RAZONES Y PROPORCIONES

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1 OBJETIVOS Afzr los coocetos dqurdos sore rzoes y proporcoes Defr fucó, logrto, perutcoes, rreglos y cocoes co y s repetcó, líte de u fucó, progresoes, leyes fcers y opercoes fcers Idetfcr dsttos tpos de fucoes, progresoes, leyes fcers y opercoes fcers Grfcr dsttos tpos de fucoes Resolver proles co porcetjes ONTENIDOS Rzoes y Proporcoes Teore fudetl de ls proporcoes Fucó: defcó Gráfc de u fucó L fucó proporcol Mgtudes: cocepto Dsttos tpos de gtudes L fucó proporcol drect L fucó proporcol vers Propeddes de ls gtudes proporcoles El logrto: defcó Propeddes de los logrtos L fucó lel: gráfc y estudo L fucó cudrátc: gráfc y estudo L fucó logrítc: gráfc y estudo L fucó epoecl: gráfc y estudo Aálss cotoro L fucó fctorl álculo del fctorl de u úero Perutcoes s repetcó Arreglos s repetcó ocoes s repetcó Propeddes Perutcoes co repetcó Arreglos co repetcó ocoes co repetcó Boo de Newto Trágulo de Trtgl Pscl Líte de u fucó: defcó Propeddes de los lítes Los lítes otles Ls progresoes: ls progresoes rtétcs y ls progresoes geoétrcs Su de los téros de u progresó

2 RAZONES Y PROPORIONES Defcó Ddos dos úeros e u certo orde, se ll rzó l cocete etre ellos O se: Se y, se ll rzó Dode se deo tecedete y, cosecuete Defcó Se ll proporcó l guldd etre dos rzoes O se: Se los úeros Leyédose es, coo c es d Ahor: y d se deo etreos y c se deo edos,, c y d, se ll proporcó TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAS PROPORIONES E tod proporcó, el producto de los edos es gul l producto de los etreos Hpótess Se c d c d Tess d c Deostrcó Prtedo de l hpótess: c d Psdo el deodor d l prer ero y el deodor l segudo, qued: d c De cá podeos deterr fóruls pr clculr lgú eleeto de u proporcó teedo coo dtos los otros tres: Psdo el fctor c l segudo eros, teeos: c d

3 Y despejdo d, o se: d c S oservos y d so etreos, etoces dreos que e tod proporcó, u etreos es gul l producto de los edos dvddo e el otro etreo Trjdo e for álog co y d (etreos) se tee: d c y c d d O se que: E tod proporcó, u edo es gul l producto de los etreos dvddo e el otro edo LA FUNIÓN Defcó Ddo dos cojutos A y B, lldos cojuto de prtd y cojuto de llegd respectvete, se ll fucó tod relcó de A X B, dode todos los eleetos de A, le hce correspoder uo y solo u eleeto de B A f B Tod fucó se l deot co f:ab, leyédose f es l fucó de A e B oo tod relcó tee doo, de cuerdo l defcó teror, el doo de l fucó es el cojuto de prtd y se l deot co D(f)- Por supuesto, l ge de l relcó está clud e B, o se que I(f)B- Defcó Se ll fucó, l relcó etre dos vrles, e l que cd vlor de l prer ( vrle depedete), lo relco co uo solo u vlor de l segud (vrle depedete) GRÁFIA DE UNA FUNIÓN U fucó se grfc e u sste de ejes coordedos rtesos, dode, el eje de ls scss es el cojuto de prtd y ls ordeds es el cojuto de llegd- Es por eso que tod fucó se l deot co: y f () Dode se ll vrle depedete, e y vrle depedete (su vlor depede del de )

