Departamento de Matemática Facultad de Ingeniería Universidad Nacional de Mar del Plata. Trabajos Prácticos

Transcripción

1 Dparamo d Mamáica Faclad d Igiría Uivridad Nacioal d Mar dl Plaa MATEMÁTICA AVANZADA hp:// Trabao Prácico 8

2 MATEMÁTICA AVANZADA TABAJO PÁCTICO N O Fcio aalíica Dmorar q aalíica odo l plao complo Z. Siglaridad d a fció Ediar la iglaridad d la igi fcio calclado lími: a f b f c f 9 co d f f f f 7 Traformació Lial: w A B cordado l igificado gomérico d lo cofici A B obga, i hallar la coordada d raformació, la imag d lo igi rcio co la raformacio dada cada cao: c Z a b Z Z w 6 w w Obga la imág d lo rcio arior forma aalíica. Traformació Ivra: w a Dmr q la rca q paa por l orig l plao Z raforma rca dl mimo ipo l plao W. Qé rlació ha r la pdi d amba rca? b Dmr q la circfrcia d radio r crada l orig l plao Z raforma circfrcia crada l orig l plao W. Qé rlació ha r lo radio d amba circfrcia? Dada la igi rgió l plao,, pid: a Grafiq la rgió Z. b Hall grafiq la rgió raformada mdia la raformació w. Mamáica Avaada Trabao Prácico Nº /7

3 Traformació Bilial: A B w C D 6 E qé raforma lo igi rcio mdia la raformacio q da a coiació d cada o? a, w b,, w Obrv q dd l po d via dl rabao algbraico má covi r la raformació cria como fció d w. 7 Hallar la raformació bilial q raforma lo po, w, w, w., Igral l Campo Complo: 8 Calcl la igi igral I d, dod C camio q va dd iicial = a C fial = +, cada o d lo igi cao: a Sido l camio C, la rca =. b Sido l camio C, la parábola = /. c Calcl la igral Z r iicial fial. Qé pd dcir acrca d lo rlado hallado lo r icio? 9 Dada I d, ido C la lip co co. C 6 Aalic: a E C camio abiro o crrado? b E cao d q l camio a abiro, la fció igrado aalíica a rgió q roda dicho camio? Si l camio crrado, la fció igrado aalíica la rgió crrada por l camio? c lva la igral. Calclar la igi igral iliado la Fórmla d la Igral d Cach o la Fórmla d la Drivada d la Igral d Cach gú corrpoda: a c d ido C lo camio: a Ι - Ι = a ΙΙ = b d c ido C lo camio: b ΙΙ = b ΙΙ = b Ι - Ι = ½ c d c dod C la crva,, d c 9 d co C: ΙΙ = / Mamáica Avaada Trabao Prácico Nº /7

4 c d co C:, f olvr odo lo icio aplicado l orma d lo rido. Sri d Pocia: Dada la igi fció, f, pid lo igi: f a Grafiq oda la oa dl plao Z la cal pda darrollar f pocia d. b Darroll f cada oa, idicado rgió d covrgcia. c Aproim cada maoria haa lo érmio d gdo grado icliv haga lo igi: c Obrvado la ri, diga qé oa i ólo pocia poiiva, cál ólo pocia gaiva cál i pocia ao poiiva como gaiva d. c Para =, calcl l valor d f d cada a d la maoria aproimada. Cál d la maoria covrg a f para l valor d dado? c Haga lo mimo q l po arior pro para =. Qé cd cao? Ha alga ri d la a calclada q covra a f? Por qé? Para la igi fcio: I Grafiq oda la oa dl plao dod pda darrollar f alrddor dl po a dado. II Obga la ri corrpodi a la oa q drmió l icio arior idiq la rgio d valid d dicha ri. a f, a b f, a c f, a d f, a f, a 6 D la ri q darrolló l rcicio arior, obrv la pocia gaiva la oa crcaa diga qé ipo d po l q cra l cro d la ri cáo val rido. Si ma do ri d pocia, a co rgió d covrgcia ΙΙ < ora co rgió d covrgcia ΙΙ >, cál rá la rgió d covrgcia d la ma d a do ri? Dada la igi fció: f a Hall iglaridad. Mamáica Avaada Trabao Prácico Nº /7

5 b Grafiq oda la rgio la q poibl hallar darrollo ri d pocia d --. c Hall odo lo darrollo poibl idicado aalíica gráficam rgió d covrgcia. 6 Edi l carácr dl la iglaridad d la igi fció a parir dl corrpodi / darrollo ri: f. pia l dio para oda la fcio dl Ercicio 7 Calclar la igi igral aplicado rido: a d co C: ΙΙ = c Sh b d ido C l cooro dl rcio:,,, c c d ido C l cooro dl rcio:, c Mamáica Avaada TABAJO PÁCTICO Nº pa a lo rcicio a = = ± o polo d primr ord o impl. b = polo d gdo ord o dobl. c = iglaridad viabl, = - polo impl, = polo dobl. d = polo d qio ord. = a iglaridad viabl. f = a iglaridad cial. a v b W v W c v W 6 a 6 v 6 b v c v, a b Z v v W / / Mamáica Avaada Trabao Prácico Nº /7

6 6 v a b W v W / / - v, v,, v 7 w 8 I =, para lo r icio. 9 I = a a b b c co b d [ co ] f i b f i f i 7 c S 8 S 8 S Mamáica Avaada Trabao Prácico Nº /7

7 Mamáica Avaada Trabao Prácico Nº 6/7 a f i 6 f i b f! i c f /!! d! f i f i f i a Polo d ord, ido b =. b Siglaridad viabl, ido b =. c Po rglar, ido b =. d Po rglar, ido b =. Siglaridad cial, ido b =. f Siglaridad viabl, ido b =. a Siglaridad: = + = = -. b Zoa crcaa:. Zoa irmdia:. Zoa laa:. c f f f

8 Mamáica Avaada Trabao Prácico Nº 7/7 6 Siglaridad cial. Ercicio : Como pid diar l carácr d cada iglaridad hac lo darrollo ri ólo la oa crcaa alrddor d cada po iglar. a = f = polo d primr ord co b = = = f = polo d primr ord co b = -/ = - f = - polo d primr ord, co b = -/ b = f = polo d gdo ord co b = c = f E polo d gdo ord; b = -/9 = 6 9 f E a iglaridad viabl; b = = f E polo d gdo ord; b = /9 d =! f polo d qio ord; b = =! f a iglaridad viabl; b = f =! f a iglaridad cial; b = 7 a b c co

9 MATEMÁTICA AVANZADA TABAJO PÁCTICO N O Sima Lial - Aálii d Sñal - Covolció DESCIPCIÓN DE SEÑALES: FUNCIONES AMPA, ESCALÓN Y DELTA DE DIAC Grafiq la igi fcio dl impo. a + b r - c d P- r-r- Ecriba a rpració mamáica para cada a d la igi ñal, érmio d la fcio caló rampa iario. a b c prar gráficam cada a d la igi fcio. a a b c d Evalar la igi igral: a co d b d c d co ' d 6 d '' d Sñal priódica Idiq i la igi ñal d impo coio o priódica o o. E cao afirmaivo drmi príodo frccia fdamal rad/ H. a i c b i i8 co d príodo T= d príodo T= Sñal par impar 6 Dada la igi ñal: = - < < = para odo = para odo = - < < a Grafíqla claifíqla par o impar. b Haga, aalíica gráficam, lo igi prodco claifiq lo rlado como Mamáica Avaada Trabao Prácico Nº /

10 fcio par o impar: i = ii = iii = c Qé coclio obi a parir dl icio b? 7 Coidr la igi ñal: - Mr gráficam q pd cribir como la ma d a fció par, p, a fció impar, i, ido p= i=. Aálii d Sñal, Pocia Ergía 8 Calcl la pocia mdia la rgía d la igi ñal l irvalo d impo dod o diia d cro. Claifíqla ñal d pocia, rgía o d ord prior, ado la prba mamáica prvia para al fi. a b c = d V p 9 Ecr la ñal q rla d la igi opracio claifíqla como d rgía o d pocia. a d para como.b.c b, / + co como 8.a 8.c Obrv l icio a, Cál l parc q la codició d la ñal q hac q la ñal a d rgía o d pocia? ANÁLISIS DE SISTEMAS Lialidad Vrificar i lo igi ima o lial o o. a = a. b = a.+b c = c. d ardo T Mliplicador Mamáica Avaada Trabao Prácico Nº /

