Razones trigonométricas

Transcripción

1 TRIGONOMETRÍA En términos generles, l trigonometrí es el estudio de seis rzones trigonométrics: seno, coseno; tngente, cotngente; secnte y cosecnte. Interviene direct o indirectmente en ls demás rms de l mtemátic y se plic en todos quellos ámitos donde se requieren medids de precisión. L trigonometrí se plic otrs rms de l geometrí, como es el cso del estudio de ls esfers en l geometrí del espcio. Posee numeross plicciones, entre ls que se encuentrn: ls técnics de tringulción, por ejemplo, son usds en stronomí pr medir distncis estrells próims, en l medición de distncis entre puntos geográficos, y en sistems de nvegción por stélites. En l medición de ángulos y, por tnto, en trigonometrí, se emplen tres uniddes, si ien l más utilizd en l vid cotidin es el grdo segesiml, en mtemátics es el rdián l más utilizd, y se define como l unidd nturl pr medir ángulos, el grdo centesiml se desrrolló como l unidd más próim l sistem deciml, se us en topogrfí, rquitectur o en construcción. Rdián: unidd ngulr nturl en trigonometrí. En un circunferenci complet hy π rdines (lgo más de 6,8). Grdo segesiml: unidd ngulr que divide un circunferenci en 360 grdos. Grdo centesiml: unidd ngulr que divide l circunferenci en 400 grdos centesimles El ángulo formdo por dos rdios de un circunferenci, medido en rdines, es igul l longitud del rco que delimitn los rdios dividid entre el rdio; es decir, θ = s/r, donde θ es ángulo, s es l longitud de rco, y r es el rdio. Por tnto, el ángulo completo, Circunfere nc i, que sutiende un circunferenci de rdio r, medido en rdines, es: L circunferenci r Circunferenc i rd r r Un rdin es l medid del ángulo centrl de un circulo sutendido pro un rco cuy longitud es igul l rdio del circulo 80 rdin 57, 3 80 rdin rd 80 Orientción de un ángulo Decimos que un ángulo es positivó cundo se not en sentido contrrio ls mnecits del reloj. En cso contrrio decimos que es negtivo.

2 El círculo unitrio divide el plno en cutro regiones igules llmds cudrntes, Estos se nomrn en sentido positivo de un ángulo Rzones trigonométrics Ls Rzones trigonométrics se definen comúnmente como el cociente entre dos ldos de un triángulo rectángulo socido sus ángulos. Ls funciones trigonométrics son funciones cuyos vlores son etensiones del concepto de rzón trigonométric en un triángulo rectángulo trzdo en un circunferenci unitri (de rdio unidd). Definiciones más moderns ls descrien como series infinits o como l solución de cierts ecuciones diferenciles, permitiendo su etensión vlores positivos y negtivos, e incluso números complejos. Eisten seis funciones trigonométrics ásics. Ls últims cutro, se definen en relción de ls dos primers funciones, unque se pueden definir geométricmente o por medio de sus relciones.

3 Función Seno Arevitur Equivlencis (en rdines) Sen Coseno cos Tngente Cotngente Secnte Cosecnte tn cot sec csc Identiddes pitgórics sen cos tn sec Co tn Csc Identiddes pr l sum y rest de ángulos sen ( ) sen cos cos sen sen ( ) sen cos cos sen cos ( ) cos cos sen sen cos ( ) cos cos sen sen tn tn tn - tn tn ( ) tn ( ) tn tn tn tn Identiddes pr l mitd del ángulo sen cos cos cos tn cos cos Identiddes pr el producto sen cos sen( ) sen( ) cos sen sen( ) sen( ) cos cos cos( ) cos( ) sen sen cos( ) cos( )

