Capítulo 5. Cálculo de una variable.

Transcripción

1 Capítulo 5. Cálculo e una variable.

2 Anteceentes Las cantiaes, así como las razones e cantiaes, que tienen a la iguala constantemente en un cierto tiempo finito y antes el límite e icho tiempo se aproximan mutuamente más que una iferencia aa, al final se hacen iguales. Isaac Newton 1 El Cálculo, se inició en Grecia en el siglo III a.c., con los trabajos e geometría y e lo que hoy se conoce como calculo integral e Arquímees y Euoxo. Este último es consierao el pare el cálculo integral creaor el métoo e exhaución, basaos en los trabajos filosóficos e Aristóteles, Platón, Pitágoras, Tales e Mileto y Zenón. Pero, no se establecieron métoos sistemáticos e resolución hasta 20 siglos espués en el siglo XVII con los aportes e Newton y Leibniz. Si bien poríamos atribuir a Newton y a Leibniz la paternia el cálculo moero, ellos forman parte e una gran caena iniciaa mucho tiempo antes. Quizá una e las aportaciones más concluyentes fue la geometría analítica esarrollaa inepenientemente por Descartes y Fermat. En lo que atañe a las erivaas, existen os conceptos e tipo geométrico: el problema e la tangente a una curva (concepto griego estático en contraste con el concepto cinemático e Arquímees) y el problema e los extremos (máximos y mínimos) que en su conjunto ieron origen a lo que moernamente se conoce como Cálculo Diferencial. Pierre e Fermat ( ) en el año 1629, hizo os importantes escubrimientos que están relacionaos con problema e los extremos relativos e una función. En el más importante e ellos, titulao Methous a isquirenam maximan et miniman 1. Fermat expone un métoo muy ingenioso para hallar los puntos en los cuales una función polinómica e la forma y = f(x), toma un valor máximo o mínimo. Fermat comparaba el valor e f(x) en un cierto punto, con el valor e f(x + ε) un punto cercano; en general, estos os valores son istintos, pero, en una "cresta" o en un "valle" e una curva la iferencia es casi imperceptible. Por lo tanto, para hallar los puntos que corresponen a valores máximos o mínimos e una función, Fermat iguala f(x) con f(x + ε), tenieno en cuenta que la iferencia entre estos os valores es muy pequeña, casi igual. Cuanta más chica sea la iferencia ε entre los os puntos, más cerca está la iguala e ser veraera. Así, espués e iviir too por ε, hace ε = 0. El resultao le permite calcular las abscisas e los máximos y mínimos e la función polinómica. Este es el funamento principal e lo hoy en ía se llama iferenciación. Este escubrimiento le permitió a Laplace reconocer a Fermat como el veraero escubrior el Cálculo Diferencial. Sin embargo, aunque son muchos y numerosos los 1 Métoos para hallar máximos y mínimos

3 1 precursores, algunos historiaores han consierao que es a Isaac Newton 2 y a Leibnitz a quienes se les ebe atribuir justificaamente la invención e las erivaas y e las integrales. Newton, taró mucho en ar a conocer sus resultaos. La notación que usaba era más complicaa; lo que nosotros llamamos f(x), él lo llamaba "cantiaes fluentes", y la erivaa, Df(x) era llamaba "fluxión", le escribía AB en lugar e Df(x). El mismo Newton escribía cosas como las siguientes: "Los momentos - las actuales iferenciales - ejan e ser momentos cuano alcanzan un valor finito, y eben por lo tanto consierarse como magnitues finitas nacientes". Frases tan confusas, que Newton ebía entenerlas muy bien, pero, para otro que no fuera su inventor el métoo, suenan bastante incomprensibles. En el año e 1669, Isaac Barrow 4, recibió e su alumno Isaac Newton, un folleto titulao De Analysis per Aequationes Numero Terminorum Infinitos, que es el primer manuscrito, primer esbozo casi completo e lo que sería el Cálculo Diferencial e Integral. Aquel mismo año, Barrow eciió que su alumno sabía mucho más que él, y que tenía por lo tanto mucho más erecho a la cátera e matemáticas con más merecimientos que el propio Barrow; su titular. Con una generosia y un esinterés ifíciles e igualar, Barrow ceió su cátera a Newton. A los 40 años, sieno profesor e matemáticas e Cambrige, Newton escribió Philosophiae naturalis principia mathematica, más conocios como Los Principia, one escribió la ley e la gravitación universal y estableció las bases e la mecánica clásica meiante las leyes que llevan su nombre, tal vez el tratao científico e mayor influencia jamás publicao. En el aplicó los conceptos el cálculo para explorar el universo, incluyeno los movimientos e la tierra, la luna y los planetas alreeor el sol. Se ice que un estuiante observó: "ahí va el hombre que escribió un libro que ni él ni los emás comprenen". Leibniz, comparte con Isaac Newton el créito el escubrimiento el cálculo. Fue el primero en publicar los mismos resultaos que Newton escubriera iez años antes. La historia ha ictaminao que Newton fue el primero en concebir las principales ieas ( ), pero que Leibniz las escubrió inepenientemente urante los años e Leibniz fue quizá el mayor inventor e símbolos matemáticos. A él se ebe la notación el Cálculo Diferencial y el Cálculo Integral, así como los símbolos y y para la erivaa y la integral. Fue el primero en utilizar el término "función" y el uso el símbolo " = " para la iguala. Por esta razón, ebio a la superioria el simbolismo, el cálculo x 2 Sir Isaac Newton Nacio en Woolstharpe, Inglaterra. Gottgrie Wilhelm Leibnitz Nacio en Leipzig, Alemania 4 Issac Barrow, , nació en Lonres Inglaterra. Fue el primero en reconocer que la integración y la iferenciación son operaciones inversas.

4 14 se esarrolló con mucha mayor rapiez en el continente europeo que en Inglaterra e one era oriuno Newton. 5.2 Límites. Zenón un Filósofo escribió una serie e paraojas asociaas con el movimiento. Quizá su más famosa es la paraoja e Aquiles y la tortuga. Se ice que un ía, el famoso héroe griego Aquiles jugó una carrera con una tortuga. Como Aquiles, se consieró que era un correor muy rápio, él gentilmente conceió a la tortuga una elantera e 100 metros. Zenón afirmó que Aquiles nunca poría alcanzar a la tortuga. Su razonamiento era que, si caa competior corre a una velocia constante, uno muy rápio, y el otro muy lento, espués e un tiempo Aquiles habría cubierto los primeros cien metros y alcanzar el punto e partia e la tortuga, pero urante este tiempo, la tortuga habría recorrio cierta istancia, aunque mucho más corta, pero no es cero, por ejemplo 10 metros. De esta forma, cuano Aquiles alcanza la nueva istancia, la tortuga logra avanzar un poco más. Por tanto, caa vez que Aquiles alcanza el punto one estaba la tortuga, ella se encuentra más cerca e Aquiles, pero más aelante, por lo tanto, Aquiles nunca alcanzaría a la tortuga. Si Aquiles corre a una velocia e 10 metros por seguno y la tortuga a un metro por seguno. La posición e Aquiles al iniciar la carrera será ( 10 m seg) t y la posición e la tortuga en el tiempo t es ( 1 m seg) t Para encontrar el tiempo en el que Aquiles se empareja con la tortuga, poemos escribir la ecuación, ( 10 m seg) t = ( 1 m seg) t espejamos el tiempo t y se empareja cuano t = De esta manera Aquiles habrá recorrio (10 m s) = metros 9 Etapa Aquiles Tortuga Inicio = = =111.1 Que es una serie geométrica, ( 1 10 ) ( 1 10 ) ( 1 10 ) +.. = como k < 1, a = 100 y k = 1 10 la suma es S n = = 100 =

