α 3 = α 1 + 2ρ ... α n = α 1 + (n-1)ρ

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1 4 RENT RIBLE I EN PROGREIÓN RITMÉTI: álculo del alor actual: ea,,, los térmos de ua reta aual que ece e los mometos,,, respectamete upogamos que las aualdades aría e progresó artmétca, es decr que cada térmo se obtee de sumar al ateror ua catdad costate llamada razó Resulta etoces: 3 - (-) (-) acemos, la represetacó gráfca de la reta es (-) (-) 3 - Para calcular el alor actual de dca reta tedremos que actualzar cada ua de las aualdades por el tempo que meda etre su ecmeto y el mometo cero, aplcado a cada captal el factor de actualzacó () - al que deomamos Es decr: () - sedo () - eamos gráfcamete cómo se puede descompoer la reta ateror: () () (3) (-) (-) () PRODUTO Y ERIIO INNIERO Y DE EGURO BÁIO JOÉ MNUEL DOMENEH ROLDÁN PROEOR DE ENEÑNZ EUNDRI RM DMINITRTI Y OMERIL 5

2 PRODUTO Y ERIIO INNIERO Y DE EGURO BÁIO JOÉ MNUEL DOMENEH ROLDÁN PROEOR DE ENEÑNZ EUNDRI RM DMINITRTI Y OMERIL 6 la sta del gráfco se obsera que emos descompuesto la reta propuesta e aras retas, todas ellas pospagables: La () medata y de térmos de cuatía, sedo su alor actual: La () dferda u año y de - térmos de cuatía, co u alor actual: - La (3) dferda dos años y de - térmos de cuatía, co u alor actual: - La (-) dferda -3 años y de 3 térmos de cuatía, co u alor actual: La (-) dferda - años y de térmos de cuatía, co u alor actual: La () dferda - años y de u térmo de cuatía, co u alor actual: El alor actual de la reta propuesta resultará de sumar todos los alores actuales de las retas e las que la emos descompuesto abedo que - y que a () - le llamaremos, resulta: - y e base a esta expresó amos a calcular el alor actual de la reta propuesta: - - que podemos expresar: e esta expresó sacamos factor comú a / desde el segudo sumado: [ ] acemos los productos del corcete resulta: - umado y restado detro del parétess, el resultado o aría, y asocado luego los térmos egatos se obtee: Dado que:

3 y susttuyedo dco alor detro del parétess resulta: ( - ) expresó que determa el alor actual de ua reta aual medata pospagable de térmos arables e progresó artmétca de razó, alorada al tato utaro de terés compuesto aual B álculo del alor fal: La determacó del alor fal de ua reta aual medata pospagable de térmos arables e progresó artmétca de razó puede acerse por dos procedmetos a) aptalzado por años el alor actual ya obtedo e el puto ateror sí : y susttuyedo y que Pero recordemos que : de dode : Operado aora : por su alor resulta : ( ) ( - ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) luego ( ) ( ) b) alorado e el mometo los dsttos captales que compoe la reta La represetacó gráfca de la reta, ya sta, es: (-) (-) 3 - Para calcular el alor fa de dca reta tedremos que captalzar cada ua de las aualdades por el tempo que meda etre su ecmeto y el mometo, aplcado a cada captal el factor de captalzacó () al que deomamos Es decr: () sedo () PRODUTO Y ERIIO INNIERO Y DE EGURO BÁIO JOÉ MNUEL DOMENEH ROLDÁN PROEOR DE ENEÑNZ EUNDRI RM DMINITRTI Y OMERIL 7

4 eamos gráfcamete cómo se puede descompoer la reta ateror: () () (3) (-) (-) () la sta del gráfco se obsera que emos descompuesto la reta propuesta e aras retas, todas ellas pospagables: La () medata y de térmos de cuatía, sedo su alor fal: La () dferda u año y de - térmos de cuatía, co u alor fal: La (3) dferda dos años y de - térmos de cuatía, co u alor actual: La (-) dferda -3 años y de 3 térmos de cuatía, co u alor actual: 3 La (-) dferda - años y de térmos de cuatía, co u alor actual: La () dferda - años y de u térmo de cuatía, co u alor actual: PRODUTO Y ERIIO INNIERO Y DE EGURO BÁIO JOÉ MNUEL DOMENEH ROLDÁN PROEOR DE ENEÑNZ EUNDRI RM DMINITRTI Y OMERIL 8

5 PRODUTO Y ERIIO INNIERO Y DE EGURO BÁIO JOÉ MNUEL DOMENEH ROLDÁN PROEOR DE ENEÑNZ EUNDRI RM DMINITRTI Y OMERIL 9 El alor fal de la reta propuesta resultará de sumar todos los alores actuales de las retas e las que la emos descompuesto abedo que y que a () le llamaremos, resulta: y e base a esta expresó amos a calcular el alor fal de la reta propuesta: 3 e esta expresó sacamos factor comú a desde el segudo sumado: 3 que podemos expresar també: 3 detro del parétess sacamos factor comú a /: 3 socado luego los térmos postos por u lado y los egatos por otro: 3 Dado que: 3 y susttuyedo dco alor detro del parétess resulta: EJEMPLO: Ejemplo º: alcular el alor actual y fal de ua reta de 5 térmos aual pospagable, arable e progresó artmétca a razó de cada año, sedo la prmera aualdad de y el tpo de terés aual compuesto el 6% olucó: Gráfcamete:

6 Para calcular el alor actual, partedo de la expresó: ( ) y susttuyedo datos, resulta: 5 5 ( '6 ) ( '6 ) 5 5( '6 ) '6 '6 '6 Para calcular su alor fal, basta captalzar el resultado aterormete obtedo de por 5 años al 6% y obtedremos: 5 ( ) 57995' 3( ' 6) 6345'9 El msmo resultado se abría obtedo utlzado la expresó: ( ) ( ) - Ejemplo º: 5 ( '6 ) ( '6 ) '6 '6 ' '9 Ua persoa que espera obteer uos gresos al fal de cada año de, 3, 4 desea saber cuál será oy el alor actual de los gresos que a a percbr durate años alcular dco alor s el tpo de terés utlzado es el 8% compuesto aual olucó: Gráfcamete: 3 Utlzado la expresó: ( ) - ( '8 ) ( '8 ) '8 '8 '8 - - ( ) ( '8) 6497'8 Reta aual perpetua arable e progresó artmétca: omo ya defmos aterormete, ua reta perpetua es aquella que tee ftos térmos ea,,, 3, los térmos de ua reta co ecmeto al cabo de,, 3, 4, años respectamete Gráfcamete: 3 PRODUTO Y ERIIO INNIERO Y DE EGURO BÁIO JOÉ MNUEL DOMENEH ROLDÁN PROEOR DE ENEÑNZ EUNDRI RM DMINITRTI Y OMERIL

7 Para determar su alor actual partremos de la expresó coocda: ( - ) que os determa el alor actual de ua reta arable e progresó artmétca alculado el límte de dca expresó cuado tede a fto resulta: ( - ) El alor de, como emos sto aterormete es: Recordemos que es gual a () - El límte de cuado tede a fto es: lm lm ( ) lm ( ) ( ) lo cual parece ua determacó / gual a, pero obserése que el deomador es mayor que el umerador, luego el resultado a a ser cero, como puede determarse aplcado la regla de L Hôptal, que cosste e calcular la derada del umerador y la del deomador, y allar posterormete el límte del cocete sí : Realzado la deradas del umerador y deomador resulta : Derada del umerador : Derada del deomador : d d la dereada de la derada de ( ) ( ) l( ) lm ( ) l( ) ( ) l( ) Por tato, la expresó del alor actual toma aora la forma: es decr : ( ) ; como es ua arable ( ) l( ) expresó que os determa el alor actual de ua reta perpetua arable e progresó artmétca de razó alorado al tato utaro de terés compuesto aual Respecto al alor fal, lógcamete, o tee setdo e las retas perpetuas, sea estas costates o arables PRODUTO Y ERIIO INNIERO Y DE EGURO BÁIO JOÉ MNUEL DOMENEH ROLDÁN PROEOR DE ENEÑNZ EUNDRI RM DMINITRTI Y OMERIL

