Programacó Matemátca y Software (2009) Vol.. No. ISSN: 2007-3283 Recbdo: 0 de Juo de 2008/Aceptado: 3 de Septembre de 2008 Publcado e líea: 26 de juo de 2009 Seleccó de ua Cartera de Iversó e la Bolsa Mexcaa de Valores por Medo de u Método de Programacó Leal José Crspí Zavala-Díaz A, Dala Vaey García-Vllagomez Uversdad Autóoma del Estado de Morelos, Facultad de Cotaduría, Admstracó e Iformátca, Aveda Uversdad 00 Col. Chamlpa, Cueravaca, Méxco. crsp_zavala@uaem.mx, vaeyvllagomez@yahoo.com Resume. E este artícu lo se preseta el modelo matemátco para la seleccó de ua cartera de versó co el máxmo redmeto y el mímo resgo, el cual es resuelto utlzado el método SIMPLEX. Los dos problemas se resuelve e forma depedete y se utlza las reglas de versó para obteer la mejor cartera de versó co los resultados de ambos problemas. Co el objetvo de aplcar uestro modelo se resuelve la seleccó de ua cartera de versó co tres accoes de la Bolsa Mexcaa de Valores y se compara los resultados co los obtedos por u método estadístco geeralmete utlzado para este f. Los resultados os muestra que es posble determar ua cartera de versó co el mímo resgo al tempo cero, y que la cartera de versó co el método estadístco seleccoado o correspode a la solucó determada por el modelo de optmzacó. Palabras clave: programacó leal, cartera de versó, modelo de seleccó de accoes.. Itroduccó Las empresas que requere re cursos (dero) para facar su operacó o proyectos de expasó puede obteerlo a través del mercado bursátl medate la ems ó de valores, co mo so las accoes, las oblgacoes, el papel comerc al, etc, dspobles e la Bolsa Mexcaa de Valores Cada ua de estas accoes equvale a poseer ua parte de la empresa y su valor puede depeder de la tasa de terés, así com o del crec meto de la ecoom ía o de u sector e partcular. E geeral, s la ecoomía crece las A Autor de correspodeca
empresas gaa más dero y la accó va a teer u preco mayor. Pero, es ua regla que tee um erosas excepcoes, por tato cada accó tee u resgo asocado. Para obteer u redm eto a u resgo aceptab le la vers ó se debe dversfcar e ua cartera de vers ó. Ua cartera de versó es ua combacó de actvos o títulos dvduales, de tal forma que ua combacó de ellos cas sempre sea meos arresgada que cualquer título dvdual. Por tato, se p retede que la seleccó de ua cartera de versó sea ua combacó de accoes que dsmuya el resgo y aumete la utldad. Desde el puto de vsta teórco, la exsteca de este equlbro resgoredmeto es básc a para los modelos de evaluac ó de actvos. Metras que desde el puto de vsta práctco, se debe teer la capacdad de colocar los resultados absolutos e el cotexto de característcas de resgo-redmeto de u programa de versó. Los modelos de optmzacó so usados e c as todas las áreas para la toma de decsoes, dode el modelo matemátco cosste de ua fucó objetvo y u cojuto de restr ccoes e l a forma de u s stema de ecuacoes o ecuacoes. E este trabajo mostramos la forma de obteer la fucó objetvo y sus restrccoes a partr de los datos dspobles e l a pága de Iteret de la Bolsa Mexcaa de Valo res. Los resultados de uestro m odelo so comparados cotra los datos obtedos por medos estadístcos tradcoales que se basa prcpalmete e la varacó del coefcete de la correlacó [,3,6]. E la seccó dos se preseta ua descr pcó de los métodos y crteros que se utlza actualmete para la seleccó de ua cartera de versó. E la seccó tres se defe el modelo matemátco de optmzacó y sus restrccoes. E la seccó cuatro se c omprueba su valdez co u úm ero reducdo de accoes. E la seccó c co se mecoa las coclusoes a que se llegaro co el presete modelo, dode coclumos que los modelos de optmzacó tedrá u futuro promsoro para la seleccó de ua cartera de versó. 3