5 15 Lo que establecía Zenón es que la suma el lao izquiero era infinita, este problema permaneció sin solución urante muchos años. Y es con el concepto e límite que se puo resolver finalmente, como ya vimos en las series geométricas. La noción e límite es una e las bases funamentales el cálculo. Este concepto está muy cercano al concepto e erivaa. Como en el caso e Aquiles y la tortuga, parece que siempre se acorta la istancia, pero nunca llegan a encontrarse. Esta noción e cercanía está implícita en el concepto e límite. Es ecir, para encontrar un límite haremos que la variable se acerque a un valor eterminao y se examinará el resultao que tiene en la función. Para ilustrar el concepto e límite vamos a presentarlo con el siguiente ejemplo, eterminar el límite e lim x 2 (x 5) Nos ayuamos e la siguiente tabla. x x El valor e x se acerca a 1 por la izquiera y también se acerca a 1 por la erecha, Un seguno ejemplo poría ser encontrar el límite e f(x) x 1 lim x 2 x 1 x x x 1 Se lee, el límite e f(x) cuano x tiene, o se aproxima, a 2 es7. Definición Sea f una función efinia en too número e algún intervalo abierto I que contiene a a, sin consierar el valor e a. El límite e f(x) cuano x se aproxima a a es L, y se escribe lim f(x) = L x a Si para caa número positivo, por pequeño que este sea, es posible eterminar un número positivo, tal que para toos los valores e x, iferentes e a, que satisfacen la esiguala x a <, verificará la esiguala f(x) L <.

6 16 En otras palabras, esta efinición e límite nos ice que los valores e la función f(x) se aproximan a un límite L, conforme x se aproxima a un número a, sí el valor absoluto e la iferencia entref(x) y L se puee hacer tan pequeña como se quiera tomano x suficientemente cercana a "a", pero no igual a "a". En general, el eterminar el lim x a f(x) meiante el uso irecto e la efinición es ifícil, por lo que para hacerlo se contará con la ayua e una serie e teoremas, que estuiaremos más aelante. Teoremas sobre límites. Para facilitar la obtención el límite e una función se establecen los siguientes teoremas. 1. Si k es una constante. lim x a k = k 2. Si a un número cualquiera, entonces. lim x a x = a. Si k es una constante y a un número cualquiera. El límite e la suma, o iferencia, e varias funciones. lim[f(x) ± g(x)] = lim f(x) ± lim g(x) x a x a x a 4. Proucto e varias funciones. [f(x)g(x)] = lim 5. Límite e un cociente lim x a 6. Si r es una constante positiva x a f(x) lim x a g(x) lim f(x) lim [f(x) x a g(x) ] = x a lim g(x) g(x) 0 x a lim x a [f(x)]r = [lim f(x)] r x a Si es posible aplicar irectamente las propieaes anteriores, el límite se calcula irectamente. Cuano al sustituir la a por x en la función nos a la forma ineterminaa 0/0 es posible calcular el límite, pero previamente hay que transformar la fórmula e la función e tal moo que se puea evitar la ivisión por cero: para lograr esto isponemos e proceimientos algebraicos como la factorización, la conjugaa, etc. Ejemplos. a) lim x 2 10 = 10 b) lim 5x = 5 lim x = 10 x 2 x 2

7 17 c) lim x x 4 = [lim x x] 4 = () 4 = 81 ) lim x 2 [5x 2 + 2x 4] = lim x 2 5x 2 + lim x 2 2x lim x 2 4 e) lim x [ 4x +8 2x+6 ] = lim x (4x +8) lim x 2x+6 = 5[lim x 2 x] lim x 2 x 4 = 5(2 2 ) + 2(2) 4 = 20 = lim x (4x +8) lim x 2x+6 = lim 4x +8 x lim x 4()+8 = = 29 2x+6 2()+6 f) lim x 2 5x 15 = lim x 2 (5x 15) = 5(lim x 2 x) 15 = 5(2) 15 = 5 2x 2 x x 4 x 2 15 g) lim = 2 (lim x) 2 x x 4 (lim x) x h) lim ((lim x = x 2 x 1 2 x 2 )2 +5) = 2(4) = = ((2)2+5) lim x 2 x = 1 2 = 1 i) lim x 2 + 2x + 5 = ((limx) limx + lim5) = ( 2 + 2() + 5) 1 2 = 2 5 x x x x Ejercicios. Encuentre el límite e las siguientes funciones, si existen. 1. lim x2 x 1 x 2x+1. lim x 1 x+2 5. lim x2 x 1 x 7. lim x 2 (x 5) 5x+1 9. lim x x lim 4x2 +x+6 x 1 x (x 2) 2. lim x 2 x 2 4. lim 2x 2x2 +4x x x 2 6. lim 8x x 4 x(x 2 +6x+) (6+x)1 x 1 x 8. lim (16+x)1 2 4 x x lim 12. lim x 5 4x 5 x 2 6

8 18 5. Límites y erivaas Nuestro punto e inicio para introucir el concepto e erivaa es la peniente e una recta y su extensión al caso general e cualquier curva. El problema principal el cálculo es justamente encontrar la peniente e la recta tangente en un punto e la curva. Para aclarar este concepto, veamos la tangente a un círculo, que es la recta que toca el círculo en un solo punto. La peniente e la recta tangente en el punto P es negativa; mientras que la tangente en el punto Q es positiva. Por otro lao, en los puntos A y B las rectas tangentes tienen peniente cero y por tanto son paralelas a los ejes. De esta manera la peniente e la tangente en un punto e una curva nos inica el comportamiento e la función. Cuano la peniente e la recta tangente es cero, como en el punto A, estamos en un punto tal que la peniente cambia e signo, e positivo a negativo, que sería el caso e una cresta, o en el punto B, que cambia e negativo a positivo es un punto inferior o un valle. La peniente e la secante es m = f(a+h) f(a) h Para acercar el punto P a Q, tenemos que reucir h, aproximarla a cero, hasta que la secante coincia con la tangente. Se trata e hacer h lo suficientemente pequeña, pero no cero. Entonces la cantia f(a+h) f(a) h puee aproximarse a la erivaa e la función f (x). Ésta peniente expresa una relación e cambio y para calcular esta tasa e cambio en cualquier punto e una función necesitaremos encontrar la erivaa e esta función. Consieremos un punto P e una función y = f(x) en el plano XY. Tomemos ahora otro punto e la función Q. La recta que pasa por P y Q se llama secante (el latín que corta ). Si se eja el punto P fijo y se mueve Q sobre la curva acercánose a P, la secante gira alreeor e P.

