N (2.1) x sobre sub-espacio formado con el conjunto de las

Transcripción

1 CAPITULO II INTERPOLACIÓN Supoemos que sobre ee X está dada ua malla co los odos cuyas abscsas so x1, x,, x N. Supoemos además que los valores de ua fucó descoocda f x está defdos solamete e estos odos y forma u couto de ordeadas y1, y,, y N. El problema de la terpolacó udmesoal cosste e la costruccó de ua fucó f x, la cual satsface las codcoes f x y, 1,,, N y además se asume uos valores razoables e los putos etre los odos dados. El térmo razoable puede varar su sgfcado de problema a problema y es posble que e la mayoría de los casos o pueda defrse e ua forma matemátcamete rgurosa. E los casos, cuado las ordeadas y correspode a ua fucó matemátca suave o so los datos expermetales obtos co alta precsó y puede cosderarse lbres de los errores, tee setdo terpolarlos a través de ua fucó suave. Los obetvos de terpolacó so múltples, pero obetvo fudametal cosste e la elaboracó de u algortmo rápdo para ecotrar los valores de ua fucó fuera de ua tabla x, y dada. Más corta es la tabla más corta es la fucó que realza la terpolacó de la fucó y más rápdo puede calcularse valores de la fucó. Fucoes terpoladoras se utlza també para calcular las dervadas y las tegrales. E f x, f x muchos casos aplcacó de métodos computacoales e el tratameto de la formacó y de las mágees se faclta esecalmete al reemplazar las fucoes actuales (cuyo cálculo a veces sugere realzar ua gra catdad de las operacoes) por la fucó terpolador. Por eemplo mayoría de las fucoes elemetales y especales e el computador está defdas a través de tablas y e los putos termedas se calcula a través de fórmulas de terpolacó. El puto clave del problema de terpolacó cosste e la seleccó adecuada de ua fucó razoable etre los odos de la malla. Exste u úmero fto de dferetes fucoes que puede coectar los putos de la fucó dados solamete e odos de la malla y osotros debemos escoger algú crtero para seleccoar solo ua etre ellas. U crtero razoable e térmos de suavdad y smplcdad, pudera ser por eemplo la sugereca que la fucó debe ser aalítca y el valor máxmo de módulo de la seguda dervada f x detro del tervalo debe ser mímo posble, o por eemplo la fucó debe ser u polomo de meor orde posble, u otra codcó smlar. Más frecuetemete la fucó terpoladora se costruye e la forma de ua combacó leal de fucoes elemetales x : f x P x C x N (.1) N 1 x se llama fucoes de base, el polomo geeralzado PN f x y los coefcetes C E este caso las fucoes cosdera como la proyeccó de la fucó x se x sobre sub-espaco formado co el couto de las fucoes como proyeccoes correspodetes. S, por eemplo, e caldad de las fucoes de base se escoge las fucoes de potecas 1 x x, 1,,, N (.) la fucó terpoladora es u polomo de potecas. fucoes trgoométrcas x s x, cos x,,1,,, N S como las fucoes de base se escoge las (.) la fucó terpoladora es u polomo trgoométrco. S el úmero de los odos de la malla e el problema de terpolacó cocde co el úmero de fucoes de base x escogdas etoces e la mayoría de los casos los coefcetes C se defe uformemete. E realdad la fucó terpoladora (.1) debe satsfacer los N codcoes sguetes: N PN x C x y, 1,,,, N (.4) 1 Estas N codcoes correspode u sstema de ecuacoes algebracas leales que zse puede escrbr e la sguete forma matrcal:

