Métodos Numéricos Cap 4: Solución de Sistemas de Ecuaciones lineales y no lineales 1/14

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1 étodos Numéros Cp 4: Soluó de Sstems de Euoes leles o leles /4 Represetó mtrl pr sstems de euoes Resoluó de Sstems de euoes leles o leles U úmero α se de ríz o ero de l euó () s (α) Los métodos uméros pr eotrr u ríz de u euó () geerrá u suesó { } tl que: lm α El sstem de euoes está ormdo por u outo de euoes del tpo ( ) pr F [ ] [ ] U vetor Α se de soluó de u sstem de euoes F() s F(Α) Los métodos uméros pr eotrr l soluó de u sstem de euoes F() geerrá u suesó { } tl que: lm Α Crteros de promó pr sstems de euoes er Crtero Pr u euó Ddo u úmero ε > deudmete pequeño que llmremos toler podemos esoger omo promó l ríz α u térmo de l suesó meod dode es el meor etero postvo que stse: do Crtero El térmo de l suesó meod puede ser osderdo u promó l ríz dode es el meor etero postvo que umple l odó U orm vetorl es u uó : R R / Y R α R ) ) α α ) Y Y Norms vetorles ) Lormeuld( oorm) orm() ó orm() ) Lormsum( oorm) orm() ) Lormdelm mo( oorm ) m orm() ( ) < ε - < ε E sstems F [ ] [ ] F() < ε - < ε ) Dst sod o l orm euld ) Dst sod o l orm sum ) Dst sod o l orm del mámo Y Y Y ( ) m Últm tulzó: /4/

2 étodos Numéros Cp 4: Soluó de Sstems de Euoes leles o leles /4 Norms mtrles U orm mtrl es u uó : R R / AB R α R ) A A ) αa α A ) AB A B v) AB A B ) A Norm mtrl dud por l orrespodete orm vetorl A m A ) A m A ) A m A A R A m s s A orm(a) A m orm(a) m Sstem de euoes o leles Pr resolver sstems de euoes o leles se puede plr los métodos bertos pldos l resoluó de euoes o leles Puto o Newto-Rphso Sedo eesro her u trsormó vrbles vetorzds g Sstem de euoes o leles Co puto o () g() Pr u sstem de euoes o leles F [ ] [ ] G [g g g] g () g () g () F() G() () G( () ) Codó de overge g g L g g g K < L K < E geerl este u úo puto o s: pr K < g K ( ) K ( ) ( ) K Teorem del puto o pr sstems S g() es u uó otu e [ b] g() [ b] pr todo [ b] etoes g() tee por lo meos u puto o e [ b] S D{( ) R / b } g () otus G() D pr todo D etoes G() tee por lo meos u puto o e D S demás g () este pr todo [ b] g () K < pr todo [ b] K ostte etoes g() tee u úo puto o α e [ b] dg ( ) S demás este ls dervds prles otus e D d dg ( ) K pr todo D etoes G() tee u úo puto d o Α e D Últm tulzó: /4/

3 étodos Numéros Cp 4: Soluó de Sstems de Euoes leles o leles /4 - Eemplo - Eemplo Puto Fo S D{( ) R / b } g () otus G() D pr todo D etoes G() tee por lo meos u puto o e D - sqrt(- ) - sqrt( -) G [ - - ] ( ) D [-] G R pr todo D ( ) - g ( ) sqrt(- ) ( ) - g ( ) - - sqrt( ) - o overge [ - ] G ( ) D [ ] G D pr todo D ( ) - g ( ) ( ) - g ( ) o overge Eemplo Puto Fo - () () - - ( ) - ( ) - g( ) - g( ) - - F - [ ] [ - - ] G Eemplo Puto Fo (ot) () - g() - G - () - g () dg /d d('sqrt(-^)' ') dg /d -/(-^)^(/) dg /d d('sqrt(^)' ') dg /d /(^)^(/) dg /d d('sqrt(-^)''') dg /d -/(-^)^(/) dg /d d('sqrt(-^)' ') dg /d Alzdo e - dg /d dg /d R e [-] dg /d dg /d < e [-77] dg /d d('sqrt(^-)''') dg /d /(^-)^(/) dg /d d('sqrt(^-)' ') dg /d Alzdo e - dg /d dg /d R e [-] dg /d dg /d > e [--] [] o overge dg /d d('sqrt(-^)' ') dg /d Alzdo e - dg /d dg /d R ó > dg /d d('sqrt(^)' ') dg /d Alzdo e - dg /d dg /d < o overge Últm tulzó: /4/