11 7 f l Propidad d Mmoria Dcir cal d o ima i mmoria cal o. Jifiq. a b 8 c v i d C d i la rada v la alida Ivariacia l impo S igra co a ñal obi a alida, lgo igra co la mima ñal pro dplaada T gdo, -T, obi a alida. Sgú la ñal morada, l ima ivaria l impo? Jifiq. T T+ T+ S igra al igi ima co la ñal morada la figra. El ima coa d mliplicador a ñal ira priódica d príodo T=. S pid: 8 a Graficar la alida para la rada morada. b Graficar la alida i dplaa la mima ñal, dcir, la rada -. c Comparar lo gráfico d lo icio a b. El ima ivaria l impo? Jifiq. Dado lo igi ima idiq por obrvació i o o o ivaria l impo. Jifiq. a ' ' 9' b co ` c =- - = pa mporal. pa al implo. Covolció Dada la igi cacio difrcial q rpra ima lial ivaria l impo, la codicio iicial pcificada a coiació, hallar la rpa homogéa oal dl ima cado la rada la idicada cada cao: a D +8D+ = co = = - =co b D +D +D = co = = = -/ = - c D+ = co = = d Obga lo diagrama bloq d lo ima b c. Mamáica Avaada Trabao Prácico Nº /

12 6 Ecr la cació difrcial d lo ima LIT rprado por lo diagrama bloq igi: a d d b Obrv lo igi gráfico d rpa al implo d ima lial diga qé ima o abl cál o. Jifiq. a b c h h h h 8 Calclar la igi covolcio : a * b * c f * d * * co 9 Hall l rlado d la igi covolció: P * Pd ar l rlado d lo hallado 8.a rcordado q P. Hallar la fció opracioal, HD, la rpa al implo d lo ima rprado por la igi cacio difrcial: a D 6 D b D D 6 c D 6 D D 8 D d D D D Mamáica Avaada Trabao Prácico Nº /

13 Aaliar la abilidad d cada o obrvado la raíc d la cació caracríica ambié igrado la rpa al implo. Dado l igi ima: K F ; = KΩ = Ohm F = -6 F Faradio Ohm Faradio = gdo S pid lo igi: a Hall la cació difrcial q rpra al ima a parir d lla dib diagrama bloq dl mimo. b Drmi la rpa al implo dl ima, h. Qé valor db r l cofici q acompaña a la drivada d maor ord la cació difrcial para calclar la h? c Hall la rpa al caló. d Ecr, iliado lo hallado c, la alida dbida a la rada morada arriba co codicio iicial la. crd q a la domiada olció forada. La covolció compla l hcho d r codicio iicial diia d cro? Cómo modifica la rpa calclada l icio arior i = V. [Apliq prpoició] f Qé ombr rcib la rpa q mó a la forada para obr la olció oal dl icio d? Dado l ima dfiido mdia l igi diagrama bloq: la rada. a Calcl la rpa al implo forma dirca, dcir, colocado a b Calcl grafiq la rpa para la rada q mra dbao coidrado codicio iicial la. La rpa q pid la forada o la pariclar? ardo T d A T La rpa al caló d ima, la ñal g q mra. a Qé rlació ha r la rpa al implo la rpa al caló? b Ecr la rpa al implo h a parir d la g.grafiq h. c Calcl grafiq la rpa a la rada = - T [U la g ] A g T T Empl la fció rpa al implo para prar la alida dl ima dcrio por la igi cació difrcial a a caal calqira. El ima i rgía almacada codicio iicial NO la. D,, 8, ' o Mamáica Avaada Trabao Prácico Nº /

14 Dado lo diagrama bloq d la igi figra: I... d d... II... d... d a Ecr la cació difrcial q modla al ima. b Hall la rpa al implo dl ima. c Hall la rpa al caló ado la rpa al implo calclada l icio arior. d Hall la rpa régim prma iliado la fció opracioal para: - Sima I: =. - Sima II: =. Vrifiq l rlado dl icio arior iliado l méodo d lo cofici idrmiado vr E.. Noa: para l icio a l oprador D. 6 Dado l diagrama bloq d la figra: h d h /a b b d h a a Ecr forma dirca la rpa al implo dl ima. b Ecr la rpa dl ima a la fció rampa iaria. 7 E l circio igi coca grador d ió d oda oidal dra impo lgo dcoca. S pid lo igi: v v Vp v S a Ecr la prió d la rgía aborbida por la ricia fció dl impo. b Calcl la pocia mdia P m como l coci d la rgía comida gdo impo. c Grafiq la Pocia mdia fció d ω diga a q valor id cado ω. d Calcl ahora la pocia mdia ólo príodo compar co lo calclado c. Mamáica Avaada Trabao Prácico Nº 6/

15 8 La figra mra l qma báico d a balaa. La mima á compa por ror, amorigador a bada dod coloca l po a drmiar, adoada a éa a aga idicadora dl po obr l. B m P k cm Al colocar la maa m la bada dplaa a diacia. El comporamio dl ima gobrado por la igi cació difrcial: M m '' B ' k mg, dod M= Kg la maa d la bada odo lo q mv co la aga idicadora. m= Kg la maa a par. B= Kg/ la coa dl amorigador. k=98 Kg/ la coa dl ror. g=9,8 m/ gravdad. lva la cació difrcial grafiq forma aproimada la rpa. Coidr. Idifiq lo rgím raiorio prma. Mamáica Avaada TABAJO PÁCTICO Nº pa a lo rcicio a + -/ b r - c d - P -,, a = r+ - + r- = r+-8r+r- b = c = r+ - r- a b c d f a f f Mamáica Avaada Trabao Prácico Nº 7/ - f

16 a co b c d - co a T=/ = rad/ f = H b T=/ = rad/ f = H c o priódica. 6 a par; impar; par; impar. b i par ii impar iii par E 8 a ñal d Ergía Pm E c ñal d Ord Sprior Pm E b ñal d Pocia Pm E d ñal d Pocia Pm Vp / 9 a.b Sñal d pocia.c Sñal d rgía b 8.a / + / Mamáica Avaada Trabao Prácico Nº 8/

17 8.c 6 / + 6 / - a o lial, lo dmá o o lial. a i mmoria, lo dmá co mmoria. Varia l impo. c varia l impo. a ivaria, b c varia l impo a h c c co 6 6 b h=c+c - +c / c h=c -/ d 6.b c / 6 a ' ' ' b ' ' ' '' ' 7 a d abl; b c iabl. 8 a c f Mamáica Avaada Trabao Prácico Nº 9/

18 d co co co 9 a b c d H D, h, abl. D 6D H D, h, iabl. D D 6 D H D, h, abl. D 6D D 8 D H D, h co, abl. D D. a b h /C...d / c pa al caló: g d f /. / / f Ea olció pd hallar por covolció d la rada co la rpa al implo o, a parir d la rpa al caló, coidrado la rada como a ma d calo d difr alra aplicado prpoició. a h T A b pa forada A T i i oro T T T valor AT T T a A d g h b c d T T T A T h A T -A T T 8co o o d o Mamáica Avaada Trabao Prácico Nº /

19 I II a a b h co b h c g c g d p d p co 6 h a a 7 V p a E [ ic ] V p b Pm [ ic ] c Pm d Pm 8 p V V p Vp P m m g k [ co ], égim raiorio égim prma co B m M B m M k m M, Mamáica Avaada Trabao Prácico Nº /

20 MATEMÁTICA AVANZADA TABAJO PÁCTICO N o Variabl d Eado Covira la igi cacio difrcial ima d cacio d variabl d ado, omado como,... a m b q Ecriba la cacio d variabl d ado para cada o d lo igi ima coidrado q o la rada la alida rpcivam odo lo cao. a a d b d b C c L C V = C V C = V C = V C = V C = V = d d d k m a fra. Mamáica Avaada Trabao Prácico Nº /6 6 Pla la cació difrcial i apara la maa d poició d rpoo lgo la crd: F m. a

