CURVAS ALABEADAS REGULARES. LAS FÓRMULAS DE FRENET-SERRET.

CURVAS ALABEADAS REGULARES LAS FÓRMULAS DE FRENET-SERRET CARLOS S CHINEA CURVAS ALABEADAS REGULARES FÓRMULAS DE FRENET-SERRET Las curas alabeadas: Dencón : Consderemos el conjunto de pares Γ [ a, b], ϕ, donde [ b] nteralo cerrado de números reales y ϕ : [ a, b] M a, es un es una uncón ectoral contnua sendo M el espaco métrco trdmensonal asocado al espaco ectoral euclídeo trdmensonal sobre R Dremos que dos de estos pares, [ a, b], ϕ, [, d], ϕ c, son equalentes propamente respectamente mpropamente s este una uncón contnua h tal que es h : [ a, b] [ c, d] estrctamente crecente respectamente decrecente tal que hac, hbd respectamente had, hbc tal que h ϕ ϕ, a ϕ b Obamente, tal relacón en el conjunto Γ es de equalenca, puesto que es relea, smétrca y transta Las clases de equalenca son los subconjunto de Γ ormados por todos los pares equalentes entre sí Cada una de estas clases de equalenca se denomna arco de cura alabeada, y cada uno de los representantes de la clase de equalenca, esto es, cada par [ a, b], ϕ, se denomna representacón paramétrca de la cura alabeada JUNIO, 6, MARCHENA

CURVAS ALABEADAS REGULARES LAS FÓRMULAS DE FRENET-SERRET CARLOS S CHINEA - Arco de cura alabeada: Ω {[ a b ], ϕ, [ a, b ], ϕ,,[ a, b ],,}, ϕ - Representacones paramétrcas de un arco de cura alabeada: [ a, b ], ϕ,,,,, Curas alabeadas reulares: Dencón : Una representacón paramétrca [, b], ϕ a de un arco de cura alabeada Ω se dce que es reular s es de clase C en [a,b] y de derada no nula en [a,b]: [ a, b], ϕ rep par reular C, ϕ [ a, b] ' ϕ, ϕ [ a, b] Teorema : S es [, b], ϕ a una representacón paramétrca reular del arco de cura alabeada Ω, entonces, para todo punto del nteralo [a,b] este un entorno donde la uncón es uno a uno: Demostracón: [ a, b], ϕ repr par re ϕ [ a, b], E ϕ uno a uno o o / ϕo [ a, b], ' ϕo ' ϕo ' ϕo, ' ϕo, ' ϕo,, ' ϕo la contnudad de la derada: E ϕ / ϕ E ϕ, ' ϕ o Por lo tanto, s esteran ϕ ϕ E ϕ o / ϕ ϕ ϕ o, ϕ, y por, y en este caso, al tratarse de una uncón contnua y derable, podría aplcársele el teorema de Rolle: ϕ ϕ ϕ / ' ϕ, lo cual sería obamente contradctoro, Lueo, ha de ser nyecta, uno a uno : se dce que es un cambo de parámetro admsble s se ercan las dos condcones suentes: Dencón : Una aplcacón sobreyecta h [ a, b] [ c, d] a h ϕ es de clase C en [a,b] JUNIO, 6, MARCHENA

CURVAS ALABEADAS REGULARES LAS FÓRMULAS DE FRENET-SERRET CARLOS S CHINEA dh ϕ b, ϕ [ a, b] Teorema : S h [ a, b] [ c, d] : es un cambo de parámetro admsble se erca que: a hϕ es uno a uno b La uncón nersa h : [ c, d ] [ a, b] admsble es tambén un cambo de parámetro Demostracón: a Puesto que h ϕ es contnua y h ϕ es no nula, será h ϕ> o ben h ϕ, por lo que la uncón hϕ es crecente o decrecente, es decr, monótona estrctamente, lo que ndca que es uno a uno b La derada de la uncón nersa de hϕ es dh y sendo dh dh será dh ϕ h C, y Dencón 4: En el conjunto de todas las representacones paramétrcas reulares podemos denr una relacón de equalenca por la condcón de que para dos pares, b, ϕ c, d, ϕ, esta un cambo de parámetro admsble h que cumpla: [ a ], [ ] [ a, b] [ c d] h :, y h ϕ ϕ, a ϕ b Las clases de equalenca, ormada por los pares de representacones paramétrcas reulares relaconados de esta orma, es decr, relaconados medante un cambo de parámetro admsble, se denomnan arcos de cura reular - Arco de cura alabeada reular: Ω {[ a b ], ϕ, [ a, b ], ϕ,,[ a, b ],,}, ϕ sendo C, ϕ [ a, b ] ' ϕ, ϕ [ a, b ] estendo un cambo de parámetro h s : h [ a, b ] [ a, a ],,,, s s : s s y s hs ϕ ϕ, a ϕ b cumplendo las condcones de admsbldad: h C ' ϕ, s h s - Representacones paramétrcas de un arco de cura alabeada reular: [ a, b ], ϕ,,,,,, C, ϕ [ a, b ] ' ϕ, ϕ [ a, b ] JUNIO, 6, MARCHENA