4 Pr grfcr u fucó se dee dr vlores de ls scss y oservr que ps co los vlores de ls ordeds, estos deter putos e el plo, los que se los ue y os d l gráfc de l fucó, por ejeplo: Se: y : R R / y Todo coo doo y codoo los úeros reles y pr grfcr hceos l sguete tl: Vrle depedet L Gráfc es: y Puto y P (, ) - ( ) - ( ) y P (, ) y P (,) y P (, ) y 7 P (,7) Vrle depedete

5 LA FUNIÓN PROPORIONAL MAGNITUD (Defcó) Se ll gtud todo ete strcto fordo por u esclr y u udd el que srve pr edr, por ejeplo: Ls gtudes puede ser esclres y vectorles- MAGNITUDES ESALARES g, 8, /h, $, Ls gtudes esclres so quells que qued represetds por u esclr y l udd solete Algus gtudes esclres so: el tepo, el espco, l oed, etc MAGNITUDES VETORIALES Ls gtudes vectorles so quells que deás del esclr y l udd, ecest de u vector pr represetrls Algus gtudes vectorles so: l velocdd, l fuerz, etc MAGNITUDES DIRETAMENTE PROPORIONALES OBSERVEMOS EL SIGUIENTE EJEMPLO: L sguete tl correspode vlores del cptl gdo e u certo tepo: E se est tl grfcos l fucó: Tepo () Gc (y) dís $ dís $ dís $6 6 dís $9

6 E se l tl podeos segurr que l fucó grfcd tee ls sguetes crcterístcs: O se que l fucó tee l for: y Est fucó se ll de proporcoldd drect y psdo l l prer ero qued: y ostte Lo que sgfc que e geerl ést fucó tee l for: y Ahor, ls gtudes que deter u fucó de proporcoldd drect se ll gtudes drectete proporcoles L crcterístc de ls gtudes drectete proporcoles es que cudo u uet el vlor de u de ells, l otr té lo hce o vcevers- MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORIONALES OBSERVAMOS EL SIGUIENTE EJEMPLO: El sguete cudro represet el cptl pgdo por u deud cudo se l o tes de su veceto: Tepo tes del veceto () ptl odo e les(y) eses $ eses $6 6 eses $ 8 eses $

7 L gráfc que se geer es: Ahor oservos (desde l tl) que: O se que l fucó tee l for: y Est fucó se ll de proporcoldd vers y psdo l l prer ero qued: y ostte Lo que sgfc que e geerl est fucó tee l for: y Ahor, ls gtudes que deter u fucó de proporcoldd vers se ll gtudes versete proporcoles L crcterístc de ls gtudes versete proporcoles es que, cudo u uet el vlor de u de ells, l otr dsuye el suyo o vcevers- PROPIEDADES Propedd S dos gtudes so drectete proporcoles, l rzó ford por dos vlores de u de ells es gul l rzó ford por los vlores correspodetes de l otr-

8 H) Se y= l fucó de proporcoldd drect Se, vlores de l gtud y c y d vlores de l gtud y T) D) c d oo y y c y d so vlores respectvos de gtudes drectete proporcoles, etoces: Y deás c c d d () () Y por l propedd trstv de l guldd y de () y (), se tee: c d Propedd S dos gtudes so versete proporcoles, l rzó de dos vlores de l prer es gul l rzó vers de los vlores correspodetes de l segud y Se, vlores de l gtud y c y d vlores de l gtud y d c H) Se l fucó de proporcoldd vers T) D) c d oo etoces: y y c y d so vlores respectvos de gtudes versete proporcoles, Y deás: c d c d () () De () y () y por l propedd trstv de l guldd se tee: c d d c