8 Ejemplo º: alcular el alor actual de ua reta aual perpetua pospagable, arable e progresó artmétca a razó, sedo el prmer térmo de 5 y el tato de aloracó el % de terés aual compuesto olucó: Gráfcamete: ' ' D Resto de tpos de retas: Hemos calculado el alor actual y fal de ua reta aual medata pospagable arable e progresó artmétca, así como el alor actual e caso de que sea perpetua el prmer ecmeto o tee lugar e el mometo uo so e cualquer otro, deberemos actuar de la msma forma sta e temas aterores Recordemos la coeeca de represetar gráfcamete la reta que se quera estudar, porque a la sta del gráfco, la determacó de la expresó a utlzar es medata amos aber a cotuacó los otros tpos de retas que os queda, es decr: la medata prepagable, la dferda pospagable y dferda prepagable a) Imedata prepagable: omo se trata de ua reta medata prepagable, el prmer ecmeto tee lugar e el mometo cero, y su represetacó gráfca es: p (-) - - p Partedo de la expresó ya coocda cuado la reta es medata pospagable arable e progresó artmétca: ( - ) obteemos el alor de la reta e el mometo ateror al prmer ecmeto, es decr e este caso e el mometo, e alor aquí de la reta es p p ( - ) PRODUTO Y ERIIO INNIERO Y DE EGURO BÁIO JOÉ MNUEL DOMENEH ROLDÁN PROEOR DE ENEÑNZ EUNDRI RM DMINITRTI Y OMERIL

9 después captalzamos dco alor p al mometo cero, obteemos el por tato aora la formula sería: p ( ) p ( ) ( - ) ( ) Para calcular el alor fal solo teemos que captalzar el alor actual a ese mometo fal, es decr: O també podíamos aber captalzado todos los captales al mometo fal, utlzado la expresó coocda: ( ) ( ) la reta fuera perpetua prepagable utlzaríamos la expresó : ( ) b) Reta dferda pospagable: ser ua reta dferda d años pospagable, el prmer ecmeto tee lugar e el mometo d, y su represetacó gráfca es: p (-) 3 d d d d Partedo de la expresó ya coocda cuado la reta es medata pospagable arable e progresó artmétca: ( - ) obteemos el alor de la reta e el mometo ateror al prmer ecmeto, es decr e este caso e el mometo d, e alor aquí de la reta es p p ( - ) PRODUTO Y ERIIO INNIERO Y DE EGURO BÁIO JOÉ MNUEL DOMENEH ROLDÁN PROEOR DE ENEÑNZ EUNDRI RM DMINITRTI Y OMERIL 3

10 Para calcular el alor e el mometo cero, es decr el alor actual de la reta, actualzaremos el alor e el mometo d, es decr p asta ese mometo cero osea d años, y así: por tato aora la formula sería: p d p ( ) ( - ) ( ) d Para calcular el alor fal solo teemos que captalzar el alor actual a ese mometo fal, es decr: d O també podíamos aber captalzado todos los captales al mometo fal, utlzado la expresó coocda: ( ) la reta fuera perpetua dferda pospagable utlzaríamos la expresó : ( ) d c) Reta dferda prepagable: ser ua reta dferda d años prepagable, el prmer ecmeto tee lugar e el mometo d, y su represetacó gráfca es: p (-) d- d d d(-) Partedo de la expresó ya coocda cuado la reta es medata pospagable arable e progresó artmétca: ( - ) obteemos el alor de la reta e el mometo ateror al prmer ecmeto, es decr e este caso e el mometo d-, e alor aquí de la reta es p p ( - ) PRODUTO Y ERIIO INNIERO Y DE EGURO BÁIO JOÉ MNUEL DOMENEH ROLDÁN PROEOR DE ENEÑNZ EUNDRI RM DMINITRTI Y OMERIL 4

11 Para calcular el alor e el mometo cero, es decr el alor actual de la reta, actualzaremos el alor e el mometo d-, es decr p asta ese mometo cero osea d- años, y así: d por tato aora la formula sería: p p ( ) ( d - ) Para calcular el alor fal solo teemos que captalzar el alor actual a ese mometo fal, es decr: d O també podíamos aber captalzado todos los captales al mometo fal, utlzado la expresó coocda: ( ) ( ) la reta fuera perpetua dferda prepagable utlzaríamos la expresó : ( d ) EJEMPLO: Ejemplo º: alcular el alor actual y fal de ua reta de 8 térmos, arables e progresó artmétca de razó 3 sedo la prmera aualdad de y su aloracó al 5% de terés compuesto aual, s la reta es: (a) Dferda 4 años y pospagable (b) Dferda 4 años y prepagable (c) Imedata prepagable (d) Imedata pospagable olucó caso a): ser ua reta dferda 4 años pospagable, el prmer ecmeto tee lugar e el mometo 5 y su represetacó gráfca es: p PRODUTO Y ERIIO INNIERO Y DE EGURO BÁIO JOÉ MNUEL DOMENEH ROLDÁN PROEOR DE ENEÑNZ EUNDRI RM DMINITRTI Y OMERIL 5

12 ( ) ( - ) ( ) 8 ( '5 ) 3 ( '5 ) '5 p '5 '5 8 8 d 8 4 ( '5 ) ( '5 ) 58'3 Para calcular el alor fal solo teemos que captalzar el alor actual a ese mometo fal, es decr: d 58'3 '5 8398'7 O també podíamos aber captalzado todos los captales al mometo fal, utlzado la expresó coocda: 8 8 ( '5 ) 3 ( '5 ) '7 '5 '5 '5 olucó caso b): ser ua reta dferda 4 años prepagable, el prmer ecmeto tee lugar e el mometo 4 y su represetacó gráfca es: p ( ) ( d - ) 8 ( '5 ) 3 ( '5 ) '5 p '5 ' ( '5 ) ( '5 ) 667' 4 Para calcular el alor fal solo teemos que captalzar el alor actual a ese mometo fal, es decr: d 667'4 '5 985,5 O també podíamos aber captalzado todos los captales al mometo fal, utlzado la expresó coocda: ( ) ( ) 8 ( '5 ) 3 ( '5 ) '5 '5 '5 8 8 ( '5 ) 985'5 PRODUTO Y ERIIO INNIERO Y DE EGURO BÁIO JOÉ MNUEL DOMENEH ROLDÁN PROEOR DE ENEÑNZ EUNDRI RM DMINITRTI Y OMERIL 6

13 olucó caso c): omo se trata de ua reta medata prepagable, el prmer ecmeto tee lugar e el mometo cero, y su represetacó gráfca es: p p ( ) ( - ) ( ) 8 ( '5 ) 3 ( '5 ) '5 p '5 ' ( '5 ) ( '5 ) 78'83 Para calcular el alor fal solo teemos que captalzar el alor actual a ese mometo fal, es decr: 8 78'83 '5 985'4 O també podíamos aber captalzado todos los captales al mometo fal, utlzado la expresó coocda: ( ) ( ) 8 ( '5 ) 3 ( '5 ) '5 '5 '5 8 8 olucó caso d): ( '5 ) 985'4 omo se trata de ua reta medata pospagable, el prmer ecmeto tee lugar e el mometo, y su represetacó gráfca es: p 7 - PRODUTO Y ERIIO INNIERO Y DE EGURO BÁIO JOÉ MNUEL DOMENEH ROLDÁN PROEOR DE ENEÑNZ EUNDRI RM DMINITRTI Y OMERIL 7