2 ˆ ˆ 1 AC Y, C A Y (.5)  y los vectores C y Y so: 1 x1 x1 x1 N x1 C1 y1 1 x x x N x C y ˆ 1 x 1 x 1 x N x C y A ; C ; Y (.6) 1 xn xn xn N xn C N y N Aquí la matrz Segú las formulas (.5) y (.6) el algortmo de la terpolacó e el caso cuado la fucó terpoladora se busca e la forma de ua combacó leal (.4) de las fucoes de base dadas es muy smple y cosste e solamete dos pasos: 1) calcular los valores de las fucoes de la base e los odos de la malla, x,, 1,,. N y costrur la matrz  y ) vertr la matrz  y hallar los coefcetes C multplcado la matrz versa por el vector Y formado por valores de la fucó y, 1,,, N e los odos de la malla. Hay que aotar que este algortmo se puede realzar solo cuado el determate de la matrz  o es gual a cero, es decr det A ˆ Etre otros tpos de fucoes terpoladoras co mayor frecueca se utlza fraccoes cotuas de tpo f x P x N a 1 a an x dode las cógtas so los parámetros a x x a, 1,,, N. x E uestro curso osotros cosderemos solamete la terpolacó polomal e la cual las fucoes de poteca so seleccoadas como las fucoes de base y al fal cosderemos u caso partcular de terpolacó segmetara co las fucoes de base llamadas fucoes de sple las cuales se utlza amplamete e los métodos computacoales..1 Iterpolacó polomal..1.1 Por qué polomal? La clase más mportate de terpolacó de fucoes es el couto de los polomos algebracos. Para esto hay varas razoes; polomos es fácl de evaluar drectamete, sumar, multplcar, tegrar y dervar. Por supuesto y otras clases de fucoes puede teer todas las propedades aterores y pudra utlzarse també para este obetvo. Afortuadamete, hay otra razó para escoger los polomos algebracos a cosecueca el sguete teorema de Weerstrass: Para cualquera fucó f x cotua detro del segmeto ab, y para cualquer pequeño valor exste u polomo de orde, para el cual detro del segmeto se cumple la desgualdad max f x p x A pesar de que este teorema dce que las fucoes puede aproxmarse a través de polomos estos polomos so geeralmete de alto grado, tal que es poco práctco el uso de este teorema. Por otra parte, el teorema de Weerstrass os dce ada acerca de la exsteca de u polomo de terpolacó satsfactora para u determado couto de datosx, y, 1,,, N y o garatza de que u polomo adecuado se ecuetra por medo de u algortmo práctco. La terpolacó polomal se cosgue s osotros e la formula (.1) escogeremos las fucoes de base (.). E este caso la fucó terpoladora es u polomo del orde N-1 N 1 f x PN 1x C1 Cx Cx CNx (.8) (.7)

3 La matrz  e este caso tee la forma 1 1 x1 x1... x1 1 ˆ 1 x x... x A (.9) x x... x 1 Y determate de este matrz es coocdo como el determate de Vadermode que se calcula e ua forma aalítca: A N (.1), 1 det ˆ ( x x ) Como guos dos odos de la malla x1, x... x N o cocde el determate o es gual a cero, det A ˆ el sstema ce ecuacoes leales (.5) sempre tee solucó úca y por eso se puede ecotrar u polomo terpolador. S embargo, cuado el úmero de odos es grade sorpretemete cas sempre la matrz  es mal codcoada. Es decr, cuado osotros tratamos ecotrar u polomo terpoolate global, cualquer pequeño error e los valores dados de la fucó e los odos de la malla coduce a u cambo brusco e el comportameto de la fucó terpoladora. E otras palabras uas varacoes locales muy pequeñas e los datos produce uos cambos fuertes e el comportameto global de la fucó terpoladora. Por esta razó, e los casos cuado los datos puede teer alguos errores es preferble usar ua terpolacó segmetara (. e. aalzar parte por parte) que ua terpolacó global..1. Formula de Lagrage Aplcado las formulas (.5) y teo e cueta que la matrz versa para este caso segú las formulas (.9), (.1) los coefcetes C, 1,,, N se puede ecotrar e la forma aalítca y obteer la sguete fórmula para terpolador polomal coocda como terpolador de Lagrage: N PN 1( x) y ( x) (.11 1 dode: ( )( )...( )( )...( ) x x ( x) ; 1,,, N ( x x )( x x )...( x x )( x x )...( x x ) x x N x x1 x x x x 1 x x 1 x xn (.1) N 1, Las fucoes ( ) x llamada los factores de Lagrage satsface la codcó ( x ) ;, 1,,, N (.1), La demostracó de la fórmula de Lagrage es smple. E realdad, por u lado, exste solo u polomo terpolador de orde N-1, y, por otro lado, las formulas (.1.11)-(.1.1) defe precsamete el polomo de orde N-1, que satsface las codcoes PN 1 ( xk ) yk, k 1,,, N. A cotuacó se preseta u eemplo de aplcacó de la terpolacó de Lagrage para defr u polomo terpolador de orde e=1 para fucó f x s x detro del tervalo x. E la subruta Fu_lagrge(xe,ye,e,x)se defe u polomo terpolador, la cual para u couto de los datos sobre la malla xe, ye, 1,,, e dada e los e putos calcula el valor del polomo Fu_lagrge E el programa prcpal, prmero, se calcula los valores de la fucó f x s x e 1 putos de la malla y después e la seguda parte se calcula los valores de esta msma fucó e 11 putos a través del polomo de Lagrage y1, fucó exacta y, y la dscrepaca dy.

