CONTENIDO 1. TEORIA DE LA UTILIDAD...3

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1 3 CONTENIDO. TEORIA DE LA UTILIDAD INTRODUCCION RELACIÓN BINARIA, PROPIEDADES Y TIPOS TEORIA DE LA UTILIDAD AXIOMATICA DE LUCE Y RAIFFA CONCEPTOS PREVIOS AXIOMÁTICA DEFINICIÓN DE LA FUNCIÓN DE UTILIDAD QUE SE DEDUCE DE LA AXIOMÁTICA DE LUCE Y RAIFFA 0.5 ACTITUD DEL DECISOR FRENTE AL RIESGO AVERSIÓN FRENTE AL RIESGO PREFERENCIA POR EL RIESGO FORMA DE LA FUNCIÓN DE UTILIDAD: NEUTRALIDAD FRENTE AL RIESGO CRITERIO DE EFICIENCIA FUNCIÓN DE UTILIDAD APROXIMACIÓN MEDIA-VARIANZA...4

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3 2. TEORIA DE LA UTILIDAD INTRODUCCION La teoría de la utldad se egloba detro de la teoría de la decsó y su característca esecal es que toma decsoes e utldad se realza desde u efoque axomátco. U proceso de decsó trata de resolver la ambgüedad exstete e u couto de alteratvas, revelado la estructura de preferecas que, se supoe, exste e u couto de alteratvas. Para ello es precso costrur ua escala de preferecas e la que se revela la estructura de preferecas que subyace e el couto de alteratvas. Esta escala de preferecas debe permtr la comparacó etre las dsttas alteratvas. Así, deberemos ecotrar las alteratvas propedades susceptbles de ser meddas para troducr e ellas escalas de medda, co el f de averguar qué valores umércos represeta tales propedades, de maera que la comparacó de alteratvas quede reducda a ua comparacó de úmeros reales. Hay muchas formas de costrur escalas de prefereca, lo que costtuye las dsttas metodologías o racoaldades de la Teoría de la Utldad. Ua de las formas es costrur ua fucó umérca que traduzca la estructura de preorde completo, que se supoe como hpótess básca, subyacete e el couto de alteratvas. Ahora be, como o toda fucó real e el couto de alteratvas es válda, habrá que exgrle ua sere de codcoes. Así, la teoría de la utldad es la parte de la teoría de la decsó que postula, medate ua sere de axomas el comportameto del decsor. Dchos axomas permte defr ua fucó umérca que revela la estructura de preferecas del couto de alteratvas. Esta fucó recbe el ombre de fucó de Utldad. Los dsttos coutos de axomas que podemos establecer orga las dsttas axomátcas de la utldad. E la fucó del etoro del problema, se dstgue axomátcas de utldad e ambete de certeza, resgo e certdumbre. Sempre que el comportameto de u decsor se adapte a ua de las axomátcas propuestas dremos que es racoal co esa axomátca. Cada decsor podrá propoer su propa axomátca, auque osotros estudaremos ua úca axomátca e ambete de resgo que es la de Luce y Raffa. 3

4 .2 RELACIÓN BINARIA, PROPIEDADES Y TIPOS Sea X u couto. Decmos que R es ua relacó bara e X s R es u couto de pares cludo e el producto cartesao de X por X, es decr, R X X 5 54 S el par ( xy R,, ) dremos que el elemeto x esta relacoado co el elemeto y, y otaremos por xr y Ua relacó bara R defda e u couto X puede cumplr ua sere de propedades, etre las que destacamos: Propedad reflexva: Decmos que R es reflexva e X s cualquer elemeto de X esta relacoado co el msmo, es decr, x X, xr x. Propedad smétrca: Decmos que R es smétrca e X s cualquer par de elemetos e X verfca que s uo está relacoado co otro, el otro está relacoado co el uo, es decr x, y X, xry x= y Propedad at smétrca: Decmos que R es at smétrca e X s cualquer par de elemetos e X verfca que s uo está relacoado co otro y el otro está relacoado co el uo, etoces, se trata del msmo elemeto, es decr x, y X, xry yrx x= y Propedad trastva: Decmos que R es at smétrca e X s cualquer tera de elemetos e X verfca que s x esta relacoado co y e y esta relacoado co z, es decr x, yz, X, xry yrz xr z Propedad de complettud: : Decmos que R es at smétrca e X s cualquer par de elemetos x,y de X se verfca que, o be, x esta relacoado co y, o be, esta relacoado co y, es decr, se verfca algua de las dos sguetes relacoes: x, y X, xr y, o be, yr x. Depededo de las propedades que ua relacó bara verfque u couto, se establece dsttos tpos de relacoes baras, etre las que se destaca: R es ua relacó bara de equvaleca e X s R cumple las propedades reflexva, smétrca, y trastva E este caso dremos que el par ( X, R ) tee estructura de equvaleca. Además, s R es completa e X, decmos que R es ua relacó de equvaleca completa, y e otro caso dremos que es parcal. Ua relacó de equvaleca R defe ua partcó e el couto X ; a los elemetos de

