Se hace notar que el límite inferior esta definido desde. considerando el tiempo t = 0 y lo que ocurra con la f(t) en ese instante

Transcripción

1 APITUO ANAISIS DE IUITOS MEDIANTE A TANSOMADA DE APAE Y OUIE. INTODUION a raormada d aplac ua hrramia udamal para l aálii d ima lial ivaria, como por mplo rd y circuio lécrico, o i aplicació ima varia y /o o lial a raormada d aplac u oprador mamáico qu oma ua ució lial ivaria l domiio dl impo y la raorma ua ució qu oma la orma d u cuoci d poliomio rmio dl parámro domiada como rcucia compla Dada ua ució raormabl u raormada oma la orma o lími o io y diido r S hac oar qu l lími irior a diido dd d ; l rulado o dpd d olo dl parámro coidrado l impo = y lo qu ocurra co la ia lo qu hac para aizar l hcho qu la igració raliza Aí la igració ocurr para odo impo, coidrado qu gralm la ució xacam igual a cro para odo pco dl parámro, pud ocurrir qu om valor ral, complo o imagiario puro u orma gral rá oc EJEMPO Si u caló al qu ral poiivo, oc la aplicació d la raormada rula ua igral dcrci, id qu l caló val para odo impo mayor qu cro. d d 34

2 35 ugo = para Aí l ára bao la curva rula r iia, i mbargo i l parámro u úmro ral gaivo l ára bao la curva diida por la igral rula r ua xpocial crci co rulado iiio Si l parámro complo co par ral la igral rula r iia. d i d ugo w Para > EJEMPO Sa la xpocial a dod a u umro ral o complo u raormada d aplac rula r = a a d d a a a

3 Aí a Aí a para -a > a. Propidad D la Traormada d aplac Aplicada a lo ircuio a propidad d la Traormada d aplac o uilizada para rolvr opracio d ucio rlaivam complicada Primra propidad: UNIIDAD a propidad d Uicidad igiica qu i i ua ució raormabl l domiio dl impo,, la raormada d aplac d lla corrpod a ua ua ució l domiio d la rcucia compla. y i cooc la ució u raormada ivra corrpod orma uívoca a la mima ució l impo. Sa ua ució raormabl lugo oc Si pruicio d lo arior o oda la ucio i u raormada, por lo qu la raormada válida olo para ucio qu a raormabl. Ua ució raormabl cuado la ució rula gr u valor iio cuao. a propidad d Uicidad prmi coruir abla d raormada qu via r qu aplicar la igral d raormada cada vz qu cia obrla. a d a 36

4 Propidad d INEAIDAD Ea propidad rvi gra imporacia l cocpo qu la raormada d aplac ua ució lial, la propidad d lialidad pud probar aplicado la propidad d homogidad y adiividad qu aiac ua ució lial Sa y do ucio l impo y y do coa arbiraria Y a Aplicado raormada d aplac d d d d d omo y o coa d d o lo qu quda dmorada la propidad d lialidad d la raormada d aplac. EJEMPO Obr la Traormada d aplac d la ució coo Sa co co 37

5 38 S ab qu co Eoc aplicado lialidad cumpl = = Propidad d DIEENIAIÓN a rcra propidad d la Traormada d aplac corrpod dmorar la rlació impl qu xi r d Traormada d aplac d ua y la raormada d u drivada. Sa d d g d d d d d g El argumo d la igral pra l produco d do ucio d modo qu la rolució d la igral db ralizar uado igració por par. d d d d d d d d

6 39 El méodo pud r aplicado ambi para coocr la raormada d la -éima drivada d ua ució cuya xprió gral rula r d la orma 3 d d 3 d d Propidad d INTEGAION a rcra propidad d la Traormada d aplac corrpod dmorar la rlació impl qu xi r d Traormada d aplac d ua y la raormada d u drivada. Sa d g d d d g ` ` El argumo d la igral pra l produco d do ucio d modo qu u rolució db ralizar uado igració por par. d d d ` ` ` ` ` ` d d ` d