CURVAS ALABEADAS REGULARES LAS FÓRMULAS DE FRENET-SERRET CARLOS S CHINEA Dos representacones reulares, [ a, b], ϕ y [ c d], h msma orentacón s el cambo de parámetro h [ a, b] [ c, d],, se dce que tenen la : es una uncón estrctamente crecente, y se dce que tenen dstnta orentacón s es uncón estrctamente decrecente El parámetro lontud de arco: Una cura paramétrca [ a b], ϕ nteralo P { a ϕ ϕ,, ϕ n b},, se dce que es rectcable s para cada partcón del este un número real posto M tal que la lontud de la polonal sobre el nteralo denda por la partcón P es menor que M: n L P ϕ ϕ M En una cura rectcable, se denomna lontud del arco sobre [a,b] al supremo del conjunto nnto de las polonales sobre [a,b] para cualesquera partcones: { L P / P [ a b] } l a, b sup Ρ, en los arcos de curas reulares es nmedato probar que son rectcables y que la lontud del arco ene dada por la nteral d l a, b d d b a Teorema : S es [ a b], ϕ reular y es [ a,b], una representacón paramétrca de un arco de cura d ϕ, entonces la uncón ϕ a l ϕ, ϕ, s ϕ ϕ ϕ l ϕ, ϕ, s ϕ ϕ b a, b b a l c La aplcacón : [ a, b] [ a, b ] ϕ ϕ erca que: es un cambo de parámetro admsble Demostracón: a y b resultan nmedatamente de las propedades de la nteral Remann En cuanto d a c se deduce en partcular que es sobreyecta y que sendo contnua, será: JUNIO, 6, MARCHENA 4

CURVAS ALABEADAS REGULARES LAS FÓRMULAS DE FRENET-SERRET CARLOS S CHINEA d d d lueo, es un cambo de parámetro admsble Teorema 4: La representacón paramétrca reular [ a, b ], En eecto: no es únca El punto ϕ utlzado en la dencón de puede ser un punto cualquera del nteralo [ a, b] El arco de cura reular admte, obamente otras representacones a, b, ϕ dstntas de [ ] Dencón 5: S consderamos la representacón paramétrca reular [ a b], ϕ, de un arco de cura reular, Γ, y el cambo de parámetro admsble dendo por la lontud de arco,, se tene: la representacón [, b ], w [ a, b] [ a, ] : b a donde w ϕ, ϕ, se llama representacón natural del arco de cura reular Γ Teorema 5: S es [ a, b ], w arco de cura reular Ω, se cumple: dw º º l, w º S [ β a, β b ], u β una representacón paramétrca natural de un es otra representacón natural del arco de cura reular Ω, entonces se tene la relacón ± β +, sendo una constante 4º S mϕ una representacón reular cualquera de Ω, de la msma orentacón que dm w, entonces se erca que S uera de contrara orentacón se tendría que dm Demostracón: JUNIO, 6, MARCHENA 5

CURVAS ALABEADAS REGULARES LAS FÓRMULAS DE FRENET-SERRET CARLOS S CHINEA º Se tene que es ϕ dw ϕ º De la epresón de la lontud del arco: ϕ dw, por lo cual es: l w dw dw dw ϕ ϕ dw, ϕ ϕ s s lw, lw, º Se tene, del apartado º anteror: dw ± ± ± β + dw ± h : a, b c, d / h C dh además con h > en [a,b] Es decr, es crecente en [a,b] > 4º S mϕ tene la msma orentacón que w este un [ ] [ ] dm dm dm > y d caso de tener dstnta orentacón será dh, por lo cual d d ϕ ϕ dm 4 Vector tanente: Del teorema anteror podemos deducr las consecuencas nmedatas suentes: a El ector derada de con respecto a, donde es el parámetro lontud de arco, es untaro: El ector untaro d t d t se denomna ector tanente a la cura JUNIO, 6, MARCHENA 6