5 8 84 dcha partcó los llamamos clases de equvaleca. Dado u elemeto x de X, defmos la clase de equvaleca de represetates x como el couto de todos los elemetos de X que so equvaletes a x, es decr, que está relacoados co el. ( ) [ ] { } x X, clase x = x = y X xr y Por tato se verfcara: [ ] [ ] x, y X, xry x = y [ ] [ ] x, y X, xry x y Por otro lado, como las clases de equvaleca costtuye ua partcó del couto, se tedrá que [ ] [ ] [ ] x, y X, xry x y = y x = X Al couto formado por las clases de equvaleca de X le llamaremos couto cocete, y otamos: X / R= {[ x] tal que x X} R es ua relacó bara de orde e X s R cumple las propedades reflexva, smétrca y trastva. E este caso dremos que el par ( X, R ) tee estructura de orde. S la propedad reflexva o se cumple, dremos que R es ua relacó de orde (fuerte o débl) completo, y e otro caso dremos que es parcal. R es ua relacó bara de preorde e X s R cumple las propedades reflexva y trastva. x X E este caso dremos que el par ( X, R ) tee estructura de preorde. S la propedad reflexva o se cumple, dremos que el preorde es fuerte, y débl e otro caso. Además, s R es completa e X, decmos que R es ua relacó de preorde (fuerte o débl) completo, y e otro caso dremos que es parcal. La estructura de preorde, por lo tato, egloba las estructuras de orde y equvaleca. 5

6 Defcó Sea A u couto de alteratvas y ua relacó de equvaleca completa e A. Etoces dremos que el par ( A, ) tee estructura de dfereca. De los elemetos de A dremos que so dferetes y otaremos: A A sgfca que A es dferete a Sea A u couto de alteratvas y ua relacó de orde completo e A. Etoces dremos que el par ( A, ) tee estructura de prefereca.los elemetos de A está ordeados y otaremos: A A sgfca que A es más preferdo que Sea u couto de alteratvas y ua relacó de preorde completo e A. Etoces dremos que el par ( A, ) tee estructura de prefereca-dfereca. Los elemetos de A está ordeados y otaremos: A A sgfca que A es gual o más preferdo que A A A TEORIA DE LA UTILIDAD Ua vez defda la estructura de orde e el couto de alteratvas os ocupamos de la fucó que va a trasladar dcha estructura al couto de úmeros reales. Sea ( X, ) u couto dotado de estructura de preorde. Sea u: X ua fucó real defda e X. Decmos que u es fucó sótoa e X s coserva el preorde establecdo e X, es decr s verfca: x, x X, x x u x = u x ( ) ( ) ( ) ( ) x, x X, x x u x > u x Decmos que es fucó represetacó fel e s ( ) ( ) ( ) ( ) x, x X, x x u x = u x x, x X, x x u x > u x 38 E partcular, ua fucó represetacó fel es sótoa. 6