9 EL LOGARITMO Teedo e cuet l potec de u úero, o se: c Dode se ll se, epoete y c potec, tetos deterr sus opercoes verss Pr ecotrr l se teeos: c Pr ecotrr el epoete se tee u uev opercó deod logrtcó, dode: log Dode se ll se, c rgueto y logrto y se lee es el logrto e se de c y e reldd el logrto es deterr el epoete l que hy que elevr l se pr que de cóo resultdo el rgueto c Así por ejeplo: log 8 Y que es el epoete l que hy que elevr l pr que de cóo resultdo el 8 PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS PROPIEDAD El logrto del producto, es gul l su de los logrtos log( ) log log PROPIEDAD El logrto de u cocete, es gul l dferec etre el logrto del dvdedo y el logrto del dvsor log log log PROPIEDAD El logrto de l potec, es gul l producto etre el epoete y el logrto de l se de l potec log log PROPIEDAD El logrto de l ríz -és es gul l cocete etre el logrto del rdcdo y el ídce log log

10 LA FUNIÓN LINEAL Se ll fucó lel l fucó: f : R R / f ( ) Dode: f() = y es l vrle depedete es l vrle depedete se deo téro lel se deo téro depedete se deo coefcete lel L gráfc de l fucó lel es l sguete Teedo e cuet est gráfc deducos que es el puto dode l gráfc cort l eje de ls ordeds, por ese se deo té orded l orge Ahor: tg Por eso se deo té pedete Ahor oserveos el sguete ejeplo: y

11 Dode l pedete es postv, lo que sgfc que, s l fucó lel es postv, etoces es crecete Ahor grfqueos l sguete fucó: y Est fucó es decrecete- Se ll fucó cudrátc l fucó: o, dode: se deo téro cudrátco se deo téro lel c se deo téro depedete se deo coefcete cudrátco se deo coefcete lel Ahor, l gráfc de l fucó cudrátc es u práol, pudédose utlzr dsttos étodos pr grfcrl, teto que hy que deterr el vértce y otros dos putos Por ejeplo: y LA FUNIÓN UADRÁTIA f : R R / f ( ) c

12 Oservdo l gráfc cocluos que el vértce tee ls coordeds V(,-), pudédolo oteer hcedo, pr ls scss: v Y pr l coorded de ls ordeds, vluos l fucó e est últ, o se: y v v v c Est gráfc, coo se oserv, es sétrc co respecto l eje que ps por el vértce, por lo tto el eje de setrí tee l for Adeás ls rs de l práol se ecuetr hc el seeje postvo de ls ordeds etoces se dce que l fucó es postv Ahor, s l fucó es egtv, por ejeplo: f : R R / f ( ) Ahor l r de l práol está hc el seeje egtvo de ls ordeds

13 LA FUNIÓN EXPONENIAL L fucó epoecl tee l for: f : R R / f ( ) Dode es u úero rel postvo dstto de uo y desde quí podeos dstgur dos csos: Pr << Por ejeplo: f : R R / f ( ) Muestr u fucó decrecete e dode el eje de ls scss es sítot l gráfc el l seeje postvo y cort ls ordeds e Pr > Por ejeplo f : R R / f ( ) Muestr u fucó crecete e dode el eje de ls scss es sítot l gráfc el l seeje egtvo y cort ls ordeds e

14 LA FUNIÓN LOGARÍTMIA L fucó logrítc tee l for: f : R R / f ( ) log Y teedo e cut que el vlor de dee ser u úero rel postvo dstto de uo, se tee dos csos: S << Por ejeplo y log Oservos que l fucó es decrecete y el seeje postvo de ls ordeds es sítot l curv y cort e ls ordeds S > Estudeos el sguete ejeplo: y log Est fucó es crecete, el seeje egtvo de ls ordeds es sítot l curv y cort e l eje de ls scss S copros ls gráfc de l fucó epoecl y logrítcs, cocluos que so fucoes verss

