Borrador 2a Edición - No distribuir

Transcripción

1 Apédice D Estimació Lieal de Parámetros La siguiete fució geeral es lieal respecto a par parámetros: F = + a f + a 3 f 3 + a 4 f a par f par (D.1) r dode F es la variable depediete que puede ser: y, r, [g(y) g()],, o cualquier CA C B fució que ivolucre las variables medidas e el laboratorio y costates/parámetros coocidos. La úica codició es que dicha fució o debe coteer parámetros descoocidos o a estimar. La fució asociada al parámetro vamos a cosiderarla como f 1 = 1. Este caso particular se icluye porque es muy frecuete e ciética, por ejemplo, = l k, dode k es la costate de velocidad de reacció pero cosideramos a l k, tal cual, como uo de los parámetros. Cada sumado del lado derecho debe cotar co u parámetro y ua fució f j. Preferetemete so fucioes de la(s) variable(s) idepediete(s). Por ejemplo:,, l,, , CA CB, o cualquier fució siempre y cuado o cotega parámetros por estimar. Las fucioes F y f j s puede ser o-lieales; si embargo, la Ecuació D.1 es lieal respecto a los parámetros porque los epoetes de todos los parámetros so 1. Si eistiera u parámetro que está elevado a cualquier otro epoete, por ejemplo, Φ, teemos dos opcioes: 1) defiir u uevo parámetro para que sea lieal, φ 1 = Φ, forzado a que el uevo parámetro sea lieal; y ) la opció recomedada, tratar a Φ, tal cual está escrito, como el parámetro co todo y el epoete. El método por ecelecia para optimizar parámetros co ua sola observació o variable depediete, F, es míimos cuadrados. La fució objetivo para este método cosiste e miimizar la suma del cuadrado de los errores (coocido como residuales e la jerga de estadística y ajuste de parámetros) etre los valores eperimetales de la variable depediete y sus valores estimados a partir de los parámetros a optimizar y de las variables eperimetales. Esto es, ep Fució Objetivo = F.O. = mi (F ep i F est i ) (D.) Borrador a Edició - No distribuir 3

2 4 Apédice D. Estimació Lieal de Parámetros Para u úmero de parámetros igual a par, ecesitamos platear u mismo úmero de ecuacioes y así teer u sistema de par ecuacioes lieales co par icógitas. A estas ecuacioes se les llama ecuacioes ormales porque debe ser ortogoales. La Secció D.1 propoe u procedimieto iformal ágil para geerarlas mietras que el procedimieto formal se eplica e la Secció D.. Auque estudiar la última secció es opcioal, es muy recomedable que el alumo la revise para evitar que esta herramieta se quede como ua caja egra; además, costituye u ilustrativo repaso del Método de Máimos y Míimos. D.1. Método Simplicado El objetivo de esta secció es obteer las ecuacioes ormales y su solució mediate ua secilla receta: 1. Escribir la fució geeral de modo que la variable depediete, F, quede del lado derecho: + a f + a 3 f a par f par = F. Rescribir, e otació matricial, par -veces esta ecuació si igú cambio: 1 f f 3 f par F 1 f f 3 f par a 1 f f 3 f par a 3 = F F 1 f f 3 f par F a par 3. Idetificar las fucioes f j s y multiplicar respectivamete cada ĺıea por cada ua de las par fucioes: 1 f f 3 f par F f f f f 3 f f par a f 3 f f 3 f 3 f 3 f par a 3 = F f F f 3 f par f f par f 3 f par f par a par F f par 4. Agregar sumatorias a cada regló y, e caso de que eista u 1 como fució, remplazar 1 por ep : ep f f3 fpar F f f f f 3 f f par a f3 f f 3 f3 f3 f par a 3 = F f F f3 fpar f f par f3 f par fpar F fpar a par 5. Simplificar cada térmio cuado sea posible, por ejemplo, r C A C A r CA, y evaluar todas las sumatorias; y Borrador a Edició - No distribuir