14 ( ) ( - ) 8 ( '5 ) 3 ( '5 ) '5 p '5 ' ( '5 ) 974'3 Para calcular el alor fal solo teemos que captalzar el alor actual a ese mometo fal, es decr: 8 974'3 '5 8398'7 O també podíamos aber captalzado todos los captales al mometo fal, utlzado la expresó coocda: 8 8 ( '5 ) 3 ( '5 ) '7 '5 '5 '5 Ejemplo º: o los datos del ejemplo ateror, calcular el alor actual de las dsttas retas cosderádolas perpetuas olucó: omo se trata de retas perpetuas, para calcular su alor actual utlzaremos la expresó: pero teedo e cueta que ésta os refere todos los captales a u mometo ateror al prmer ecmeto y s el prmer ecmeto es dstto de tedremos que trasladar el alor obtedo co dca expresó al mometo cero olucó caso a): Reta perpetua dferda 4 años y pospagable Gráfcamete: p p 6 '5 '5 d 4 ( ) 6( '5 ) 3633'95 p olucó caso b): Reta perpetua dferda 4 años y prepagable Gráfcamete: p PRODUTO Y ERIIO INNIERO Y DE EGURO BÁIO JOÉ MNUEL DOMENEH ROLDÁN PROEOR DE ENEÑNZ EUNDRI RM DMINITRTI Y OMERIL 8

15 3 p 6 '5 ( '5 ) ( d ) 3 6( '5 ) 384'6 p Reta perpetua medata prepagable Gráfcamete: olucó caso c): p - p 3 p 6 '5 ( '5 ) ( ) 6( '5 ) 68 p Reta perpetua medata pospagable Gráfcamete: olucó caso d): 3 3 p 6 '5 '5 PRODUTO Y ERIIO INNIERO Y DE EGURO BÁIO JOÉ MNUEL DOMENEH ROLDÁN PROEOR DE ENEÑNZ EUNDRI RM DMINITRTI Y OMERIL 9

16 II EN PROGREIÓN GEOMÉTRI: álculo del alor actual: ea,,, los térmos de ua reta aual que ece e los mometos,,, respectamete upogamos que las aualdades aría e progresó geométrca, es decr que cada térmo se obtee de multplcar al ateror ua catdad costate llamada razó osderado, resulta: cuya represetacó gráfca de la reta será: Para calcular el alor actual de dca reta tedremos que actualzar cada ua de las aualdades por el tempo que meda etre su ecmeto y el mometo cero, aplcado a cada captal el factor de actualzacó () - al que deomamos Es decr: acado factor comú a tedremos: [ ] El corcete recoge la suma de los térmos de ua progresó geométrca e la que: El prmer térmo es: El últmo térmo es: - - El úmero de térmos es: La razó de la progresó es: Dca progresó será crecete o decrecete segú que el producto sea mayor o meor que la udad omo /(), el producto se puede expresar també de la forma /() e la que su cocete será mayor, gual o meor que uo segú que sea mayor, gual o meor que () - PRODUTO Y ERIIO INNIERO Y DE EGURO BÁIO JOÉ MNUEL DOMENEH ROLDÁN PROEOR DE ENEÑNZ EUNDRI RM DMINITRTI Y OMERIL

17 upogamos dsttos supuestos: ( ) Obseremos que s () el producto luego el alor actual de la reta será: [ ] Es decr: O be eces ( ) ( ) Pero supogamos que es dstto de ( ) y que además: omo e el caso más geeral: < ( ) El corcete recoge etoces la suma de los térmos de ua progresó geométrca decrecete, cuya expresó geeral es: a a r r Recordemos que: El prmer térmo es: El últmo térmo es: - - El úmero de térmos es: La razó de la progresó es: usttuyedo térmos e la expresó resulta: a a r r por lo que la expresó geeral del alor actual de dca reta será: que puede expresarse de la forma: e la que poedo deomador comú e el deomador resulta: PRODUTO Y ERIIO INNIERO Y DE EGURO BÁIO JOÉ MNUEL DOMENEH ROLDÁN PROEOR DE ENEÑNZ EUNDRI RM DMINITRTI Y OMERIL

18 PRODUTO Y ERIIO INNIERO Y DE EGURO BÁIO JOÉ MNUEL DOMENEH ROLDÁN PROEOR DE ENEÑNZ EUNDRI RM DMINITRTI Y OMERIL que puede smplfcarse y queda: Obseremos que s (), a partr de la expresó geeral se obtee: que es ua determacó, pero de la que ya emos obtedo su alor real aterormete, recordemos: Pero supogamos que es dstto de ( ) y que además: > () que recordemos es poco frecuete, que se de este caso El corcete recoge etoces la suma de los térmos de ua progresó geométrca crecete, cuya expresó geeral es: r a r a Recordemos que: El prmer térmo es: El últmo térmo es: - - El úmero de térmos es: La razó de la progresó es: usttuyedo térmos e la expresó resulta: r a r a por lo que la expresó geeral del alor actual de dca reta será: que puede expresarse de la forma: e la que poedo deomador comú e el deomador resulta:

19 PRODUTO Y ERIIO INNIERO Y DE EGURO BÁIO JOÉ MNUEL DOMENEH ROLDÁN PROEOR DE ENEÑNZ EUNDRI RM DMINITRTI Y OMERIL 3 que puede smplfcarse y queda: B álculo del alor fal: Para calcular el alor fal de la reta propuesta podemos segur como e otras ocasoes, dos procedmetos: a) aptalzar el alor actual al mometo del últmo ecmeto sí resultará: Y e este caso: : teemos la expresó geeral de Utzado como alor e la que acedo el producto se obtee: e este caso E el caso de que () la expresó ateror os daría de ueo ua determacó, pero podemos calcular su alor real partedo de que su alor actual real era y captalzado dco alor, co lo que resultaría caso de que E el b) Desplazado cada captal desde su ecmeto asta el mometo e que ece su últmo térmo a traés del factor de captalzacó () Recordemos la represetacó gráfca de la reta:

20 Para calcular el alor fal de dca reta tedremos que captalzar cada ua de las aualdades por el tempo que meda etre su ecmeto y el mometo fal, aplcado a cada captal el factor de actualzacó () al que deomamos Es decr: - acado factor comú a tedremos: [ ] El corcete recoge la suma de los térmos de ua progresó geométrca e la que: El prmer térmo es: - El últmo térmo es: - El úmero de térmos es: La razó de la progresó es: - Dca progresó será crecete o decrecete segú que el producto - o meor que la udad - sea mayor omo (), el producto - se puede expresar també de la forma /() e la que su cocete será mayor, gual o meor que uo segú que sea mayor, gual o meor que () upogamos dsttos supuestos: ( ) Obseremos que s () el producto - luego el alor actual de la reta será: [ ] Es decr: O be - - ( ) ( ) Pero supogamos que es dstto de ( ) y que además: omo e el caso más geeral: < ( ) El corcete recoge etoces la suma de los térmos de ua progresó geométrca decrecete, cuya expresó geeral es: a a r r Recordemos que: El prmer térmo es: - El últmo térmo es: - El úmero de térmos es: La razó de la progresó es: - PRODUTO Y ERIIO INNIERO Y DE EGURO BÁIO JOÉ MNUEL DOMENEH ROLDÁN PROEOR DE ENEÑNZ EUNDRI RM DMINITRTI Y OMERIL 4