21 Ecorar la prió d A para cada a d la igi maric. 8 a A b A c A d A 7 Para l diagrama bloq morado la figra, hallar: a La maric A, B, C, D d la dcripció co variabl d ado. A b La mari. c La rpa al implo, h. E d prar a d La rpa al caló, g. La olció libr dl vcor d ado, l, cado la codicio iicial d lo ado o: =, = =. f La rpa libr dl ima a la codicio iicial dl icio arior. g La rpa dl ima para co co la codicio iicial dada l icio h?. Jifiq. d d d - - Para l diagrama bloq morado la figra, hallar: a La maric A, B, C D d la dcripció co variabl d ado. b La mari A. c La olció libr dl vcor d ado, l, cado la codicio iicial para lo ado o: =, =. d La alida, l, rpa a la codicio iicial dl icio arior. d d Para l diagrama bloq dl rcicio. I d la gía d ima lial: a Ecr la cacio d variabl d ado b pia l icio b dl mcioado rcicio ado l modlo VE. Mamáica Avaada Trabao Prácico Nº /6

22 7 Coidr lo rcicio.c.d a Ecr vo modlo variabl d ado coidrado la raformació dada por: v v b Para.d hall la raformació por aovalor. Ercicio propo: El carrio co pédlo ivrido d la figra á implado por a fra f. Para valor pqño dl áglo la cacio difrcial o: p f a f, p f Dod la rpa dl ima p, l dplaamio horioal. Ecriba ima variabl d ado al q la variabl d ado a: =; =p. Mamáica Avaada Trabao Prácico Nº /6

23 Mamáica Avaada Trabao Prácico Nº /6 a m b q a b a b p c L L L C d 6 m m k a A b A co co MATEMÁTICA AVANZADA TABAJO PÁCTICO N O pa a lo Ercicio C C C C C p p

24 Mamáica Avaada Trabao Prácico Nº /6 c A d A 7 8 a D C B A b A c h d g f l g 9co 8 a 9 6 D C B A b A 6 co co c co 6 co l l d 7 9co 6co l l

25 Mamáica Avaada Trabao Prácico Nº 6/6 co 9 9 co 6 f f co 9 co 6 6 a ó 7 a.c C L C C L C A v L L B v / / C v D v=.d v A v B / / C v D v= b Coidrado 6 P a d la ifiia poibilidad, la maric raformada o: v A 7 7 / / B v v C D v= Ercicio propo A a ; B ; C ; D=

26 MATEMÁTICA AVANZADA TABAJO PÁCTICO N O Sri Traformada d Forir SEIE DE FOUIE a Dmorar q l coo B=,co orogoal l irvalo T b A parir d B, calcl B oroormal. T T,. Coidr l coo B={Φ, Φ, Φ}, dod la fcio dcrib lo gráfico. Mr q B coo oroormal para < <. Dmr, a parir d la prió gral dada por d Forir rla cado, Z Dada la igi fció priódica: C T / T f T /, C f,, q lo cofici d la Sri T T, calcla como d. i / / =+ oro valor a Dib al mo príodo d calcl por dfiició lo cofici d la ri pocial d Forir, c. b pia l cálclo propo a para la ñal v dada por i v v=v+ oro valor c Obrv q v=-/. Dmr q la rlació r lo cofici d v á dada por: v c c co =/. d Ecr para v la prió d la ri rigoomérica calclado a b por dfiició. Dada la igi ri d Forir 9 co Mamáica Avaada Trabao Prácico Nº /8

27 ic a Ecr l valor mdio, l príodo la frccia fdamal. b Drmi la prió d lo cofici a, b c. c Hall la prió mporal d la rcra armóica. d Ecr grafiq do gráfico parado la amplid la fa d lo cofici d la ri pocial haa =. a 6 Dada f a co b, obga la prió d g f d. a Ua v obida g, diga cál la codició q db cmplir f para q g a priódica. b Obga gráficam g para la ñal morada a coiació igrado al mo par d príodo. Tom o=. Obrv la forma d oda ambo cao va i cmpl lo hallado a A f A f A T/ T T/ T a 7 Si l darrollo d Forir d la ñal morada : f a co b, a ma d fcio coia l gráfico v varia dicoiidad, oc: f a Qé valor omará la ri d Forir a dicoiidad? Aaliar ólo para - - b Cómo dbríamo dfiir la ñal f para q la ri covra a f odo lo po? 8 La ñal priódica igra al ima morado abao. Calcl la prió d la cara armóica d la alida régim prma /... d... d 7 Mamáica Avaada Trabao Prácico Nº /8

28 9 E primr momo aplica la ñal v dl rcicio, a a ricia d Ohm. Lgo ircala r la ñal v la ricia, ima lial llamado filro paabao q ólo da paar lo armóico d v d frccia mor a H. E ima lial H D v Lgo v Filro Paabao Ecr la pocia diipada la ricia l cao q o á colocado l filro cado í á l filro paabao. A d hacr lo cálclo: gú l Torma d Parval, cómo rá la pocia la ricia co l filro ircalado rpco d la pocia i filro?, mor, maor o igal? Drmi i la igi ñal priódica pra imría par, impar /o d mdia oda idiq i rolvr la prio d a b para cada cao. a A b A A 6 8 c A A d A -A -A - -A Obga a ió priódica para l plo q mra la figra d modo d: A f a Eprar a f como a combiació lial d fcio o d frccia fdamal f =/T =/. b Eprar a f como a combiació lial d fcio coo d frccia fdamal f =/T =/. Hall lo darrollo ri rigoomérica d Forir ambo cao. coidr la fcio dl rcicio. Hall la amplid la fa d la rcra armóica obrv la rlació d lo valor corado co lo hallado l icio c d dicho rcicio. Mamáica Avaada Trabao Prácico Nº /8

29 Dada la ñal morada la igi figra: a Hall la ri rigoomérica d Forir d. b Ecr la pocia mdia d. c Hall la pocia mdia d la ri haa l primr armóico icliv. d Calcl l rror cadráico mdio q com al aproimar la fció haa l primr armóico icliv. Calcl q porca d pocia pird al aproimar por ri haa l primr armóico. Calcl la ri rigoomérica d Forir d. Para llo, prviam, dfia a ñal v dplaado la ñal l d la ordada d la abcia, d modo d faciliar l cálclo iliado imría. Lgo: 6 8 a Obga la rpració ri pocial d amba ñal lo cofici d la ri rigoomérica a calclado. b Obga la prio d lo pcro dicro d amplid d fa. Grafíqlo compárlo. c Cál la paració r barra d lo pcro dl icio b? El igi circio rpra a raformador q covir la ió d corri alra d V, provia por la rd domiciliaria, a V. Lgo, p d diodo covir la oda oidal d V a la ió V d alida idicada l gráfico, por úlimo, la ñal V paa por filro paabao idal ca alida. E circio ilia para covrir corri alra corri coia d modo d alimar dipoiivo q ormalm a pila, al como radio, lvior, rprodcor mp, c. V H V Diodo V Hf. V Traformador fc Filro paabao idal f [] a Obga la ri rigoomérica d Forir d la ió V. b Cál la frccia d la primra armóica d la ió V? c Drmi la frccia d cor dl filro paabao fc d modo q a la alida ólo obga la compo d corri coia o armóica d frccia cro. Qé valor i a ió d corri coia? d Si fc = H, obga la prió mporal d la ñal [ régim prma]. 6 S igra a amplificador d adio co a oda oidal d KH, dbido a q l amplificador o lial, lgar d obr a oda oidal pra la alida V obi la ñal morada la figra. Mamáica Avaada Trabao Prácico Nº /8