9 19 1. Calcular Para encontrar esta erivaa seguimos el siguiente proceimiento: f(a+h) f(a) h para h 0 2. Hacer h muy cercana a cero.. El valor e f(a+h) f(a) h se aproxima a f (x) Ejemplo. Si f(x) = x 2 encontrar la erivaa f(a+h) f(a) h = (x+h)2 x 2 h Si h 0, entonces f (x) = 2x = x2 +2xh+h 2 x 2 h = h(2x+h) h = 2x + h Como mencionamos antes, h es un valor cercano, pero no igual a cero. Nos acercamos a cero por el lao positivo o negativo. En forma simbólica lo que ecimos es que h 0. Entonces la erivaa f (x) es f f(a+h) f(a) (x) = lim h 0 h Ahora supongamos que f(x) = x 2 cuano x = 2. f(2+h) f(2) h = (2+h)2 2 2 h Si amos valores a esta última función. = 22 +4h+h h = h(4+h) h h 4 + h h 4 + h = 4 + h Ambas tablas tienen al valor e 4, que es el valor e la erivaa cuano h 0. Decimos que f (a), la erivaa e a existe, si f(a+h) f(a) h se aproxima a un número cuano h 0, si por lo contrario no se aproxima a ningún número la función f(x) no es iferenciable para x = a 5.4 Tasa e variación. Una característica e la Economía es que resulta e gran interés conocer las variaciones que ha experimentao una variable objeto e análisis a lo largo el tiempo. Para preecir la emana futura e un bien, necesitamos la tasa e variación. Por ello, se eican las

10 140 siguientes líneas al análisis y la meición e la variación. Como se verá, el cálculo e la meia e las tasas e variación que ha experimentao la variable está conectao con la meia geométrica, e ahí su inclusión en este lugar el programa. Consieremos una función y = f(x) y consieremos os puntos próximos sobre el eje e abscisas "a" y "a + h", sieno "h" un número real que correspone a la variación e x. Se llama tasa e variación e la función f(x) en el intervalo [a, a + h], a la iferencia entre las orenaas corresponientes a los puntos e abscisas a y a + h. Es ecir; tv = f(a + h) f(a) La variación e y por unia e variación e x se llama Tasa meia e variación en el intervalo [a, a + h]. Que es igual a; Tasa meia e variación en el intervalo [a, a + h] = f(a + h) f(a) h Esta expresión es justamente la peniente e la recta secante a la función f(x), que pasa por los puntos P, Q e abscisas a y a + h. Si encontramos el límite cuano h 0 e f(x) en a encontramos la tasa instantánea e variación f (a), es ecir la erivaa e f(x) Tasa instantánea e variación en el intervalo [a, a + h] f(a + h) f(a) = lim h 0 h En algunos casos es conveniente estuiar la razón f (x) variación. f(a) que es la Tasa proporcional e En economía, se utilizan muy a menuo estas tasas proporcionales e variación, que son más conocias como Tasas relativas e variación. Normalmente se expresan en porcentajes. Una variable crece % anual si tiene una tasa proporcional e variación e 100 por año

11 Aplicaciones al análisis marginal. Las aplicaciones e las erivaas al análisis marginal son muy utilizaas en Economía. Los costos e proucción e una empresa son por una parte inepenientes e las cantiaes proucias (costos fijos) y por la otra relacionaos con el nivel e proucción (costos variables) Sea C(q) el costo total e proucción y q las cantiaes proucias. Se llama costo meio e proucción CM(p) a la función, CM(q) = C(q) q De la efinición e costo marginal sabemos que es el costo aicional que se obtiene al proucir una unia aicional, entonces el costo e proucir h uniaes aicionales es C(q + h) C(q) Poemos rescribir el costo promeio e proucción e h uniaes aicionales así, C(q + h) C(q) h Y finalmente si tomamos límites obtenemos el Costo marginal e proucir h uniaes aicionales, que no es otra cosa que la erivaa e la función e costos. Costo marginal = C (q) = lim q 0 C(q + h) C(q) h Normalmente una empresa prouce muchas uniaes (q), entonces cuano h = 1 es un número. C C(q + 1) C(q) (q) = lim = C(q + 1) c(q) h 0 1 Así, como lo inicamos antes, el costo marginal es aproximaamente igual al incremento en el costo C(x + 1) c(x) Suponga que la función e costo e una empresa es C(x) = x 2 + x a) cuál es la tasa meia e variación cuano x varia e 100 a h y b) cuál es el costo marginal cuano x = 100? a) C(100 + h) C(100) = (100 + h) 2 + (100 + h) = h + h h = 20h + h 2 C(100+h) C(100) h = (20+h)h h = 20 + h

12 142 C(x+h) C(x) b) lim = lim (x+h)2 +(x+h)+100 x2 x 100 = lim 2xh+h2 +h = 2x + h 0 h h 0 h h 0 h En forma general, consieremos una empresa que prouce un bien en un períoo ao. Done, C(x) = Costo e proucción e x uniaes. R(x) = Ingreso por ventas e x uniaes π(x) = R(x) C(x) = Beneficio e proucción (y venta) e x uniaes Llamaremos a las erivaas e estas variables; C (x) R (x) π (x) Costo marginal Ingreso marginal Beneficio marginal El ingreso marginal, es la variación en el ingreso o el ingreso obtenio por la venta e un proucto aicional. Si un proucto se vene siempre al mismo precio, entonces el ingreso marginal es igual al precio. Por otro lao; la ganancia o beneficio marginal, es la iferencia entre el ingreso marginal y el costo marginal. Si no se cuenta con las funciones e ingreso total ni costo total, el beneficio marginal será la ganancia que se obtiene al proucir y vener una unia aicional. Otros ejemplos en economía son la propensión marginal al consumo 5 que es la erivaa e la función e consumo respecto al ingreso o el proucto marginal el trabajo 6 que es la erivaa e la función e proucción con respecto al trabajo. Ejercicios. 1) Un fabricante e memorias para teléfonos celulares prouce x memorias por semana a un costo total e C(x) = x2 + x Calcular el costo meio y el costo marginal. 25 2) Si la función e ingreso total es R(x) = x 2 y la función e costo total es Q(x) = x x 2. Determinar el beneficio marginal. ) El costo mensual e un empaque, bolsa para café está eterminao por la función, C(x) = 0.65x 2 + 5x pesos. Determinar cuál será el costo e 251 empaques si actualmente se proucen 250 por ía 5 La propensión marginal al consumo mie el aumento en el consumo inucio, cuanto se incrementa la renta isponible en una unia monetaria. 6 Es la proucción aicional que se obtiene con una unia aicional el trabajo.

13 Reglas e erivación Se han esarrollao proceimientos sencillos para calcular la erivaa e una clase e funciones y utilizar el resultao como una fórmula para evitar el proceimiento e cálculo por límites. Algunas e estas reglas son las siguientes: 1) Derivaa e una constante k k x = 0 Ejemplo: x (5) = 0; si f(x) = a f (a) = 0 2) Regla e la potencia. Si f(x) = kx n entonces f (x) ó k f(x) x = knxn 1 one n = constante Calcular a) y = x 2 b) y = x 8 c) y = x100 e) r ( 5r ) f) f(x) = 4 x4 100 ) x (x 0. ) Solución: a) y = 2x x ) e) f) b)y x = (8)x8 1 = 24x 7 x (x 0. ) = 0.x 0. 1 = 0.x 1. = 0. x 1. r ( 5r ) = 5( )r 1 = 15r 4 x f(x) = 4 x x4 = 4 4 x4 1 = x 1 c) y 100 x100 1 = = x 99 x 100 ) Regla e sumas y iferencias. Si f(x) y g(x) son funciones erivables en un punto x, y también en la suma F(x) = f(x) + g(y) y en su iferencia F(x) = f(x) g(y). F(x) = f(x) + g(x) F(x) = f(x) g(x) En notación e Leibniz F (x) = f (x) + g (x) F (x) = f (x) g (x) x [f(x) ± g(x)] = x f(x) ± x g(x) Ejemplo: Encontrar la erivaa e las funciones siguientes: a) x (x8 + x ) = x (x8 ) + x (x ) = 24x x99 b) y x (x4 x 2) = x (x4 ) x ( x 2) = 4x x (x 2 ) = 4x + 6x = 4x + 6 x