4 Teorems Se utilizn pr l resolución de triángulos rectángulos y no rectángulos. Pitágors: = + c Seno: sen A sen B c sen C Coseno: c c c c Cos A c Cos B Cos C Inverss de ls funciones trigonométrics L epresión: y Arcsen L epresión: y Arc cos L epresión: y Arc tn y sen y cos y tn se denomin función inverso del seno, tmién puede escriirse: se denomin función inverso del seno, tmién puede escriirse: se denomin función inverso del seno, tmién puede escriirse: Y sí sucesivmente con ls demás funciones restntes. L práol Un práol es el conjunto de puntos (,y) tles que su distnci un rect fij (directriz) es l mism que su distnci un punto fijo (foco) que no est sore l rect. L ecución cnónic de l práol con vértice (h,k) y directriz y =k p es: ( h ) 4 p ( y k Si l directriz es = h p, l ecución es: ) prlel l eje ( y k ) 4 p ( h ) prlel El foco est sore el eje un distnci p l vértice. l eje y Elementos de l práol

5 L elipse Un Elipse es el conjunto de puntos (,y) tles que l sum de sus distncis dos puntos fijos (focos) es constnte. L ecución de un elipse con centro (h,k) y, respectivmente es: ( h ) ( y k ) cuyos ejes, myor y menor tienen longitudes (eje myor prlelo l eje ) ( y k ) ( h ) (eje myor prlelo l eje y ) L hipérol Un hipérole es el conjunto de puntos (,y) tles que l diferenci de sus distncis los puntos fijos (focos) es constnte. L ecución cnónic de un hipérole de centro (h,k) es: ( h ) ( y k ) (ejetrnsversl horizontl prlelo l eje ) ( y k ) ( h ) (ejetrnsversl verticl prlel l eje y ) Donde ls distncis del centro los vértices y los focos son y c respectivmente, siendo = c

6 Ejercicios sore secciones cónics.. Determine los vértices, el foco y l directriz de ls siguientes práols:. y 4. 8y 0 c. ( ) 8( y ) 0 d. ( 3 ) ( y ) 0 e. 8y 9 0 f. 4 4y 4 0. Con los dtos ddos continución hlle l ecución de ls correspondientes práols:. Vértice :(0,0); foco (,0). Vértice :(3,); foco (,) c. Vértice:(0,4); directriz y d. e. f. g.

7 3. En los siguientes ejercicios hlle el centro, focos, vértices y l ecentricidd de cd elipse.. 9 c. e. ( - ) 9 4y 36 8y 3 0 0y 40y 37 0 ( y 5 ) 5. d. f. 6 5y 3 50y 3 0 y ( ) 4( y 4 ) g. 4 y 4. En los siguientes ejercicios hlle el centro, focos, vértices de ls correspondientes hipérols. Con l yud de ls síntots, represente los gráficos de cd un... y 4.. y y 4 0 d. e. 6y 64y y 36 6y 8 0 ( ) ( y 4 ) f Referencis: Stewrt, J. Cálculo. Trscendentes temprns.cengge Lerning. Set edición Teto guí del curso. Stewrt. Weisstein, E.W: CRC Concise Encyclopedi of Mthemtics. Chpmn & Hll 999 Heth, Sir Thoms (9) (en inglés). A history of Greek Mthemtics vol.. Londres, Inglterr: Oford University Press. OCLC «Esquem del desrrollo histórico de l mtemátic» págs. pág. 6. Universidd Ncionl del Nordeste. J J O'Connor y E F Roertson. «Au Adllh Mohmmd in Jir Al-Bttni» (en inglés) (html). Consultdo el «L trigonometri àr, Al-Bttni, Au l-wf, In Yunus, Nsir l-tusi» (en ctlán) (html). Consultdo el «Al-Kshi, Gmshid in Messoud» (en frncés). Viète, Frnçois (579). Cnon mthemticus seu d tringul. Luteti Mettyer. OCLC Boyer, Crl B.; Ut C. Merzch (968). A History of Mthemtics. New York: Estdos Unidos: John Wiley & Sons. pp ISBN