4 E la parte derecha se muestra ua parte de la tabla de los resultados. Se ve que las dscrepacas e los odos de la malla se aula exactamete, es decr polomo terpolador atravesa los valores exactos e los odos parameter (e=1) dmeso xe(e),ye(e) ope(1,fle='aprox.res') c Calculo de los valores de la fucó sobre la malla do =1,e xe()=.1*(-1) x=xe() ye()=s(x) do =1,11 x=.*(-1) c Cálculo de los valores de la fuc sobre la malla desa c y comparacó co los valores exactas y1= Fu_lagrge(xe,ye,e,x) y=s(x) dy=y1-y wrte(1,*) y1,y,dy close(1) stop c Fucto Fu_lagrge(xe,ye,e,x) c Fucó de terpolacó de Lagrage para ua fucó c defda ye() sobre la malla xe(), =1,,,...,e c parámetros de etrada: xe(), ye(), e c parámetros de salda Fu_lagrge dmeso xe(e),ye(e) s=. c Cálñculo del factor de Lagrage p do =1,e p=1. do =1,e f(.e.) p=p*(x-xe())/(xe()-xe()) c Cálculo de la suma s=s+p*ye() Fu_lagrge=s retur x y1 y dy E E-1.E E E-1.E E E E E E E E E-1.E E E-1.E E E E E E E E E E E E E E E-1.E E E E E E E E E E E E-1.E E E-1.E E E E E E E E E E E E E E E-1.E E E E E E-1.E E E E E E E E E-1.E E E-1.E E E E E E E E E E E E-1.E E E E E E E E E E E E E E E-1.E E E E E E E E E E E E E E E-1.E E E E E E E E E E E E E E E-1.E E E E E E E E E E E E E E E-1.E+.1. Malla equdstate. Dferecas ftas. Poteca geeralzada. La fórmula de Lagrage se smplfca esecalmete s la malla es equdstate, es decr las separacoes etre todos los odos so las msmas e guales a h. E este caso x = x h, y f x, 1,,, N (.14) Para N valores de la fucó e N odos se puede defr N-1 dferecas ftas de prmera orde: y y y, y y y,, y y y, y y y, 1,,, N 1 (.15a) 1 1 N1 N N1 1

5 Smlarmete se defe N- dferecas ftas de seguda orde y1 y y1 y y y1, y y y y4 y y,, yn yn yn 1 yn y y y y y y, 1,,, N 1 1 (.15b) De la maera smlar se defe las dferecas ftas de sguetes órdees, tercera, cuarta, etc., utlzado las relacoes de recurreca: 1 y y 1 y, 1,,, N 1, 1,,, N (.16) Para obteer ua formula compacta que relacoa ua dfereca fta de u orde arbtraro co los valores de la fucó e los odos troducremos u operador de traslacó T ˆ, que se defe a través de la sguete fórmula: ˆ, ˆ Tf x f x h f x T f x f x h f x (.17) 1 Utlzado esta defcó y el método de la duccó matemátca se puede demostrar la sguete relacó ua dfereca fta de u orde arbtraro co los valores de la fucó e los odos: ( 1) y 1 ( 1) ˆ y y y y T 1 y (.18) 1!! Aálogamete se obtee la expresó para el valor de la fucó y e cualquer odo co el úmero a través del valor de la fucó e el prmer odo y 1 y de los valores de las dferecas ftas 1 ( k=,1,,...,) correspodetes al prmer odo x 1 Sguo el procedmeto de la duccó matemátca y parto de la defcó de la dfereca fta del prmer orde y1 y y1 se deduce y y1 y1. Después parto desde la defcó de la dfereca fta de segudo orde y y y y y y y y se obtee k y y y y y. Sguo, este procedmeto se obtee la sguete formula geeral: ( 1) y1 y1 y1 y1 y1 (1 ) y1 (.19) 1!! Para la deduccó de la formula correspodete para la terpolacó e el caso de muchos odos equdstates hay que troducr la defcó de la poteca geeralzada: La expresó: x x 1 x x1 ( x x)( x x) ( x x) x x1 ( x x1 h)( x x1 h) x x1 ( 1) h Por defcó: 1 (.) 4 x x 1; x x x x ; x x x x ( x x h); x x x( x x h)( x x h); x x x x ( x x h)( x x h)( x x h) etc. Es evdete que para h= la defcó de poteca geeralzada cocde co la defcó de poteca ordara. La poteca geeralzada tee ua propedad muy mportate: La fórmula para su dfereca fta es muy parecda a la fórmula correspodete de la dervada de la poteca ordara; es decr: x x h x x 1 (.1) 1 1 Esta gualdad se deduce a partr de la defcó de la dfereca fta: x x 1 ( x x1 h) x x1 ( x x1 h) x x1 ( x x1 h)( x h) x x1 ( ) h x x1 ( x x1 h) x x1 ( 1) h x x ( x x h) x x ( ) h ( x x h) x x ( 1) h h x x Polomo terpolador para malla equdstate. Formula de Newto. La fórmula (.1) puede utlzarse para hallar el polomo terpolador sobre ua malla equdstate. Sguo al método propuesto por Newto, buscaremos u polomo terpolado de orde N-1 sobre ua malla equdstate (.14) e la forma:

6 P x a a x x a x x x x a x x x x x x a x x x x x x N N 1 1 N 1 Usado otacó de la poteca geeralzada escrbremos esta fórmula e ua forma más compacta: 1 N 1 P x a a x x a x x a x x a x x (.) N N1 1 Nuestra tarea cosste e ecotrar coefcetes a,,1,,, N 1del polomo (.) que satsface sguete codcoes: PN 1 x y, 1,,, N (.) Estas codcoes so equvaletes a otras codcoes escrtas e ua forma dferete: m m PN 1 x1 y1, m,1,,, N 1 (.4) Susttuyo x x1 obtee: a P x y P x y e (.) y teo e cueta que segú (.) y (.4) para m= N se N Para ecotrar el sguete coefcete a calcularemos la dfereca fta de prmer orde para el polomo (.) usado la detdad (.1) 1 N P N1 x a1h a x x1 h a x x1 N 1 an1 x x1 h P x y se Susttuyo e esta expresó x x1 N obtee a 1 y 1 1! h Ahora para ecotrar el sguete coefcete a calcularemos la dfereca fta de seguda orde para el polomo (.) usado la detdad (.1) 1 N P N1 x! ah a x x1 N 1 N an1 x x1 h Susttuyo e esta expresó x x1 se obtee a y 1! h Sguo este procedmeto sucesvamete se ecuetra todos los coefcetes del polomo: k a k y1 k! h, k,1,,, N 1,! 1, y1 y1 Falmete, susttuyo las expresoes ecotrados para los coefcetes e (.) se obtee la formula para polomo terpolador de Newto: N1 N 1 k y1 1 y1 y1 y1 N1 y1 k P N 1 x y1 x x1 x x1 x x1 x x1 x x1 1! h! h! h N 1 (.5)! h k k! h. Iterpolacó segmetara. y teo e cueta que segú (.4) para m=1 Hasta ahora, el foco de uestra dscusó ha sdo la terpolacó de ua fucó dada f sobre ua malla detro de e u tervalo [a, b], por u polomo e ese tervalo sea a través de la terpolacó de Lagrage o terpolacó de Newto, o usado otros tpos de fucoes de base. Cada ua de estas costruccoes fue de carácter global, e el setdo de que la aproxmacó se defe por la msma expresó e todo el tervalo [a, b]. Ua alteratva y la maera más flexble de aproxmar ua fucó f es dvdr el tervalo [a, b] global e ua sere de subtervalos locales y buscar ua aproxmacó a trozos por polomos de grado más bao. Tales aproxmacoes polómcas a trozos se llama la terpolacó segmetara. La terpolacó segmetara más smple puede realzarse a través de polomo terpolador de Newto (.5) de ordees N= y N= cosderado respectvamete subtervalos que cluye solamete dos odos de la malla e los extremos o subtervalos que cluye dos odos de la malla e los extremos y uo e el cetro. E el prmer caso s e la formula (.5) tomemos N se obtee la fórmula para terpolador leal detro del segmeto xk, xk1, k 1,,, N 1cosderado como el puto cal x xk, k 1,,, N 1: y k x xk P1 x yk x xk yk yk 1 yk (.6) 1! h h