21 usttuyedo térmos e la expresó resulta: a a r r por lo que la expresó geeral del alor actual de dca reta será: que puede expresarse de la forma: ( ) ( ) ( ) e la que poedo deomador comú e el umerador y deomador y operado resulta: ( ) ( ) ( ) [( ) ( ) ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [( ) ]( ) ( ) ( ) ( ) Quedado la sguete expresó que como emos es détca a la ya obteda de captalzar el alor actual: ( ) Ejemplo: alcular el alor actual y fal de ua reta medata pospagable arable e progresó geométrca de térmos sabedo que la cuatía del prmero es de 5 y que ara a razó del 3% aual acumulato Tpo de terés de aloracó el 6% olucó: Gráfcamete: 5 5( 3) 5( 3) 5( 3) 9 3 alcular el alor actual ( '3 ) ( '6 ) 5 '6 '3 alcular el alor fal, se ará por los dos métodos: (a) aptalzado el alor actual: 4594'9 '6 4594' ,53 (b) aptalzado cada uo de los captales al mometo fal y sumado los resultados es decr aplcado la expresó: ( ) ( '6 ) ( '3 ) '53 '6 '3 PRODUTO Y ERIIO INNIERO Y DE EGURO BÁIO JOÉ MNUEL DOMENEH ROLDÁN PROEOR DE ENEÑNZ EUNDRI RM DMINITRTI Y OMERIL 5

22 Reta aual perpetua arable e progresó geométrca: sería: la reta que estamos tratado tuera ftos térmos, su represetacó gráfca 3 Para determar su alor actual bastará calcular el límte de la expresó geeral obteda aterormete, cuado tede a fto lm susttuímos por y por /() resultará: ( ) lm e la que: ( ) omo emos cosderado que era dstto de () y que como caso geeral más geeral < (), el cocete ateror es meor que la udad y por tato: de dode: expresó que os determa el alor actual de ua reta perpetua aual medata pospagable, arable e progresó geométrca de razó, sedo < () y por lo tato > (), resultará que /() >, por lo que: ( ) es: omo el umerador es egato y el deomador també, el resultado que se obtee E el caso de que (), como la expresó del alor actual es alculado el límte cuado resulta PRODUTO Y ERIIO INNIERO Y DE EGURO BÁIO JOÉ MNUEL DOMENEH ROLDÁN PROEOR DE ENEÑNZ EUNDRI RM DMINITRTI Y OMERIL 6

23 Ejemplo: alcular el alor actual de ua reta aual perpetua medata pospagable, sedo su prmer térmo, la razó 4 y el tato de aloracó el 8% de terés compuesto aual olucó: Gráfcamete: ( 4) ( 4) 3 alcular el alor actual 5 '8 '4 D Resto de tpos de retas: Hemos calculado el alor actual y fal de ua reta aual medata pospagable arable e progresó geométrca, así como el alor actual e caso de que sea perpetua el prmer ecmeto o tee lugar e el mometo uo so e cualquer otro, deberemos actuar de la msma forma sta e temas aterores Recordemos la coeeca de represetar gráfcamete la reta que se quera estudar, porque a la sta del gráfco, la determacó de la expresó a utlzar es medata amos aber a cotuacó los otros tpos de retas que os queda, es decr: la medata prepagable, la dferda pospagable y dferda prepagable a) Imedata prepagable: omo se trata de ua reta medata prepagable, el prmer ecmeto tee lugar e el mometo cero, y su represetacó gráfca es: p (-) - - p Partedo de la expresó ya coocda cuado la reta es medata pospagable arable e progresó geométrca: obteemos el alor de la reta e el mometo ateror al prmer ecmeto, es decr e este caso e el mometo, e alor aquí de la reta es p p PRODUTO Y ERIIO INNIERO Y DE EGURO BÁIO JOÉ MNUEL DOMENEH ROLDÁN PROEOR DE ENEÑNZ EUNDRI RM DMINITRTI Y OMERIL 7

24 después captalzamos dco alor p al mometo cero, obteemos el por tato aora la formula sería: p ( ) Para calcular el alor fal solo teemos que captalzar el alor actual a ese mometo fal, es decr: O també podíamos aber captalzado todos los captales al mometo fal, utlzado la expresó coocda: ( ) ( ) ( ) la reta fuera perpetua medata prepagable utlzaríamos la expresó: b) Reta dferda pospagable: ( ) ser ua reta dferda d años pospagable, el prmer ecmeto tee lugar e el mometo d, y su represetacó gráfca es: p (-) 3 d d d d Partedo de la expresó ya coocda cuado la reta es medata pospagable arable e progresó geométrca: obteemos el alor de la reta e el mometo ateror al prmer ecmeto, es decr e este caso e el mometo d, e alor aquí de la reta es p p Para calcular el alor e el mometo cero, es decr el alor actual de la reta, actualzaremos el alor e el mometo d, es decr p asta ese mometo cero osea d años, y así: p d PRODUTO Y ERIIO INNIERO Y DE EGURO BÁIO JOÉ MNUEL DOMENEH ROLDÁN PROEOR DE ENEÑNZ EUNDRI RM DMINITRTI Y OMERIL 8

25 por tato aora la formula sería: p d ( ) ( ) d Para calcular el alor fal solo teemos que captalzar el alor actual a ese mometo fal, es decr: d O també podíamos aber captalzado todos los captales al mometo fal, utlzado la expresó coocda: ( ) la reta fuera perpetua dferda pospagable utlzaríamos la expresó: c) Reta dferda prepagable: d ( ) ser ua reta dferda d años prepagable, el prmer ecmeto tee lugar e el mometo d, y su represetacó gráfca es: p (-) d- d d d(-) Partedo de la expresó ya coocda cuado la reta es medata pospagable arable e progresó geométrca: obteemos el alor de la reta e el mometo ateror al prmer ecmeto, es decr e este caso e el mometo d-, e alor aquí de la reta es p p Para calcular el alor e el mometo cero, es decr el alor actual de la reta, actualzaremos el alor e el mometo d-, es decr p asta ese mometo cero osea d- años, y así: d p PRODUTO Y ERIIO INNIERO Y DE EGURO BÁIO JOÉ MNUEL DOMENEH ROLDÁN PROEOR DE ENEÑNZ EUNDRI RM DMINITRTI Y OMERIL 9

26 PRODUTO Y ERIIO INNIERO Y DE EGURO BÁIO JOÉ MNUEL DOMENEH ROLDÁN PROEOR DE ENEÑNZ EUNDRI RM DMINITRTI Y OMERIL 3 por tato aora la formula sería: d d p Para calcular el alor fal solo teemos que captalzar el alor actual a ese mometo fal, es decr: d O també podíamos aber captalzado todos los captales al mometo fal, utlzado la expresó coocda: la reta fuera perpetua dferda prepagable utlzaríamos la expresó: d ooooo