3 Apédice D. Estimació Lieal de Parámetros 5 6. Fialmete, calcular uméricamete los parámetros óptimos sustituyedo valores y realizado el producto cruz de la iversa de la matriz co el vector que cotiee F : a a 3 a par fpar ep f f3 = f f f f 3 f f par f3 f f 3 f3 f3 f par fpar f f par f3 f par fpar Alguos cometarios sobre el procedimieto aterior: 1 F F f F f3 F fpar Notemos que si dejamos suficiete espacio e el Paso, e esas mismas matrices y vectores se puede realizar los Pasos 3 a 5; Debemos distiguir etre el úmero de datos o eperimetos, ep, asociado al subídice i, y el úmero de parámetros, par, asociado al subídice j; El Paso 6 toma vetaja del álgebra lieal. Si tuviéramos ua simple ecuació algebraica, m = y, co u simple despeje podríamos resolver m = y ; pero esto o es ta simple co matrices y vectores. Cuado se tiee el producto cruz de ua matriz co u vector: X M = Y, el orde y compatibilidad de las dimesioes importa, y la solució del vector M implica ivertir la matriz y realizar u producto cruz: M = X 1 Y ; Las evaluació de las sumatorias y las operacioes matriciales puede realizarse e Ecel o e cualquier otro paquete de matemáticas como MathCad; y Es ecesario geerar gráficos para determiar si el ajuste de parámetros es aceptable. Ejemplo D.1. Obtega la ecuació ormal para ua relació proporcioal y = m y la solució correcta basada e el método de míimos cuadrados. Solució: A pesar de lo secillo, este es u caso de suma importacia por lo que se hace la siguiete aclaració: Frecuetemete co el método itegral o diferecial se realiza ua liealizació y se optimiza los parámetros de y = m + b; si embargo, eiste muchos casos e que la b ivolucra solamete valores coocidos, por ejemplo, para primero y segudo orde co el método itegral b = l C A0 o b = C 1 A0, pero debemos recoocer que e la mayoría de los casos la cocetració iicial, C A0, se midió co mucha certeza. Por lo tato, esas liealizacioes puede y debe simplificarse aú más hasta ua fucioalidad proporcioal, y = m, es decir, sí ua ĺıea recta, pero co la particularidad de que b = 0 porque la recta debe para por el orige, el puto (0, 0). Para los ejemplos típicos Borrador a Edició - No distribuir

4 6 Apédice D. Estimació Lieal de Parámetros de primero y segudo orde co el método itegral se obtiee ua relació proporcioal si y = l(c A /C A0 ) o y = C 1 A C 1 A0, respectivamete. Siguiedo el Método Simplificado geeramos la úica ecuació ormal [ ] [ ] [m] = y y, como la matriz y vectores solamete tiee u elemeto, etoces simplemete correspode a ua ecuació algebraica que despejamos para obteer la solució del parámetro óptimo: y m = (D.3) Como cometario adicioal de eperiecia docete, u alumo si bases sólidas de míimos cuadrados estaría tetado a realizar e simple promedio aritmético de valores de m calculados idividualmete a partir de los putos: m Erróea = ep y i i=i i ep Ejemplo D.. Ecuetre la matriz co las ecuacioes ormales para: r = k C A α C B β C C γ Solució: Lo primero que se debe hacer es idetificar los parámetros y liealizar la ecuació respecto a dichos parámetros. Los parámetros so k, α, β y γ, y la ecuació modificada es log r = log k + α log C A + β log C B + γ log C C Las matriz co las ecuacioes ormales es: ep log CA log CB log CC log CA (log CA ) log k log CA log C B log CA log C C log CB log CA log C B (log CB ) α log CB log C C β log CC log CA log C C log CB log C C (log CC ) γ log r = log r log CA log r log CB log r log CC dode otamos que el parámetro = log k, tal cual. Borrador a Edició - No distribuir