7 El méodo pud r aplicado ambi para coocr la raormada d la -éima igral d ua ució cuya xprió gral rula r d la orma Propidad d TASAION Ea propidad d la Traormada d aplac i qu vr co la rlació qu i la raormada d a plac d ua ució dplazada rpco d ua o dplazada Sa ua ució l impo qu iicia =. Mira qu a mima ució qu iicia Aí la d Sa ` ; ` ; d d` d ` ` ` ` d i oc mira qu i ` ; oc ` i mbargo la igral d aplac di olo para y o i ido para d a orma l lími irior d la igral di para, dro d lo lími d igració l caló impr uo y la xpocial pud dcompor l produco d do xpocial ` ` d` ` ` d` ` ` d` 33

8 33 Propidad d raormació d ua EUAION DIEENIA a aplicació ma rcurr d la Traormada d aplac corrpod a la raormació d ua cuació dircial d ord o igro dircial ua cuació algbraica ució d co coici coa Para llo baa co aplicar la Traormada a odo lo érmio d la cuació uado la propidad dcria ariorm. ao d Ecuació dircial: Sa Ecuació dircial d primr ord d la orma obida a parir d u circuio ; cocado ri y alimado por ua u d vola x d dx a cuació y para l circuio dado la variabl x corrpod a la corri d la malla i Aplicado aplac a oda la cuació i x d dx Aplicado lialidad y dirciació i la igui cuació algbraica o o o

9 33 ao cuació INTEGODIEENIA Sa cuació Igrodircial obida dd u circuio ;; cocado ri y alimado por ua u d vola x Vo d x d dx a cuació la variabl x corrpod a la corri d la malla i Aplicado Traormada y u propidad obi la igui cuació ució d Vo o Vo o Vo o Vo o S pud obrvar qu ambo cao la rpua d la variabl d alida quda xprada ució d la ució d rada, y d la codicio iicial o y Vo Propidad d raormació TEOEMA DE ONVOUIÓN Sa y do ucio l impo y y u rpciva raormada d aplac Sa la covolució d la ucio y y u raormada d aplac, al qu d

10 Aí d d d Para rolvr la dobl igral co do dircial procd primro agrupar d mara qu qud u produco d igral co variabl d igració coi. d d Iroducido la guda igral l rmio xpocial igui = la igral quda prada d la orma d d d d Hacido cambio d variabl d modo qu ` y d` d acrqu a iiio lugo l lími uprior para pud coidrar y pud r lo uicim grad qu ` y l lìmi irior cro ació a qu la ucio y pud coidrar como cro cuado u argumo o gaivo d modo qu para io igual a cro para lugo ` = ` d ` d` ada igral y u argumo corrpod a la orma d la raormada d aplac d la ucio y rpcivam por lo qu la xprió ial d la raormada quda xprada d la orma d produco d la rpciva raormada d aplac 333

11 Propidad d Traormació d lo EEMENTOS DE IUITOS EÉTIOS a rd lécrica á ormada pricipalm por r lmo icia, apaciar, Iducor y al mo ua u, llo pud r xprado l domiio d aplac d acurdo a ua ució d la rcucia compla, U rior lial ivaria l domiio dl impo i la orma V = * i Al aplicar la raormada d aplac cumpl V I V = * I d modo qu pud diir E l cao d u apacior ial ivaria, i codició iicial, l domiio dl impo cumpl la igui xprió v i d Al aplicar la raormada d aplac cumpl V I d modo qu pud diir V I E l cao d u Iducor ial ivaria, i codició iicial, l domiio dl impo cumpl la igui xprió di v d Al aplicar la raormada d aplac cumpl V V I d modo qu pud diir I 334

12 335 a u drá ua orma pcíica l domiio d aplac gú a la orma qu i la ució l impo qu la rpra. Aí i la ució qu di la u oc Para covrir u rd lécrica qu origialm cura l domiio dl impo baa co cambiar cada lmo la rpració l impo por u rpració aplac, la u por u raormada la variabl por u raormada y aplicar la ly gral d circuio para obr la cuació algbraica qu rulv la iuació pcíica. Sa ua rd lial ivaria ormada por u codador, ua ricia y ua iducacia cocada ri y alimada por ua u di la corri i como la corri d malla. Aí cumpl I S I I I I I ució d d l domiio d aplac a ució d d o d rarcia, H, ua ució qu di l comporamio d ua rd lécrica l domiio d aplac y corrpod al cuoci r la raormada d aplac d la alida o rpua d la rd, Y, y la raormada d aplac d la Erada o xciació,, cuado la codicio iicial d la rd o oda xacam igual a cro. Y H