27 UNIDD DE TRBJO 7º PRÉTMO GENERLIDDE: Itroduccó: U préstamo es ua operacó e la que ua persoa -prestamsta- etrega a otra -prestataro- u captal comprometédose ésta seguda a deoler el captal recbdo y a pagar los tereses correspodetes a la operacó, segú las codcoes coedas E setdo facero debe terpretarse que lo que etrega el prestamsta debe ser gual a lo que recbe del prestataro, todo ello alorado e u msmo mometo al tpo de terés fjado para el préstamo Exste dersas formas de amortzacó de préstamos, las cuales so las sguetes: ) mortzacó de préstamos medate reembolso úco: a) o pago peródco de tereses b) o pago úco de tereses juto co el captal que se prestó B) mortzacó de préstamos medate ua reta: a) stema fracés b) De cuotas de amortzacó costates c) stema alemá d) stema amercao B mortzacó de préstamos medate reembolso úco: ea el captal prestado, la duracó del préstamo e el tato de terés aual compuesto al que se realza la operacó el préstamo se amortza medate reembolso úco mplca que se deuele de ua ez e la feca que se aya coedo e debe cumplr sempre la premsa de que lo que etrega el prestamsta debe ser gual a lo que deuele el prestataro, alorado todo ello e u msmo mometo, es decr equaleca facera omo además de deoler el captal el prestataro está oblgado a pagar los tereses, segú el ecmeto de estos dstguremos dos casos: a) Pago úco de tereses juto el captal que se prestó: Es decr, al fal de la duracó del préstamo años se paga el captal y los tereses, por tato el motate a deoler será, utlzado la expresó ya coocda de captalzacó compuesta: PRODUTO Y ERIIO INNIERO Y DE EGURO BÁIO JOÉ MNUEL DOMENEH ROLDÁN PROEOR DE ENEÑNZ EUNDRI RM DMINITRTI Y OMERIL 3

28 La represetacó gráfca será omo lo que etrega el prestamsta a de ser gual a lo que le deuele el prestataro, alorado todo ello e u msmo mometo, de be cumplrse: b) Pago peródco de tereses: [ ] ( ) ( ) ( ) E este caso, el prestataro pagará al prestamsta e los perodos e que se aya dddo la duracó del préstamo años los tereses que correspoda y al fal de la duracó del préstamo deolerá també el captal prestado, es decr a los años omo el captal que se debe es sempre el msmo, los tereses de cada año será guales y se obtedrá como resultado de multplcar el tato utaro de terés aual por el alor del captal objeto del préstamo Por tato: Iterés aual u represetacó gráfca será: 3 - el préstamo dura años, cada año se paga e cocepto de tereses y e el mometo, además del terés correspodete, se deuele el captal que se prestó e debe cumplr la premsa de que etrega el prestamsta a de ser gual a lo que le deuele el prestataro, alorado todo ello e u msmo mometo, es decr e el mometo cero la sta de la represetacó gráfca se obsera que los tereses puede actualzarse al mometo cero a traés del factor ya que costtuye ua reta aual pospagable de térmos, cada uo de ellos de cuatía Para llear al mometo cero el captal que se deuele e se utlzará lógcamete el factor ( ) - Para que aya equaleca facera debe cumplrse: ( ) acado factor comú a y operado : ( ) [ ( ) ] ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) PRODUTO Y ERIIO INNIERO Y DE EGURO BÁIO JOÉ MNUEL DOMENEH ROLDÁN PROEOR DE ENEÑNZ EUNDRI RM DMINITRTI Y OMERIL 3

29 Ejemplo: Nos cocede u préstamo de 7 al 8% de terés aual la duracó del msmo es de 6 años, calcular cuáto tedremos que pagar trascurrdo 6 años: (a) se amortza el préstamo medate reembolso úco de captal e tereses (b) se amortza el préstamo medate reembolso úco de captal abédose pagado los tereses cada año u represetacó gráfca será: 7 olucó caso a): ( ) 7 x( '8 ) 8'3 6 u represetacó gráfca será: olucó caso b): ada año se paga el terés correspodete: I 7 x 8 56 Por tato, e el mometo 6 abrá que pagar el terés aual correspodete 56 y deoler el captal que os prestaro 7 acelacó de u préstamo acelacó parcal: a) Préstamo amortzable co reembolso úco de captal e tereses: upogamos que se a cocertado u préstamo de cuatía amortzable medate reembolso úco de captal e tereses al cabo de los años que dura dco préstamo La represetacó gráfca será ( ) Qué sucederá s el prestataro propoe la cacelacó del préstamo e u mometo ateror a es decr (<)? ) el tpo de terés del mercado es gual o mayor que el tpo de terés del préstamo, ' el prestamsta o tedrá coeete alguo e acertar la cacelacó porque puede ertr su dero e el mercado a u tpo gual o mayor al que obteía e el préstamo la cacelacó es total e el mometo, exgrá el motate obtedo de captalzar el captal que prestó por los años que a trascurrdo al tpo de terés PRODUTO Y ERIIO INNIERO Y DE EGURO BÁIO JOÉ MNUEL DOMENEH ROLDÁN PROEOR DE ENEÑNZ EUNDRI RM DMINITRTI Y OMERIL 33

30 Por tato Gráfcamete: la cacelacó es parcal porque el prestataro realza e el mometo u pago P, cuáto deberá pagar e el mometo? Llamado al saldo que queda pedete e el mometo, y sedo este: P lo que tedrá que pagar e el mometo será el alor del saldo captalzado por (-) períodos, al tato de terés del préstamo Por tato: susttuyedo e la expresó el alor de : - P [ ] s operamos - P - P es decr: Ejemplo: ( ) - P ( ) e cotrata oy u préstamo de al 8% de terés compuesto aual, para ser amortzado medate reembolso úco de captal e terés al cabo de 8 años e pde: (a) alcular el mporte que deberá pagar el prestataro trascurrdo los 8 años (b) upoedo que el prestataro propusera la cacelacó del préstamo e el mometo 5 y sedo el tpo de terés de mercado e ese mometo el 9 % aual, cuáto exgrá el prestamsta e dco mometo s la cacelacó es total? (c) uáto exgrá el prestamsta e el mometo 8 s el prestataro le a etregado 6 e el mometo 5? Resolucó: olucó e el caso a) egú los datos propuestos, la represetacó gráfca será: 8 8 Y la catdad que deberá deoler el prestataro será: ' ' 8 catdad que comprede la deolucó del captal y el pago úco de los tereses PRODUTO Y ERIIO INNIERO Y DE EGURO BÁIO JOÉ MNUEL DOMENEH ROLDÁN PROEOR DE ENEÑNZ EUNDRI RM DMINITRTI Y OMERIL 34

31 olucó e el caso b) se cacela el préstamo totalmete e el mometo 5 y el tpo de terés de mercado es el 9% el prestamsta o tedrá coeete alguo e que le deuela 5 ' '7 5 ya que él lo puede reertr aora al 9 % e el mercado olucó e el caso c) el prestamsta etrega 6 e el mometo 5, la catdad que deberá etregar e el mometo 8 será: P '8-6 '8 953' 8 Obsérese que o se a modfcado el tpo de terés de la operacó porque el prestamsta a poddo reertr las 6 de pago atcpado al ueo tpo de terés de mercado, que es superor al del préstamo, luego aceptará tal atcpac6 ) el tpo de terés de mercado es meor que el tpo de terés del préstamo, < el prestamsta o aceptará la cacelacó atcpada a o ser que el prestataro le demce por el mporte que supoe la lesó de sus tereses la cacelacó es total e el mometo, abrá que pagar ua catdad tal que ertda al tato de terés de mercado por (-) períodos, sea gual que lo que obtedría s o acepta la cacelacó Por tato ' Etoces ( ) ( ' ) ( ) ' la cacelacó es parcal porque el prestataro etrega ua catdad P e el mometo, cuáto deberá pagar e el mometo? E el mometo pagará ua catdad tal que cubra la dfereca etre lo que cobraría s o ubera exstdo cacelacó parcal y lo que a obtedo rtedo P durate ( - ) perodos al tato de terés de mercado Por tato: ( ) - P ( ) ' PRODUTO Y ERIIO INNIERO Y DE EGURO BÁIO JOÉ MNUEL DOMENEH ROLDÁN PROEOR DE ENEÑNZ EUNDRI RM DMINITRTI Y OMERIL 35

