calcula como el cociente entre amba: F = Lo grado de libertad on n - en el numerador y n - en el denominador. La H 0 en ete tet e que la varianza poblacionale on iguale (y, por tanto, el cociente igual a ). El iguiente ejemplo ervirá para ilutrar la aplicación del tet de la t y el tet de la F. (5) 4

5 Como parte de una invetigación obre la caua de la expanión del alga Caulerpa prolifera en el Mar Menor, e realizó un experimento conitente en ometer fragmento de talo a diferente tratamiento en el laboratorio, con objeto de analizar u crecimiento. Lo dato que e preentan en la Tabla e obtuvieron midiendo el crecimiento de lo fragmento en do grupo de acuario. El primer grupo (acuario control) e mantuvo excluivamente con agua de mar, mientra que el otro grupo fue "fertilizado" (tratado) con una determinada cantidad de nitrógeno. La cuetión que e plantea reolver e i la adición de ete recuro influencia el crecimiento de Caulerpa. Tabla. Crecimiento (cm) de fragmento de talo de Caulerpa prolifera en acuario control y acuario con tratamiento de nitrógeno. Fuente: Núm. Control Nitrógeno 3,3 8,47,5 4,70 3 4,05 3,08 4 3,47 4,46 5,78 5,9 6,38 8,00 7,4 5,3 8,89,8 9 4, 5, 0,63 6,00,74 9,8 5,9 0, 3 4,76 0,99 4 8,4 6,57 5 3,3 5,35 6 5,00 6,0 7,08 6,85 8 7,59 3,67 9 4,37 4,7 0,9 4,43,5,56,3 4,7 3 5,79 6,86 4 4,76,8 5 3,3 4,4 6,9, 7 4,36 5,83 8 6,6 4,9 Para el análii de lo dato eguiremo el procedimiento comentado anteriormente. En primer lugar aplicaremo el tet de normalidad de Shapiro-Wilk, que proporciona lo iguiente reultado: control: W = 0,97 ; P = 0,094 nitrógeno: W = 0,795 ; P = 0,0000 Dado que en ambo cao el valor de P e inferior a 0,05 e rechaza la hipótei nula y e concluye que la variable en cuetión no iguen una ditribución normal. No obtante, mediante una tranformación logarítmica de lo dato í e obtiene un ajute ignificativo: ln(control): W = 0,9695 ; P = 0,5677 ln(nitrógeno): W = 0,9437 ; P = 0,37 El iguiente pao, por tanto, e comprobar la homogeneidad de varianza de lo dato tranformado: 0,39 F = = = 0,6534 ; P = 0,750 0,3660 5

6 la t: Aceptado el requiito de homocedaticidad, puede aplicare finalmente la prueba de x x,966,6969 0,5003 t = = = = 3,407; P 0,39 + 0,3660 0,470 + n 8 = 0,003 Con eto reultado e rechaza la hipótei nula de igualdad de media y e concluye que el aporte de nitrógeno al medio favorece el crecimiento de lo talo de Caulerpa. A continuación e preenta otro ejemplo para la comparación de media procedente de do poblacione: En un muetreo realizado por alumno de la aignatura de Ecología en el Parque Regional de Calblanque, e pretendía analizar la diferencia exitente entre la abundancia de divera planta en ladera orientada al norte (umbría) y ladera con orientación ur (olana). Para cada tipo de ladera e tomó un total de 0 unidade de muetreo de x m. Una de la epecie muetreada fue el tomillo (Thymu hyemali), de la que e obtuvieron lo dato (número de individuo por unidad de muetreo) que aparecen en la Tabla 3. Tabla 3. Número de tomillo (Thymu hyemali) preente en muetra de ladera con expoición ur (olana) y expoición norte (umbría), en el Parque Regional de Calblanque. SOLANA UMBRÍA El objetivo que e plantea e conocer i el factor orientación determina la exitencia de diferencia ignificativa entre la poblacione de Thymu hyemali en olana y umbría. Dede el punto de vita etadítico, el problema e determinar i ambo conjunto de dato pertenecen a la mima población, e decir, i preentan la mima media e igual varianza. En primer lugar debe comprobare la normalidad de lo variable, por lo que e aplica el tet de Shapiro-Wilk a amba variable. Como reultado e obtiene: olana: W = 0,9003 ; P = 0,048 umbría: W = 0,885 ; P = 0,00 De eta forma e comprueba que lo dato no e ajutan a una ditribución normal. La tranformación de lo dato mediante la expreión ln(x+) tampoco produce reultado atifactorio: ln(olana+): W = 0,8964; P = 0,0353 ln(umbría+): W = 0,8547; P = 0,0064 Dada la circuntancia, en ete cao no debería utilizare ningún tet paramétrico, y como alternativa puede aplicare un tet no paramétrico: el tet de uma de rango de Wilcoxon (equivalente al tet de Mann-Withney). Eta prueba permite comparar la media de do variable que no cumplen lo requito de normalidad u homocedaticidad. Aí, lo reultado del tet (no hace falta utilizar lo dato tranformado), on lo iguiente: W = 43,5; P = 0,6 6