7 Para realzar ua terpolacó segmetara leal e cualquer puto x detro del tervalo tervalo [a, b] k Iteger x a h. Aquí la calmete hay que defr el úmero k del segmeto a través de la relacó fucó ta fórmula se utlza sucesvamete c Fucto Polomo_Leal(a,h,ye,e,x) c Iterpolador leal para ua fucó e el puto x c defda ye() sobre la malla equdstate xe()=a+(-1)*h, =1,,,...,e c parámetros de etrada: co de tervalo a,dstaca etre odos h, c valores de fucó e odos ye(),úmero de odos e c parámetro de salda Polomo_Leal, valor de la fucó e el puto x dmeso ye(e) c ecotrar el úmero de segme to dode se ubca el puto x k=it((x-a)/h) c Cálculo de Iterpoolador leal xk=a+(k-1)*h Polomo_Leal=ye(k)+(ye(k+1)-ye(k))*(x-xk)/h retur Para N se obtee a partr de (.5) la fórmula para terpolador parabólco o cuadrátco: 1 yk yk x xk x xk x xk P 1 x yk x xk x xk yk yk 1 yk yk yk 1 yk (.7) 1! h! h h h c Fucto Polomo_Cuadratco (a,h,ye,e,x) c Iterpolador parabolco para ua fucó e el puto x c defda ye() sobre la malla equdstate xe()=a+(-1)*h, =1,,,...,e c parámetros de etrada: co de tervalo a,dstaca etre odos h, c valores de fucó e odos ye(),úmero de odos e c parámetro de salda Polomo_Cuadratco, valor de la fucó e el puto x dmeso ye(e) c ecotrar el úmero de segme to dode se ubca el puto x k=it((x-a)/h) c Cálculo de Iterpoolador leal xk=a+(k-1)*h xk1=xk+h Polomo_Cuadratco=ye(k)+(ye(k+1)-ye(k))*(x-xk)/h+(ye(k+)-*ye(k+1)-ye(k))*(x-xk)(x-xk1)/h** retur. Iterpolacó co sples cúbcos El método cosderado aterormete para realzar la terpolacó segmetara tee u defecto esecal relacoada co mposbldad e el marco de este método garatzar algua suavdad de la fucó cotrolada. S uo quere realzar ua terpolacó segmetara co ua suavdad de la fucó terpolador cotrolada e este cso se puede utlzar fucoes Sples. El térmo "sple" hace refereca a ua ampla clase de fucoes que so utlzadas e aplcacoes que requere la terpolacó de datos, o u suavzado de curvas. Los sples so utlzados para trabaar tato e ua como e varas dmesoes. Las fucoes para la terpolacó por sples ormalmete se determa como mmzadores de la aspereza sometdas a ua sere de restrccoes. E el subcampo matemátco del aálss umérco, u sple es ua curva defda e cada segmeto medate polomos. E los problemas de terpolacó, se utlza a meudo la terpolacó medate sples porque da lugar a resultados smlares requro solamete el uso de polomos de bao grado, evtado así las osclacoes, deseables e la mayoría de las aplcacoes, ecotradas al terpolar medate polomos de grado elevado. Para el auste de curvas, los sples se utlza para aproxmar formas complcadas. La smplcdad de la represetacó y la facldad de cómputo de los sples los hace populares para la represetacó de curvas e formátca, partcularmete e el terreo de los gráfcos por ordeador.