13 Propidad d raormació d la rpua compla S ab qu la rpua compla d ua variabl ua rd a dada como la uma d la rpua d ado cro ma la rpua d rada cro, l domiio d aplac cumpl pua pua pua compla d ado cro d rada cro. Para l raamio d la olució d ua rd d do malla raorma la rd dd la malla l domiio dl impo a ua malla l domiio d aplac. Aí gú la KV malla cumpl V V V V V I I I I I I I I I Para rolvr ima d cuacio pud uilizar al mo do procdimio, mdia la ivrió d la mariz d compo y aplicado la rgla d ramr I I 336

14 a ñal poliarmóica o ñal priódica qu pud dcompor ua uma d ñal iuoidal d dir pulacio.a ñal priódica o iuoidal qu admi darrollo ri d ourir o ñal poliarmóica. E u circuio pud aparcr algua d la igui circuacia: a u o ñal priódica o iuoidal. El circuio coi lmo paivo o lial. Ua ñal priódica o iuoidal qu cumpla cira codicio pud darrollar ri d ourir. a ri d ourir coa la umaoria d u érmio coa má ua ució iiia d ucio iuoidal cuya rcucia o múliplo ro d la rcucia d u primr érmio. Si ua ñal priódica d priodo T, oc podrá xprar como: + [a cokω + b kω] a = T d a = T cokω d b = T kω d El valorω corrpod a la pulació d la ñal y domia rcucia udamal. o érmio d la ri domia armóico d la mima, corrpodido l rmio co k = al primr armóico, co k = al gudo armóico, y aí ucivam. El érmio a corrpod al valor mdio d la ñal. o coicia y b id a r cada vz má pquño a mdida qu auma k, co lo qu pud logar ua bua aproximació d la ñal a olo uado lo primro érmio d la ri. Tambié, uilizado algua propidad rigoomérica, pud xprar la ri d la igui orma: = a + [a cokω + b kω] = a + [c cokω + φ ] co a = c coφ b = c φ Para qu ua ñal priódica admia u darrollo ri d ourir db cumplir la codicio d Dirichl, la cual xig qu: Db r u úmro iio d dicoiuidad dro d cada príodo. Db r u úmro iio d máximo y míimo dro d cada príodo. Db r aboluam igrabl u príodo τ dτ <. ualquir ñal lécrica producida por ua u ral cumpl co la codicio d Dirichl. a ñal priódica pud prar algua d la igui imría: Par: la ñal par cumpl = y o imérica co rpco al d ordada. Impar:la ñal impar cumpl = y o imérica co rpco al orig d coordada. 337

15 Simría d mdia oda: a ñal cumpl = ± y o imérica co rpco al d abcia, ra u dplazamio d. Simría d cuaro d oda: a ñal i imría d mdia oda y admá o par o impar. E úil abr i ua ñal po algua d a imría, ya qu u ri d ourir prará algú ipo d impliicació. E la igui abla mura cómo pud calcular lo coici d la ri d acurdo al ipo d imría qu ga la ñal: Simría d alculo d lo coici d la ri Nigua a = T cokω d b = T kω d Par a = 4 T / cokω d b = Impar a = b = 4 T / kω d Mdia oda / a = 4 cokω d i k impar T a = i k par b = 4 T b = / kω d i k impar i k par uaro oda par d / a = 8 cokω d i k impar T a = i k par b = uaro d oda impar a = b = 8 T b = / kω d i k impar i k par Para la rolució d circuio alimado co u d ió poliarmóica rá covi uilizar l darrollo d u ri d ourir d la igui orma: u = U + U á coω+φ + U á coω+φ + = U + u + u + u U u u Tomado como mplo l cao d qu a u d ió poliarmóica alim u circuio ri, y prd calcular la corri dl circuio l régim prma, rcomdabl procdr como dalla a coiuació: u i 338