32 Ejemplo: e cotrata oy u préstamo de 5 al 8 % de terés compuesto aual, para ser amortzado medate reembolso úco de captal e tereses al cabo de años e pde: (a) alcular el mporte que deberá pagar el prestataro trascurrdos los lo años (b) upoedo que el prestataro propusera la cacelacó de préstamo e el mometo 6 y sedo el tpo de terés de mercado e ese mometo el 7 % aual, cuáto exgrá el prestamsta e el mometo 6 s la cacelacó es total? (c) uáto exgrá el prestamsta e el mometo s el prestataro te ubera etregado 75 e el mometo 6? olucó caso a) egú los datos propuestos la represetacó gráfca será: 5 Por tato, la catdad que deberá etregar el prestataro trascurrda la duracó del préstamo será ( ) 5( '8 ) '5 Dca catdad comprede la deolucó del, captal y el pago úco de tereses olucó caso b) se cacela el préstamo totalmete e el mometo 6 y el tpo de terés de mercado e ese mometo es 7, el prestamsta exgrá ua catdad 6, tal que captalzada al 7% por el tempo que meda asta el mometo acordado calmete para la cacelacó de ,5 que es lo que cobraría s o exstera cacelacó Gráfcamete: Por tato: Despejado : , ( ' ) ( ' ) , , , ,5 ( '7 ) ( 6 ) ( ' ) ( ) 4755' 3 olucó caso c) el prestataro etrega e el mometo 6 la catdad de 75 el prestamsta e el mometo lo exgrá: la dfereca etre lo que obtee s o se cacela el préstamo y lo que puede obteer al ertr las 75 al 7 % (terés de mercado) durate 4 años Por tato : - P ' ; omo ,5 usttuyedo y operado : , ( '7) 559,49 PRODUTO Y ERIIO INNIERO Y DE EGURO BÁIO JOÉ MNUEL DOMENEH ROLDÁN PROEOR DE ENEÑNZ EUNDRI RM DMINITRTI Y OMERIL 36

33 b) Préstamo amortzable co reembolso úco de captal y pagos peródco de tereses: upogamos que se a cocertado u préstamo de cuatía para amortzar medate reembolso úco al cabo de años, pagádose cada año el terés correspodete Gráfcamete: 3 Qué sucederá s el prestataro propoe la cacelacó del préstamo e u mometo ateror a, es decr ( < )? ) el tpo de terés de mercado ' es gual o mayor que el tpo de terés del préstamo, el prestamsta o tedrá coeete e aceptar la cacelacó porque puede ertr su dero a u tpo superor al que lo teía ertdo la cacelacó es total y ya se a pagado los tereses correspodetes al mometo, el prestamsta exgrá que se le deuela el captal que prestó la cacelacó es parcal porque el prestataro etrega e el mometo ua catdad P, el prestamsta cuado llegue el mometo exgrá que se le paga el saldo que queda pedete e el mometo, que llamamos - P supoedo, como ya emos dco, que el prestataro le a pagado los tereses de cada año, -que aora será - e cluso los del mometo Gráfcamete: l ) el tpo de terés del mercado es meor que el tpo de terés del préstamo < aso de cacelacó total: El prestamsta e el mometo exgrá ua catdad tal que sea gual a la suma del alor del préstamo más el alor actual al tpo de terés de la lesó aual que sufre e sus tereses, sedo ésta [ ] Por tato: ( - ' ) - aso de cacelacó parcal: el prestataro etrega e el mometo u pago parcal P, cuáto exgrá el prestamsta e el mometo? PRODUTO Y ERIIO INNIERO Y DE EGURO BÁIO JOÉ MNUEL DOMENEH ROLDÁN PROEOR DE ENEÑNZ EUNDRI RM DMINITRTI Y OMERIL 37

34 o aceptara la cacelacó, lo que obtedría e el mometo sería: El alor fal de los tereses auales que percbe,, alorados al tpo de terés de mercado, ya que dcas catdades sólo puede reertrlas a dco tato y además el captal Es decr: Gráfcamete: ' o l acepta la cacelacó parcal P, e el mometo tedrá la suma de: el alor de P captalzado al tato de mercado ' por (-) períodos, los tereses auales -que aora será alorados e el mometo al tato de mercado ' y el saldo que queda pedete por amortzar Es decr: ( ' ) P ' mbas expresoes () y () debe ser guales para que el prestamsta acepte la cacelacó parcal Etoces: ' P ' ( ) omo lo que buscamos es, despejado quedará: ' ' P ' ( ' ) Ejemplo: Hace 4 años se cocertó u préstamo de 5 al % de terés aual para ser amortzado medate reembolso úco, trascurrdos 9 años de su costtucí6, y coedo pago aual de tereses abedo que el tpo de terés de mercado es el 8 % aual, calcular: (a) La catdad que oy cacela totalmete el préstamo (b) El saldo del préstamo s oy etrega el prestataro (c) La catdad que deberá etregar el prestataro e el mometo 9 teedo e cueta que a etregado oy mometo 4 olucó caso a) El terés que cada año cobrará el prestamsta es: 5 ' 5 demás, e el mometo 9 le deolerá los 5 que prestó PRODUTO Y ERIIO INNIERO Y DE EGURO BÁIO JOÉ MNUEL DOMENEH ROLDÁN PROEOR DE ENEÑNZ EUNDRI RM DMINITRTI Y OMERIL 38

35 Las codcoes del préstamo tee la sguete represetacó oy, mometo 4, acepta la cacelacó total del préstamo y le deuele los 5, ertdas al 8 % que es el tpo de terés de mercado le producría 4 auales De dode se deduce que cada año perdería e tereses (5-4) es decr Por lo tato, para aceptar la cacelacó exgrá ua catdad 4 tal que cubra la lesó que sufre e los tereses y el captal que prestó - ' ' 4 ( ) - ' ( ) ( ) ( '8 ) ( 94 ) 5 ' ' '8 Hoy, para aceptar la cacelacó total, el prestamsta exgrá el pago de olucó casos b) y c) El prestataro ace u pago oy de P 4 el prestamsta o aceptara la cacelacó, e el mometo tedrá: ( 94 '8 ) ' 5 ' 5 '8 el prestamsta acepta la cacelacó parcal e el mometo 9 tedrá: Gráfcamete: 9 - ' 79333, ' - P ( ' ) 5 ' ' ( '8 ) 94 5 '8 94 ( '8 ) ' ' , PRODUTO Y ERIIO INNIERO Y DE EGURO BÁIO JOÉ MNUEL DOMENEH ROLDÁN PROEOR DE ENEÑNZ EUNDRI RM DMINITRTI Y OMERIL ( '8 ) ocluremos dcedo que el saldo que queda pedete por amortzar e el mometo 4 es de , y será lo msmo que el prestataro debe pagar e el mometo 9 puesto que cada año paga los tereses correspodetes a dco captal, como puede obserarse e el gráfco 94 39