8 A cotuacó os referremos co el térmo "sple" a su versó restrgda e ua dmesó y polomal, que es la más comúmete utlzada. Volveremos a aalzar la terpolacó segmetara e térmos de fucó de sple (es decr, ua terpolacó co suavdad cotrolada). Icamos como sempre co ua terpolacó más smple: Iterpolacó Segmetara Leal Este es el caso más secllo. E él, vamos a terpolar ua fucó f(x) de la que se os da u úmero N de pares (x, f(x)) por los que trá que pasar uestra fucó polomal P(x). Esta sere de fucoes uestras va a ser leales, esto es, co grado 1: de la forma P(x) = ax + b. Defremos ua de estas fucoes por cada par de putos adyacetes, hasta u total de (N-1) fucoes, hacédolas pasar oblgatoramete por los putos que va a determarlas, es decr, la fucó P(x) será el couto de segmetos que ue odos cosecutvos; es por ello que uestra fucó será cotua e dchos putos, pero o dervable e geeral. Iterpolacó Segmetara Cuadrátca E este caso, los polomos P(x) a través de los que costrumos el Sple tee grado. Esto quere decr, que va a teer la forma P(x) = ax² + bx + c Como e la terpolacó segmetara leal, vamos a teer N-1 ecuacoes (dode N so los putos sobre los que se defe la fucó). La terpolacó cuadrátca os va a asegurar que la fucó que osotros geeremos a trozos co los dsttos P(x) va a ser cotua, ya que para sacar las codcoes que auste el polomo, vamos a determar cómo codcoes: Que las partes de la fucó a trozos P(x) pase por ese puto. Es decr, que las dos P(x) que rodea al f(x) que queremos aproxmar, sea gual a f(x) e cada uo de estos putos. Que la dervada e u puto sempre cocda para ambos "lados" de la fucó defda a trozos que pasa por tal puto comú. Esto s embargo o es sufcete, y ecestamos ua codcó más. Por qué?. Teemos cógtas por cada P(x). E u caso secllo co f(x) defda e tres putos y dos ecuacoes P(x) para aproxmarla, vamos a teer ses cógtas e total. Para resolver esto ecestaríamos ses ecuacoes, pero vamos a teer ta sólo cco: cuatro que guala el P(x) co el valor de f(x) e ese puto (dos por cada tervalo), y la quta al gualar la dervada e el puto comú a las dos P(x). Se ecesta ua sexta ecuacó, de dóde se extrae? Esto suele hacerse co el valor de la dervada e algú puto, al que se fuerza uo de los P(x). Iterpolacó Segmetara Cúbca E este caso, cada polomo P(x) a través del que costrumos los Sples e [m,] tee grado. Esto quere decr, que va a teer la forma P(x) = ax³ + bx² + cx + d E este caso vamos a teer cuatro varables por cada tervalo (a,b,c,d), y ua ueva codcó para cada puto comú a dos tervalos, respecto a la dervada seguda: Que las partes de la fucó a trozos P(x) pase por ese puto. Es decr, que las dos P(x) que rodea al f(x) que queremos aproxmar, sea gual a f(x) e cada uo de estos putos. Que la dervada e u puto sempre cocda para ambos "lados" de la fucó defda a trozos que pasa por tal puto comú. Que la dervada seguda e u puto sempre cocda para ambos "lados" de la fucó defda a trozos que pasa por tal puto comú. Como puede deducrse al compararlo co el caso de sples cuadrátcos, ahora o os va a faltar ua so dos ecuacoes (codcoes) para el úmero de cógtas que teemos. La forma de solucoar esto, determa el carácter de los sples cúbcos. Así, podemos usar: Sples cúbcos aturales: La forma más típca. La dervada seguda de P se hace para el prmer y últmo puto sobre el que está defdo el couto de Sples, esto so, los putos m y e el tervalo [m,]. Dar los valores de la dervada seguda de m y de forma "maual", e el couto de sples defdos e el tervalo [m,]. Hacer guales los valores de la dervada seguda de m y e el couto de sples defdos e el tervalo [m,] Sples cúbcos suetos: La dervada prmera de P debe teer el msmo valor que las dervada prmera de la fucó para el prmer y últmo puto sobre el que está defdo el couto de Sples, esto so, los putos m y e el tervalo [m,].

9 B (x)..1 Fucoes B-sple cúbcas. E el subcampo matemátco de aálss umérco, ua B-sple es ua fucó sple que tee el mímo apoyo co respecto a u determado grado, suavdad y partcó del domo. U teorema fudametal establece que cada fucó sple de u determado grado, suavdad y partcó del domo, se puede represetar como ua combacó leal de B-sples del msmo grado y suavdad, y sobre la msma partcó El térmo B-sple fue acuñado por Isaac Jacob Schoeberg y es la abrevatura de sple básca. Las B-sples puede ser evaluadas de ua maera umércamete estable por el algortmo de Boor. E el subcampo de la formátca de dseño asstdo por computadora y de gráfcos por computadora, el térmo B-sple se refere co frecueca a ua curva sple paramétrca por fucoes sple que se expresa como combacoes leales de B-sples (e el setdo matemátco ateror). Fucó B-sple cúbca se defe a través de la fórmula: x ; 1 x ; 6 1 x x ; 1 x x ; 1 x ; 6 ; x x 1 1 x B (.7) x 1 1 x x El grafco de esta fucó se preseta e la Fg.1,6 /,4, 1/6 1/6, x Las propedades de B-Sples cúbcas: Fg.1 Gráfco de B-Sple cúbco 1) La fucó B (x) y sus dos prmeras dervadas so cotuas, es decr B x C, ) La fucó B (x) se dfere del cero solo detro del tervalo (-,) ) La fucó B (x) esta cosda co cuatro dferetes polomos cúbcos e los putos x = -1, x = y x = 1 de tal maera que la msma fucó y sus dos prmeras dervadas e estos putos so cotuas. 4) E los putos x B '' x so guales a cero. x la fucó B (x) y sus dervadas B ' y 5) Valores de la fucó e los putos de coser so: B y B ) El área bao de la fucó B (x) es gual a uo, es decr B xdx 1 El subprograma que realza el cálculo de la fucó B-Sple e FORTRAN se preseta a cotuacó: fucto Bspl(x)