15 ANÁLISIS OMBINATORIO FATORIAL (Defcó) Se ll fctorl l fucó f:nn tl que: f () f () f ( ) f ( ) El fctorl de u úero culquer, se lo solz!, o se que l defcó de fctorl qued:!!! ( )! Aplcdo l defcó e for sucesv, se tee:! = (-)!! = (-)(-)!! = (-)(-)(-)!! = (-)(-)(-)! Así por ejeplo:! = =! = = 6! = = SIMPLIFIAIÓN DE FATORIALES Pr splfcr u fctorl co otro fctorl, se dee descopoer segú su desrrollo, o se por ejeplo: Pero =!, etoces: 8!! !! 876! 876! VARIAIONES O ARREGLOS SIN REPETIIÓN Se deo rreglo o vrcó s repetcó de u cojuto de eleetos todos de e, l úero de cojutos dsttos fordo por eleetos de los ddos, teedo e cuet que dos cojutos so dsttos s dfere e sus eleetos o e el orde e que fuero colocdos- Por ejeplo el cojuto fordo por ls sguetes letrs, queredo forr cojutos de dos letrs, o se u rreglo de eleetos todos de e : A, B,, D

16 AB A AD BA B BD A B D DA DB D O se que el rreglo de eleetos todos de e, es Todo rreglo se lo deot coo todos de e, o e e V A y se lee rreglo s repetcó o sple de eleetos y se lee vrcó s repetcó o sple de eleetos todos de Teedo e cuet el ejeplo teror, podeos hcer: A!! A! geerlzdo qued: ( )!! ( )! ARREGLOS O VARIAIONES ON REPETIIÓN E el cso de que de u cojuto se pued escoger u eleeto ás de u vez pr forr u vrcó o u rreglo, estos e presec de u rreglo co repetcó Ejeplo Se el cojuto fordo por A, B,, D y se quere forr cojutos de dos letrs, pudedo ser ellos fordos por ls ss y dos cojutos so dsttos s dfere e su orde o e sus eleetos Esto será: AA AB A AD BA BB B BD A B D DA DB D DD Esto es u rreglo co repetcó (se puede repetr los eleetos e u so cojuto) de eleetos todos de e y su resultdo es 6 Ahor relceos e so trjo, pero uetdo l cojuto u eleetos ás y toeos de tres eleetos O se: A, B,, D, E AAA AAB AA AAD AAE BEA BEB BE BED BEE DDA DD DDE EAD ABA ABB AB ABD ABE AA AB A AD AE DEA DE DEE EBD AA AB A AD AE BA BB B BD BE EAA EA EAE ED ADA ADB AD ADD ADE A B D E EBA EB EBE EDD AEA AEB AE AED AEE DA DB D DD DE EA E EE EED BAA BAB BA BAD BAE EA EB E ED EE EDA ED EDE EB BBA BBB BB BBD BBE DAA DAB DA DAD DAE EEA EE EEE EDB BA BB B BD BE DBA DBB DB DBD DBE DDB DDD EAB EEB BDA BDB BD BDD BDE DA DB D DD DE DEB DED EBB

17 O se que el totl de cojutos posles de forr co los eleetos todos de e y que se puede repetr sus eleetos, es El rreglo co repetcó de eleetos todos de e se deot coo A' Ahor: A' 6 y A' O se que e deftv: A' PERMUTAIONES SIMPLES O SIN REPETIIÓN Ls perutcoes sples o s repetcó de eleetos se defe coo l ctdd de cojutos que se puede forr co los eleetos todos de e, sedo dsttos dos de ellos s su orde es dstto L deotcó de perutcó de eleetos es P Atededo l defcó, l perutcó de eleetos es u rreglo de eleetos todos de e O se: P A! ( )!!!!! Por ejeplo: De cuáts fors se puede order lros dsttos e u estte? P =! = PERMUTAIONES ON REPETIIÓN Supogos que se tee ols de ls cules so lcs, so zueles y rojs co ls cules se ls quere deterr l ctdd de fors que se ls puede order No se podrí plcr l P y que se repte ls lcs (), ls zueles () y ls rojs () O se que por estos csos se tedrí: P =! = 6 (pr ls lcs), P = (pr ls zules) y P =! = (pr ls rojs) y estos cojutos so gules y que o se dferec por el color Estos e presec de u perutcó co repetcó de eleetos e grupos de, y y esto será: L fórul geerl es: P' P' P! 688!!! 6,, P P P,,,, P P P P P!!!!! Dode es el totl de eleetos, es el úero del prer grupo de eleetos gules, el segudo, el tercero, etc OMBINAIONES SIMPLES O SIN REPETIIÓN ocoes s repetcó de eleetos todos de e es l ctdd de cojutos de eleetos que se puede forr co los eleetos, teedo e cuet que dos cojutos so dferetes s dfere úcete e sus eleetos-