30 V o V i Amplificador d Adio V Parla -. V. [] -V La ñal V pd rprar mdia a ri d Forir como la igi: V 7 S pid: a Grafiq l pcro d amplid l pcro d fa. b Calcl la pocia mdia d V obr l parla d Ohm. c Cáo armóico cia para r al mo l 9% d la pocia mdia d V? d Calcl l porca d diorió armóica dl amplificador THD co la fórmla q da a coiació: THD. c dod lo c i o lo cofici d la ri pocial d Forir d la ñal V. Obrv q i o hbi diorió:... m c c c c 7 Compl la igi abla, dod da lo cofici d la ri rigoomérica d Forir haa la rcra compo armóica. Grafiq lo pcro dicro d amplid fa iliado la iformació q rg d la abla.... c c c m, c C forma cariaa C forma polar c 8 Dada a ñal priódica. Dmr q l pcro d amplid d - o l mimo q l d q l pcro d fa d θ. [Comic co la prió d la ri pocial d admá: C C ] 9 Dada la r ñal priódica igi, igal pocia mdia d valor mdio cro, corrpodi pcro d amplid dicro. S pid: Obrv lo pcro dicro d la r ñal rpoda: a Cál d lo r pcro i maor coido d ala frccia? b Obrv la drivada l orig d la r ñal l impo. Cál d la r ñal varía má rápidam l impo? c Qé coclió aca d lo rpodido a b? Mamáica Avaada Trabao Prácico Nº /8

31 Sñal Epcro dicro d amplid -T/ A -A T/ abx. A= B 6 A 6 Sñal.7.6. Epcro dicro d amplid abx B T/6 -B T/ 7T/6 9T/ C A.8 abx.7 -T/ C -C T/ TANSFOMADA DE FOUIE Ecr por dfiició la raformada d Forir d a U plo riaglar: a=t b. b b oro Mdia la dfiició d raformada d Forir dmr lo igi: a La raformada d Forir d a ñal par a fció ral. b La raformada d Forir d a ñal impar a fció imagiaria. Mamáica Avaada Trabao Prácico Nº 6/8

32 Dada la igi Fω, grafiq lo pcro d amplid d fa. a F b F ic C c F d F P a Dado lo igi par raformado obga lo par raformado dal ado la propidad d dalidad. a a a a b Pa a ic c a a a Ecr Fω i g f lo pcro d amplid fa d g o lo igi: G P Hall l valor d la igi igral aplicado alga propidad adcada d la abla d Forir. I ic d 6 Mdia la propidad d drivació la frccia obga la f d la igi Fω: a Fω b Fω ω c Fω - ω ω - - ω 7 Obga la f corrpodi a lo pcro d amplid fa dado. a A Fω b A Fω c Fω -B B ω -B B ω -B B ω -π/ θω B ω π/ θω ω - θω π/ ω Qé coclió obi obr Fω θω cao a i o fcio par o impar la f q gra? Sgrcia: arm la Fω como Fω= Fω θω Mamáica Avaada Trabao Prácico Nº 7/8

33 8 Para la ñal morada la figra: I II a Hall X. b Ecr la raformada d Forir d g d ado propidad. c Hall g igrado gráficam. c Sgú l valor d X hallado a, qé ipo d ñal graro al calclar g? Qé ipo d Gω coró? 9 Dada la igi ñal: Sñal d Ergía: Sñal d Pocia: Sñal d Ord Sprior: a P c b co d ig f Calcl la raformada d Forir d cada ñal [ abla], grafiq la ñal pcro d amplid X. Qé ipo d ñal gra impr Xω coia? Sa f la ñal dfiida como: i f i i a Grafiq f obga Fω pd ar la propidad d drivació l domiio mporal. b Si qrmo prar a f como f F d. Qé valor omará la igral para = - =? Cómo dbrá rdfiir a f para q la igral covra a f odo lo po? U almo calcla la raformada d Forir d ado la propidad d drivació l impo, i mbargo rlado o coicid co l q mra la abla d raformada. Dód á l rror? Aalic la rlació r la domiada propidad d igració rrigida la propidad d drivació l impo. Dado l igi ima: Hω -B B ω a Obr la didad d rgía X S d la ñal d rada. Mamáica Avaada Trabao Prácico Nº 8/8

34 b Co la didad d rgía obida l icio arior, calcl la rgía d. c Calcl la rgía d l domiio dl impo vrifiq q da igal q l icio arior. d Hall grafiq l pcro d amplid d la alida, Y. Ecr l valor d B dl filro paabao d modo q la rgía d la ñal a l % d la rgía d la ñal d rada. U ima lial ivaria i a rpa al implo dada por h. a Hall la rpa frccia dl ima, H grafiq lo pcro coio d amplid d fa d h. b Ecr la raformada d Forir d la alida, Y, cado la rada. c Hall grafiq. d El ima arior coca ri co bloq drivador como mra la figra: h d d Hall H grafiq amplid fa. Ecr la rpa al implo dl vo ima. Hall Y cado la rada dl vo ima la mima q l icio b. f Hall grafiq. Ua ñal co igra a do ima ca rpa frccia, q o ral, mra lo igi gráfico: h H, H -,, -,, a Hall la raformada d Forir d la rada grafiq pcro d amplid. b Hall la alida d ambo ima l domiio raformado lgo hall raformada ivra. Grafíqla l domiio mporal. c Hall grafiq la alida d vo ima, ca rpa frccia dod l pcro d fa, : H H,, -, -,, Ua forma d hallar lo cofici d la ri pocial Forir c, omar la fció f T la cal rpida cada T gdo forma la ñal priódica f, hacrl la raformada d Forir calclar lo c como idica abao. Mamáica Avaada Trabao Prácico Nº 9/8

35 f T f T -T f T T T f T T C FT o T Hall lo cofici d Forir d la ñal dl rcicio, por méodo. 6 Dmr q la igi ididad vrdadra para f g fcio ral: 7 Dada f Pa. f g d F G d a Grafíqla. b Obga Fω grafiq pcro d amplid para ω >>π / a. c Qé cd co l acho dl pcro cado l acho d la ñal l impo, a, ama? 8 Dado l ima rprado por l igi diagrama bloq: h ~ co bic b, a h Aaic co a=b =b Co a Hallar Z H graficar corrpodi pcro d amplid fa. b Calclar la alida,. c Calclar la alda,, i a=b. EJECICIOS POPUESTOS Ua ió v, priódica a parir d >= aplica al circio L morado. S pid lo igi: v = i L= mh a Obga la ri rigoomérica d v U imría iédala d modo q v qd prada fció d coo v b Obga la i rolvido la cació difrcial idifiq l régim raiorio prma La corri a d aplicar la v i=. c Calcl aproimadam l valor fica d la i régim prma iliado ólo lo r primro armóico o lo. Mamáica Avaada Trabao Prácico Nº /8

36 Grafiq lo pcro d amplid fa d la igi ñal: =+ =+,8co+,co Diga, ificado rpa, i la ñal mporal o par o impar. Sa, la ñal morada la figra. Si calclar la Xω baádo la dfiicio d la raformada, airaformada propidad, rlva lo igi ím: - a Ecr X b Ecr X d c lva la igi igral d Hall l valor d X d X ic d MATEMÁTICA AVANZADA TABAJO PÁCTICO N O pa a lo Ercicio a c ic b v - c c v v co d v co k k k a V m= T=/ = b a =/ + b =9/ c =/ + - 9/ c = co+ = co -.6 Mamáica Avaada Trabao Prácico Nº /8

37 a V m=/ T= = b a = 6/ +9 b =8/ +9 c =/ c = / = co6-/ a V m= T= = b a = ic / b = c = ic / c =.9 co d Amplid d lo c Fa d lo c / / Val cro para odo g a b co a Kcoa Mamáica Avaada Trabao Prácico Nº /8

38 7 a f b f / f f / / f / i i i i i i i i 8 co co i 9 P i filro, mw P co filro,7 mw mw W m a Simría Par a A m b b Simría Par, d mdia oda caro d oda par a A A co d a a A d A d co co c Simría Impar, d mdia oda caro d oda impar a a b A A d impar d Simría d mdia oda b impar a a A A co d A co d impar b A A d A d impar A a f co P b f A Aic co P A = = -6,87º A = / = - º A =.9 = º a ic co b P m=/ c P m ri=,8 d m=.8 %P =,6% Mamáica Avaada Trabao Prácico Nº /8

39 a ic, 6 b Epcro d amplid ó, 6 ic Epcro d fa / pi/ / -pi/ El gráfico dl pcro d fa morado corrpod a la primra d la do rpa d la fa b c La paració r barra cado l d abcia. a V V co b fo H c fc H, Vcc. 8 V d,8 7, co, co,6 co 6 6 Epcro d amplid.78 Epcro d fa b P m =, W c S cia la primra do armóica. d THD =,8 % a X a b X b b ic b Mamáica Avaada Trabao Prácico Nº /8