7 A la vita del valor de probabilidad e concluye que no exiten diferencia ignificativa entre la media de olana y umbría: la do poblacione no on ignificativamente ditinta y, por tanto, la orientación no influye en la abundancia de tomillo. Lo ejemplo analizado anteriormente repreentan el cao má encillo de comparación de do media, pero en numeroa ocaione e neceario hacer comparacione entre má de do poblacione. En eto cao no e poible aplicar el tet de la t, por lo que hay que recurrir al denominado análii de la varianza o ANOVA (ANalyi Of VAriance). De entre lo numeroo método de ANOVA, preentaremo aquí únicamente el má encillo, conocido como la claificación única del análii de la varianza (one way ANOVA), en el que lo grupo e claifican egún un único factor o tratamiento (Figura 3). El análii de la varianza e una generalización del tet de la t, pero también puede empleare para analizar la diferencia entre do media; de hecho, en eto cao e obtienen lo mimo reultado que con el tet de la t. Lo fundamento del análii de la varianza pueden expreare mediante una ecuación o modelo de la forma o bien y ij = µ + T j + e ij (6) y ij µ = T j + e ij (7) donde y ij repreenta el valor obervado en la unidad experimental o de muetreo i correpondiente al tratamiento o factor j, µ e la media global, T j e el efecto debido al tratamiento o factor j y e ij e el error aociado a cada obervación. Figura 3. Equema repreentativo de lo fundamento comparativo del análii de la varianza. 7

8 Para ilutrar el cálculo de eta prueba e emplearán lo dato de la Tabla 4, donde e muetran lo valore de crecimiento radicular (en mm) de plántula de Halocnemum trobilaceum, en condicione experimentale de laboratorio, ometida a diferente tratamiento de alinidad. Tabla 4. Crecimiento de raíce de plántula de Halocnemum trobilaceum (en mm) ometida a diferente tratamiento de alinidad. Núm. Control Salinidad baja Salinidad media Salinidad alta Puede comprobare previamente, uilizando la prueba de Shapiro-Wilk, que lo dato e ajutan a una ditribución normal. Sin embargo, en ete cao, para contratar la homocedaticidad e empleará el tet de Bartlett, que permite comparacione de varianza entre do o má grupo: χ = 5,69; ν = 3; P = 0,37 El valor de probabilidad, mayor de 0,05, ugiere la aceptación de la hipótei nula de igualdad de varianza, por lo que finalmente e puede aplicar el ANOVA in neceidad de tranformar lo dato. Lo reultado preentan en la Tabla 5: Tabla 5. Tabla del ANOVA de lo dato de crecimiento de raíce de Halocnemum trobilaceum. [g.l.: grado de libertad;.c.: uma de cuadrado; m.c.: media de cuadrado.] Fuente de variación g.l..c. m.c. F P Entre grupo 3 8,67 73,89,5 3,70e-08 Dentro de grupo ,0,7 Total 39 79,77 3,8 Para conocer cómo e calculan y qué ignifican lo diferente valore de eta tabla, recurriremo a una explicación que permita comprender el método de forma intuitiva. En primer lugar, e puede exprear cada dato de la Tabla 4 como la uma de la media del grupo (tratamiento) al que correponde má un término de error: valor obervado = media etimada de cada grupo + error (8) De eta forma, por ejemplo, el primer valor de la Tabla 4 puede ecribire como: 0,00 = 4,90 4,90 y el último: 9,00 = 8,0 + 0,80 Para cada uno de lo término de la ecuación (8) ha de calculare la uma de cuadrado (.c.), retando previamente la media del total de dato (4,83 en ete cao) a lo valore obervado y a la media etimada de cada grupo; de eta forma, iguiendo con el ejemplo, la expreione anteriore quedarían de la iguiente forma: 8