18 Por ejeplo: Se el cojuto fordo por A, B,, D, uátos cojutos de tres eleetos dsttos se puede forr co ellos? Oservos que l respuest es - AB ABD AD BD Ahor l cocó de eleetos todos de e se deot co prtculr, será: y e uestro cso 6!!( )! Pr el cso de y, se tee:!!( )! PROPIEDADES º) Deostrcó:!!!( )!! Esto es teedo e cuet que! = y splfcdo- º) Deostrcó:!!!( )!!! Esto es teedo e cuet que! = y splfcdo- º) Deostrcó:!! ( )!( )! ( )!! Esto es plcdo l defcó y cceldo - º) Deostrcó: Prtedo del segudo ero y plcdo l defcó, scdo coú deodor y scdo fctor coú, se tee: ( )! ( )! ( )!( )!!( )!

19 ) )!( ( )! ( )! )( )!( ( )! ( )! )!( )( ( )! )( ( )! ( )! )!( )( ( ) )!( ( )! )!( )( ( )! ( )! )( )!( ( )! ( )!!(! º) Deostrcó: Prtedo de l deostrcó teror y hcedo =+ =- y s=+=s-, se tee: s s s OMBINAIONES ON REPETIIÓN Pr el cso de ls cocoes co repetcó de eleetos todos de e, spleete dreos que es gul l cocó sple de +-, todos de e y sedo su deotcó ' E fóruls será: ' BINOMIO DE NEWTON Desde uestros estudos e l escuel ed o EGB o Polodl es que cooceos que: ( + ) = + + y que ( + ) = Esto es lo que se deo el cudrdo y el cuo de u oo Estos so csos prtculres de lo que cooce co el ore de oo de Newto y que se geerlz e lo sguete:

20 Est guldd se deuestr co el étodo de duccó coplet O se que: Pr = ) ( Hpótess Pr = Tess Pr =+ Deostrcó Prtedo del prer ero, plcdo producto de potecs de gul se, lo dcdo por l hpótess y luego dstruyedo, se tee: ) ( Ahor, troducedo e l prer sutor y e l segud, qued: Aplcdo producto de potec de gul se, se tee: Ahor etryedo el prer téro de l prer sutor y el últo de l segud sutor O se: Pero, hcedo j=+, etoces =j- y s = j-= j= y reeplzdo e l segud sutor, y teedo e cuet que hor ést últ rá hst, qued: j j j j Pero cdo j por, se tee: Todo u sol sutor, se tee: ) (

21 Y por l propedd º plcd ls su de ls cotors, que: Y hcedo y, teedo e cuet u propedd de ls cocoes, qued: Itroducedo el prer téro y el últo téro e l sutor, qued: Por ejeplo: Desrrollr el sguete oo: TRIÁNGULO DE TARTAGLIA PASAL Utlzdo l propedd º) de cocoes, se puede costrur u trágulo co los vlores que será los coefcetes de u oo de Newto Este es: O se que:

22 óo se r el trágulo de Pscl? ) Se coez co el e el edo ) E todos los csos, los etreos so ) Los otros se for sudo los eleetos de l zquerd y derech de l líe teror DEFINIIÓN Se l fucó y=f(), se dce que: LÍMITE DE UNA FUNIÓN l f ( ) L, / f ( ) L, sepre que Esto sgfc que el líte de l fucó f(), cudo tede, es gul L, sepre que pr vlores de uy próos, f() to vlores uy próos L PROPIEDADES PROPIEDAD El líte de u costte, es gul l costte l K K PROPIEDAD El líte de u costte por u fucó, es gul l costte por el líte de l fucó l f ( ) l f ( ) PROPIEDAD El líte de l su lgerc de fucoes, es gul l su lgerc de los lítes l f ( ) g( ) h( ) l f ( ) l g( ) l h( ) PROPIEDAD El líte de u producto de fucoes, es gul l producto de los lítes l f ( ) g( ) l f ( ) l g( ) PROPIEDAD El líte del cocete de dos fucoes es gul l cocete de los lítes l f ( ) l f ( ) g( ) l g( )

23 PROPIEDAD 6 El líte de l potec és de u fucó, es gul l potec és del líte l fucó l f ( ) l f ( ) PROPIEDAD 7 El líte de l ríz és de u fucó, es gul l ríz és del líte l fucó l f ( ) l f ( ) Por ejeplo: 9 l l ( )( ) l 6 LÍMITES NOTABLES Se ll lítes otles quellos cuyo vlor está deterdo, co los que e se ellos se puede clculr otros de slres crcterístcs Estos lítes so: se l Ahor, s trjos co el seo de u fucó u(), se tee: l u( ) se u( ) u( ) Teedo e cuet esto últo se puede clculr: se l se l se l Otro de los lítes otles es: l e El que trjádolo podeos epresrlo té de l sguete for: l e

24 Así por ejeplo: l l l e Esto se otee plcdo l potec de otr potec PROGRESIONES PROGRESIONES ARITMÉTIAS Se dce que u sucesó uérc for progresó rtétc cudo cd téro se otee suádole l teror u vlor costte lldo dferec Por ejeplo:,, 8,,, 7,,, 6, 9 Es u progresó rtétc y que u úero o u eleeto de l progresó se otee suádole l teror el (dferec) Su de los téros L su de los téros de u progresó rtétc se otee co l sguete fórul: S Dode: E el ejeplo ddo es: :prer téro Sedo :últotéro :úerode téros S 9 PROGRESIONES GEOMÉTRIAS Se dce que u sucesó for u progresó geoétrc s cd téro se otee ultplcádole l teror u ctdd costte (q) lld rzó Por ejeplo:, 6,,, 8, 96, 9 Oserveos que q= o se q> y l su de est progresó, lld crecete, se clcul co: S q q

25 O se que pr uestro ejeplo se tee: : prer téro Sedoq :rzó : úero de téros S Se l progresó es decrecete, o se co q<, coo por ejeplo: Dode q, su su se clcul co: Y pr uestro cso e prtculr es: 8, 6, 6, 8,, q s q el prer téro Sedoq es l rzó úero de téros S PORENTAJE, BONIFIAIÓN Y REARGO ONEPTOS BÁSIOS Es coú plterse el sguete prole: $ de cd $ correspode l gsto geerl de u perso qué dero correspode de cd $? Este es u prole de regl de tres sple, lo que lo podeos plter de l sguete for: $ $ $ Ests gtudes so drectete proporcoles y por u propedd de ls ss, se puede hcer:

26 $ $ $ Dode l cógt es u edo de est proporcó, etoces: $ $ $ $ Lo que sgfc que $ de cd $ correspode l gsto geerl de u perso Esto se puede epresr que el % (tret por ceto) correspode l gsto geerl de u perso Ahor s osotros llos cptl (o) l totl del que hlos, redeto (I) l prte del cptl que le correspode l porcetje, podeos deterr u fórul que os pert clculrlo: o % I % Por l s rzó que e el prole pltedo, hceos: o % I % Y despejdo % teeos: % I % o O se que el porcetje o tto por ceto es ctdd de redeto útl que produce ce uddes de u cos De cuerdo l rzoeto teror, el porcetje es gul l cocete etre el producto del redeto y ceto por ceto y el cptl- Así por ejeplo: uál porcetje que represet $ de $? Usdo l fórul teror, hceos I % $ %,96% o $ Ahor, despejdo de l fórul prcpl, podeos oteer fóruls pr clculr el redeto y el cptl respectvete, o se: I % o % o I % % Por ejeplo: uál es el redeto del % de u cptl de $8?