2. Descrpcó de los métodos de versó 2.. El proceso de versó El proceso de versó mplca la táctca de decdr sobre la selecc ó de qué vertr e el mercado de valores e gocables, qué ta vastas deb e ser esas versoes y cuádo hacerlas. La base del proceso de la versó es u procedmeto co los cco pasos sguetes []:. Polítca de versó. Cosste e determ ar los objetv os del versosta y la catdad de su rqueza que está dspuesto a vertr. 2. Aálss de Valores. Implca examar varos valores dvduales (o grupos de valores) detro de am plas categorías de valores faceros detfcados prevamete. Ua razó para este aálss es detfcar aquellos valores que parezca estar mal valuados. 3. Costruccó de la cartera. Implca la detfcacó de acc oes específcas e las cuales vertr, así com o la determacó de cuato vertr e cada ua. Las cuesto es de sel ectvdad, tmg y dversfcacó debe ser t ratadas por el versosta. La sel ectvdad, també coocda co mo mcro proó stco, se refere al aálss de valores y se efoca e el proóstco de los movmetos de precos de valores dvduales. El tmg, també coocdo como macro proóstco, mplca el proóstco de lo s movmetos de preco d e las accoes ordaras re specto a los valores de gres o fjo, com o los aboos corporatvos y las letras del tesoro. La dversfcacó mplca la costruccó de la cartera del ve rsosta de tal maera que se mmce el resgo sujeto a certas restrccoes. 4. Revsó de la cartera. Se refere a la repetcó peródca de los tres pasos aterores. Co el tem po se puede cam bar los objetvos de la versó, lo que a su vez haría que la cartera actual fuera meos que óptma. 5. Evaluacó del desempeño de la cartera. Cosste e determar peródcamete el redm eto gaado por la cartera y el resgo que 32
corre el versosta. Por tato, se re quere meddas adecuadas de redmeto y resgo así como estádares relevates. E este trabajo os ef ocamos a realzar u m cro proóstco para obteer el mejor redmeto a u resgo meor. 2.2. Métodos utlzados para la seleccó de la cartera de versó. 2.2.. Método de Markowtz. Ica co la suposcó de que cotamos co ua catdad determada de dero para vertr e el prese te. Este dero se vertrá durate u lapso de tem po, coocdo com o período de teeca. Al fal del período de teeca se vederá lo s valores que se com praro y se utlzará los beefcos para los gastos, la reversó e varos valores o ambas cosas. E este puto, el método de Markowtz se puede aplcar uevamete a los beefcos que se va a revertr. Por tato, esté método es para u solo perodo. E t = 0 se decde qué valores comprar y coservar hasta que t =. Etoces, e t = se decde de uevo qué valores coservar hasta t = 2, y así sucesvam ete. Al buscar tato maxmzar el redm eto esperado com o mmzar la certdum bre (es decr, el resgo), se tee dos objetvos e coflcto que se debe sopesar al tomar la decsó de compra cuado t = 0. E cosecueca, al teer estos dos objetvos e coflcto se debe dversfcar la compra o sólo u valor so de varos [3]. La retabldad de ua c artera se de fe por la meda poderada de las retabldades esperadas de los valores que la co mpoe, metras que el resgo es fucó de los tres factores que se euca a cotuacó: a) La proporcó o poderacó de cada valor e el portafolo. b) La varaza o la desvac ó estádar de la retab ldad de cada valor. c) La covaraza o el c oefcete de correla có etre las retabldades de cada par de valores. 33
E el método de Markowtz las decs oes sólo se basa e los redm etos esperados y e las desvacoes estádar. Es decr, se est ma el redmeto esperado y la desvacó e stádar de cada cartera y se escoge la mejor co base e las sguetes suposcoes: Prmera suposcó, cuado se tee q ue elegr etre dos carteras sm lares, sempre se escogerá la que tega el re dmeto esperado más alto, es decr, sempre se preferrá los veles más altos de rqueza fal y o los veles más bajos. Seguda suposcó, dadas las dos carteras co la msma desvacó estádar, se escogerá la que tega el redmeto esperado más alto [3]. El método de Markowtz se desarrolló cosderado que el versor prefere la retabldad y rechaza el resgo. Por tato, ua cartera será efcete s proporcoa la máxma retabldad posble para u resgo dado, o de forma equvalete, s preseta el meor resgo posble para u vel determado de retabldad. El cojuto de carteras efcetes puede calcularse resolvedo el sguete programa cuadrátco paramétrco: mσ 2 ( Rp ) = = j= x x ρ j j () Sujeto a: E ( Rp ) = xe( R ) = = V * = x = ( ) x 0 =,2,..., Dode x es la cógta del problem a, esto es la pro porcó del presupuesto destado al actvo facero, σ 2 (R p ) es la varaza de la cartera p, ρ j es la covaraza etre los redmetos de los valores y j. E(R p ) es la retabldad 34