5 Apédice D. Estimació Lieal de Parámetros 7 D.. Ejemplo D.3. Ecuetre la matriz co las ecuacioes ormales para: y = a + b + c l Solució: Los parámetros so a, b y c, y las fucioes so, 1 y l. Las matriz co las ecuacioes ormales es: ep l 1 a l y ep b = y l l (l ) c y l Ejemplo D.4. Ecuetre la matriz co las ecuacioes ormales para: y = l 1 + β β 1 Solució: Los parámetros so β 0 y β 1. Por lo tato, debemos platear dos ecuacioes ormales. Para este problema es fácil irse co la fita y o saber que hacer co el térmio l 1. Pero como sabemos que la fució que llamamos F e la Ecuació D.1 es cualquier fució de variables depedietes y/o idepedietes mietras o cotega parámetros, icluso puede icluir costates siempre y cuado sea coocidas. Etoces hacemos la siguiete modificació: y l 1 = β β 1 Después de este cambio, ya si dudar escribimos la matriz que represeta las ecuacioes ormales: [ ] [ ] [ ] β0 (y l 1 ) = (y 1 l 1 ) Método Formal Escribimos la fució objetivo, la Ecuació D., evaluado F est i co la Ecuació D.1 y escribiedo F ep i simplemete como F i : F.O. = β 1 (F i a f i a f 3 i a par f pari) dode el subídice i está asociado a los eperimetos idividuales y recordamos que hemos establecido por coveiecia que f 1i = 1. Borrador a Edició - No distribuir

6 8 Apédice D. Estimació Lieal de Parámetros Comezamos derivado parcialmete respecto a cada uo de los parámetros que queremos optimizar: F.O. ep = (F i a f i a 3 f 3i a par f pari) ( 1) ep F.O. = (F i a f i a 3 f 3i a par f pari) ( f i ) a ep F.O. = (F i a f i a 3 f 3i a par f pari) ( f 3i ) a 3 F.O. ep = (F i a f i a 3 f 3i a par f pari) ( f pari) a par Recordado uestras bases de máimos y míimos, es codició ecesaria que las derivadas parciales sea iguales a cero para u míimo o máimo; pero, para cofirmar que se trata de u míimo respecto a todos los parámetros evaluamos las segudas derivadas parciales (si todavía haber igualado a cero las primeras derivadas): F.O. ep = 1 > 0 ep F.O. = f i > 0 a ep F.O. = f 3i > 0 a 3 F.O. ep = f pari > 0 a ep Puesto que, al realizar las sumatorias ateriores, las fucioes f j se eleva al cuadrado, es claro que las segudas derivadas so todas positivas y, por lo tato, se comprueba que la solució que se obtega al igualar todas las primeras derivadas parciales a cero será míimo. Regresamos a todas las primeras derivadas y ahora sí las igualamos a cero, pasamos dividiedo el para elimiarlo y reacomodamos para que primero aparezca los sumados Borrador a Edició - No distribuir

7 Apédice D. Estimació Lieal de Parámetros 9 co sigos positivos: ep ( + a f i + a 3 f 3i + + a par f pari F i ) = 0 ep ( f i + a f i + a 3 f i f 3i + + a par f pari f i F i f i ) = 0 ep ( f 3i + a f i f 3i + a 3 f 3i + + a par f pari f 3i F i f 3i ) = 0 ep ( f pari + a f i f pari + a 3 f 3i f pari + + a par f pari F i f pari) = 0 Desarrollamos cada ua de las ecuacioes ateriores para reorgaizarlas; por ejemplo, la primera ecuació al sumar idividualmete los térmios de cada eperimeto: + a f 1 +a 3 f a par f par1 F a f +a 3 f 3 + +a par f par F + + a f 3 +a 3 f a par f par3 F a f ep +a 3 f 3ep + +a par f par ep F ep =0 Los datos e la ecuació origial estaba sumados por regló (eperimeto) pero ahora os aseguramos de sumar cada columa, factorizamos los parámetros y pasamos al lado derecho el último térmio que cotiee F. La primera ecuació reorgaizada queda como: ep ep ep ep ep 1 + a f i + a 3 f 3i + + a par f pari = Repetimos el mismo procedimieto co el resto de las ecuacioes surgidas de igualar las primeras derivadas parciales a cero. Para simplificar la escritura obviamos el subídice i, los ĺımites de las sumatorias y sustituimos 1 por ep. Fialmete, llegamos al sistema de ecuacioes ormales: ep + a f + a 3 f3 + + a par fpar = F f + a f + a 3 f f a par fpar f = F f f3 + a f f 3 + a 3 f3 + + a par fpar f 3 = F f 3 fpar + a f f par + a 3 f3 f par + + a par F i fpar = F f par Borrador a Edició - No distribuir