4 étodos Numéros Cp 4: Soluó de Sstems de Euoes leles o leles 4/4 Eemplo Puto Fo Eemplo Puto Fo (ot) ( ) g( ) ( ) g ( ) dg /dd('(^^)/''') dg /d / á pr dg /d / Pr 7 G() D pr todo D etoes G() tee por lo meos u puto o e D >> ezplot('^-^'[-]) >> ezplot('^-'[-]) dg /dd('(^^)/''') dg /d / dg /dd('(^)/''') dg /d /^/ (^)/ dg /dd('(^)/''') dg /d / dg /d / dg /d (^)/ dg /d / 4 g ( ) K 9 overge >> [] >> [(()^()^)/ (()()^())/] 6 >> [(()^()^)/ (()()^())/] >> [(()^()^)/ (()()^())/] Sstem de euoes o leles Co Newto ( ) / ( ) >> [(()^()^)/ (()()^())/] >> [(()^()^)/ (()()^())/] >> [(()^()^)/ (()()^())/] >> [(()^()^)/ (()()^())/] >> [(()^()^)/ (()()^())/] >> [(()^()^)/ (()()^())/] >> [(()^()^)/ (()()^())/] Pr u sstem de euoes o leles F() F() [ () () ()] [ ] J - (F( ) ) F( ) Co J (F( ) ) Como hllr e tlb el obo (toolbo smbol) sms vr vr Job ([][vrvr]): J(F ) Últm tulzó: /4/

5 étodos Numéros Cp 4: Soluó de Sstems de Euoes leles o leles /4 Últm tulzó: /4/ Eemplo Newto [] F () - F () - - J - (F( ) ) F( ) J Eemplo Newto ) ( ) ( J ) ( ) ( ) ( ) ( J sms >>F[^-^;^-] F ^-^ ^- >> [;] >> N-ob(F)\F % o N-F/ob(F) o F vetor l N -(-4^7--^^-^)/(-^-^--) -/(-^-6-9^^^-^4)/(-^-^--) >> subs(n[;][;]) >> subs(n[;]) >> subs(n[;]) Eemplo Newto Empledo tlb ) ( ) ( - J Z Z Z étodo Newto smpldo Eemplo J - (F( ) ) F( ) - J - (F( ) ) F( ) J (F( ) ) ( - ) F( ) S Z ( - ) J (F( ) ) Z F( ) o Z < ε Se evt vertr el Jobo e d teró

6 étodos Numéros Cp 4: Soluó de Sstems de Euoes leles o leles 6/4 Dultdes e l soluó de sstems de euoes o leles No es ál eotrr bueos vlores les Cooer el problem No es posble grr superes multdmesoles (>) Reduó de euoes Prtó del sstem de euoes F() S Soluó umér de sstems de euoes leles U sstem de euoes o oeetes reles e ls -ógts de l orm: ( K ) ( K ) ( K ) ( K ) F( ) R ( K ) o b osttes R se de sstem lel K etoes es u soluó rel del sstem b U sstem de -euoes leles puede esrbrse e l orm: K b K b o K ó e l orm mtrl equvlete A B o: A b b R L b L b B L b A es l mtrz de oeetes del sstem el vetor olum es el vetor de ógts B es el vetor de térmos depedetes Sstems o soluó ú Cosderremos úmete sstems de euoes leles A b o A R que teg soluó ú pr d vetor b R es der o A vertble ba - tlb trodue u otó prtulr mplemetdo los operdores \ / L soluó u sstem es epresd omo: A\b (o b vetor olum) equvlete v(a)b ó b/a (o b vetor l) equvlete bv(a) Emple elmó Guss Últm tulzó: /4/