9 (0,00 4,83) = (4,90 4,83) 4,90 (9,00 4,83) = (8,0 4,83) + 0,80 [Nótee que eta do última expreione e correponden con la ecuación (7).] La uma de cuadrado total e la uma de cuadrado correpondiente a primer término: (0,00 4,83)² + (7,00 4,83)² (9,00 4,83)² = 79,77 La uma de cuadrado entre grupo e la que correponde al egundo término: 0 (4,90 4,83)² (8,0 4,83)² = 8,67 Finalmente, la uma de cuadrado dentro de grupo e la correpondiente al término de errore (reiduo): 4,90² +,8² ,80² = 458,0 Lo grado de libertad on n- para la.c. total (n e el número total de obervacione), q- para la.c. entre grupo (iendo q el número de grupo), y n-q para la.c. dentro de grupo. La media de cuadrado (m.c.) e calculan dividiendo la correpondiente uma de cuadrado por u grado de libertad. Nótee que la m.c. on varianza, por lo que la m.c. dentro de grupo e denomina también varianza reidual, y la m.c. total e la varianza total de lo dato. El valor del etadítico F e obtiene dividiendo la varianza entre grupo por la varianza reidual, y debe comparare con lo valore crítico de la ditribución F. Si la media de cada población on iguale, la variación debida a la diferencia entre grupo no erá mucho mayor que la variación dentro de lo grupo, y el cociente F tendrá un valor próximo a. Ete tet, a diferencia del tet de la F para comparación de varianza, e de una cola, ya que la hipótei alternativa e: m.c. entre grupo > m.c. dentro de grupo. Para el ejemplo, F =,5 con 3 g.l. en el numerador y 36 en el denominador. La probabilidad que e obtiene e prácticamente 0, por lo que debemo rechazar la hipótei nula y concluir que la media de crecimiento radicular de la plántula ometida a diferente tratamiento no on iguale. El problema añadido cuando exiten má de do media a comparar e determinar cuále de ea media on ditinta entre í. Se neciita, por tanto, algún tipo de prueba adicional que permita reponder a eta pregunta. Lo tet de comparación de media que e aplican tra un ANOVA ignificativo e fundamentan en el cálculo de límite de confianza para dicha media. Uno de lo má utilizado e el tet de Tukey. Su aplicación en ete cao proporciona lo iguiente intervalo: Tabla 6. Reultado del tet de Tukey aplicado tra el análii de la varianza de lo dato de Tabla 4. Lo intervalo que contienen el 0, correponden a media de grupo (tratamiento) que no on ignificativamente ditinta entre í. Grupo a comparar Diferencia Límite inferior Límite uperior 0 * 6,,8035 0, ,3-3,9965 4, * -6,7-0,9965 -,4035 * -5,8-0,0965 -, * -,8-7,0965-8, * -7,0 -,965 -,7035 * Media ignificativamente ditinta entre í (P<0,05). 9