8 10 Apédice D. Estimació Lieal de Parámetros Al escribir este sistema de ecuacioes algebraicas lieales e forma matricial llegamos al Paso 4 del procedimieto propuesto e la Secció D.1. Por lo tato, queda demostrada la validez y geeralidad de las ecuacioes ormales obteidas co el Método Simplificado. Ejemplo D.5. Obtega formalmete las ecuacioes ormales y la solució óptima para los parámetros de ua ĺıea recta: y = m + b. Solució: Aclarado la omeclatura para esta secció, ( i,y i )s so los datos eperimetales de maera que y calc i = m i + b. Escribimos la Fució Objetivo dada por la Ecuació D.: F.O. = (y i m i b) Derivamos parcialmete respecto a cada uo de los parámetros que queremos optimizar: F.O. m = (y i m i b) ( i ) = (m i + b i i y i ) F.O. = b (y i m i b) ( 1) = (m i + b y i ) Comprobamos mediate las segudas derivadas parciales que, puesto que ambas so positivas, al igualar a cero las primeras derivadas se determiará los parámetros correspodietes a u míimo de la Fució Objetivo: F.O. m = i > 0 F.O. = b 1 > 0 Retomamos las ecuacioes de la primeras derivadas parciales, las igualamos a cero y pasamos dividiedo el para elimiarlo. Ahora desarrollamos las sumatorias e ambas ecuacioes alieado u regló por cada eperimeto: y para la seguda m 1 + b 1 1 y 1 +m + b y +m 3 + b 3 3 y 3 +m + b y = 0 m 1 + b y 1 +m + b y +m 3 + b y 3 Borrador a Edició - No distribuir +m + b y = 0

9 Apédice D. Estimació Lieal de Parámetros 11 Reagrupamos por columa, factorizamos m y b, y pasamos sumatoria de la última columa al lado derecho para obteer las dos ecuacioes ormales: m m i + b i + b i = 1 = i y i Notamos que 1 = y que al realizar la sumatorias para los datos, cada sumatoria tedría u valor fijo. Etoces se tiee u sistema de ecuacioes lieales icógitas: m y b. El sistema escrito e forma matricial es: ( ) ( ) ( ) m = y b y El Paso 6 del Método Simplificado recomieda la iversió y multiplicació de matrices para obteer la solució; si embargo, puesto que ta sólo se trata de dos ecuacioes lieales simultáeas optaremos para calcular m co el Método de Determiates: [ ] y det y m = [ ] det Auque b tambié podría calcularse tambié por determiates, es más secillo despejar de la seguda ecuació ormal ua vez m que ya se evaluó. Etoces los parámetros optimizados por míimos cuadrados para ua ĺıea recta so: y i m = y y ( ) b = y m dode debemos teer muy claro que ( ). c Dr. Ferado Tiscareño Lechuga Departameto de Igeiería Química Istituto Tecológico de Celaya Versió Prelimiar para Seguda Edició del 14 de octubre de 016 Borrador a Edició - No distribuir