40 a b Fω / / / / C θω c d Fω /a C -π -π -π Fω π π π θω π -π Fω -a a / / θω a a a b a ic P a a F P I 9 6 a f ic f ic c f ic ic b c a a A B 7 a f ic B B A B b f ic B ic B c f B B / ic B B / / Mamáica Avaada Trabao Prácico Nº /8

41 8 I a X II a X ic ic b G b G 7 ic g c c g a X ic b X 7 c X d X X 8 f X ic co a F b f f, f i i i i i a S b E d rad B a H b Y d H ; h Y c f Mamáica Avaada Trabao Prácico Nº 6/8

42 a X X b ; 9 c 9 7 a b f a/ Fω -a/ a/ - ω - a a a F ic ic 8 Z T b T b H A P b b b Epcro d amplid d Z Epcro d amplid d h H -b b b b -b b Epcro d fa d Z Epcro d fa d h H b b -b -b b = c b - A bic co - b- A Mamáica Avaada Trabao Prácico Nº 7/8

43 Ercicio propo v ic co k a k k b i L a ic L a a L L co arcg para c If. 79 A a 7 b c d 76 Mamáica Avaada Trabao Prácico Nº 8/8

44 MATEMÁTICA AVANZADA TABAJO PÁCTICO N O Traformada d Laplac Variabl d Eado l domiio d la frccia Dada la igi raformada, provi d fcio f caal, drmi grafiq l plao rgió d covrgcia aaliado lo polo lo cro. a F b F c T F 9 Dada = - = -, morar q o fcio d ord pocial hallar la Traformada d Laplac d = -. Drmiar rgió d covrgcia. Calcl l valor d la igi igral a parir d la dfiició d la raformada d Laplac. a I ic o d b I d Apliq la propidad d cala para obr la raformada d Laplac d la igi ñal: a f b S modifica la cala dl dibo d la fció d modo d ampliarlo l l. La raformada d f F k. Hall V. v =f v= = Apliq la propidad d ralació l impo para raformar la igi ñal: a b c 6 6 Dmr la igi propoicio: G a Si L f oc L r f a l r l r Ada: r l r b Si L f F oc L d f l G a r F d a Ada: la propidad d raformada d Laplac d la igral d a fció. 7 Hall la raformada d la igi fcio: a = - b = Mamáica Avaada Trabao Prácico Nº /

45 8 Haga la drivada primra d la ñal dl rcicio, aplicado la propidad corrpodi, cr la raformada d Laplac cada cao. 9 Calcl la raformada d la igi fcio, ado la propidad: L f F d a a f b f c f Hall la raformada d Laplac d la igi fcio: a f d b f Uado la propidad: f F ñal: d a f 6 b f ch h calcl la raformada d la igi Hall la raformada d Laplac d la igi ñal priódica. a b A A T/ T T T/ T T T -A Traformada ivra d Laplac U l méodo d darrollar la F fraccio parcial para obr f. a F b F c F F. U la fórmla d ivrió compla para obr f d [ Fórmla divrió Compla : f [ F ] úmro dpolo d F k k Aalic l corrimio irodcido a por l facor -. ] U la fórmla d ivrió compla para corar la f corrpodi al cao prado c. 6 lva la igi cacio difrcial aplicado raformada d Laplac a ambo mimbro diiga la olció libr d la olció forada. a ' ' Mamáica Avaada Trabao Prácico Nº /

46 b '' 9, IV c ' '', ''' d '' ', ' '' 6' 9, ' - Grafiq odo lo cao la olcio libr, forada oal. - Comprb q cmpl co la codicio iicial corrpodi l domiio mporal iliado l orma dl valor iicial. 7 Dado l igi circio, q rpra mdia l ima d cacio difrcial morado, apliq la raformada d Laplac para corar la ió la ricia, v r, fció d la io gérica caal v v. L L v i i v v L i i i v L i i i i i 8 lva la cació difrcial dl rcicio 8 d la Gía d Sima Lial aplicado raformada d Laplac. 9 Dada la igi cació difrcial co: a b, I a b II a b 8 III a b a Hall la rpa al implo a parir d la H biq lo polo l plao. b Grafiq h. c A parir dl diagrama d polo l gráfico d h aalic i l ima abl o o. d E lo cao I II hall la alida cado la rada = co codicio iicial la. Idifiq la olció régim prma. Apliq l orma dl valor fial a la raformada d Laplac d la alida hallada d. Obrv la rlació co la olció régim prma hallada a. Dado ima lial rprado por l igi diagrama bloq: + Hall iliado la Traformada d Laplac d la fcio ivolcrada. Dado l igi ima: X /k Y 7 a Ecr lo valor d k para lo cal l ima abl. Mamáica Avaada Trabao Prácico Nº /

47 Lgo, poido q k = : b Hall la rpa al implo. c Obga la cació difrcial q modla al ima. d Calcl cado abido q. Diiga la olció libr d la olció forada. Mr q la olció forada i valor iicial lo calcla co codicio iicial la. Para l circio d la figra, co a rada v priódica como la morada, pid: v L = Ω L = mh +A i i= ma v A = V T/ T T T = m a Obga la cació difrcial. b Aplicado la Traformada d Laplac cr i. Idifiq la par d la corri q dpd d la rada la q dpd d la codicio iicial. -A Spoga a barra co rmo á bicado = =L coicidido co l. w = =L Si aplica a carga vrical w por idad d logid q acúa ravralm obr la barra, oc l d la barra fr a dflió l po q aifac la igi cació: d w L d E I Ea dflió ravral l llamar crva d dflió o crva láica. La caidad EI llama rigid flral d la barra la podrmo coa E l módlo láico d Yog d la barra I l momo d ircia d a cció ravral d la barra alrddor dl. La caidad EIY EIY llama, rpcivam, momo d flió momo d cor. Obrv q la oma poiivo hacia abao, dcir, q la dflio o poiiva hacia abao. La codicio d cooro aociada co la cació difrcial dpd d la mara q la barra oporada. La má com o la igi: Emporada o fia: = = Simplm apoada: = = Libr: = = a Uiliado raformada d Laplac calcl la dflió d a viga co rmo mporado para w=-l/, EI=, L=. El ado d la viga lo rmo á dado por la codicio: = = L= L=. b Grafiq la crva obida. Mamáica Avaada Trabao Prácico Nº /

48 Ercicio propo: a Dmr q i f a ñal q i raformada d Laplac F, oc d F L f. d L co b Apliq la propidad arior para corar Variabl d ado l domiio d la frccia Dado l ima d la figra: a Ecr la maric A, B, C D dl modlo d ado l campo. b Hall la mari d raició l domiio raformado,. c Uiliado la obida calcl la fció rafrcia H. d Obga la cació difrcial q modla al ima. El ima abl? Jifiq. f pr al ima co la cacio maricial l diagrama bloq corrpodi a la gda forma caóica. g Calcl d vo l H co la cacio d ado d la gda forma caóica. A d raliar l cálclo: a qé prió dbría llgar para la H? Coidr l ima dcrio por la igi cacio d ado: a Ecr la raformada d Laplac d la mari d raició,. b Hall la mari d raició, = A. c Ecr la fció d rafrcia. d A parir dl modlo variabl d ado hall diagrama bloq iliado bloq dl ipo /. Si la codicio iicial dl ima o o ha rada aplicada, obga la corrpodi codicio iicial para la variabl d ado, - -. f Co la codicio iicial hallada d calcl la rpa o forada libr d lo ado,. Grafiq la rpa vrifiq la codicio iicial. g Hall la rpa o forada libr dl ima,. Grafiq la rpa vrifiq la codició iicial. h Hall la rpa oal i la rada co la codicio iicial dl icio c. Uilic la rpa calclada a. i Calcl lo aovalor lo aovcor d la mari d ado. A parir d lo calclado aalic la abilidad dl ima ificado aálii. Mamáica Avaada Trabao Prácico Nº /