7 Decmos que u es fucó de utldad s es ua fucó represetacó fel defda sobre u couto de alteratvas co estructura de preorde completo. 4 Los úmero reales u( x ) asocados a los premos se deoma utldad de los premos. Proposcó :Proposcó fudametal de la teoría de la utldad Toda fucó sótoa defda sobre u couto co estructura de preorde completo es fucó represetacó fel y, por tato, fucó de utldad s el couto es de alteratvas. També se verfca: Proposcó 2 Todo preorde sobre u couto e el que hay defda ua fucó real que es represetacó fel es completo AXIOMATICA DE LUCE Y RAIFFA.4. Coceptos prevos La teoría de la utldad que se va a estudar a cotuacó se desarrolla e ambete de resgo, es decr, a cada alteratva le correspode ua fucó de probabldad, que llamaremos perspectva aleatora o lotería, sobre el couto de cosecuecas resultates de la eleccó de ua alteratva. Así cada lotería represeta la maera de modelar ua alteratva e ambete de resgo de maera que a los resultados de la msma los deomaremos premos. Exste dos tpos fudametales de loterías: Loterías smples o uetapcas: aquellas cuyas cosecuecas so la eleccó de ua alteratva, es decr, so resultados. Lo otaremos por: p p l = co p [ 0,] y p = x x = Loterías compuestas o multetapcas: aquellas cuyos premos so, su vez, loterías. Las otaremos por: q q m L = co q [ 0,] y q = l lm = 7

8 Axomátca La axomátca que se expoe a cotuacó tee alguas vetaas mportates respecto al resto de las que se scrbe també detro del ambete del resgo: por u lado, secllez e cuato a la formulacó de los axomas, que so pocos y muy tutvos; y por otro lado, y más teresate, proporcoa u método cocreto para costrur la fucó de utldad de cada decsor, llevado mplícto el crtero de eleccó optmo. Axoma.Axoma de prefereca pura Todo decsor racoal es capaz de defr sobre el couto de premos ua relacó bara de preorde completo, que dota a dcho couto de ua estructura de prefereca dfereca. ( X, ) tee estructura de prefereca, luego podemos ordear los premos e ua escala de preferecas: x x2 x peor de los premos. co x x, dode x es el meor de los premos y x es el Axoma 2. Axoma de reduccó 80 A todo decsor racoal le resulta dferetes ua lotería smple de ua lotería compuesta e las que los premos so los msmos y tee la msma probabldad de ocurreca. 83 L q l p m = l lm p = x x q co [ 0,] q y [ 0,] co [ 0,] = p y q = y p y p = l = p = p p = x x co S p = pq + pq pmqm = q p Axoma 3 Axoma de cotudad, etoces l L. Sea u couto de premos X co estructura de preorde completo, dode x es el meor de los 8

9 92 premos y x es el peor de los premos. Todo decsor racoal es capaz de asgar a cada uo de los premos x del couto de probabldad subetva u [ 0,], de forma que le resulta dferete recbr co certeza el premo x o partcpar e ua lotería formada por el peor y meor de los premos, co probabldades u y u respectvamete. A dcha probabldad la 95 deomaremos utldad del premo x. u u x u x = l x [ 0, ], ( ) x x La lotería l( x ) es la lotería equvalete a x. Por tato, trvalmete se tedrá que u = y 98 u = 0 Axoma 4 20 Axoma de susttucó A todo decsor racoal le resulta dferete partcpar e ua lotería smple o e ua lotería compuesta e la que se ha susttudo alguos de sus premos por sus loterías equvaletes defdas e el axoma-3. p p p p p p l = u u = l x x x x x x x x ( ) Axoma Todo decsor es racoal es capaz de ordear el couto de loterías, es decr, el couto de loterías tee estructura de preorde completo. Axoma Axoma de mootoía Dadas las loterías l y l co los dos msmos premos, decmos quel será preferda a l s la probabldad de obteer meor premo e l es mayor que la probabldad de obteer meor premo el. S se cosdera las loterías p p q q l =, l = x x x x 9

10 20 Y sucede que x x etoces l > l p> q l l p= q l l q> p Defcó de la fucó de utldad que se deduce de la axomátca de Luce y Raffa La fucó de utldad que se deduce de la axomátca de Luce y Raffa se defe, por tato, como la probabldad asgada al meor resultado e su lotería equvalete, es decr: [ ] ( ) u: X 0, x u x = u Proposcó La fucó u así defda sobre u couto de premos (X) co estructura de preorde completo es ua fucó de utldad. Teorema Sea X [ 0,] ua fucó de utldad. Etoces, cualquer trasformacó leal postva de u es també fucó de utldad, es decr: u es fucó de utldad v= a+ bu( a, b, b> 0) es fucó de utldad De esta maera geeralzamos ua fucó de utldad para que pueda tomar cualquer valor real, auque, e este caso, las utldades ya o será probabldades. A ua fucó de utldad defda e [ 0, ] la llamaremos fucó de utldad ormalzada. Propedades de la fucó de utldad Toda fucó de probabldad dervada de la axomátca de Luce y Raffa verfca las sguetes propedades: La fucó de utldad defda sobre u couto de premos ordeados de peor a meor es ua fucó moótoa o decrecete, cosecueca de la sotoìa. U 0

