Examen de matemáticas de la selectividad China 2015

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Aurora Paz Murillo
hace 5 años
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1 Emen de mtemátics de l selectividd Chin 05 Gerrd Romo Grrido, Const de 0 ejercicios en uns 5 págins, con un totl de 50 puntos. El tiempo es de 0 minutos. Primer prte. Un totl de 8 pregunts tipo test, cd pregunt vle 5 puntos que formn un totl de 40 puntos, en cd pregunt hy 4 opciones.. Resuelve ( i) i = A. i B. i C. i D. i y 0. Si, y es y 0 entonces el vlor máimo es: A. 0 B. C. / D.. Ejecut el digrm de bloques que se muestr en l figur, el resultdo de l slid es: A. (-, ) B. (-4, 0) C. (-4, -4) D. (0, -8)

2 4. Supongmos que, tiene plnos diferentes, m es un líne rect m. m // es // A. Condición complet e innecesri. B. Condición necesri pero no suficiente. C. Condiciones necesris y suficientes. D. Ni condición suficiente ni necesrio. 5. En l figur se muestr perfiles de un pirámide, cul es el áre de l pirámide? A. 5 B. 4 5 C. 5 D Si n es un progresión ritmétic, cul de l siguientes respuests es correct? A. Si 0, entonces 0 B. Si 0, entonces 0 C. Si 0, entonces D. Si 0, entonces ( )( ) 0 7. Como se muestr l figur, l función f () es un líne quebrd ABC, entonces l desiguldd f ( ) log ( ) tiene como solución: A. 0 B. C. D.

3 8. L eficienci de combustible de un utomóvil, consume l de gsolin por kilómetro, en el siguiente gráfico, describe l eficienci del combustible en los utomóviles A, B y C diferentes velociddes. Cuál de ls siguientes firmciones es correct? 甲车 (Auto A) 乙车 (Auto B) 丙车 (Auto C) A. El uto B por cd litro, puede vijr 5 Km. B. Si los tres tiene l mism velocidd y l mism distnci, el uto A consumirá más. C. Si el uto A v un velocidd de 80 Km/h en h, consumirá 0L de gsolin. D. En un ciudd en l que l velocidd máim es de 80Km/h, si los tres utos están en ls en ls misms condiciones, los utos C consumen menos que los utos B. Segund prte. Únic solución, complet los espcios en blnco de ls 6 pregunts, cd pregunt vle 5 puntos un formn un totl de 0 puntos En l epresión ( ) cundo se epnde, el coeficiente de (Contest con números) 0. Tenemos un hipérbole y entonces =. es., ( 0) y l síntot es y 0,. En el sistem de coordends polres, del punto, cos sin 6 l distnci es. sin A. En ABC, =4, b=5, c=6, entonces. sin C hst l líne. En ABC,de los puntos M, N sbemos que AM MC y BN NC. Si MN AB yac,entonces = ; y =.

4 4. L función, f ( ) 4( )( ), ) Si, entonces el vlor mínimo de f () es. b) Si tiene ectmente ceros, entonces el rngo de vlores rel de es. Tercer prte. Un totl de 6 pregunts, en totl son 80 puntos, l respuest se tiene que eplicr en teto, un cálculo o un proceso de prueb. 5. ( puntos) Tenemos l función f ( ) sin cos sin. ) Busc en el periodo mínimo positivo., 0 el vlor mínimo. b) Busc en el intervlo 6. ( puntos) Los grupos A, B tienen cd uno 7 pcientes, tomn un medicmento después de un tiempo de rehbilitción grbdo de l siguiente mner. (Los números son cd cuntos dís tiene que tomr) Grupo A: 0,,,, 4, 5, 6 Grupo B:,, 5, 6, 7, 4, Supongmos que el tiempo de recuperción de cd pciente es independiente entre sí, de los grupos A y B, se seleccion un person letorimente, ls persons seleccions del grupo A se llmrn α y los del grupo B se llmrn β ) Busc en el grupo A en que l probbilidd del tiempo de recuperción se de menos de 4 dís. b) Si =5, Busc en el grupo A en que teng posibilidd de tener un myor tiempo de recuperción que el Grupo B. c) Cul tiene que ser el vlor de pr que los grupos A y B teng el mismo tiempo de recuperción? (L conclusión no necesit pruebs) 7. (4 puntos) En l siguiente figur hy un pirámide de bse cudriculr A-EFCB, AEF es un triángulo equilátero, el plno AEF es perpendiculr l plno EFCB, EF // BC, BC=4, EF, EBC FCB 60º, O está en el punto medio de EF. ) Comprueb que AO BE.

5 b) Busc dos ángulos de l cr que F AE B del coseno. c) Si BE plno AOC, busc el vlor de. 8. ( puntos) Tenemos l función f ( ) ln ) Busc l ecución de l rect tngente l curv y f () en el punto ( 0, f (0)) b) Demuestr que cundo (0,), f ( ) c) Estblece un numero k pr que f ( ) k en (0,) l creción constnte, busc el vlor máimo de k. 9. (4 puntos) Se l elipse : y C, ( b 0), l ecentricidd es, el punto P(0, ) y b el punto A ( m, n), ( m 0) están en l elipse C, l líne rect PA el eje del punto M. ) Busc en l elipse C de l ecución y busc el punto M de ls coordends(us m,n pr señálrlo); b) El O es el punto de origen, el punto B y el punto A tiene un simetrí de eje con, l líne PR eje del punto N. Pregunt En el eje y está el punto Q OQM ONQ? Si eiste, busc ls coordends del punto Q; si no eiste, di el porqué. 0. ( puntos) Conocid l secuenci n Complet: IN *, 6, n, n 8 n n 6, n 8 ( n,,...) M n n IN *. Se M el conjunto de elementos ) Si 6, escribe todos los elementos de M b) Si en el conjunto M eiste un elemento múltiple de, demuestr que todos los elementos de M son múltiples de. c) Busc el número máimo de elemento que tiene M.