7 étodos Numéros Cp 4: Soluó de Sstems de Euoes leles o leles 7/4 Sstems s soluó ú S det o mpl que l mtrz sgulr puede depeder de los oeetes de l mtrz Se ul el determte mtrz sgulr o versble E tlb: det(a) s b/a Wrg: tr s sgulr to worg preso étodos dretos Los métodos dretos os proporo u soluó del sstem e u úmero to de psos S usmos rtmét t pr los álulos obtedremos por lo geerl u soluó promd debdo úmete los errores de redodeo puesto que o h errores de trumeto o de órmul Los métodos dretos más usdos tee omo bse l elmó de Guss Susttuó S l mtrz A es trgulr (superor o eror) o tods sus ompoetes sobre l dgol prpl o-uls K K O L b b b Este método se deom susttuó reversv regresv o h trás (Apro operoes) Como se puede desper de l últm euó obteemos: b b m m m m m mm S A es trgulr eror se despe de l prmer euó E este so se deom susttuó progresv o h delte Trsormoes elemetles trz mpld [ A B] L b b Operoes que produe sstems equvletes: termbo: E el orde de ls euoes (ls) o lter el resultdo E el orde de ls vrbles (olums) lter el orde de ls vrbles e el resultdo Esldo: Produto de l euó por ostte o ul Susttuó: Sum de l euó más múltplo de otr euó: E r E r E q L L Últm tulzó: /4/

8 étodos Numéros Cp 4: Soluó de Sstems de Euoes leles o leles /4 Elmó de Guss S l mtrz A o es trgulr puede overtrse medte el método de elmó Guss El sstem A B tee l orm: E : E : E : E : E E E E () () () () : : : : O O K K L K K L b b b b b b Se elm el oeete de e d u de ls euoes E E E pr obteer u sstem equvlete A () B ( ) relzdo ls trsormoes elemetles ( E E E ) Pvoteo Luego se elm el oeete de e ls euoes E E 4 Y sí suesvmete hst elmr el oeete de - E geerl: multpldor ( ) ( ) E E E ( ) pvote S lgú se debe termbr ls s el termbo de ls dsmue el error Eemplo E: 7 7 (Operoes promds:/ / - /6 ) E: E: - 6 E 7 7 E 6 4 E 6 trz mpld [A B] E E E () E E () () E Eemplo (ot): () () () () E ' () E ' () E ' () E ' 7 () E ' () E ' Pvote E 7 6 E () () E ( /) E E E 7 E 6 E E (/) E () E () (/ ) E termbo de ls () () () E ' E ' ( / ) E ' () El oeete de es el pvote los multpldores Pvote ultpldor ()() - (-7)(-) 7 L ultpldores 4 Ftorzó LU U 7 L otee los multpldores utlzdos e l elmó U l mtrz l de oeetes P desrbe ls permutoes LU PA Sedo b u uevo térmo depedete A b PA P b LU P b U L - P b L P b Pvotes 6 P Los psos segur so: Pso Clulr P b Pso Resolver e L P b por susttuó progresv Pso Resolver e U por susttuó regresv Últm tulzó: /4/

9 étodos Numéros Cp 4: Soluó de Sstems de Euoes leles o leles 9/4 er Eemplo E 7 E 6 E L Eemplo LU do Eemplo o térmos depedetes mbdos U 9 4 { { P b { U L E 7 E 6 E 7 6 P 9 6 LPb U (9 7 6) / 9 6 ( 4) / 7 / 6 4 Csos prtulres S A es u mtrz trdgol EDD por ls podemos usr elmó Guss smple pr resolver el sstem O resolverlo prtr de l torzó dret A LU d d A O O L L L L L α d L α L γ L α L γ α d O γ O O O O O O L U α d γ O O O O O O O O O O d L γ O α L d L L γ L L α S A es u mtrz rel smétr ded postv (pvotes postvos) etoes A tee u ú torzó de l orm A LL T Est torzó se ooe omo torzó de Choles A Otrs posblddes prtr del método de elmó de Guss Elmó de Jord: Se geer u mtrz dgol pr elmr l susttuó Se elm elemetos rrb bo del pvote versó de mtres: A prtr de [A B] o B mtrz detdd pldo Jord esldo se obtee [ B ] o B vers de A Determte: A prtr de l mtrz trguld det(a)(-) r Π o r ro termbos de ls Ftorzó LU: Permte reservr los prámetros de l elmó de Guss pr ser pldos e l resoluó de sstems o gul mtrz A Fuoes ATLAB [LUP] LU(A) Dode A puede ser u mtrz retgulr L es l mtrz trgulr eror de LU o elemetos e l dgol U es l mtrz trgulr superor de LU P es l mtrz de permutoes tl que PA LU U\(L\b) R CHOL() Ftorzó Choles AR R R\(R \b) Últm tulzó: /4/