10 Como alternativa no paramétrica al ANOVA, en lo cao en lo que e incumplan lo requiito de normalidad y homogeneidad de varianza, puede utilizare el denominado tet de Krukal-Walli. Hata ahora todo lo ejemplo analizado conideraban únicamente un factor de claificación (una única variable ambiental de naturaleza cualitativa). Sin embargo, lo dieño de muetreo o experimento pueden incorporar má de una variable ambiental. En eto cao, el análii etadítico requiere la utilización de técnica de ANOVA má compleja. En el iguiente ejemplo (Tabla 7) e conideran lo dato de un experimento (dieño de bloque completo al azar) en el que e invetigó la repueta de crecimiento de la planta Eriophorum angutifolium a cuatro tratamiento de fertilización (N, N+P, N+P+K y control) en cinco localidade de tundra (B, M, R, S, Q) en Alaka. En ete cao, el modelo del ANOVA e: y ijk = µ + T j + B k + e ijk (9) donde B k repreenta el efecto aociado al bloque k. Lo reultado del ANOVA e preentan en la Tabla 8. Tabla 7. Crecimiento de Eriophorum angutifolium en cinco localidade de tundra en Alaka y bajo diferente tratamiento de fertilización. Localidad Tratamiento B M R S Q Control N N + P N + P + K Tabla 8. Reultado del ANOVA de do vía aplicado a lo dato de la Tabla 7. [g.l.: grado de libertad;.c.: uma de cuadrado; m.c.: media de cuadrado.] Fuente de variación g.l..c. m.c. F P Tratamiento 3 74,8 43,9 79,3 3,5e-08 Localidade (bloque) 4 335, 333,8 0,97 5,6e-04 Error 365, 30,4 Total 9 894, 470,64 En ete cao, exiten diferencia ignificativa entre tratamiento y entre bloque (localidade). Aunque la diferencia entre eta última no on de interé para la invetigación, u efecto í debe coniderare en el análii para obtener uno reultado adecuado al dieño en bloque del experimento. 3. Tet de χ y tet de la G En numeroa ocaione la información que e obtiene en el campo o en el laboratorio no e cuantitativa. Mucha repueta biológica y ecológica on de naturaleza cualitativa, no requieren cuantificación, o e exceivamente cotoo obtenerla. Dato obre el éxito reproductor de una epecie, obre la compoición de u dieta, o implemente obre u preencia o auencia en determinada área, requieren un tratamiento etadítico ditinto al planteado en el apartado anterior. Cuando la variable ambientale on 0

11 también de tipo cualitativo, lo dato e preentan en forma de tabla de contingencia, con R fila y C columna. Ete tipo de tabla reumen, en definitiva, información obre frecuencia (proporcione) de aparición u ocurrencia de lo diferente tipo de repueta biológica coniderado (por ejemplo la frecuencia de aparición de una epecie en un tipo de utrato, o la proporción de reptile en la dieta de un depredador en diferente tipo de hábitat). Lo dato de la Tabla 9 correpondiente a un muetreo de vegetación en el Parque Regional de Calblanque en el que e pretendía analizar la relación entre la frecuencia de aparición de diferente epecie en diferente tipo de utrato (caliza y pizarra) preente en la zona. En concreto lo dato que e preentan correponden a la preencia de individuo de Sedum ediforme en 35 unidade de muetreo (cuadrado de x m). Tabla 9. Preencia de Sedum ediforme en unidade de muetreo obre utrato de caliza y pizarra en el Parque Regional de Calblanque. Preencia Auencia Caliza Pizarra Un tet apropiado para analizar eto dato e el tet de χ (chi-cuadrado o jicuadrado), que e calcula mediante la expreión χ ( o e ) = i e i i (0) donde o i y e i on repectivamente lo valore obervado y eperado de cada celda de la tabla. El valor eperado de una celda e calcula multiplicando el total de la fila y columna correpondiente y dividiendo por el total de la tabla; en nuetro ejemplo, lo valore eperado on lo que aparecen en la Tabla 0. Tabla 0. Valore de frecuencia eperada correpondiente a lo dato de la Tabla 7. Preencia Auencia Caliza (5 8) / 35 = 7,7 (5 7) / 35 = 7,9 5 Pizarra (0 8) / 35 = 0,9 (0 7) / 35 = 9, El valor de χ ² ería, por tanto: χ ² = (5 7,7)² / 7, (7 9,7)² / 9,7 = 3,44 que debe comparare con lo valore crítico de la ditribución Chi-cuadrado con grado de libertad. Como χ ² 0,05[] = 3,84 e mayor que el valor obtenido, aceptamo la hipótei nula de independencia, e decir, que la preencia de Sedum ediforme e independiente del tipo de utrato.