49 Propoga a mari d raformació P al q la mari d ado dl vo ima a diagoal. k Hall la mari d ado la mari d raició d lo ado dl vo modlo. Cómo rá fció d rafrcia? 6 La igi aalogía lécrica modla l comporamio d rmómro d mrcrio. v Tv m Tm T i Cv i Cm T pc m C m ºC v m C m v C m vc v T : Tmprara a mdir. T a: Tmprara ambi. T v: Tmprara l irior dl vidrio dl rmómro. T m: Tmprara dl mrcrio. C v: Capacidad érmica dl vidrio. C m: Capacidad érmica dl mrcrio. v: icia érmica dl vidrio. m: icia érmica dl mrcrio. Tv k m Tm T p m v v C Jol C Jol mm v Cv m Cm k Wa C Wa C C La corri i i rpra flo d calor, la mprara á rprada por io. La coa k rlacioa l dplaamio dl mrcrio por l bo mm co la mprara d dicha acia. El fcioamio báico dl ima l igi: La f d calor, a mprara T, hac q l calor pa a ravé d la ricia érmica dl vidrio v. Par d calor qda almacado la maa dl vidrio, rprada por la capacidad érmica C v, ora par paa a ravé d m calia la maa d mrcrio, la cal ama volm a pqña caidad. Pro gracia a q l bo d vidrio d diámro m pqño capilar coig dplaamio comparaivam grad l bo, proporcioal al amo d mprara dl mrcrio. S pid: a Obga la raformada d Laplac d la mari d raició d lo ado,. b Uado la obida calcl la fció rafrcia H. c Si l rmómro cra qilibrio érmico a mprara ambi T = ºC lo capacior C v C m á cargado a T = ºC = ilia para corolar a a proa q i a mprara d ºC. Cáo impo ardará l rmómro marcar l 99% d lo ºC? Grafiq [ ºC ] iliado Malab va l rlado l gráfico. d Spoga q l rmómro ha ado omido a ºC l impo fici como para q la idicació abl régim prma, = po l rmómro vam a Mamáica Avaada Trabao Prácico Nº 6/

50 mprara ambi. Calcl l impo q l llva al rmómro marcar ºC. Haga l gráfico d [ ºC ] iliado Malab va l rlado l gráfico. Ecr la mari d raformació Q al q l modlo d ado rpr a la variabl d ado v,v = i,t v. f Hall la cacio d ado para la variabl V, V dl icio arior. g Cómo rá H l modlo raformado co rpco a la dl modlo origial? No calcl, ólo rpoda. 7 U ima iabl, co fció d rafrcia H par d vo ima, q icl filro k H a ralimació como mra la figra : 6 U H H Y - a Ecr la Fció d Trafrcia dl ima complo. b Vrifiq q l modlo Variabl d Eado coocido como d la gda forma caóica l igi: A ; B ; C k ; D k 6 7 c S coidra q l ima complo dría l fcioamio dado i aovalor f = -,,= -±. Ecr l valor d k l filro para q o ocrra. d Vrifiq q [ - ] T aovcor q corrpod a = Compl co lo corado d la mari P..., dod, la úlima... colma aparc lo aovcor corrpodi a,. f Si raformara l ima d la gda forma caóica iliado la mari P dl icio, graría va variabl d ado v, al q = P v. Si calclar P -, cr A v la mari raició d lo ado para lo vo ado v. v g Ecr la prió, l domiio raformado d la olció aral d lo ado V, i v = v =, v =. Ecr ambié v. h Lgo a parir d v, calcl,. 8 El qma d la figra rpra dipoiivo coformado por a maa M ida a bloq d marial piolécrico q cora lvm al aplicarl a ió lécrica co lcrodo málico obr la cara opa, dod la poició d dicha maa dpd dl vola. La cació difrcial q dcrib l ima co parámro : d d r M, d C d Dod la coa d proporcioalidad d la fra q rc l piolécrico a la maa M; r la coa d ricia mcáica; C la capacidad mcáica dl bloq piolécrico. Mamáica Avaada Trabao Prácico Nº 7/

51 Sabido q = N/V ; r = kg/; C=,98 - /kg; M= kg, pid: a Ecr la fció d rafrcia dl SLIT q rpra al dipoiivo, H. b Ecr, rabaado l domiio raformado, la rpa dl ima, Y, i = -, =, =. Diiga r rpa libr forada. c Ecr la rpa mporal dl ima,. d Ecr a rpració dl ima VE l domiio d la variabl d Laplac,. Aalic la abilidad dl ima a parir d la mari d ado, A. f Hall la mari d raició d lo ado,, a parir d lla calcl la fció d rafrcia dl ima. g Propoga a mari P para obr vo modlo VE al q la mari d ado rl diagoal. Ecriba la mari d ado rla. MATEMÁTICA AVANZADA TABAJO PÁCTICO N O pa a lo Ercicio a C : b C : c C : 6 X C : a I b I o a F b V k 6 a X b X c X 7 a X b X a 9 a F arcg arcg b F Log c F Log a a F 6 b F arcg a F b 6 F 7 9 Mamáica Avaada Trabao Prácico Nº 8/

52 a F A T T b F A T T T a f b f [ co ] c f [ ] 6 a [ co ] b 9 c [h ] d co i co 7 v L v v L [ d L ] II h III h 9 I h ω h ω h ω h - - σ - σ - - σ ESTABLE ESTABLE INESTABLE 8 d I II co [ co ] a Para q l ima a abl db r: k > Mamáica Avaada Trabao Prácico Nº 9/

53 Mamáica Avaada Trabao Prácico Nº / b h c 7 d a v i d di L b / / / / / T T L T T T T T L T T L A i i A i i L L a L L EI EI L EI L L EI EI L Y / 6 6 / / 6 b Gráfico para EI=, L= a A B C D b c H d 6 7 Eabl f 7 6 V V V Y U V V V V V V Solció forada Solció libr

54 Mamáica Avaada Trabao Prácico Nº / a b A c 6 H d ; f h g h h 8 co i Aovalor: = -, = -. Aovcor: k v, k v. P, a a d la ifiia maric q prmi hacr a raformació. k A, 6 a 6 b 6 H c = gdo Y U

55 Mamáica Avaada Trabao Prácico Nº / *,,,6,8 d = 9 gdo *,,,6,8 Q f V V Y U V V V V 7 a 6 7 k k H c k=6. P f v φ v A g v v h 6 8 a H [ºC] [mio], [ºC] [mio] 9,6,9

56 b Y f / / / ; Y l 8 c co Sima abl f X d g Y X U X P k k k Ua d la ifiia poibl maric d raformació, dod k k pd r calqir úmro. k Mamáica Avaada Trabao Prácico Nº /

57 Prácica Dmoraiva co Malab

58 Prácica dmoraiva Nº Fcio ri variabl compla Obr l valor d la igi fcio po dado,, a valado la fció l po, b calclado l valor d la ri d N érmio. f = Z f =i c Irccio para calclar l valor d la fció l po: >> clar all % limpia l pacio d variabl >> =i*pi; % igra l valor d =*pi >> f=p % calcla f para l valor dado d d A coiació aproimamo l valor d la fció por la ri d Talor:! Ua opció hacr la ma acmlaiva d N érmio: >> =; % Primr érmio d la ri >> =+^/facorial % Sma d la ri haa l gdo érmio >> =+^/facorial % Sma d la ri haa l rcr érmio >> =+^/facorial % Sma d la ri haa l caro érmio Comprb q co l érmio décimo qio obi a ba aproimació d la fció. Ora forma d obr la ri calclado úico vcor q coi lo valor d cada érmio d la ri, fialm hacr la ma: >> N=; % Caidad d érmio d la ri >> =[:N] % Vcor d ídic d a N >> =.^./facorial % Calcla cada érmio d la ri >> =m % Calcla la maoria d lo N érmio Ua rcra opció hacr lao, a q alga vrio d Malab o admi aplicar la fció facorial a vcor maric. >> N=; % Caidad d érmio d la ri >> =; % S iicialia la ma >> for k=:n >> =+^k/facorialk >> d - pia la opració para oro valor d. - pia odo l rcicio para f =. Noa: La fció o Malab i. crd q la ri q rpra al o : i.!