27 I % o I % % $8 I % $ uál es el cptl que co el % d u redeto de $7? o I % $7 % o o $9 % % BONIFIAIÓN (ocepto) E el coerco y e ls fzs, se ll ofccó o rej u certo porcetje que se deduce de u deterd ctdd E el cso del pgo de sueldos, se ll ofccó u porcetje que se le uet u ctdd por lgú cocepto REARGO (ocepto) E el coerco y e ls fzs, se ll recrgo l porcetje que se le su u deterd ctdd por lgú otvo LA MATEMÁTIA FINANIERA (ocepto) Se ll Mteátc Fcer l prte de l Mteátc que estud el cálculo de los fctores que cofor el Mercdo Fcero (oveto de dero) L estec de u Mercdo vee ddo por l presec del ptl, uo de los recursos áscos de l ctvdd ecoóc El ercdo fcero o se refere l cptl por sí solo, so que corpor u desó fudetl: el tepo E reldd lo portte del cptl, es que éste se pued over e el tepo y que podos clculr su vlor e dsttos oetos APITAL FINANIERO (ocepto) Se ll cptl fcero l edd de culquer ctvo rel o fcero epresdo por su ctdd y por su veceto o e el oeto de su dspoldd LEYES Y OPERAIONES FINANIERAS LEYES FINANIERAS SIMPLES (ocepto) Ls leyes fcers sples so quells e ls que los tereses o los descuetos que se geer lo lrgo de u período de tepo ddo, o se greg se dsuye l cptl pr el cálculo de los tereses o descuetos del sguete perodo Esto sgfc que pr clculr el terés o el descueto, se utlz u vlor costte, el cptl cl o el fl- LEYES FINANIERAS OMPUESTAS (ocepto) Ls leyes fcers copuests so quells e ls que los tereses o los descuetos que se geer lo lrgo de u período de tepo ddo, se greg o se dsuye l cptl pr el cálculo de los tereses o descuetos del sguete perodo OPERAIÓN FINANIERA (Defcó) Se defe opercó fcer tod ccó por l que se produce u terco de cptles

28 Los eleetos que tervee e u opercó fcer so: Prestcó: Es el cojuto de cptles que se coproete etregr l perso que c l opercó otrprestcó: Es el coproso totl que dquere l perso que c l opercó e cldd de deudor Orge de l opercó: Es el oeto de tepo e que vece el prer cptl Fl de l opercó: Es el oeto de tepo e que vece el últo cptl Durcó de l opercó: Es el tepo que ed etre el orge y el fl de l opercó Es precso destcr que tod opercó fcer llev plíct l estec de u equvlec etre los vlores fceros respecto u puto de referec L clsfccó que utlzreos pr el estudo de ls opercoes fcers provee de l ley fcer que utlceos pr l vlorcó de los cptles: Opercoes fcers sples Opercoes fcers copuests OPERAIONES FINANIERAS SIMPLES (ocepto) Ls opercoes fcrs sples, so quells que se clcul e se leyes fcers sples Ls opercoes que utlz este tpo de leyes fcers so: Iterés sple Descueto rcol sple Descueto coercl sple OPERAIONES FINANIERAS OMPUESTAS (ocepto) Ls opercoes fcers copuests so quells que se clcul e se u ley fcer copuest Ls opercoes que utlz este tpo de leyes fcers so: ostruccó de cptles Descueto coercl copuesto Descueto rcol copuesto Aortzcó o présto de cptles APITALIZAIÓN Y ATUALIZAIÓN APITALIZAIÓN (Defcó) Se ll cptlzcó l opercó fcer sple o copuest, e l que prtedo de u cptl se otee u cptl yor lo lrgo de u certo tepo, producdo por u cert gc El cptl del que se prte se deo cptl cl o de orge (o), l cptl l que se lleg, oto o cptl futuro () y l gc, terés (I)