6 . Soluciones. Es un ejercicio de ritmétic con números complejos. i ( i) i i i ( ) i. L respuest correct es A.. Es un problem de progrmción linel. Representmos ls desigulddes en el plno y determinmos los vértices del polígono que determinn. Los etremos de l función z se encontrrán en lguno de dichos puntos. z z z / / 0 /.5 Alcnz el màimo en el punto ( 0,), con un vlor de. L respuest correct es D.. Es un ejercicio de lgorítmic. En prticulr, de un bucle que cb después de tres vuelts, que vmos seguir pso pso: Primer vuelt: =, y=, k=0 s=-=0 t=+= =0 y= k=0+= Segund vuelt: s=0-=- t=0+= =- y= k=+= Tercer vuelt: s=--=-4 t=-+=0 =-4 y=0 k=+=

7 Finl del bucle. Slid: =-4, y=0. L respuest correct es B Debemos interpretr el esquem de perfiles que nos dn pr visulizr correctmente l form de l pirámide. Usmos Teorem de Pitágors pr encontrr ls lturs de los triángulos de lgun de sus crs. 5 AC DE 5, Áre ACD Áre ABD 5 Áre ABC, Áre DBC 5 5 Áre 5 5. L respuest correct es C Un sucesión ritmétic es de l form n n k pr ciertos y k fijdos. ) No necesrimente. Por ejemplo, pr y k 4,, 5, y 0 pero 6 0. b) No necesrimente. Por ejemplo, pr 6 y k 7, tenemos que, 8, y 0 pero 5 0. c) Cierto. 0, k 0 k k k k k k k k k k k k 0, lo cul es cierto.

8 Otro rzonmiento lterntivo es tener en cuent que y que, luego d) k, k, 0 ( )( ) k( k) k es flso. Culquier ejemplo sirve como contrejemplo: y k,,, y ( )( ) ( ) 0 L respuest correct es C. 7. Superponemos l gràfic de l función f ( ) log ( ), pr comprobr que el intervlo buscdo es,. L respuest correct es C. 8. Interpretción de informción gráfic. A. Flso, eso sólo se produce l mínim velocidd. B. Flso, más de 80 km/h el uto C consume más (hce menos km con un litro) C. Flso. A 80 km/h, el uto A recorrerá 80 km en un hor, con un consumo de proimdmente 7 km por litro, es decir, más de litros. D. Cierto. En este rngo de velociddes el uto C recorre más kilómetros por litro, luego consume menos. L respuest correct es D. 9. Desrrollndo mno l potenci o recordndo l fórmul del binomio de Newton, el resultdo es

9 Tommos l hipérbol y, 0, y l epresmos como función de. y y y y. Puesto que estmos estudindo l síntot negtiv negtiv de l gráfic: y que tendrá, lógicmente, un síntot oblicu cundo dividiremos entre : y y tendemos : 0 y, tommos l rm. Pr determinrl, Luego. Psmos de coordends polres (, ) coordends crtesins (, y) con l siguiente relción: cos, y sin. Luego el punto, tendrá por coordends crtesins cos,sin (, ). L rect (cos sin ) 6 tendrá por ecución crtesin y 6 0. L distnci del punto l rect será d 6 6

10 . Aplicndo el Teorem del coseno, cos A cos A 60 Aplicndo l fórmul del ángulo doble: sin A sin Acos A sin A sin Acos A sin A sin A Luego (*) sin C sin C 4 sin C sin C 4 Aplicndo el Teorem del seno: sin A sin C c Finlmente, (*) sin sin A C c 4 6. Un form de bordr este problem es psndo coordends en l bse ( A, AB, AC), pr l cul M 0, y N,, por lo que MN N M 0,, 6 4.

11 ) Pr = l función const de un prte eponencil que terriz sintóticmente en y=- cundo y un prte prbólic con un mínimo en (.5, ). Este punto es el mínimo de l función. b) Pr l prte eponencil, g( ), Tendrá un único cero si 0. Si l función no tendrá ningún cero. no tendrá ningún cero si 0. Pr l prte prbólic, h ( ) 4( )( ), tendrá ceros en y en, que serán diferentes si 0. Luego Si tendrá ceros: y ª Si / tendrá un único cero Si / no tendrá ningún cero. Pr que l función teng dos ceros se pueden dr los siguientes csos: Primer cso: Prte eponencil ningún cero ( 0) y prte prbólic dos ceros ( ) Ambs condiciones son incomptibles. Segundo cso: Prte eponencil un cero ( 0 ) y prte prbólic un cero ( / ), luego /. Tercer cso: Prte eponencil ningún cero y prte prbólic dos ceros, luego. Luego l solución es / o 0. ) Si 6 6,, 4,, 4,, 4,... 6,, 4 b) Si n k, entonces n n k k o bien n n 6 k (k ), en mbos csos es un múltiple de. n Hci trás, n que h de ser múltiple de si lo es n, o bien n 6 n n que será múltiple de porque es l sum de múltiples de., l secuenci es

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