CURVAS ALABEADAS REGULARES LAS FÓRMULAS DE FRENET-SERRET CARLOS S CHINEA b Para otra representacón paramétrca natural del msmo arco de cura c, d, β se tene que dada por [ ] c S es [, d], ϕ d d t β t ± ± t c una representacón paramétrca reular cualquera del msmo arco de cura, se tene: d d d t d d La recta tanente a la cura mϕ en el punto ϕ será: m ϕ m ϕ + t e El plano normal a la cura mϕ en el punto ϕ es: m ϕ m ϕ t 5 Vector normal Curatura Plano osculador: Dencón 6: Se dene el ector curatura de un arco de cura en un punto como la seunda derada con respecto al parámetro lontud de arco Esto es: Dada una representacón paramétrca [ a, b], ϕ del arco de cura reular Ω, se tene que s es ϕ el parámetro lontud de arco, y es sucentemente derable con contnudad, se tene: Vector tanente: t ' d d d & ϕ' Vector curatura: d d d dt " t' JUNIO, 6, MARCHENA 7

CURVAS ALABEADAS REGULARES LAS FÓRMULAS DE FRENET-SERRET CARLOS S CHINEA Teorema 6: El ector curatura,, de un arco de cura reular Ω cualquera, es ndependente de la representacón paramétrca natural eleda Además, es paralelo al plano normal a la cura en cada punto de la msma Demostracón: Sean dos representacones paramétrcas naturales del msmo arco de cura y consderemos el correspondente ector tanente y de curatura: [ a, b ],, sendo t d, d [ a, b ], β, t, d d t t ± ± t, o, s llamamos d d ψ escrbmos: d β d dt dt dt ψ ψ ψ ψ ψ Veamos ahora la dreccón del ector de curatura, llamando t al ector tanente y al ector de curatura, tendremos: d t t dt t t t t t t perpend Dencón 7: Se llama curatura del arco de cura Ω en el punto al módulo del ector de curatura en dcho punto El nerso de la curatura se llama rado de curatura del arco de cura en dcho punto: Curatura:, Rado de curatura R Se llama punto de nleón del arco de cura a cualquer punto en el que la curatura sea nula esto puede ocurrr pues la derada seunda del ector podría ser nula, JUNIO, 6, MARCHENA 8

CURVAS ALABEADAS REGULARES LAS FÓRMULAS DE FRENET-SERRET CARLOS S CHINEA aunque nunca la prmera derada, por el carácter reular del arco de cura En un punto de nleón, por tanto, el rado de curatura es nnto Se llama ector normal al arco de cura a un ector untaro n tal que erque: O sea: n Teorema 7: S es [ a, b ], cura reular Ω, se erca: dt n [5_] dt una representacón paramétrca de un arco de dθ lm, sendo anulo t, t + d " ", : parámetro lontud de arco & && & & " & d, ϕ: otro parámetro Demostracón: De ser t t + t sen + φ φ : n ntesmo de θ Se tene: dt lm t lm + φ lm dθ " " JUNIO, 6, MARCHENA 9

CURVAS ALABEADAS REGULARES LAS FÓRMULAS DE FRENET-SERRET CARLOS S CHINEA S llamamos 5_4º es d d ', &, ϕ', se tene que ' & ϕ', d & & ϕ' ' Veamos las deradas: & & y, por el teorema ' ' & && d& & & &, & ' && ϕ' ϕ', ϕ" ϕ'' 4 & & " && & & && '' & ϕ '' & ' ϕ' + & ϕ" & & [&& & & & & && ] & & 4 & & [ & && & ] & && & & & & && & 4 & & && & & & & por tanto: " " [5_] & & y, por consuente & Dencón 7: Dados tres puntos de un arco de cura alabeada reular, A, B y C, se llama plano osculador al arco de cura en el punto A al plano que denen los tres puntos cuando B y C se aproman nntamente al punto A, esto es, el lmte del plano que pasa por los tres puntos cuando B, C A Dencón 8: Dados tres puntos de un arco de cura alabeada reular, A, B y C, se llama círculo osculador al arco de cura en el punto A al círculo que denen los tres puntos cuando B y C se aproman nntamente al punto A, esto es, el lmte del círculo que dene la crcunerenca que pasa por los tres puntos cuando B, C A Teorema 8: El plano osculador queda dendo por los ectores tanente y de curatura, no estando determnado en aquellos puntos de curatura nula Demostracón: Sea w un ector perpendcular al plano osculador y P un punto jo de dcho plano con ector de poscón Se erca, entonces, para el plano osculador en el punto A de ector de poscón : o ben, podemos escrbr w w w r JUNIO, 6, MARCHENA