10 étodos Numéros Cp 4: Soluó de Sstems de Euoes leles o leles /4 tres rls Ls mtres sods o los sstems de euoes leles se ls e dess rls (sprse) Ls mtres dess tee poos elemetos ulos su orde es reltvmete pequeño ( ) Pr resolver sstems o mtres dess puede ser utlzdos los métodos dretos Ls mtres rls tee poos elemetos o ulos surge por eemplo l resolver euoes dereles por métodos de deres ts; su orde puede ser mu grde Pr resolver sstems o mtres rls so reomeddos los métodos tertvos tlb de todos modos posee uoes pr trbr o mtres rls (osderds u tpo de dto) prtulrmete pr resolver sstems de euoes o métodos dretos ( lu hol ) 4 Codometo del Sstem -/ -// / - 4 S soluó soluoes 4 -/ -/ 4 -/ 4 Soluó ú Be ododo l ododo Codometo del sstem S es soluó et de u sstem lel A b A vertble b ~ es u soluó promd de dho sstem e ~ - es el vetor error de (desoodo) R A ~ b es el vetor error resdul mde hst dóde l soluó promd ~ stse el sstem S R ~ e ~ tl que A ~ R b ~ es soluó de u perturbó del sstem A b S R "pequeño" e tmbé "pequeño? Eemplos: Sstems ml ododos ) Perturbdo e pro % u oeete ~ Cmbo reltvo de pro el %e l soluó e ~ ) ~ e U perturbó de pro % e el térmo depedete muestr u mbo reltvo promdo de 66% e el vlor de Últm tulzó: /4/

11 étodos Numéros Cp 4: Soluó de Sstems de Euoes leles o leles /4 Eemplos (ot): Error resdul ) R A e ) R e ~ m b ( ) R m( ) 4 ~ A b 9 7 m ( 4 97 ) 97 R m ( ) El error e l soluó es grde el error resdul es pequeño R e Se puede probr que: pequeño pequeño b ~ s se stse l odó A A Número de Codó El úmero resultte de A A - se llm Número de Codó (Cod(A)) de l mtrz o-sgulr A reltvo u orm mtrl Cod (A) ulquer se l orm mtrl dud AA A A m S Cod (A) A está be odod (el sstem A b está be ododo) S Cod (A) >> A está ml odod es posble que A teg u ml omportmeto e el setdo que u error resdul reltvo pequeño puede orrespoder u soluó promd ml (el sstem A b está ml ododo) m Cot del error reltvo étodos dretos Ddo u sstem A b s δa δb deot perturboes e A b respetvmete se puede estbleer u ot pr el error reltvo e térmos de ls perturboes reltvs l odó de A S es l soluó et de A b ~ es l soluó et del sstem perturbdo (AδA) ~ b δb S A es o-sgulr δa < (lo que segur que A δa es vertble) A od( A) δa > A ~ Cod( A) δb δa δa b A Cod( A) A E los métodos tertvos o dretos se prte de u promó l l soluó del sstem ddo se geer prtr de dh promó u suesó de vetores { } que deberí overger l soluó del sstem Además de los errores de redodeo s se us rtmét t hbrá errores de trumeto o de órmul Los métodos tertvos más smples oodos está bsdos e teroes de Puto Fo Últm tulzó: /4/