16 E primr lugar pud calcular la impdacia Z dl circuio, dádola xprada ució d la pulació: Zω = + ω ω = Zω Y calculado la impdacia para cada armóico rula: Zkω = Zkω = Z Ahora, para rolvr l circuio baará co uilizar l orma d uprpoició y coidrar u armóicod la u d ió a la vz. Para cada armóico corará la corri corrpodi uilizado la impdacia calculada prviam, y la corri oal rá la uma d la corri aporada por cada armóico: I = U Z i = U á Z co kω + φ θ i = I + i + i + = I + [ U á Z cokω + φ θ ] El valor icaz d ua ió poliarmóica pud calcular a parir d la igui xprió: U = U + U + U + = U + U á + U á + = U + U á Para calcular l valor icaz d ua corri poliarmóica, la xprió oalm aáloga. a pocia aciva circuio co ñal poliarmóica calcula d la igui orma: P = T p d = T u i d = P + P + P + = U I + [U I co θ ] Aálogam, la xprió d la pocia raciva : Q = Q + Q + Q + = [U I θ ] a pocia apar calcula d la orma habiual: S = U I P + Q E gral o cumplirá la rlació S = P + Q. Eo db la dormació qu xi r la orma d oda d la ió co rpco a la d la corri. Por o di la pocia d dormació D mdida vad, la cual aiac la igui cuació: S = P + Q + D a orma má prácica d calcularla :D = S P Q El acor d pocia calcula igual qu a:p = 339

17 IUITOS EÉTIOS TANSOMADA DE APAE POBEMAS POPUESTOS POBEMA N u Dada la oda cuadrada morada la ig.a: 5V Hallar lo cico primro coici d la ri rigoomérica d ourir. E u mimo gráico, rprar la oda cuadrada, lo r primro érmio π π d la ri d ourir y la uma d o úlimo. -5V ig. A POBEMA N a ió d la propua arior aplica a u circuio, para l cual la coa d impo rula mucho mayor qu l priodo d la oda cuió. Dmorar qu la ió l capacior rula la igral d la ió d rada icluo i éa oidal. Vriicar dicha cocluió co la compoició por ourir d cada oda. POBEMA N 3 E u circuio co = Ω y =,35 H, hay ua corri: i = 5. ω. +,3. 3ω. + 7,º +,. 5ω. + 59º A; la rcucia udamal d 5 Hz. alcular la ampliud d la r io compo caria para mar a corri. Vriicar i a io y corri á a r í. POBEMA N 4 U volímro qu mid valor icac á cocado a u alrador qu rga la igui ió: u = 8. ω ω ω. V; la rcucia udamal d 5 Hz. uál rá la lcura dl volímro? Hallar l valor icaz d la corri qu habría i aplicara a ió a: U capacior d 5 u. Ua bobia d ricia dprciabl y ua iducacia d,5 H. POBEMA N 5 Al aplicarl a u circuio la ió:u = V obi ua corri d valor: i = 5 +, ,5º +, ,3º +, ,º A. alcular lo valor icac d la corri y d la ió. Drmiar la pocia aciva, raciva, apar y d dormació. 34

18 POBEMA N 6 E l circuio d la ig.4: u = +. ω. V; = 5 Hz; = mh; = 3 u y = Ω. u Drmiar la ió l rior. alcular la pocia aciva, raciva, apar y d dormació la u. ig. 4 POBEMA N 7 a ióu =. ω ω. +. 5ω. V aplica al circuio d la ig.5. Si = Ω; = 3 u y la rcucia udamal 5 Hz, drmiar: El valor d para qu xia roacia la rcra armóica d corri. o valor d la corri y ió icac l cao arior. ig. 5 POBEMA N 8 a ió d a d u grador riáico coa d ua udamal d 3 V d ampliud y d ua rcra armóica d valor 3% d aqulla. alcular l valor icaz d la ió d lía cuado lo dvaado coca rlla. Ídm para cuado coca riágulo. Drmiar la corri cada dvaado ido = Ω y = Ωlo valor d u impdacia ira a la rcucia udamal cuado coca riágulo. POBEMA N 9 A u circuio l aplica la ió u = 3. coω. V co rcucia d 5 Hz, y obi la corri priódica rprada la ig. 7, dod = 6 m y = m. alcular lo valor icac d la corri y la ió, y obr l valor d la pocia apar. o la ayuda d la ri d ourir d la corri, drmiar la pocia aciva, raciva y d dormació, y l acor d pocia. i A ig. 7 34