14 144 Anteriormente hemos efinio el beneficio como π(x) = R(x) C(x). Por la regla e la iferencia π (x) = R (x) C (x). Cuano el ingreso marginal es igual a costo marginal π (x) = 0 4) Regla el proucto. Si f(x) y g(x) son funciones erivables en un mismo punto. F(x) = f(x) g(x) F (x) = f (x) g(x) + f(x) g (x) Ejemplo: Encontrar la erivaa e las funciones siguientes: a) h(x) = (x x)(5x 4 + x 2 ) Encontrar h (x) h (x) = x (x x)(5x 4 + x 2 ) = (5x 4 + x 2 ) x (x x) + (x x) x (5x4 + x 2 ) = (5x 4 + x 2 )(x 2 1) + (x x)(20x + 2x) = x²( 5x⁴ + 20x² + ) b) f(x) = (x 2 + 5)(2x 1 1) y x = (x2 + 5) 1 x (2x 1) + (2x 1 1) x (x2 + 5) = (x 2 + 5) ( 1 ) (2x 2 1) (6x) + (2x 1 1) (2x) = 2x(x2 + 5) (2x 1) 2 + 2x(2x 1) 5) Regla el cociente. Si f(x) y g(x) son funciones erivables en un mismo punto. F(x) = f(x) g(x) F (x) =? F(x)g(x) = f(x) Aplicamos la regla el proucto f (x) = F (x)g(x) + F(x)g (x) f (x) F(x)g (x) = F (x)g(x) Despejamos F (x) f (x) f(x) g(x) g (x) = F (x)g(x) Ejemplo: f (x)g(x) f(x)g (x) g(x) F (x) = f (x)g(x) f(x)g (x) [g(x)] 2 Calcular F (x) y F (6) cuano F(x) = (10x ) (x 2 1) F (x) = (x2 1) x (10x ) (10x ) x (x2 1) (x 2 1) 2 = (x2 1)(10) (10x )(2x) (x 2 1) 2 1 = F (x)g(x) Finalmente = 10x x 2 +6x (x 2 1) 2 = (10x2 6x+10) (x 2 1) 2 F (6) = [10(6)2 6(6)+10] [(6) 2 1] 2 = = 0.272

15 145 Sea C(q) el costo total e proucir q uniaes e un bien. Llamaremos a la cantia C(q) q el costo promeio e proucir q uniaes. Hallar la tasa e variación el costo promeió o el costo promeio marginal. q [C(q) q ] = q C (q) C(q) q 2 = q C (q) q 2 C(q) q 2 = 1 C(q) [C (q) q q ] Este resultao nos inica que la tasa e variación el costo meio es igual a la iferencia el costo marginal menos el costo meio, iviio entre la cantia e uniaes q. Para valores positivos e q, el costo marginal C (q) es mayor que el costo meio C(q), si y solo si la tasa e variación el costo meio es positiva. q Ejemplo: Calcular el costo promeio marginal, cuano q = 100, para la función e costo C(q) = q 0. q q C (q) = 0. 00q q + 40 C (100) = 0. 00(100) (100) + 40 = 10 C(100) = 0. 00(100) 0. (100) (100) = 000 El costo promeio marginal cuano q = 100 es entonces, 1 C(q) [C (q) q q ] = [10 ] = Así, cuano q = 100, el costo promeio por unia ecrece en 0. 2 por caa unia aicional proucia. La fórmula e la erivaa e un cociente es más fácil e entener si consieramos tasas proporcionales e variación. Partimos e la formula general F (x)[g(x)] 2 f(x)g(x) = f (x)g(x) f(x)g (x) f(x)g(x) f(x)g(x) F (x) = f (x)g(x) f(x)g (x) [g(x)] 2 F (x) [ g(x) f(x) ] = f (x) g (x) f(x) g(x) Finalmente concluimos con: sabemos que F(x) = f(x) g(x) F (x) F(x) = f (x) f(x) g (x) g(x)

16 146 6) Regla general e la potencia. Para erivar una función el tipo [g(x)] r, primero ebemos erivar g(x), aplicano la regla e la potencia, regla 2, y espués multiplicarla por el factor g (x). x ([g(x)]r ) = r [g(x)] r 1 x [g(x)] Ejemplos: Calcular a) y = (g(x)) a si a = 1 si a = 2 para a = x g(x) = g (x) x [g(x)]2 = y g(x)g(x) = x g (x)g(x) + g(x)g (x) = 2g(x)g (x) x [g(x)] = y x g(x)2 g(x) = [2g (x)g(x)]g(x) + (g(x)) 2 g (x) = 2[g(x) g(x) 2 ] + g(x) 2 g (x) = g(x) 2 g (x) En forma general y = a[g(x)] a 1 g (x) b) y = (x + x 2 ) 50 c) y = ( x 1 x+ )1 y x = 50(x + x 2 ) 50 1 x (x + x 2 ) = 50(x + x 2 ) 49 (x 2 + 6x) ) f(x) = (x + x 2 + 1)5 e) y = x+(x5 +1) 10 y f) f(x) = x = x y = 1 1 x (x 1) 1 x+ x (x 1) = 1 2 x+ (x 1 x+ ) ( (x+) x (x 1) (x 1) x (x+) )= (X+) 2 = 1 (x 1 2 x + ) (x + ) (x 1) ( (X + ) 2 ) = 1 (x 1 2 x + ) 4 ( (X + ) 2) y x = 5 (x + x ) y x (x + x 2 + 1) = 5 (x + x ) (x ) 1 [x + (x5 + 1) 10 ] = 1 [1 + 50x4 (x 5 + 1) 9 ] 1 (4x x) 2 = (4x x) 2 y = x ( 2)(4x x) x (4x 2 x) = (4x x) (12x2 ) = 24x2 6 (4x x)

17 147 Ejercicios. Utilizano las seis reglas anteriores resolver las siguientes ecuaciones. 1. f(x) = x 5 + 6x 2. f(x) = x + x 2. f(x) = x + 2 x 2 4. f(x) = x + x f(x) = (4 2 x 2) 6. f(x) = 1 5 x4 1 x 7. f(x) = 1 (x 2 +4x) 8. f(x) = x2 (x + 6) 9. f(x) = (x 4 + 1)(x 2 + 4) 10. f(x) = (x 2 + 2x)(x + x + 1) 11. f(x) = 5x2 4 x f(x) = 2x2 +5x 2x+1 1. Una organización e prouctores e café tiene un ingreso e x kg e café, ao por la función, R(x) = 0. 05x 2 12x. Encuentre, a. Encuentre el ingreso marginal a un nivel e proucción e 2405 kg b. Cuál es el nivel e proucción cuano el ingreso es e $2405 pesos 14. Una empresa que elabora miel e abeja, estima que el costo e proucir x cubetas e miel es C(x) = 2. 1x 4x pesos. a. Calcule el costo e proucción cuano crece e 0 a 1 cubetas. b. Cuál es el costo promeio marginal para un nivel e proucción e 0 cubetas? 5.7 Funciones compuestas y regla e la caena Un caso especial e la regla generalizaa e la potencia es la regla e la caena. Si y es una función e u, y = f(u), y u es una función e x, u = g(x) entonces y es una función e x, es ecir y = f(g(x)). En este caso se ice que y es una función compuesta e x que tiene como erivaa y x = y u u x o bien x f(g(x)) = f (g(x))g (x) Recoremos que una función compuesta está formaa por la composición e varias funciones. (f g)(x) = f(g(x)) Ejemplo. Si tenemos las siguientes funciones f(x) = x 1 erivaa e la función compuesta f(g(x))? x+1, g(x) = x. Encontrar la