CURVAS ALABEADAS REGULARES LAS FÓRMULAS DE FRENET-SERRET CARLOS S CHINEA JUNIO, 6, MARCHENA s consderamos la uncón r w, erca obamente que para todo punto M del plano osculador es r w M, por lo cual, s consderamos los puntos A, B y C de la cura de alores respectos del parámetro lontud de arco, y se tendrá: : : : p w C p w B p w A Aplcando el Teorema de Rolle a las ualdades anterores se tene que " / ' / ' / R R R como, por dencón de plano osculador, B,C A, tambén, y, asmsmo tambén h, h, h Es decr, en el límte se tene que " " ' ' w w de lo cual se deduce que el ector w es perpendcular tanto al ector como al ector, es decr es perpendcular en el punto A a los ectores tanente t y de curatura En denta, pues, la ecuacón ectoral del plano osculador es de la orma: t + +

CURVAS ALABEADAS REGULARES LAS FÓRMULAS DE FRENET-SERRET CARLOS S CHINEA JUNIO, 6, MARCHENA Teorema 9: El círculo osculador en un punto está contendo en el plano osculador y su rado es el rado de curatura del arco de cura en dcho punto Demostracón: S es el ector de poscón del centro del círculo osculador, la ecuacón de la crcunerenca se puede escrbr r en el punto S consderamos la uncón r Esta uncón se anula obamente en los puntos A, B, C de alores respectos, y para el parámetro lontud de arco r r r Aplcando el Teorema de Rolle: ' ' " " / ' ' / ' ' / + R R R Puesto que B,C A, tambén, -->, y asmsmo,, En el lmte, por tanto es: ' ' " ' + [5_] Como todo los puntos del círculo osculador están en el plano osculador tambén lo estará el centro de dcho círculo, lueo es: t + [5_4] o ben " ' + y de las ecuacones [5_]: " " ' ' ' ' " " " ' " " ' ' ' ' + +

CURVAS ALABEADAS REGULARES LAS FÓRMULAS DE FRENET-SERRET CARLOS S CHINEA por tanto, de la ecuacón [5_4]: + n + n El rado de círculo osculador es por tanto: r R rado de curatura del arco de cura en el punto 6 Vector bnormal Torsón Plano rectcante: Dencón 9: Se dene el ector bnormal en un punto ϕ de un arco de cura reular como el producto ectoral de los ectores tanente y normal al arco de cura en dcho punto: b ϕ t ϕ n ϕ Estos tres ectores consttuyen un tredro ormado por ectores untaros perpendculares que es arable en cada punto, esto es, es un tredro mól o ntrínseco, denendo cada dos de ellos un plano: JUNIO, 6, MARCHENA

CURVAS ALABEADAS REGULARES LAS FÓRMULAS DE FRENET-SERRET CARLOS S CHINEA Plano normal: m ϕ m ϕ + n ϕ + µ b ϕ ϕ m ϕ + t ϕ µ n ϕ ϕ m ϕ + t ϕ µ b ϕ Plano osculador: m + Plano rectcante: m + Teorema : Se ercan las suentes stuacones: db T n [6_] d 4 φ dφ T lm ' " ''' ', '', ''' T '' '' '' & && &&& [ &, &&, &&& ] T & && & && donde es φ anulo b, b + [ ] parámetro lontud de arco parámetro cualquera ϕ Demostracón: JUNIO, 6, MARCHENA 4