36 MORTIZIÓN DE PRÉTMO POR EL ITEM RNÉ: mortzacó de u préstamo medate reta: upogamos u préstamo de cuatía o que se amortza medate pagos de cuatía,, 3,, que ece e los mometos,,, 3,, respectamete Gráfcamete 3 3 La equaleca facera mplca que el alor del préstamo a de ser gual al alor actual de la reta que lo amortce alorada al tpo de terés del préstamo, Dada la aredad de retas que emos estudado, puede deducrse que u préstamo podrá amortzarse por cualquera de ellas, pero aquí os lmtaremos fudametalmete al estudo de la amortzacó de u préstamo medate ua reta aual costate e el caso propuesto los pagos so auales y el tato de terés es aual compuesto, la equaleca facera mplca que: 3 3 que podrá expresarse de forma abreada como ( ) o també, teedo e cueta que () - todos los térmos que compoe la reta so guales, es decr 3 susttuyedo e () resulta: por tato: quedará: omo: expresó que dca que el préstamo es gual al alor actual de la reta aual costate medata postpagable de térmos que lo amortza, al tpo de terés aual compuesto PRODUTO Y ERIIO INNIERO Y DE EGURO BÁIO JOÉ MNUEL DOMENEH ROLDÁN PROEOR DE ENEÑNZ EUNDRI RM DMINITRTI Y OMERIL 4

37 B stema fracés o de amortzacó progresa: El sstema fracés de amortzacó de u préstamo cosste e la amortzacó de este medate ua reta costate de térmos Gráfcamete 3 3 Por tato, s la reta es aual debe cumplrse que: ada aualdad es la suma de la cuota de terés y la cuota de amortzacó correspodete al año de que se trate Este sstema se llama també progreso porque a medda que trascurre el tempo las cuotas destadas a la amortzacó de captal a sedo mayores Lógcamete las cuotas de terés rá dsmuyedo porque el captal pedete por amortzar rá sedo meor Gráfcamete: 3 - I I I 3 I - I uadro de amortzacó de u préstamo por el sstema fracés: eamos a cotuacó los elemetos que compoe el cuadro de amortzacó de u préstamo segú el sstema fracés, y cómo puede calcularse cada uo de ellos ualdad La aualdad que amortza el préstamo se calcula partedo de la expresó Despejado: uota de terés I El terés de cada año se obtee como resultado de aplcar el tato utaro de terés al captal que queda pedete por amortzar del año ateror, R - sí, el terés del año será: I R PRODUTO Y ERIIO INNIERO Y DE EGURO BÁIO JOÉ MNUEL DOMENEH ROLDÁN PROEOR DE ENEÑNZ EUNDRI RM DMINITRTI Y OMERIL 4

38 como: resulta: Por tato, el terés del año será: I R R I uota de amortzacó Es la parte de la aualdad que se desta a la amortzacó de captal omo: coocedo I resulta que I - I La cuota de amortzacó del año es la dfereca etre la aualdad y la cuota de terés I del año Total amortzado T Es la suma de las cuotas de amortzacó pagadas asta el mometo Por tato: T 3 Resto por amortzar R Es la parte de captal que queda pedete por amortzar e llama també captal o e obtee como dfereca etre el alor del préstamo y el total amortzado asta el mometo Es decr: R T També puede obteerse alorado e todas las aualdades que queda pedetes Etoces R - PRODUTO Y ERIIO INNIERO Y DE EGURO BÁIO JOÉ MNUEL DOMENEH ROLDÁN PROEOR DE ENEÑNZ EUNDRI RM DMINITRTI Y OMERIL 4

39 Ejemplo: Redactar el cuadro de amortzacó de u préstamo de para amortzar medate 4 aualdades costates ecedo la prmera al falzar el prmer año, y sedo el tpo de terés del préstamo el 8 % aual compuesto La represetacó gráfca será 3 4 El alor actual de las cuatro aualdades a de ser gual a Por tato: 4 '8 De dode: - '8 4 4 '8 - ( '8) '8 La aualdad que amortza el préstamo es de 39,8 El cuadro de amortzacó e este caso sería el sguete: ños ualdad Iterés I 4 uota de amortzacó Total amortzado T PRODUTO Y ERIIO INNIERO Y DE EGURO BÁIO JOÉ MNUEL DOMENEH ROLDÁN PROEOR DE ENEÑNZ EUNDRI RM DMINITRTI Y OMERIL 39,8 Resto por amortzar R, 39,8 8, 9,8 9, , 39,8 646, , , , ,8 437, ,4 7443, ,3 4 39,8 364, , ,98, El terés del año será: I R '8 8 La cuota de amortzacó del año será: - I 39,8-8 9,8 El total amortzado e el año será el mporte de la úca cuota de amortzacó que se a pagado: T 9,8 El resto por amortzar e el año será: R - T , Ya emos calculado todos los alores que correspode al º año E el º año: La aualdad es la msma para todos los años: 39,8 La cuota de terés será: I R 77879, '8 646,34 La cuota de amortzacó: - I 39,8-646, ,46 El total amortzado: T 9, , ,6 El resto por amortzar: R - T , ,74 o també : R R , , ,74 guedo el msmo procedmeto utlzado para el cálculo de la ª y ª flas se realzar para calcular los alores que aparece e las dos restates Los cétmos que aparece por defecto de amortzacó, se debe a los errores por despreco o redodeo de decmales, y lógcamete e la práctca o tee gua mportaca 43

40 D álculo de la fla -esma del cuadro de amortzacó: ómo podremos coocer la stuacó del préstamo e u mometo s aber calculado los alores correspodetes a las flas aterores? Para ello ser precso poer todos los elemetos que compoe dca fla e fucó de,, e, que so los datos del préstamo ualdad del año omo ya emos calculado aterormete: - Todas las aualdades so guales y por tato: uota de terés del año Ya sabemos que: omo: R I R -( -) -( -) susttuyedo e la expresó de lª quedará: I R -( -) -( -) uota de mortzacó del año amos a demostrar que las cuotas de amortzacó aría e progresó geométrca de razó ( ) omo ya emos sto, todas las aualdades so guales y por tato y també sabemos que: y I I Por tato, susttuyedo las aualdades e fucó del terés y cuota de amortzacó: I y també sabemos que: I I R y I R Por tato, susttuyedo las cuotas de terés e fucó del resto por amortzar e el año ateror resultará: R R que puede expresarse como R - R o també ( R R ) - PRODUTO Y ERIIO INNIERO Y DE EGURO BÁIO JOÉ MNUEL DOMENEH ROLDÁN PROEOR DE ENEÑNZ EUNDRI RM DMINITRTI Y OMERIL 44

41 abedo que resulta R - R acado factor comú a ( ) que os dca que la cuota del año ( ) se obtee multplcado la del año por ( ) Geeralzado ( ) omo la suma de las cuotas de amortzacó debe ser gual al captal prestado resulta Poedo todas las cuotas e fucó de la prmera: ( ) ( ) ( ) 3 sacado factor comú a ( ) ( ) ( ) Por tato [ ] Despejado queremos calcular resultará que ( ) ( ) Total amortzado asta el año Es el resultado de sumar todas las cuotas de amortzacó pagadas asta esa feca Por tato T 3 Poedo todas las cuotas e fucó de la prmera T ( ) ( ) ( ) acado factor comú a queda T ( ) ( ) ( ) Por tato [ ] T usttuyedo e fucó de quedará T PRODUTO Y ERIIO INNIERO Y DE EGURO BÁIO JOÉ MNUEL DOMENEH ROLDÁN PROEOR DE ENEÑNZ EUNDRI RM DMINITRTI Y OMERIL 45