18 148 Por la erivaa e la función compuesta. Remplazamos caa ocurrencia e x en f(x) por la función g(x) para obtener, f(g(x)) = g(x) 1 g(x) + 1 = x 1 x + 1 Su erivaa ] = (x +1) x +1 1 x [x x (x 1) (x 1) x (x +1) = (x +1)(x 2 ) (x 1)(x 2 ) (x +1) 2 (x +1) 2 = x5 + x 2 x 5 + x 2 6x 2 (x + 1) 2 = (x + 1) 2 Ejemplo. Use la regla e la caena para encontrar la erivaa e f(g(x)), Done y = f(u) = u 8 y u = g(x) = x 5 + 9x +. Primero encontramos f (x) = 8u 7 y g (x) = 5x Sustituimos y encontramos f (g(x)) = 8(x 5 + 9x + ) 7 Finalmente, por la regla e la caena. x f(g(x)) = f (g(x))g (x) = 8(x 5 + 9x + ) 7 (5x 4 + 9) Ejemplo. Calcular y x, si y = u5 2u + 8 y u = x y u = 5u4 6u 2 y y u x = 2x Por la regla e la caena, x = (5u4 6u 2 )2x Sustituimos el valor e u = x para obtener, y x = [5(x2 + 1) 4 6(x 2 + 1) 2 ]2x En muchos problemas e composición e funciones, la variable e interés es el tiempo, en estos casos ecimos que x = g(t) y otra variable. Por ejemplo R es función e x, es ecir R = f(x). Entonces R = f(g(t)) y por la regla e la caena tenemos, R t = R x x t Ejemplo. Una empresa vene chocolates a $12 pesos la pieza. Si x es el número e chocolates venios en un ía y R es el ingreso e las ventas e x chocolates; nos lleva a que R = 12x. Suponga que las ventas iarias crecen a una tasa e 4 chocolates por ía. Qué tan rápio crecen los ingresos? R t = R x x t Como poemos ver R R t x es el ingreso marginal y que la tasa e cambio el ingreso es el ingreso marginal multiplicao por la tasa e cambio e las ventas con respecto al tiempo.

19 Derivación implícita. En algunas aplicaciones, trabajamos con una ecuación en lugar e una función. Se ice que una función está efinia explícitamente cuano se a e la forma y = f (x). En cambio, si en una ecuación, como, por ejemplo, x 2 + y 2 = 4, existe una función tal que y = f (x), se ice que y es una función que está efinia implícitamente por la ecuación. Una ecuación en x e y puee efinir a más e una función implícita. En muchas ocasiones no se puee resolver explícitamente una función aa en forma implícita. Es posible hallar la erivaa e una función expresaa implícitamente, sin necesia e transformarla en su equivalente explícita. Por ejemplo, si queremos encontrar la erivaa e x 2 + y 2 = 4. Es claro que por meio e esta ecuación la variable epeniente y puee ser efinia como una función implícita e la variable inepeniente x y viceversa, x puee efinirse igualmente como una función implícita e y. Un proceimiento para encontrar la erivaa implícita es erivar la ecuación término a término consierano a la variable y como función e x, y = f(x) y e la ecuación resultante espejar y, sustituimos y por f(x). x x 2 + f(x) 2 = 4 Resolvemos la ecuación aplicano la regla e la potencia y la regla generalizaa e la potencia, entonces tenemos, x x2 + x [f(x)]2 = x 4 f(x) 2x + 2f(x) x = 0 f(x) Despejamos y tenemos, f(x) x x obtenemos la erivaa implícita. = 2x 2f(x) Finalmente se sustituye f(x) por y y x = x y Debemos recorar que cuano una potencia e y se eriva con respecto a x, como x [f(x)]2, el resultao ebe incluir el factor y. Cuano se eriva una potencia e x, no x tenemos el factor y, como en el ejemplo anterior. x De la solución anterior poemos eucir unos pasos para encontrar la erivaa e una función por iferenciación implícita, 1) Diferencie caa lao e la ecuación con respecto a, y trate a esta variable como una función e x, y = f(x).

20 150 2) Mueva toos los términos y al lao izquiero e la ecuación y los otros términos x al lao erecho ) Factorizar y, en el lao izquiero e la ecuación x 4) Divie ambos miembros e la ecuación por el factor que multiplica y. x Ejercicios. a) Encontrar y e la ecuación x x + y = axy ( hoja e escartes ) 7 Solución, es una función implícita. Hacemos y = f(x) x (x + f(x) ) = x (axf(x)) x (x ) + x (f(x) ) = a x (xf(x)) Aplican las reglas e la potencia y el proucto. x 2 + f(x) 2 f(x) f(x) = a (x x x + f(x)) x2 + f(x) 2 f(x) f(x) = ax x x + af(x) Vamos a espejar y que es la erivaa que buscamos y regresamos f(x) = y x y 2 y y ax x x = ay x2 y x (y2 ax) = ay x 2 Finalmente y x = ay x2 y 2 ax b) Supongamos la siguiente función e proucción e Cobb-Douglas 8 10x 1 y 2 = 600, one "x" es trabajo y "y" representa el capital. Esta función representa las cantiaes e (x, y), trabajo y capital para las cuales se obtiene el nivel e proucción e 600. La gráfica e esta función se llama isocuanta. Usaremos erivación implícita para calcular la tasa e cambio e la proucción cuano y = Una isocuanta representa iferentes combinaciones e factores que proporcionan un mismo nivel e proucción. En nuestro ejemplo son el trabajo y el capital. Para valores e (2, 28.6) tenemos el mismo nivel e proucción, 600 que a (5.4, 200). 7 El folium e Descartes ( hoja e Descartes ) es una curva algebraica propuesta por vez primera por Descartes en 168. Tomaa e 8 Propuesta por Knuth Wicksell ( ) y aplicaa por Charles Cobb y Paul Douglas. Representa la proporción con la que varía la proucción a partir e los insumos, trabajo y capital y viceversa. La función e proucción tiene economías e escala constantes; si aumenta la renta e los trabajaores y el capital en 10%, por ejemplo; la proucción aumenta en la misma proporción.

21 151 Para resolver empezamos por aplicar la regla el proucto. 10x 1 x f(x)2 + f(x) 2 x 10x1 = 600 x 10x 1 ( 2 ) f(x) 1 f(x) + x f(x)2 10 ( 1 ) x 2 = 0 Despejamos f(x) x 10x 1 ( 2 ) f(x) 1 f(x) = f(x) 2 ( 10 ) x x 2 ( 20 ) x1 y = ( x 10 )y2 x 2 ( 20 )x1 y 1 = 0y2 y 1 60x 2 x 1 = y 2x y x = (2) = y 1 y x = (10 Para x = 2, y = 28.6 ) y2 x 2 Esta cantia es la peniente e la isocuanta en el punto (2, 28.6). Si el valor el trabajo se incrementa en una unia, muy pequeña, el valor el capital se reuce en e manera que se conserve el valor e la proucción. En términos económicos el valor absoluto e y x es la tasa marginal e sustitución e trabajo por capital. En erivación implícita, transformamos una ecuación e x, y one y es una función e x. Sin embargo, en algunas aplicaciones relacionamos estas variables con una tercera que generalmente es el tiempo t. Cuano erivamos esta ecuación con respecto al tiempo t, en realia obtenemos las tasas e cambio y y x. Estas erivaas son tasas relativas. t t Suponga que una organización e prouctores agrícolas vene x tonelaas e cártamo a un precio e p pesos (miles por tonelaa). Suponga también que x y p satisfacen la ecuación e emana p 2 + 4x + xp = 50. Qué tan rápio es el cambio e las ventas mensuales cuáno x = 12 y p =, y el precio baja a razón e $. 60 por mes? Asumimos que p y x son funciones iferenciables e t, la erivaa e la emana con respecto al tiempo es, t (p2 ) + t (4x) + t (xp) = t (50) 2p p t + 4 x p x + x + p t x t = 0 La incógnita es x p ; cuano x = 12, p =, y = 0.6 t t ecrece. negativa porque el precio Sustituimos estos valores en la ecuación. 2()(.60) + 4 x x + 12(.60) + t t = 0 7 x t = 10.8 x t = 1.54 Las ventas caen a una tasa e 1.54 tonelaas por mes.