11 caso especal so las fucoes reales, para las cuales la propedad traduce ser estrctamete crecete. La fucó de utldad de u decsor es úca salvo trasformacoes leales postvas. La forma de la fucó de utldad permte defr dsttas acttudes del decsor frete al resgo: aversó, prefereca y eutraldad frete al resgo ACTITUD DEL DECISOR FRENTE AL RIESGO U Decsor puede presetar dsttas acttudes frete al resgo. Para defrlas y caracterzarlas vamos a ver, prevamete, dos coceptos que será muy útles. Defcó: p p p Sea l = ua lotería cualquera co premos moetaros. x x x Defmos el equvalete certo de ua lotería como aquella catdad C de maera que al decsor le resulta dferete recbr co certeza la catdad C o partcpar e la lotería l. Por tato, s u es la fucó de utldad del decsor, C es el equvale te certo de la lotería l s sus utldades cocde: C l u( C) = u( l) Defmos el valor moetaro esperado de ua lotería como aquella catdad µ que represeta el beefco esperado del uego, es decr, la catdad que el decsor espera obteer como promedo, s partcpa sucesvas veces e esa lotería Aversó frete al resgo 255 U dvduo prefere aversó frete al resgo s prefere el valor esperado de la lotería a partcpar e ella, es decr, o esta dspuesto a sumr el resgo que le supoe partcpar e ua lotería auque el beefco esperado sea mayor. Por tato, U dvduo preseta aversó frete al resgo s µ C. La codcó sufcete para que ua fucó dervable sea estrctamete crecete e u tervalo real aberto, es que su prmera dervada sea mayor que cero. Se d se muestra que e los putos extremos del correspodete tervalo cerrado també es estrctamete crecete. Así, cosderaremos que, s u es dervable, será fucó de utldad x X tal que u ( x) 0.

12 A este decsor lo defmos como precavdo, coservador o pesmsta. Hay tres formas de caracterzar la decsó del decsor frete al resgo: Medate la forma de la fucó de utldad. Medate la prma del resgo Medate la fucó de aversó. Forma de la fucó de utldad: U decsor preseta aversó frete al resgo s y solo s su fucó de utldad es cócava. 2 Prma de resgo: La prma de resgo e ua lotería se defe como la dfereca etre su beefco esperado y su equvalete certo, y otamos: π = µ C. La prma de resgo represeta a la que el decsor esta dspuesto a reucar por asumr el mímo resgo posble, es decr, por o ugar. Además, la prma de resgo es ua magtud de la aversó por el resgo del decsor, ya que cuato mayor sea la prma de resgo, mayor será la aversó por el msmo decsor. S u dvduo preseta aversó frete al resgo etoces π 0. Fucó de aversó: S la fucó de decsor es sucesvas veces dervable e el couto de premos, podemos defr la aversó de la sguete maera u ( x) r( x) = u x S u dvduo preseta aversó frete al resgo, etoces, r( x) 0. Además, la fucó de aversó puede ser crecete o decrecete: S la fucó de aversó es crecete, dremos que el decsor tee aversó absoluta por el resgo, es decr, la aversó por el resgo aumeta al aumetar la rqueza: cuato mas dero tee el decsor mas precavdo se vuelve, porque pesa que tee mas que perder S la fucó de aversó es decrecete, dremos que el decsor tee aversó relatva por el resgo, es decr, la aversó por el resgo dsmuye al aumetar la rqueza: cuato más dero tee el decsor meos precavdo se vuelve, porque pesa que tee más rqueza para poder hacer frete al resgo. ( ) Prefereca por el resgo U dvduo preseta prefereca por el resgo s solo opta por o partcpar e ua lotería a cambo de ua catdad certa de dero superor al beefco esperado de la msma, lo que supoe el decsor está dspuesto a soportar el resgo asocado a la lotería. Por tato, U dvduo preseta prefereca por el resgo s µ C 2 S la fucó de utldad es dos veces dervable es estudo de la cocavdad/ covexdad de la fucó se puede hacer a través del estudo del sgo de la seguda dervada y etoces: 2