12 étodos Numéros Cp 4: Soluó de Sstems de Euoes leles o leles /4 étodo Job Ddo u sstem A b dode A o-sgulr se puede trsormr e u sstem equvlete B pr lgu mtrz B J (mtrz de teró de Job) lgú vetor K b G() b K K b b K b K K b Coeetes de B J b b B o Coeetes de ) ) ) ( ) R ( ) () () b ( ) A Fórmul de teró del etodo Job ( ) ( ) ( ) b < ε < ε ( ) Crteros de promó < ε Se ostrue etoes l suesó de vetores { () } prtr de l órmul de teró () G( () ) B () C se esper que "over" l ú soluó del sstem ) ) Cots pr error de trumeto - - () () ) - () B B B B B - () () () - () - () o B < Coverge étodo Job B < s A es EDD el método Job overge u ú soluó U mtrz es Estrtmete Dgolmete Domte s S B o se puede segurr l overge se debe estudr el rdo espetrl ρ(b) det(b-λ) euó rteríst de B ρ(b) m(ríes de l e Crteríst) s ρ(b) el método dverge s ρ(b) < el método overge B depede de l reubó de ls ls > 4 Eemplo método Job No es EDD { { BJ B 4 > Rdo espetrl ρ(b J ) de l mtrz de teró B J r_espe m(bs(eg(b))) ó El método Job o overge Verr termbdo ls 4 r_espe m(bs(roots(pol(b)))) λ λ det(bj - λ) λ λ λ λ 49 λ 494 λ ρ( BG ) m > { } Últm tulzó: /4/

13 étodos Numéros Cp 4: Soluó de Sstems de Euoes leles o leles /4 Job-termbdo ls Job Soluó l e 4 4 { { BJ No es EDD B J / > o se puede segurr l overge por lo tto debemos eotrr el rdo espetrl ρ(b J ) L euó rteríst es λ λ 9 9 λ 696 us ríes so ρ(b ) J λ λ { } { } 696 < De uerdo l álss de overge el método tertvo de Job overge u ú soluó ulquer se l promó l () terdo o el método de Job tomdo omo promó l () [] usdo omo rtero de promó () (-) < Obteemos: () [- ] () [ ] () [ ] (6) [ ] Como 6 es el prmer etero postvo pr el ul () (-) < (6) es soluó l problem Fórmul vetorl de teró del etodo Job L mtrz A puede desompoerse omo: A D LU Dode D es l mtrz dgol de A (dg(dg(a))) L es l mtrz trgulr estrtmete eror de A (trl(a-)) U es l mtrz trgulr estrtmete superor de A (tru(a)) Etoes: A b (D L U) b D (LU) b D -(L U) b -D - (L U) D - b B () -D - (L U) (-) D - b [B ] B [ -dg(/dg(a))(trl(a-)tru(a)) dg(/dg(a))b ] B [-dg(/dg(a))(trl(a-)tru(a))dg(/dg(a))b ] Co b vetores olum étodo Guss-Sedel U meor del lgortmo de Job es obteer () utlzdo ls () () - () lulds que so meores promoes l soluó et A prtr de u vlor l [ () () - () ] E geerl pr er teró: E geerl: () () () b b b ( ) El álss de overge ode o Job uque suele overger más rápdo L mtrz B J o es l msm que B GS ( ) ( ) ( ) () b ( ) ( ) () b ( ) ( ) Últm tulzó: /4/

14 étodos Numéros Cp 4: Soluó de Sstems de Euoes leles o leles 4/4 4 Eemplo método Guss-Sedel 9 4 { { BG () () () () () 4 B G > 9 9 ρ( BG ) m > Etoes el método dverge E este so omo l mtrz B G es trgulr los utovlores so los elemetos de l dgol () () () () 4 9 () () GS-termbdo ls { { Como B G > o podemos segurr l overge Pero ρ(b G ) {//9} < etoes el método de Guss-Sedel overge l ú soluó del sstem ddo ulquer se l promó l () [ ] es soluó l problem BG Fórmul vetorl de teró del etodo Guss-Sedel Vets étodos tertvos Desvets () () b () () () ( ) b (D L) () -U (-) b () (D L) - (-U) (-) (D L) - b o B [B ] B[trl(A)^--tru(A) (trl(a))^-b ] B [trl(a)^--tru(a)(trl(a))^-b ] ás eetes que los dretos pr sstems de orde mu lto ás smples de progrmr Puede eotrrse promoes l soluó So meos sesbles los errores de redodeo (mportte e sst ml ododos) S se tee vros sstems que omprte l msm mtrz de oeetes por d uo h que plr el método Auque l overge esté segurd puede ser let (E Guss o es predeble) No se obtee det(a) A - Últm tulzó: /4/