22 152 Ejercicios. 1. Calcular f(g(x)), one f(x) y g(x) son; x 1.1. f(x) = x g(x) = x x+1, 1.2. f(x) = x 5 + x, g(x) = x f(x) = (x 2 + ) 2, g(x) = 1 x 1.4. f(x) = 1 x + x2 ; g(x) = 1 + x 1.5. f(x) = x 2 + 5; g(x) = x 5 2. Las funciones siguientes pueen ser vistas como una función compuesta. Encuentre f(x), g(x) y x f(g(x)) (x + 8x 2) (4x ) + 1 4x. Hallar y x por la regla e la caena.1. Si y = u 5 y u = 1 x.2. y = 1 2 u2 + 2u 1 2 y u = 1 x.. y = u 5 2 y u = 4x y = 1 4 u4 + u 1 y u = 2 + x.5. y = u2 y u = 4x u2 4. Una organización e prouctores prouce y vene mensualmente x frascos e veruras encurtias, con un beneficio e P miles e pesos, one P = x x2. El nivel e proucción t semanas espués es x = 4 + 2t. a) Encuentre el beneficio marginal P x b) Encuentre el beneficio en el tiempo P y el cambio en el beneficio cuano t = 5? t 5. Evaluar las siguientes ecuaciones por erivación implícita para eterminar la peniente e la función en un punto ao. a) xy + y = 14, x =, y = 2 b) y 2 = xy 5; x = 2, y = 1 6. Suponga que el precio p y las ventas semanales e un proucto x satisfacen la ecuación e emana 2p + x 2 = Determine tasa e cambio e las ventas en el tiempo cuano x = 50 y p = 10, y el precio cae en una tasa e $. 50 por semana. 7. Supongamos la función e proucción e Cobb-Douglas 0x 1 y 2 = 1080, one "x" es trabajo y "y" representa el capital. Dibuje las isocuantas, para un nivel e proucción e 1080 y Encuentre la erivaa y, cuano x = 16 y y = 54. x 100x

23 Derivaas e funciones exponenciales y logarítmicas Función exponencial Las erivaas e las funciones exponenciales se expresan e la siguiente forma: x (ex ) = e x x (bx ) = b x ln (b) Supongamos ahora que tenemos una función e la forma e g(x), one g(x) es una función iferenciable. Es ecir, e g(x) está compuesta e os funciones. Entonces se puee expresar, e g(x) = f(g(x)) Aplicamos la regla e la caena x (eg(x) ) = f (g(x))g (x) = f(g(x))g (x); si f (x) = f(x) = e g(x) x g(x) Entonces la regla e la caena para la función exponencial, si g(x) es una función iferenciable, x (eg(x) ) == e g(x) g (x) Ejemplos. a) b) c) ) x e x = e x x ( x) = ex ( 1) = e x x ex2 +1 = e x2 +1 x (x2 + 1) = 2xe x x ex2 x La función g(x) = x 2 1 su erivaa es, x x (x2 1 ) = 6x + 1 x Entonces la erivaa e 1 x ex2 x = (6x + 1 x 2) 1 ex2 x x (eln x ) = (x) = 1 x Si aplicamos la regla e la caena x (eln x ) = e ln x x (ln(x)) = x x (ln(x)) = 1 x Función Logaritmo. A partir e este último ejercicio se eriva la fórmula e la función logaritmo. (ln(x)) = 1 x > 0 x x 1 g (x) (ln g(x)) = g(x) = x g(x) x g(x) Es la aplicación e la regla e la caena para la función logaritmo.

24 154 Ejemplos. a) (ln x x)5 = 5(ln x) 4 5(ln x)4 ln x = x x b) (x ln x) = x ln x + ln x x = x 1 + ln x = 1 + ln x x x x x c) ln x (x + 5x ) = x +5x 2 +8 x (x + 5x 2 + 8) = x2 +10x x +5x 2 +8 ) Suponga que el valor e una inversión a un tiempo t está ao por la función f(t) = 750,000e.6 t. Encuentre que tan rápio cambia la inversión espués e t = 5 años. Solución, f (t) (ln f(t)) = Esta es la tasa e cambio e f(t) por unia e t. t f(t) f (t) f(t) = t (ln 750,000 e.6 t ) = t (ln 750, t) = 0.6 (1 2 ) t 1 2 Cuano t = 5 f (5) =. = 0.14 = 1.4% f(5) 5 =. t Ejercicios. Diferenciar las siguientes funciones. 1. f(x) = e x + x 2. f(x) = ln 2x. f(x) = e x2 + 5 x 4. f(x) = 1 ln (x + 1) x 5. f(x) = e 4x + 5x 2 6. f(x) = ln ( x x+5 ) 7. f(x) = e x (2 e x ) 8. f(x) = (ln x + 1) 9. f(x) = (x 2 + ) 2 e x 10. f(x) = e 2x ln x 11. f(x) = x 2 + e x 12. f(x) = x2 ln x 1. El valor e los archivos e una empresa es e v(t) = 200t + 50e 0.25t Cuál sería su valor tres años espués?

25 Derivaas e oren superior Sea una función y = f(x) erivable. Si f (x) es la erivaa e f(x) con respecto a x. Si continuamos el cálculo y erivamos nuevamente f (x) tenremos f (x) que llamaremos la erivaa seguna e f(x), si continuamos erivano la función obtenremos la tercera, cuarta, enésima erivaa. Las erivaas segunas y e en general e oren superior se eterminan aplicano las mismas reglas e iferenciación vistas para la primera erivaa. Utilizano la notación e Leibniz, la seguna erivaa se representa 2 y 2 que es iferente e ( y x )2. Cuano erivamos una función f(x) obtenemos una nueva función f (x), entonces la seguna erivaa es x f (x) = f (x) La primera erivaa e la función f(x) es la peniente e la función en cualquier punto. La seguna erivaa nos a información aicional e la forma en cualquier punto, lo veremos más aelante en el tema e máximos y mínimos. Ejemplos. a) f(x) = 8x + 6x 2 x + 5 Encontrar toas las erivaas e la función. Solución, Encontramos las erivaas sucesivas, mientras sea posible. De esta manera, 1ª. Derivaa f (x) = 24x x 2ª. Derivaa f (x) = 48x + 12 ª. Derivaa f (x) = 48 4ª. Derivaa f (x) = 0 b) Obtener la seguna erivaa e la función y = 4xe x2 Solución, x 4xe x2 = 4x x ex2 + e x2 x (4x) = 4x(2x)ex2 + 4e x2 = 8x 2 e x2 + 4e x2 2 x 2 (4xex2 ) = x (8x2 e x2 + 4e x2 ) = 8x 2 (2x)e x2 + 16xe x2 + 8xe x2 = 16x e x2 + 24xe x2 c) Encontrar 2 y e la función x 2 x2 + y 2 = 9 (ecuación e una circunferencia) Solución, es una función implícita x (x2 + y 2 ) = (9) x x (x2 ) + x (y2 ) = 0 Aplican las reglas e la potencia y el proucto. x