13 A este decsor le defmos como arresgado u optmsta. La prefereca por el resgo solo se característca a través de la forma de la fucó de utldad, dado que los coceptos de prma por el resgo y fucó de aversó solo so propos de la aversó frete al resgo..5.3 Forma de la fucó de utldad: U decsor preseta prefereca por el resgo s y solo s su fucó de utldad es covexa. Auque, como hemos dcho, los coceptos de prma de resgo y fucó de aversó o so propos de esta stuacó, s los calculamos para u dvduo co prefereca por el resgo tedremos: π = µ C 0 S se puede defr la fucó de aversó, deberá ser r( x) Neutraldad frete al resgo La eutraldad frete al resgo o es más que u caso partcular de los dos aterores cuado se verfca co gualdad, es decr, U dvduo preseta eutraldad frete al resgo s µ = C 306 E este caso, la fucó de utldad es leal (utldad margal costate), la prma de resgo vale cero y la fucó de aversó será ua fucó détcamete ula CRITERIO DE EFICIENCIA Como alteratva al prcpo de óptmo que tee como fodo la axomátca de Raffa (crtero de la máxma utldad esperada) surge otros crteros para la eleccó loterías óptmas e ambete de resgo. Uo de estos crteros es el de efceca. Ua lotería o es más que ua dstrbucó de probabldad e la que los valores de la varable se deoma premos. Por tato, tedrá dos característcas fudametales, su meda (o valor moetaro esperado) y su varaza. Así, el crtero de la efceca establece lo sguete: Ua lotería es más efcete que otra s su meda es mayor y su varaza es meor u 0 es cócava, y u 0 es covexa 3

14 Por tato, s ( µ, σ ) y (, ) µ σ So, respectvamete, la meda y la varaza de las loterías l, se tee que l es más efcete que l s se da algua de las sguetes relacoes: 32 µ µ σ σ 2 2 µ > µ o be 2 2 σ σ El crtero de efceca permte hacer ua partcó del couto de las loterías e dos coutos: Couto de alteratvas efcetes (E) formadas por todas las loterías para las que exste otras más efcetes que ellas. Couto de loterías o efcetes o efcetes (I) formado por aquellas loterías e las que exste otras que so más efcetes que ellas. Segú este crtero, ua lotería efcete es sempre preferda a ua o efcete, es decr l l I. etoces l l. Por tato, la lotería óptma será ua lotería efcete. De esta maera. E y S el couto de loterías efcetes es utaro, la úca lotería efcete de este caso será la lotería óptma. S el couto de loterías efcetes o es utaro, como las loterías efcetes o so comparables por el crtero ateror, o podemos ordearlas, lo que mpde la deal fucó de alteratva óptma. Por tato, para ordear loterías efcetes utlzaremos la fucó de utldad aproxmacó meda-varaza, que proporcoa las curvas de utldad del dvduo..6. Fucó de utldad aproxmacó meda-varaza La fucó de utldad de aproxmacó meda-varaza es ua fucó que se aplca a u couto de loterías efcetes y que asoca a cada ua de ellas u úmero real, represetado la utldad esperada aproxmada de esa lotería. Sempre que la fucó de utldad sea sucesvas veces dervable, esta aproxmacó se obtee desarrollado por Taylor, e u etoro de la meda de la lotería, la utldad expresada de dcha lotería, elgedo los térmos hasta el grado dos, por lo que, s la fucó de utldad o es u polomo de grado meor o gual a dos, se cometerá u error. Fucó de aproxmacó meda-varaza: 4