10 B(x,,1) Bspl=. f(x.lt.-1..ad.x.gt.-.) the Bspl=(x+)**/6. else f(x.lt...ad.x.gt.-1.) the Bspl= *x**-x** else f(x.lt.1..ad.x.gt..) the Bspl= *x**-x** else f(x.lt...ad.x.gt.1.) the Bspl=(.-x)**/6. f retur Las fucoes Bx,x,h defdas sobre ua malla equdstate x x h 1, 1,,,... B x,x,h B x x h como m (.8) se utlza e adelate como las fucoes de base para resolver problemas de terpolacó y aproxmacó. Estas fucoes se dfere del cero detro del tervalo x x h,x h 1,,8 = = = =1 =5,6,4,, X x x h Fg. Gráfcos de las fucoes de base Propedades de las fucoes de base: x 1) Bx,x,h B B x h B x,x,h B co x = y h = 1, = 1,,,4,5 ; (.9) ) La matrz Bˆ co los elemetos Bˆ Bx,x,h B Bˆ 1 ; Bˆ 1 ; Bˆ para 1 6 es ua matrz smétrca y de tres dagoales

11 Bˆ (.) x h ) El área bao de la fucó B(x, x, h) es gual a h, es decr Bx,x hdx h x h.. Iterpolacó de fucoes de ua varable usado B-Sples cúbcas Supogamos que está dados los valores y de ua fucó y = f(x) cógta sobre ua malla ecotraremos la aproxmacó para esta fucó e x, x a,b, x a h 1, 1,,,..., y f ua forma de combacó leal de B-Sples cúbcas: f x Sx C Bx,x,h 1 ; Esta aproxmacó se realza por medo de la sguete subrouta e FORTRAN: c Fucó terpolate B-Sple, que defe valor aproxmada e u puto x arbtraro c de la fucó defda sobre la malla equdstate xexp(), =1,,..., co el paso h fucto FBspl(x,xexp,,h,C) dmeso xexp(),c() S=. do =1, y=(x-xexp())/h S=S+C()*Bspl(y) FBspl=S retur (.1) Los coefcetes C puede ser ecotrados utlzado la codcó de que las fucoes S(x) y f(x) debe cocdr por lo meos e los putos de la malla, es decr: y S dode x y C Bx,x,h 1 ; Y Bˆ C (.) Y y C so vectores y B es la matrz cuadrada del orde. La matrz B tee la estructura (1.4), los elemetos del vector Y so los valores dados de la fucó e los odos de la malla y del vector C so los coefcetes e la combacó leal (.) Para ecotrar los coefcetes segú (.) hay que hallar la matrz versa para B y multplcarla al vector Y : 1 C Bˆ Y (.) Sguete subrouta e FORTRAN realza el cálculo de los coefcetes C : c Subprograma de cálculo de los coefcetes C(), =1,,,.., para la fucó terpolate c a través de B-Sples cúbcas para ua fucó cuyos valores e los odos de la malla so yexp()

12 subroute coef(,yexp,c) c Arreglos ecesaros para realzar cálculo: b para guardar matrz B y la versa, L y M vectores c Tamaño del arreglo b o debe ser meor que x, tamaños de L y M o meor que. E el c eemplo a cotuacó puede realzarse cálculos pa las mallas co el úmero de odos c o superor que 1 dmeso B(1),L(1),M(1),c(),yexp() c Defcó de la matrz B k= do =1, do =1, k=k+1 B(k)=. f(.eq.) B(k)=./. f(.lt..ad..eq.+1) B(k)=1./6. f(.gt.1.ad..eq.-1) B(k)=1./6. c Iversó de la matrz B CALL MINV(B,N,D,L,M) c Cálculo de los coefcets C() k= do =1, a=. do =1, k=k+1 a=a+b(k)*yexp() C()=a retur A cotuacó presetamos el texto del programa prcpal del programa que calcula la fucó terpolate para famosa fucó de Ruge 1 f x 1 5x la cual fue utlzada para lustrar los defectos de la terpolacó polomal: $debug c p úmero de los putos para grafcar, exp el úmero de los odos de la malla parameter (p=) parameter (exp=11) c c MAIN PROGRAM character*1 ame real xp(p),yp(p),xexp(exp),yexp(exp),c(exp) c Fucó de Ruge fu(x)=1./(1.+5.*x*x) c Preparacó de los archvos para guardar los resultados del cálculo wrte(*,*)' Teclee el ttulo del archvo para salvar tabla' read(*,'(a)') ame ope(1,fle=ame) wrte(*,*)' Teclee el ttulo del archvo para salvar' wrte(*,*)' el grafco co exteso.pcx ' read(*,'(a)') ame c Extremos del tervalo para aalzar la fucó xm=-1.5 xmax=1.5