42 Resto por amortzar e el mometo Es el alor e de las aualdades pedetes Por tato R - usttuyedo e fucó de R - Ejemplo: alcular la fla sexta del cuadro de amortzacó de u préstamo de que se amortza medate ua reta costate aual medata pospagable de térmos al 7 % de terés compuesto aual olucó La aualdad del año 6º será ( ) ( '7 ) '7 4377'5 La cuota de terés I 6 se obtee susttuyedo los datos e la expresó ( '7 ) - I R -( -) 4377,5 '7 4864'3 '7 La cuota de amortzacó 6 se obtedrá de la expresó: ( ) '7 ( '7 ) '7 El total amortzado T 6 será '9 ( '7 ) T '3 ( '7 ) '7 '7 El resto por amortzar R 6 se obtee susttuyedo los datos e la expresó 6 ( '7 ) R6 - - ( '7 ) '7 486'68 '7 Gráfcamete: I T R ,5 4864,3 53, ,3 486,68 4 PRODUTO Y ERIIO INNIERO Y DE EGURO BÁIO JOÉ MNUEL DOMENEH ROLDÁN PROEOR DE ENEÑNZ EUNDRI RM DMINITRTI Y OMERIL 46

43 E mortzacó de u préstamo medate ua reta aual costate dferda d años y pospagable: omo puede obserarse, todo uestro estudo básco está referdo a la amortzacó de u préstamo medate ua reta aual, costate, medata pospagable aora supoemos que el préstamo se amortza medate ua reta aual costate dferda d años y pospagable puede suceder dos casos: a) Que durate los años de dfermeto se pague los tereses correspodetes Gráfcamete: d dl d d - d Esto mplca que e el mometo d el captal que teemos que amortzar sgue sedo Por tato el cuadro de amortzacó se resuele gual que s o ubera exstdo dfermeto ya que la ecuacó de equlbro facero e el mometo d segurá sedo: b) Que durate los años que dura el dfermeto o se pague tereses Etoces e el mometo d el captal que tedremos que amortzar será el alor del préstamo captalzado por el tempo de dfermeto, es decr: Gráfcamete: () d d dl d d Por tato, e este caso, la ecuacó de equlbro facero será: d que puede terpretarse como la amortzacó de u préstamo de cuatía d medate ua reta aual costate medata pospagable de térmos, que es gual a lo sto aterormete omo se obsera e el estudo de las retas, puede o cocdr los años de su duracó co el úmero de térmos que la compoe De la msma forma, la duracó de u préstamo puede o cocdr co el úmero de térmos de la reta que lo amortza E el caso que acabamos de tratar, la duracó de] préstamo es (d ) años, metras que el úmero de térmos que lo amortza es PRODUTO Y ERIIO INNIERO Y DE EGURO BÁIO JOÉ MNUEL DOMENEH ROLDÁN PROEOR DE ENEÑNZ EUNDRI RM DMINITRTI Y OMERIL 47

44 Ejemplo: Redactar el cuadro de amortzacó de u préstamo de que se amortza medate ua reta aual costate dferda años y pospagable de 4 térmos al 8% de terés compuesto aual a) a- durate el dfermeto se paga los tereses correspodetes a cada año b) b- o se paga tereses durate el dfermeto olucó caso a) Durate el dfermeto se paga los tereses correspodetes a cada año La represetacó gráfca será: omo e el mometo y se paga los tereses correspodetes, el captal pedete de amortzar e el mometo segurá sedo de Por tato deberá cumplrse que: De dode: 6384,6 4 4,8 (,8 ),8 El terés que se paga durate el prmero y segudo año es el msmo I I,8 6 omo puede obserarse la realzacó del cuadro de amortzacó es semejate al obtedo cuado el préstamo se amortza medate ua reta medata pospagable co la úca dfereca de que e este caso, e los dos prmeros períodos sólo se paga tereses ños ualdad Iterés I PRODUTO Y ERIIO INNIERO Y DE EGURO BÁIO JOÉ MNUEL DOMENEH ROLDÁN PROEOR DE ENEÑNZ EUNDRI RM DMINITRTI Y OMERIL 4,8 uota de amortzacó Total amortzado T Resto por amortzar R, 6, 6,,,, 6, 6,,,, ,6 6, 44384, , , ,6 449, ,94 939, , ,6 8644, , ,4 559, ,6 4479, 559,6,, olucó caso b) Durate el dfermeto o se paga tereses, por lo que estos se rá acumulado al captal y e el mometo el captal a amortzar será: d ( ) (,8) 338 Gráfcamete: ora teemos que amortzar u captal de 338 medate ua reta de 4 térmos medata postpagable Por tato debe cumplrse que: 338 De dode 338 4,8 48

45 ños 338 4,8,8 El cuadro de amortzacó será el sguete: 4 ualdad Iterés I (,8) uota de amortzacó 743,85 Total amortzado T Resto por amortzar R,,, 6,,, 338, 3 743, , 57696, ,85 853, ,85 458,5 559,6 7689, , ,85 479,4 6384,6 6865,5 6548, ,85 57,9 6548, ,99, El defecto de amortzacó, debdo a los errores por despreco o redodeo de decmales, es e este caso de ', que lógcamete carece de mportaca mortzacó de u préstamo medate reta costate fraccoada: ea la cuatía de u préstamo que se a a amortzar medate ua reta k-smal costate de cuatía k, medatas pospagable Gráfcamete: k k k k 3 k el tato de terés del préstamo es el efecto aual, calcularemos el tato k-esmal equalete k a traés de la expresó: ( ) k k y luego podremos escrbr la ecuacó de equlbro facero del préstamo sí: de dode despejado obtedremos: k PRODUTO Y ERIIO INNIERO Y DE EGURO BÁIO JOÉ MNUEL DOMENEH ROLDÁN PROEOR DE ENEÑNZ EUNDRI RM DMINITRTI Y OMERIL k el tato del préstamo es el omal J k allaremos k de la forma: J k k k y luego, la ecuacó de equlbro facero del préstamo, como e el caso ateror será: k partr de aquí, los pasos a segur para allar los elemetos del cuadro de amortzacó so semejates al caso de amortzacó medate reta aual costate La dfereca estrba e que e la prmera columa fgurar º de períodos k-esmales e ez de º de años Por otra parte, el terés de cada período será el resultado de multplcar el resto por amortzar e el período ateror por el tato k k-esmal correspodete k k k k k k 49

46 Ejemplo: Redactar el cuadro de amortzacó de u préstamo de 6 que se amortza medate 4 pagos semestrales costates, ecedo el prmero a los ses meses de la costtucó del préstamo, y sedo el tato omal acumularle por semestres el % Resolucó: Gráfcamete: semestres El alor actual de las 4 semestraldades a de ser gual a 6 Por tato: J k, omo el tato es omal calcularemos k a traés de la expresó : k,6 k El alor actual de las 4 semestraldades a de ser gual a 6 Por tato : k k 6 6 4,6 k 4 - (,6),6 La semestraldad que amortza el préstamo es de 7354,9 El cuadro de amortzacó e este caso será: ños ualdad Iterés I uota de amortzacó Total amortzado T 7354,9 Resto por amortzar R 6, 7354,9 36, 3754,9 3754, , 7354,9 777, ,9 8539,9 3746, ,9 947,65 547, , , ,9 98, 63353,68 6, -, Los cétmos que aparece por exceso de amortzacó, se debe a los errores por despreco o redodeo de decmales, y lógcamete e la práctca o tee gua mportaca E aquellos casos e los que la reta que amortza al préstamo sea dferda, procederemos de forma semejate a la expuesta para los msmos casos e que la amortzacó se acía medate pagos auales PRODUTO Y ERIIO INNIERO Y DE EGURO BÁIO JOÉ MNUEL DOMENEH ROLDÁN PROEOR DE ENEÑNZ EUNDRI RM DMINITRTI Y OMERIL 5