CURVAS ALABEADAS REGULARES LAS FÓRMULAS DE FRENET-SERRET CARLOS S CHINEA Veamos que el ector b es perpendcular tanto a b como a t, por lo que ha de tener la dreccón del ector n, perpendcular a ambos b t b t n b t' b' t + b t' b' t + b b b' t b n b b b b' b b' b b' Por tanto, b es perpendcular tanto a t como a b, lueo tene la dreccón perpendcular es decr la dreccón de n Estrá un actor de proporconaldad, pues, entre b y n S llamamos T a ese actor, podemos escrbr db T n De ser b b + b sen + φ φ : n ntesmo de Se tene: db T n T db lm b lm + φ lm dθ Se tene: b t n b' T n t n' n b' T n T n t n ' " ''' '' '' T n n t' n n' t + n t' ' '' ''' ' + por tanto: '' ''' ' [ ', '', '''] T " " '' Se tene, para las prmeras deradas de la uncón con respecto al parámetro lontud de arco las epresones suentes en uncón de las deradas con respecto a otro parámetro ϕ: ' & ϕ', " & ϕ' & + ϕ", ''' & && ϕ' + && ϕ' ϕ'' + & ϕ'' ' eectuando operacones, y tenendo en cuenta que : ' '' ''' & φ ' & [ ] && &&& && ' & '' &&& ' && ' '' & ϕ + ϕ ϕ + ϕ ϕ + ϕ''' & & JUNIO, 6, MARCHENA 5

CURVAS ALABEADAS REGULARES LAS FÓRMULAS DE FRENET-SERRET CARLOS S CHINEA y que es, por [5_]: se tene, nalmente: '' '' & && & & ' '' ''' T '' '' & && &&& & & & && & & & && &&& & && Dencón : Se llama torsón de una cura alabeada en un punto a la mantud T tal que db T n 7 Las órmulas de Frenet-Serret: Teorema : Dada una cura alabeada reular denda por la uncón se ercan en cada punto las las relacones suentes, llamando a la curatura y T a la torsón: dt n dn t + T b db T n Demostracón: Es la epresón [5_] de dencón de la curatura De ser n n n n' n n' n está contendo en el plano rectcante, por lo cual puede epresarse en uncón de los ectores drectores de dcho plano: n t + b [7_] ' JUNIO, 6, MARCHENA 6

CURVAS ALABEADAS REGULARES LAS FÓRMULAS DE FRENET-SERRET CARLOS S CHINEA esto quere decr que, multplcando por t: n ' t t t + b t ; análoamente, s multplcamos por b: n ' b t b + b b n t n' t + n t' n' t n t' n n n b n' b + n b' n' b n b' n T n T T susttuyendo en [7_]: n t + b t T b, por tanto: ' + Es la epresón [6_] para la torsón dn t + T b FÓRMULAS DE FRENET--SERRET dt dn db t t T n + T b dt dn db T t T n b Curatura: & && '' & Torsón: T [ ', '', '''] '' '' T [ &, &&, &&& ] & & JUNIO, 6, MARCHENA 7

CURVAS ALABEADAS REGULARES LAS FÓRMULAS DE FRENET-SERRET CARLOS S CHINEA 8 Bbloraía: CARMO, MP DO: Geometría derencal de curas y superces Alanza Unersdad Tetos 5 Alanza, 99 FRENET, F: "Sur les courbes à double courbure" Thèse Toulouse, 847 Abstract n J de Math 7, 85 GRAY, A: Modern Derental Geometry o Cures and Suraces wth Mathematca, nd ed Boca Raton, FL: CRC Press, p 86, 997 HICKS, NJ: Notas sobre Geometría Derencal Ed Hspano Europea, 974 HSIUNG, CC: A rst course n derental eometry John Wley 98 KLINGENBERG, W: Curso de eometría derencal Ed Alhambra, 97 KREYSZIG, E: "Formulae o Frenet" 5 n Derental Geometry New Yor: Doer, pp 4-4, 99 LIPSCHUTZ, LM: Theory and problems o derental eometry McGraw-Hll, 969 LOPEZ DE LA RICA, A; DE LA VILLA, AGUSTIN; "Geometría Derencal" Edsoer 997 MILLMAN, RS; PAKER, GD: Elements o derental eometry Prentce Hall, 977 MONTESDEOCA, A: Apuntes de Geometría Derencal de Curas y Superces Col Tetos Unerstaros, 996 O'NEILL, B: Elementos de Geometría Derencal Lmusa-Wley, 97 SERRET, J A: "Sur quelques ormules relates à la théore des courbes à double courbure" J de Math 6, 85 JUNIO, 6, MARCHENA 8