12 En el cao de tabla de x, cuando n < 00, e recomienda realizar la corrección de Yate, que conite en umar o retar 0,5 a lo valore obervado, egún el iguiente criterio: cuando a d > b c : a 0,5 ; d 0,5 ; b + 0,5 ; c + 0,5 cuando a d < b c : a + 0,5 ; d + 0,5 ; b 0,5 ; c 0,5 donde lo valore a, b, c y d e correponden en la tabla con el iguiente equema: a b a+b c d c+d a+c b+d n Para el ejemplo de Sedum ediforme, la aplicación de la corrección de Yate modificaría la Tabla 9 de la iguiente forma: Tabla. Frecuencia obervada correpondiente a la Tabla 7 una vez aplicada la corrección de Yate. Preencia Auencia Caliza 5,5 9,5 5 Pizarra,5 7, El valor de χ corregido ería de,9, que no modifica la concluión anterior. En el iguiente ejemplo e analizará otra tabla de contingencia, en ete cao de 4x3. Se trata de un etudio obre la influencia de lo diferente periodo de la etación reproductora en el tipo de prea capturada por Aguilucho Cenizo (Circu pygargu) en el epacio natural de Ajauque y Rambla Salada. Lo dato e preentan en la Tabla. Tabla. Número de prea de tre categoría (ave, reptile e invertebrado), capturada por Aguilucho Cenizo (Circu pygargu) en diferente periodo de la etación reproductora. Abril: celo; mayo: incubación; junio: crianza de pollo; julio: periodo de dependencia de lo jóvene. ave reptile invertebrado abril 4 mayo junio julio 3 8 Autor: Carlo González Revelle En ete cao, la variable dependiente e el tipo de prea capturada, y el factor ambiental e el período de tiempo coniderado. El análii de χ ² proporciona el iguiente reultado:

13 χ = 0,54 ; ν = 6 ; P = 0,037 Como conecuencia e acepta la hipótei nula, y e concluye que la compoición de la dieta e independiente del período de la etación reproductora. Como regla general, lo grado de libertad para una tabla de contingencia on ν = (R ) (C ). Como alternativa a la prueba de χ exite la poibilidad de utilizar el denominado tet de la G, que proporciona reultado imilare. La expreión para el cálculo del etadítico G, aplicado a tabla de contingencia, e la iguiente: donde f i on lo valore obervado de cada celda de la tabla y f t on lo totale de fila y columna. Para el ejemplo de Sedum, la aplicación del tet de la G, con la correción de Yate (Tabla 9), proporciona: G = [(5,5 ln 5,5 +,5 ln,5 + 9,5 ln 9,5 + 7,5 ln 7,5) (8 ln ln ln ln 0) + 35 ln 35] =,3 El valor de G hay que compararlo con χ ² 0,05[] = 3,8, por lo que e acepta H 0, comprobándoe ademá que lo reultado de ambo tet on muy parecido. Para el ejemplo de la prea del Aguilucho Cenizo (Tabla 0), el reultado que e obtiene e: G =,36 ; ν = 6 ; P = 0,0779 [( fi lnfi ) ( ft lnft ) + n lnn] G = Hay que eñalar que lo tet de G y la χ no deben utilizare en aquello cao en lo que el tamaño de la muetra e muy pequeño (n < 5). Aí mimo, cuando el valor eperado para una celda e menor de (o menor de 5, egún otro autore) e conveniente agrupar do o má clae de la variable ambiental, de forma que lo nuevo valore eperado uperen ea cifra. () 3