29 De esto se deduce que: ptl ctul o cl (o) Iterés (I) Moto o ptl futuro () o I ATUALIZAIÓN (Defcó) Se ll ctulzcó l opercó fcer sple o copuest, e l que prtedo de u cptl futuro o oto () se otee u cptl ctul o cl (o) producdo por u certo descueto (D) De esto se deduce que: ptl ctul o cl (o) Descueto (D) Moto o ptl futuro () o D OSTO Y BENEFIIO (ocepto) E u opercó de présto este u deudor y u creedor L gc que otee el creedor se ll eefco, pero pr el deudor, éste so porte se ll costo RAZÓN Y TASAS RAZÓN (Defcó) L rzó (R) es el tto por ceto que se le plc l opercó fcer TASA DE INTERÉS (Defcó) Se defe ts de terés () l gc que se otee por cd peso colocdo e cd período de tepo e que se credt los tereses Desde el puto de vst teátco, se ll ts l cocete etre l rzó y ceto por ceto y se deo té tto por uo Por ejeplo: % R %, %

30 TASA DE DESUENTO (Defcó) Se defe ts de descueto (d) l descueto que se otee por cd peso pgdo e cd período de tepo tes del veceto de l deud e que se ctulz los descuetos Desde el puto de vst teátco, se ll ts l cocete etre l rzó y ceto por ceto y se deo té tto por uo Por ejeplo: 8% R 8% d d,8 % FORMAS DE APITALIZAIÓN APITALIZAIÓN SUBPERIÓDIA E los proles de cptlzcó se puede dr que los tereses se oteg cptlzdo e l udd de tepo que dc l ts y el período, por ejeplo u ts ul y el período epresdo e ños, u ts esul y el período epresdo e eses, u ts estrl y el período epresdo e estres, etc Est cptlzcó se l cooce co el ore de peródc- Por otro ldo, hy otr for de cptlzr los tereses, e dode hy ás de u cptlzcó e cd período dcd pr l tss Por ejeplo se puede teer u ts de terés ul cptlzd por eses o por estres, o por seestres, o clusve e for dr Lo portte de este tpo de cptlzcó es l o cocdec, e l udd de tepo, etre el período de cptlzcó y l de l ts Pr estos csos podeos defr tres tpos de tss de terés: Ts Nol: Es l ts del período, por ejeplo s el período est epresdo e ño, l ts ol es l ul Ts Proporcol: Es quell que cptlzd e for superódc, produce l fl del plzo de coloccó u oto yor que co u tss peródc ol Ts equvlete: Es quell que cptlzd e dferetes uddes de tepo, produce gul oto l co del período cosderdo Esto sgfc que utlz dstts frecuecs de cptlzcó Oserveos el sguete cudro: Rzó Ts peródc Superíodo de p Ts proporcol %, Seestre, % %,, Meses, % 8%,8, Meses, % % ul, % trestrl 8% ul 8 E el prer cso l rzó es del % ul, el superíodo de cptlzcó es el seestre y coo u ño tee dos seestres, etoces l ts peródc l deeos dvdr e dos pr oteer l ts proporcol

31 Pr el segudo cso el % es trestrl, el superíodo de cptlzcó es esul, pero coo u trestre tee tres eses, etoces l ts peródc se l dvde e tres pr oteer l ts proporcol E el últo cso l rzó es del 8% ul, el superíodo de cptlzcó es esul, pero coo u ño tee doce eses, etoces l ts peródc l deeos dvdr e doce pr oteer l ts proporcol