13 c el paso etre los odos h=(xmax-xm)/(exp-1.) c Malla y valores de la fucó de Ruge e los odos de la malla do =1,exp xexp()=xm+h*(-1) xx=xexp() yexp()=fu(xx) c Cálculo de los cofcetes C() call coef(exp,yexp,c) c Calcular los valores aproxmados de la fucó e p putos usado B-sples eps=.5 h1=(xmax-xm)-*eps)/(p-1) do =1,p x =xm+eps+h1*(-1) xp()=x yp()=fbspl(x,xexp,nexp,h,c) c Guardar los resultados de cálculo e el archvo wrte(1,*) xp(),yp() close(1) c Ico del proceso de Grafcacó c Calculo xmax,xm,ym, ymax xm=xp(1) xmax=xp(1) ym=yp(1) ymax=yp(1) do =1,p f(xp().lt.xm) xm=xp() f(xp().gt.xmax) xmax=xp() f(yp().lt.ym) ym=yp() f(yp().gt.ymax) ymax=yp() ym=ym-.1 c Regme grafco CALL GRINIT c Paga CALL PAGE(.,.,'GRAF',4,) c Mappg call lmts(xm,xmax,ym,ymax) CALL REGION(8.,8.,18.,1.,,,) c Color CALL SETPEN(4) c Ees call axes(,,.,,,,.,,) c color del grafco call setpe(1) c Grafcar los putos calculados a través de B-Sples call lum(xp,yp,p) c Grafcar co markers los valores exactos de fucó de Ruge e los odos de la malla call setpe() do =1,exp xe=8.+(xexp()-xm)/(xmax-xm)*18. ye=8.+(yexp()-ym)/(ymax-ym)*1. call move(xe,ye,) call marker(1) c salvar del grafco call wrpcx(16#a,ame)

14 c Salr del regme grafco CALL ENDPG() CALL MODA() stop Para comparar los resultados obtos a través B-Sple terpolacó co la terpolacó polomal usado por eemplo la formula de Lagrage se puede utlzar el programa smlar a ateror que preseta a cotuacó $debug parameter (p=1) parameter (exp=11) c c MAIN PROGRAM character*1 ame real xp(p),yp(p),xexp(exp),yexp(exp) fu(x)=1./(1.+5.*x*x) wrte(*,*)' Teclee el ttulo del archvo para salvar tabla' read(*,'(a)') ame ope(1,fle=ame) xm=-1. xmax=1. h=(xmax-xm)/(exp-1.) do =1,exp xexp()=xm+h*(-1) xx=xexp() call radom(eps) yexp()=fu(xx)+.*(eps-.5) h1=(xmax-xm)/(p-1) do =1,p x =xm+h1*(-1) xp()=x yp()=fu_lagrge(xexp,yexp,exp,x) yexact=fu(x) wrte(1,*) xp(),yp(),yexact do =1,exp wrte(1,*) xexp(),yexp() close(1) stop c Fucto Fu_lagrge(xe,ye,e,x) c Fucó de terpolacó de Lagrage para ua fucó c defda ye() sobre la malla xe(), =1,,,...,e dmeso xe(e),ye(e) s=. do =1,e p=1. do =1,e f(.e.) p=p*(x-xe())/(xe()-xe()) s=s+p*ye() Fu_lagrge=s retur

15 Los resultados obtos co estos dos programas se puede comparar de la Fg.1., Y B-Sple Iterpolacó Iterpolacó Polomal y=1./(1+5*x ) =11 1,5 1,,5, -1, -,5,,5 1, X Fg. Resultados de terpolacó de la fucó Ruge a través de B-sple y polomos usado la malla co 11odos B-Sple Iterpolacó Iterpolacó Polomal 1, Y y=exp(-x ) 1,,8 =11,6,4,, , X Fg. 4 Resultados de terpolacó de la fucó de Gauss a través de B-sple y polomos usado la malla co 11odos Los gráfcos presetados o ecesta gú cometaro para explcar las vetaas que tee la terpolacó a través de B-Sples cúbcas comparado co la terpolacó polomal.