26 156 x + y y y = 0 Vamos a espejar que es la erivaa que buscamos x x 1ª Derivaa es y x = x y A partir e esta ecuación obtenemos la seguna erivaa. Aplicamos la regla el cociente. x [y] = y [ x x x y ] 2 y = y x (x) (x) x y = y (x) y x Sustituimos y = x x 2 y 2 y 2 x y x 2 y y (x) ( x 2 = y ) y + x2 x 2 + y 2 y y y 2 = y 2 = y 2 = x2 + y 2 y Finalmente, sustituimos la función original x 2 + y 2 = 9 y tenemos, 2 y x 2 = 9 y La erivaa primera f (x) es la tasa e cambio, representa la rapiez instantánea e cambio e la variable epeniente y a meia que cambia la variable inepeniente x, mie la rapiez e variación e la función. Así, la seguna erivaa mie la rapiez e variación e la primera erivaa. La seguna erivaa es una meia e la tasa e cambio en la primera erivaa. Posteriormente veremos algunas aplicaciones e las erivaas e oren superior para resolver problemas e valor extremos, máximos y mínimos. Supongamos la función y = x 2 + x + las erivaas primera y seguna son respectivamente f (x) = 2x + y f (x) = 2. Su representación gráfica es la siguiente, La gráfica e f(x) es una parábola convexa, abre hacia arriba. La peniente e esta función es negativa hasta el punto (, ). A partir e este punto la peniente es positiva 2 4 y e cero en el punto. La seguna gráfica nos muestra el comportamiento e la peniente e la función f (x). Como se puee apreciar para valores e x menores a la 2 peniente es negativa, el otro lao cuano x toma valores mayores la peniente es negativa. La tercera gráfica f (x), es una función constante inica que la peniente esta aumentano en una tasa instantánea e 2 uniaes para caa cambio e x.

27 157 Ejercicios. Calcular la seguna erivaa e las siguientes funciones: 1) y = 12x 5 + x 4 2x 2 + 5x ) y = 7x +8 x 5 ) y = ln x + x 4 4) y = x + 2x Aplicaciones e la erivaa Las técnicas el cálculo tienen muchas aplicaciones a problemas e la via real. En las siguientes aplicaciones, vamos a construir una función a partir e un moelo matemático y el análisis e la función y sus erivaas nos permitirán obtener información el problema original Describir la gráfica e una función. Máximos y mínimos Es común graficar una función para conocer su comportamiento en un intervalo e valores. Sin embrago, por la complejia e la función obtener su gráfica resulta complicao. En primer lugar, observemos la siguiente gráfica. Depenieno, si la vemos e izquiera a erecha la función f(x) es creciente o ecreciente si la vemos en el sentio inverso. Para evitar confusiones seguiremos la práctica más común e leer las gráficas e izquiera a erecha. Así, una función continua es creciente en un intervalo, si para cualquier par e puntos en el intervalo con x 1 < x 2, se verifica que f(x 1 ) < f(x 2 ). Por lo contrario, una función continua es ecreciente en un intervalo si para cualquier par e puntos con x 1 < x 2, se verifica que f(x 1 ) > f(x 2 ). Un punto extremo relativo e una función es el punto en el cual la gráfica cambia e ascenente a escenente o viceversa. Estos puntos en los que la gráfica cambia e peniente los llamaremos puntos máximos relativos si el cambio es e ascenente a escenente; será un punto mínimo relativo en el otro caso.

28 158 El punto máximo, o máximo absoluto e una función es el mayor valor que toma la función en su ominio y el punto mínimo, es el menor valor que toma la función. No necesariamente una función tiene máximo y/o mínimo, por ejemplo, En muchos problemas prácticos se requiere encontrar los valores máximos y mínimos. Estas cantiaes se llaman valores óptimos y encontrarlos es el problema e la optimización. Sea f(x) una función e una variable real. Si f(x) y su erivaa son continuos en un punto one el valor e la erivaa cambia e positivo a negativo, la función tiene un máximo. Por otro lao, si la peniente pasa e un valor negativo a un positivo, es un mínimo. En los os casos, el valor e la peniente en ese punto es cero. Como la peniente e la recta tangente, como lo hemos icho antes, se obtiene con la primera erivaa e la función, para obtener estos puntos extremos ebemos igualar a cero la primera erivaa e la función f(x) y obtener los puntos que hacen cero la función. Estos puntos nos inicaran si la función tiene uno o varios puntos e inflexión, un máximo o un mínimo Prueba e la primera erivaa. Sirve para eterminar si un punto (x, f(x)) es máximo o un mínimo. Sea una función f(x), c un punto crítico y a, b os números reales tales que, i. a < c < b ii. f(x) es continua en el intervalo abierto (a, b). Esto es necesario para que solamente exista un punto crítico en el intervalo. iii. c es un punto crítico en el intervalo cerrao [a, b] Si f (a) > 0 para a < c y f (b) < 0 para b > c, entonces c es un máximo relativo en f(c) Si f (a) < 0 para a < c y f (b) > 0 para b > c, entonces c es un mínimo relativo en f(c)

29 159 Cuano f (c) = 0, la regla e la primera erivaa no es concluyente. No es un extremo relativo. Ejemplo. Encontrar los puntos críticos e la función y = x x y ibujar su gráfica. Solución: La primera erivaa es f(x) = x 2 6x. Hacemos f(x) = 0 y resolvemos para x; x 2 6x = 0 x(x 2) = 0 Por lo tanto x = 0 y x = 2 son las soluciones a la ecuación anterior. Sustituimos estos valores e x en f(x) y tenemos, f(0) = 0 (0) = 7 f(2) = (2) (2) = De esta manera los puntos e críticos son (0,7) y (2,). El siguiente paso es encontrar como cambia la gráfica en estos puntos. Para el primer punto (0,7), si tomamos a = 1 y b = 1, los valores e la erivaa f ( 1) = 9 y f (1) =, función es ecreciente para los os valores entonces este punto es un máximo relativo. Igualmente, en el punto (2,), si a = 1 y b =, el valor e la función es f(1) = y f() = 9 por lo tanto obtenemos un mínimo relativo, Su gráfica es la que se muestra. Si es necesario obtenemos un punto intermeio para verificar que la función es escenente en ese punto, por ejemplo, en (1,5), para a = 0 y b = 2, las penientes son f (0) = 0 y f (5) = 0. Como se estableció antes el resultao no es concluyente, Prueba e la seguna erivaa En un intervalo e una función f(x), esta puee ser convexa, que abre hacia abajo o cóncava, abre hacia arriba. La forma e la gráfica epenerá e cómo sean sus tangentes, por ejemplo, para la función

30 160 Como poemos apreciar en la gráfica, las penientes e las tangentes van isminuyeno cuano la curva abre hacia abajo; por lo contrario, las penientes e las tangentes aumentan cuano la curva abre hacia arriba. Un punto e inflexión es aquel punto en one la curva cambia e cóncava a convexa y viceversa. En la gráfica, a la izquiera el punto e inflexión la curva abre hacia abajo; mientras que a la erecha abre hacia arriba. Existe una relación entre la erivaa seguna e una función y su concavia Sea una función f(x) erivable os veces en un punto crítico c. a) Si f (c) > 0, la gráfica e f es cóncava, abre hacia arriba, y el punto (c, f(c)) será un mínimo relativo si f (c) = 0. b) Si f (c) < 0, la gráfica e f es convexa, abre hacia abajo, y el punto (c, f(c)) será un máximo relativo si f (c) = 0. c) Si f (c) = 0, la gráfica e la función en el punto (c, f(c)) no es precisa, en este caso se puee utilizar el criterio e la primera erivaa. ) (c, f(c)) es un punto e inflexión. Si hay un cambio e concavia en x = c; e esta manera x es cóncava en un lao y convexa al otro, f (c) cambia e signo cuano x = c Ejemplos: Utilizar la prueba e la seguna erivaa para encontrar los extremos relativos y los puntos e inflexión, si los hay, e las siguientes funciones a) f(x) = x4 4 4x + x x + 1 Obtenemos la primera erivaa f (x) = x 4x 2 + x + 6 Igualamos a cero x 4x 2 + x + 6 = 0 por ivisión sintética obtenemos los valores e x = 1,2,, para los valores e la variable y sustituimos en f(x).