15 () l u( ) ( µ ) u 2 ϕ = µ + σ 2 u, σ 2! Error que se comete ( ) v u µ 3 u µ 4 Error = E ( l µ ) + E ( l µ ) + 3! 4! El error es el térmo complemetaro del desarrollo de Taylor. De esta maera, ua lotería efcete l, será preferda a otra lotería efcete l, s, y solo s, el ( ) valor proporcoado por la aproxmacó meda-varaza para l es superor al valor proporcoado para l, es decr: 354 ( ) ϕ ( ) ( ) ϕ ( ) ( ) ϕ ( ) l l ϕ l > l 2 2 µσ, µσ, l l ϕ l = l 2 2 µσ, µσ, l l ϕ l > l 2 2 µσ, µσ, 5

16 Eemplo Para la lotería smple x x2 x3 x4 l e la cual x x4 y sabedo que ~ x x4 x y ~ x x x3 ecuetre ua lotería l de dos úcos premos (el meor y el peor) de forma que l ~ l medate la aplcacó sstemátca de la racoaldad de Luce y Raffa. Solucó: 4 De acuerdo co el axoma 3 es claro que ~ x x x y ~ x x4 x4. Así msmo, el axoma 4 permte susttur loterías equvaletes de la sguete maera: l x x2 x3 x x x4 x x4 x x4 x x4 ~ , a partr de lo cual las probabldades de cada uo de los premos x y 4 = x se puede calcular así: P[ x ] = y també P[ x ] 4 = = 0.34, de esta maera cosderado la lotería smple l x x y aplcado el axoma 2, se cocluye que l ~ l. Eemplo 2 Determe el valor de verdad, co base e la teoría de la utldad, de cada ua de las sguetes afrmacoes, s se cooce que para cada uo de tres premos sus utldades so: u ( carro ) = 0, u ( bolgrafo ) = 2 y u ( borrador ) =. Afrmacó Descrpcó Valor de verdad. El ugador prefere 5 veces FALSA más el carro que el bolígrafo. Justfcacó La utldad es ua medda ordal de preferecas lo que sgfca que permte ordear los premos. No es ua medda cardal que permta cuatfcar las dferecas etre las 6

17 preferecas de los dsttos premos. E cosecueca, permte establecer que carro bolgrafo borrador 2. El ugador prefere el carro al bolígrafo y el borrador utos. 3. El ugador prefere el carro al borrador y prefere el carro al bolígrafo. 4. La utldad de u decsor para u premo puede ser egatva. Eemplo 3: FALSA Por o ser medda cardal. VERDADERO Por ser ua medda ordal. VERDADERO Teedo e cueta que la utldad es ua fucó o decrecete y que cualquer trasformacó leal de esa fucó sgue sedo de utldad. S embargo, el hecho de que la utlda pueda ser egatva eso o sgfca que al ugador o le guste el premo. U ugador ha defdo su fucó de utldad del dero e la expresó ( ) ( ) 2 u x x dode x represeta mles de udades moetaras (por eemplo mles de pesos). Determe:. Es esa expresó realmete ua fucó de utldad para x [ 0,5]? 2. Qué valor habrá que asgarle a la probabldad p P[ θ ] para que ate el problema de decsó defdo por: θ θ 2 A A

18 Dcho ugador, de acuerdo co su fucó de utldad u( x ), ela la alteratva A? 3. E esta stuacó Cua será el equvalete certo de la lotería óptma? Solucó:. Es ecesaro verfcar que la fucó u( x ) sea moótoa e x [ 0,5]. Puesto que se trata de ua fucó cotua y dervable, empleado el crtero de prmera dervada se puede establecer la aturaleza crecete o decrecete de la msma. Par que sea ua fucó crecete basta co verfcar que su prmera dervada sea mayor que cero. Formalmete, u ( x) 2( x ) esta maera es fucó de utldad e = > 0 lo que mplca que x >. De x > pero o e [ 0,5] x. 2. Las utldades de los premos de l y l 2 que se ecuetra detro del domo e el que la fucó establecda sí es de utldad so: x u( x ) Así, la utldad de las loterías está dado por: u( l ) = u( ) p+ u( ) ( p) 5 3 = 20 p + 8( p) y u( l2 ) = u( 4) p+ u( 4.5) ( p) 3p 6.25( p) l como óptma es porque u( l ) u( l ) ugador elge la lotería ello que 20 p + 8( p) 3p 6.25( p) = +. S el > mplcado co 2 > +, despeado de esta ecuacó el valor de p se obtee 3. Se dea como tarea p > =