59 Prácica dmoraiva Nº Aálii d ima lial l domiio mporal pa d ima lial d º º ord a Coidrmo l igi circio C: rprado por la cació difrcial ', K, co C 7 F. C 7.8 Prviam rolvió a cació difrcial la oría co a rada d amplid V a codició iicial =V. Si coidra q la rada aplica = la olció obida val para >, dcir: /. Admá, abmo q podmo dcompor a a olció d do mara difr: h p. / l f /. / Grafiq la fcio arior < <. E gráfico dib la olcio homogéa, pariclar oal, l oro la libr, la forada la oal. Ea cia gra vcor co >> =lipac,,; valor qipaciado q va d a. A d cribir la fcio q vamo a graficar cario dfiir la coa: >> =.; >> C=7-6; >> a=*c; Ahora í amo codicio d cribir la fcio d alida. >> h=-*p-/a; >> p=; >> l=p-/a; >> f=-*p-/a; Por úlimo graficamo la fcio. >>plo,h,'b',,p,'r',,h+p,'k'; >>ai[,,-,] >>figr >>plo,l,'b',,f,'r',,l+f,'k'; >>ai[,,-,] Obrv q Malab ibl a maúcla miúcla. No cario mliplicar a la fcio por l caló iario a q ro d impo á dfiido a parir dl. Ea ircció prmi graficar a mima figra varia fcio forma imláa. La lra r apórof idica l código d color d la lía.

60 Obrv lo gráfico compl: La olció régim prma igal a..vol, igal a la olció E l primr gráfico pd vr q la compo raioria d la olció á dada por la olció.... La olció libr dpd d La olció forada dpd d la.. dl.., co codicio iicial.. b Coidrmo ima d gdo ord rprado por la cació difrcial dada abao. '' a' b La raíc d la cació caracríica dpd d lo cofici, a b, d la cació difrcial. E l cao q a=b= dicha raíc o r,, por lo ao la / olció homogéa drá la forma / h c co c i. S aplica al ima do rada difr: primr lgar a rada oidal d frccia aglar =, =i = -. V; = V, gdo lgar plo cadrado d amplid V dració, = - -= - V; = V. E l cao d la rada oidal pd obrvar a par raioria la rpa? Cómo l comporamio dl ima régim prma?..... Qé pd dcir dl cao q la ñal d ciació plo co rpco al régim raiorio? Para par: Qé ocrr i la cació difrcial '' ' 66? Obrv la raíc 6 d la cació caracríica. E qé cambia l comporamio dl ima al r a raíc? E ima abl/iabl Obrvacio: Lo ima o ESTABLES i cacio caracríica i raíc co par ral...! E lo ima iabl o pd hablar d rpa régim prma.

61 Prácica dmoraiva Nº Covolció a Coidr plo crado l orig, d dració d= amplid A=, q rpra ao la ñal d rada como la rpa al implo h como v la igi figra. haviid +.-haviid Calclar graficar Malab la ñal d alida dl ima a ravé d la igral d covolció =*h. Solció olvmo l problma corrido Malab l programa corrpodi, ipado la vaa d comado: >>covolcio S obi gráfico como l igi Qé caracríica obrva? El acho d dració d la alida la ma d lo acho d dració d h. E dcir, h i dració i dració +=. La alida comia a omar valor a parir d la ma d lo impo iicial d h. E dcir, h comia = -, comia = -,+-, = -. La alida coia. La alida pra do ramo o lo, l primro d pdi poiiva r l gdo d pdi gaiva. El primro corrpod co l irvalo q l plo q dplaamo va rado l q damo fio. A mdida q ocrr o, l ára q calclamo para cada va amado co l dplaamio d. Lgo d q l plo dplaado ra l q damo fio, comia a alir dl mimo, por lo q l ára

62 dl prodco comia a dimiir, haa q fialm l plo dplaado al complam. A parir d allí =. b Coidr ahora a ñal d rada como la q obrva a la iqirda a rpa al implo h como la d la drcha haviid-haviid- haviid-haviid-+haviid olvr co Malab la covolció primro ado la dfiició, * h h d lgo aplicado Solció. h d Ec primro >>covolcio obrv lo rlado para. Ec ahora >>covolciob obrv lo rlado para. Compar la alida obida: Qé coclió obi? Qé propidad acaba d vrificar?

63 Smiario co Malab

64 MATEMATICA AVANZADA - SEMINAIO Tma d variabl compla aálii d ñal l domiio mporal I Algo cálclo báico variabl compla iliado Malab. a Obr la raíc, i i=,,, dl igi poliomio: f= Malab o prmi hacr cálclo iliado la fció roo. >> =[ 8]; % Vcor d cofici dl poliomio. >> i=roo i = i. -.96i b Obr la raíc dl domiador dl igrado dl rcicio 7. b d la gía.. Hall la prió coordada polar d la raíc d a. La raíc hallada a á prada coordada cariaa. Co Malab m cillo obr la prió coordada polar, iliado la fcio ab para obr l módlo pha para obr l áglo o fa. >> % Módlo fa d i >> m=abi % Dvlv lo módlo d cada lmo dl % vcor i m =... >> f=phai % Dvlv la fa d cada lmo dl % vcor i f = % Tga ca q la fa á dada radia.. Ora aplicació d mcha ilidad la q prmi obr a paió fraccio impl d coci d poliomio, cálclo q l rlar rabaoo cado i o má raíc l domiador, o cado la mima o compla. Por mplo, i damo cribir la igi fció como a ma d fraccio impl: F Malab o prmi implificar lo cálclo mdia la ircció rid, q da la raíc dl domiador polo d F, p, lo cofici d la fraccio rido d F cada po iglar, r l érmio dirco, k. La rada q db dar a la fció rid o lo cofici dl mrador l domiador.

65 >> % Para la fció dada: >> =[ ]; % Cofici dl mrador. >> d=[ ]; % Cofici dl domiador. >> [r,p,k]=rid,d r = i i.769 p = -. +.i -. -.i k = [] Podmo covrir lo úmro complo a polar: rm=abr rm = >> rf=phar rf = Ahora amo codicio d cribir ra fció como ma d fraccio impl: A B C F. F Para polo complo cogado la ma d fraccio impl pd prar ambié como: A B F C.6[ co,69 i,69 ].769 F 9 a Hall la paió fraccio impl d F. 8 b Hall la paió fraccio impl d F 6 Noa: ilic l hlp d Malab para irprar lo rlado.

66 II Aálii d ñal l domiio mporal a Grafiq la fció f i/ obrv la icia d ifiio máimo míimo. >> =[.:.:]; % vcor d impo >> f=i./; % fció obrv q para dividir por vcor % po a po ilia './' >> plo,f % grafica vcor d abcia, vcor d ordada b Calcl la fció f ic i / >> =[-:.:]; %vcor d impo q icl al cro >> f=i./; % fció E alga vrio d Malab aparc ma d warig. Ea advrcia db a q l vcor d impo icl l cro Malab o pd hacr la ca para valor. Para olcioar o dfiimo vam l vcor. >> =[-:.:]; %vcor d impo q NO icl al cro >> f=i./; % fció Grafiq f, f, f / f - mimo gráfico. >> fa=i*./*; >> fb=i/.//; >> fc=i-./-; >> plo,f,'k',,fa,'r',,fb,'b',,fc,'g' % grafica la ñal % k,gro, r,roo, b,al, g,vrd >> grid o % diba la grilla c Co Malab podmo grar ra propia fcio lgo iliarla para hacr lo cálclo q d. c- Crar a fció co Malab q rpr l igi gráfico: Para crar a fció, la barra d Malab lccio Fil, Nw, M_fil. Eo abrirá a va págia dl dior. Allí racriba l igi o, q corrpod a la fció dl gráfico. E la primra lía dclara q raa d a fció domiada f, co argmo. Eo db r ca cado llama a la fció, q rá ivocada como fargmo.

67 fcio =f % Calcla la prió fcioal corrpodi a cada irvalo d. =--*; =-+*; =6-*; % U la difr prio fcioal rpcivo irvalo % d valid. =.*-< & <=+.*< & <=+.*< & <=8; Gard la fció co l ombr corrpodi. Para llo, l dior vaa a Fil, av a, agúr d q é l dircorio o carpa dado ombr a la fció f.m. Gárdla. Irpr la úlima lía dl programa arior. c- Obga la igi fcio dplaado, comprimido, dilaado cambiado la cala d f: - g=*f- - g=.*f - g=-*f+/ Grafiq la caro fcio l mimo gráfico valú lo obido comparado co lo q hbira prado obr. Para iliar la fció agúr d ar l dircorio dod la mima á gardada. Obrv Crr dircor >> =[-8:.:]; % Gra l vcor d impo >> g=*f-; >> g=.*f*; >> g=-*f+/; %% Dibamo la r fcio a mima figra, o co la %% ñal origial. >> g=f; >> bplo,,; plo,g;grid o >> bplo,,; plo,g;grid o >> bplo,,; plo,g;grid o >> bplo,,; plo,g;grid o / d pia l icio c para la fció f i.