31 161 f( 1) = ( 1)4 4 4( 1) + ( 1)2 2 Puntos e inflexión + 6( 1) + 1 = 2.91 Punto ( 1, 2.91) f(2) = (2)4 + (2)2 + 6(2) + 1 = Punto (2, 8.) f() = ()4 + ()2 + 6() + 1 = Punto (, 7.75) Sustituimos en la seguna erivaa para conocer como son los puntos e inflexión. f (x) = x 2 8x + 1 Probamos los puntos e inflexión f ( 1) = ( 1) 2 8( 1) + 1 = 12 f (2) = (2) 2 8(2) + 1 = f () = () 2 8() + 1 = 4 Se puee verificar en la gráfica en ( 1, 2.91) la función es cóncava en (2, 8.) la función es convexa en (, 7.75) la función es cóncava b) f(x) = x x Obtenemos la primera erivaa f (x) = x 2 6x Igualamos a cero x 2 6x = 0 x(x 6) = 0 los valores e x = 0, 2 son extremos. Sustituimos en f(x). Puntos e inflexión f(0) = 0 (0) = 4 punto (0, 4) f(2) = 2 (2) = 0 punto (2, 0) Sustituimos en la seguna erivaa para conocer como son los puntos e inflexión. f (x) = 6x 6 Probamos los puntos e inflexión f (0) = 6(0) 6 = 6 f (2) = 6(2) 6 = 6 Se puee verificar en la gráfica inferior en (0, 4) la función es cóncava en (2, 0) la función es convexa c) f(x) = (2 x 2 )(x 2 4) Obtenemos la primera erivaa f (x) = (2 x 2 )(2x) + (x 2 4)( 2x) = 4x 2x 2x + 8x = 4x + 12x = 4x( x 2 ) Igualamos a cero 4x( x 2 ) = 0 obtenemos los valores e x = 0,, y sustituimos en f(x). Puntos e inflexión f(0) = (2)( 4) = 8 punto (0, 8) f( ) = (2 ( ) 2 )(( ) 2 4) = 1 punto (, 1) f( ) = (2 ( ) 2 )(( ) 2 4) = 1 Punto (,1 )

32 162 Sustituimos en la seguna erivaa para conocer como son los puntos e inflexión. f (x) = 12x Probamos los puntos e inflexión f (0) = 12(0) + 12 = 12 f ( ) = 12( ) = 24 f ( ) = 12( ) = 24 Se puee verificar en la gráfica en (0, 8) la función es cóncava en (, 1) la función es convexa en (, 1) la función es convexa Ejercicios. 1. Utilizar la prueba e la seguna erivaa para encontrar los extremos relativos y los puntos e inflexión, si los hay, e las siguientes funciones a. f(x) = x 4 x + 4 b. f(x) = 2x 5 x c. f(x) = x + x 2. Encontrar los extremos relativos e caa una e las siguientes funciones f(x) = x 4 9x f(x) = (2 + x) 2.. f(x) = 9 x 2 x + 4. Obtenga la gráfica e las siguientes funciones y encuentre los puntos extremos y los puntos e inflexión..1. y = x x y = 2x x 2 6x y = x 12x 4

33 Cálculos en intervalos cerraos. Cuano la función f(x) está acotaa por un intervalo cerrao, estos puntos extremos se consieran también puntos extremos, máximos o mínimos, como, por ejemplo, Encontrar los extremos absolutos e la función f(x) = x x 2 9x en el intervalo cerrao [ 2, 2]. Solución, Como la función es continua, f(x) es un polinomio, y el intervalo es cerrao, I. En primer lugar, encontramos los puntos extremos, II. III. f (x) = x 2 6x 9, los puntos extremos son x = 1 y x = Descartamos el valor e x = porque este valor no está en el intervalo. Después, evaluar f en los extremos el intervalo y en el punto crítico x = 1 f( 2) = ( 2) ( 2) 2 9( 2) = = 2 f( 1) = ( 1) ( 1) 2 9( 1) = = 5 f(2) = (2) (2) 2 9(2) = = 22 De los resultaos anteriores encontramos que, f(2) = 22, punto (2, 22) es el mínimo y f( 1) = 5 punto ( 1,5) es el valor máximo Ejemplos, a) Encontrar los puntos extremos e la función f(x) = x 2 4 [,1]. en el intervalo I. En primer lugar, encontramos los puntos extremos, f (x) = 1 (x2 4) 2 (2x) Se iguala a cero f(x) 2x (x2 4) 2 = 0 Los puntos extremos son x = 0 y x = ±2

34 164 II. III. El punto x = 2 está fuera el intervalo, entonces no lo consieramos. De esta manera los puntos extremos para las x`s son { 2,0,1} Evaluar f en los extremos el intervalo y en el punto crítico x = 1 f( ) = ( ) 2 4 = 5 = 1.71 f(0) = (0) 2 4 = 4 = f( 2) = ( 2) 2 4 = 0 f(1) = (1) 2 4 = = = 1.44 De los resultaos anteriores encontramos que, f(0) = 4, punto (0, 1.58) es el mínimo y f( ) = 5 punto (,1.71) es el valor máximo b) Una empresa que elabora un proucto tiene una capacia e proucción e 40 uniaes al mes. La función e utilia por proucir y vener q uniaes mensuales es aa por, U(q) = q + 10q 2 1 q Encuentre el nivel e proucción que maximiza la utilia mensual Solución, I. En primer lugar, se ebe buscar el punto one la función U alcanza el máximo en el intervalo [0,40]. Como U es una función polinómica y como nos interesa encontrar el máximo en el intervalo cerrao. Encontramos la primera erivaa e igualamos a cero. U (q) = q q 2 = 0 II. Las soluciones son q = 6.45 y q = 16.45, tomamos solamente la parte entera y escartamos el seguno valor por estar fuera el intervalo. De esta manera los puntos extremos son {0,6,40} El seguno paso es evaluar U en los valores extremos U(0) = (0) + 10(0) 2 1 (0) = 100 U(6) = (6) + 10(6) 2 1 (6) = 18,908 III. U(40) = (40) + 10(40) 2 1 (40) = 18,566 De los resultaos anteriores encontramos que f(6) = 18,908, que es el valor máximo o el nivel e proucción en que la utilia es máxima. 9 Si el ínice e una raíz es un número par el resultao es un número imaginario, la característica e este número imaginario es que i = 1. De esta manera 4 = 4i 2 = 2i. Si el ínice es un número non, por ejemplo 64 = ( 4)( 4)( 4) = 64