68 MATEMÁTICA AVANZADA - SEMINAIO Maric I Opracio báica co maric iliado Malab. Igrar do maric d, A B: A B - - >> A=[ -; - ; ; - ]; >> B=[ ; - ;- ; - ]; aliar co lla la igi opracio: Mari ivra d A mari ivra d B. >> Ai=ivA >> Bi=ivB Mari ivra d A*B. Comparar l rlado co A - B - co B - A -. Mari rapa d A mari rapa d B. >> A=A >> B=B Mari rapa d A*B. Vrifiq q cmpl la igaldad AB T = B T A T q AB T A T B T. Drmia d A drmia d B. >> Da=dA >> Db=dB Drmia d AB. Vrifiq q cmpl la igaldad: dab = dadb. Aovalor L aovcor V d A d B. >> iga %Vcor d aovalor % Si admá qir obr lo aovcor: >>[V,L]=igA % V: mari co aovcor la colma % L: mari diagoal d aovalor Vrifiq q cmpl la igaldad: A*V= V*L. % Pd hacr para cada o d lo aovalor aovcor >> A*V:, % Prodco d la mari A por la primra colma % d la mari V Primr aovcor >> V:,*L, % Prodcor dl lmo, d la mari L % co la primra colma d la mari V. % Tambié pd comprobar dircam >> A*V >> V*L

69 II Propidad d la mari d raició d lo ado = A. Comprobarmo alga propidad d la mari d lo ado. Para llo coidrmo la mari: ih ih coh ih ih coh Ea mari ha ido gardada como a fció d Malab: fi.m, co argmo. Para valar valor dado d = i implm db cribir la prió >> fii Comprb la propidad q ablc q =I. >> fi=fi Vrifiq q cmpl la propidad + = ido = =. >> fi=fi >> fi=fi >> fi=fi >> fi*fi Dado l vcor d ado iicial, =[;-], calcl para =, = = iliado la propidad =φ-. Qé obrva lo valor d la olció a mdida q racrr? Cómo rlacioa o co la abilidad dl ima? E ima abl? Jifiq.

70 MATEMÁTICA AVANZADA - SEMINAIO Sri d Forir Coidr vam l rcicio d la gía d TP º, l q coró q V co a Grafiq l pcro d amplid fa para la cico primra armóica. Qé caracríica obrva ambo pcro? b Grafiq la ñal rcorida ado la cico primra armóica. Qé a ba dicha rcorcció?, a qé db o? c Calcl la pocia mdia d la ñal la coida la primra cico armóica. Qé porca d la pocia oal á coido l cálclo arior?.. d pia lo icio arior para oro úmro d armóica por mplo,. Solció: D la prió d V, obmo q a por lo ao c c 8 a a Empcmo por dfiir a caidad d armóica pogamo =, calclmo grafiqmo lo rpcivo pcro d amplid fa. = %Coidrmo la cico primra armóica C=/pi*qr./-*[-:].^; %Calclamo lo Cofici d Forir dd =- a = amplid=abc; %Calclamo l pcro d amplid fa=phac; %Calclamo l pcro d fa fa:=-fa:; %Cambiamo por covció pi a -pi la fa d lo C co ídic gaivo %Graficamo figr; bplo,,; m[-::],amplid; il'epcro d Amplid'; bplo,,; m[-::],fa; il'epcro d Fa'; b corimo la ñal para la cico primra armóica %corimo la ñal =[:.:.]; % dfiimo ro vcor d impo clar i % limiamo la variabl i para q o cofda co la idad imagiaria for =:lgh vr=mc.*pi*[-:]**pi**; %rcorimo la ñal o l w ado d vo=*qr*abi*pi*.*; %calclamo la ñal origial figr; plo,vr,,vo,'r'; il'ñal rcorida al v. ñal origial roo';

71 c Calclmo la pocia mdia d la ñal raliado la igral l impo. cordmo q la ñal i príodo T=. la pocia mdia d la ñal obi mdia Pm T T Vo Fialm obmo la pocia coida la primra armóica. m ; %Cració d a variabl d igració d ipo imbólico T=.; %Dfiimo l príodo d la ñal Pm=/T*i'*^.*abi*pi**^',,,T %La fció i igra l igrado r comilla omado como variabl d igració r T %Por l orma d Parval %Pm=abC ^+*abc ^+*abc ^+... C=C+; %crd q l cofici C la compo + d C Po armoica=abc^+*mabc:.^ d Comario: E l icio a lo cofici d la ri pocial d Forir lía dl código dl icio a pd calclar ado lao for mdia: =; for k=-: =+; C=/pi*qr*/-*k^; d Mira q b la pocia coida la armóica ambié podría habr calclado mdia: C=C+; Po armoica=c^ for k=:-: k Po armoica=po armoica+*abck^ d dod mra la pocia acmlada dd la compo d coia armóica cro haa fialm la armóica. Noa: la fció ab calcla l módlo la fció pha la fa dl vcor d cofici C. Grafiq la ri d Forir corrpodi a r d implo dada por T T para la primra armóica para =,,. a Irccio para iicialiar príodo, frccia vcor d impo. T=; %coidramo príodo igal a o Wo=*pi/T; %calclamo la frc. aglar fdamal =[:T/:*T]; %coidramo vcor d impo d a T ia % qipaciado co irvalo T/ clar i %para viar cofdir la idad imagiaria co poibl variabl.

72 Comparado co l rcicio, cia má o mo armóica para obr a ba aproimació d la ñal? Jifiq rpa. b A coiació calclamo la ma d la primra armóica para =,, la graficamo. =; =/T*mpi*[-:]'*Wo*; %calclamo la ma parcial d la ri para = figr;plo,;il'la ri rcorida co la primra armóica'; pa =; =/T*mpi*[-:]'*Wo*;%calclamo la ma parcial d la ri para = figr;plo,;il'la ri rcorida co la primra armóica'; pa =; =/T*mpi*[-:]'*Wo*;%calclamo la ma parcial d la ri para = figr;plo,; il'la ri rcorida co la primra armóica'; pa =; =/T*mpi*[-:]'*Wo*;; %calclamo la ma parcial d la ri para = figr;plo,; il'la ri rcorida co la primra armóica';pa Ora forma d calclar la ri: %La irccio arior para l cálclo d la ma ambié pd raliar co lao for ma=; for k=-: ma=ma+pi*k*wo*; d Noa: la fció pocial p. E ambo cao obrv qé ocrr, ao co la rcorcció d la ñal como co l cálclo d la pocia, al amar l úmro d armóico.

73 MATEMÁTICA AVANZADA - SEMINAIO Traformada d Forir Vialic la rlacio r l acho d plo l impo lo crc por cro d raformada d Forir para l par dado por: P a Solció a a ic a Ircció para iicialiar impo: =-:.:; b Cramo l plo l impo: acho=; %Iicialiamo l acho dl plo plo = *>=-acho/ & <=acho/; % Gramo l plo a c Cramo la raformada ic a : w=-6*pi:.:6*pi; fcio_ic=acho*iacho*w/./acho*w/; d Graficamo plo raformada a mima figra: figr; bplo,,; hold o; plo,plo; ai[- ]; bplo,,; hold o; plow,fcio_ic; pia lo pao b, c d cambiado l acho dl plo modificado l valor d la variabl acho a valor r. Obrv lo gráfico rla raiga coclio. Qé rlació obrva r l acho dl plo l impo l acho d lo lóblo d la ic l domiio raformado? Vrifiq q ambié poibl crar l plo l icio b mplado la fció prdfiida Haviid. plo=haviid+acho/*oi-haviid-acho/*oi; %qival a raliar Pa=+a/--a/ dod a l acho dl plo