o redmeto esperado de la cartera p, de tal forma que al varar el parámetro V* obtedremos e cada caso el cojuto de proporcoes x que mmza el resgo de la cartera, así como su valor correspodete. El cojuto de pares [E(R p ), σ 2 (R p )] o co mbacoes retabldad- resgo de todas l as carteras efcetes es deom ado «frotera efcete». Ua vez cooc da ésta, el versor, de acuerdo co sus preferecas, elegrá su cartera óptma. Los problemas fudametales del modelo de Markowtz. Actualmete los problemas para la u tlzacó del modelo de Markowtz o so computacoales, so que tee que ver co los supuestos de partda [3]. El modelo de Markowtz parte de 5 hp ótess fudametales, y cu yo cumplmeto tee ua gra trascede ca e cuato a la valdez de los resultados obtedos co el msmo:. Se cooce la retabldad esper ada de cada uo de los actvos faceros cosderados.. Se cooce y se supoe costate e el tempo la varaza de cada uo de los actvos faceros y la covaraza etre ellos.. Los redmetos de los dferetes actvos faceros se co mporta de acuerdo co ua dstrbucó ormal. v. Los versores actúa de forma racoal. v. El modelo optmza para u solo período [3]. S se supoe que se cooce la retab ldad esperada, la varaza y la covaraza de los dferetes actvos faceros. El problema es cuado, e tervalos relatvamete cortos de tempo (por ejem plo u año), so muy grades los valores de l as varazas co respect o a las ret abldades esperadas. Esto sgfca que el error de predccó e esos períodos es muy grade. Por otra parte, el modelo de Markowtz es extremadamete sesble a los valores de las retabl dades esperadas, de tal form a que uas pequeñas varacoes de las retabldades esper adas supoe carteras co estructuras 35
muy dferetes (o por lo meos aparetemete muy dferetes) e su composcó. 2.2.2. Seres de tempo. El aálss de seres de tempo comprede u teto de detfcar los factores que ejerce flueca sobre cada uo de los valores peródcos de ua sere. Este procedmeto de detfcacó se deoma descomposcó. Cada compoete se detfca por separado de tal maera que la sere hstórca pueda proyectarse al futuro y utlzarse e proóstcos tato a corto com o a largo plazo. Los cuatro co mpoetes que se ecuetra e ua sere hstórca so: Tedeca, Vara coes Cíclcas, Varacoes Estacóales y Fluctuacoes Irregulares. [4] La tedeca so m ovmetos de largo plazo e ua sere hstó rca que se puede descrbr medate ua ecuacó de ua líe a recta o curva. Cosste de u patró de movmetos ascedetes o descedetes, geerales o persstetes, a largo plazo. Dado que e el aálss de la tedeca la varable depedete es el tempo, se elaboraro las tablas de los dcadores dspobles a todo el públco e la pága de Iteret de la Bolsa Mexcaa de Valores: cambos de precos de compra y veta, cambos e el INPC y volume de accoes. Co estos tres dcadores se trato de elaborar u modelo leal para realzar el proóstco, pero las correlacoes obtedas so muy bajas y o es posble utlzarlas para proóstcos. Por tato este método o se c osdero para el proóstco de la seleccó de la cartera de versó. 2.2.3. Modelo Black & Scholes El modelo de valuacó de opcoes orgal fue desarrollado por Black & Scholes para el cálculo d el valor de ua opcó de co mpra europea que o paga dvdedos; las varables de este modelo so preco de la accó, preco de ejercco, el tempo de vecmeto, la varaza del preco de la accó y la tasa lbre de resgo. Merto m odfcó el modelo orgal para clur el factor de dvdedos, que ha sdo am plamete aplcado para cal cular opcoes de empresas que paga dvdedos y que muchos vestgadores ha comprobado su utldad [3]. Alguos vestgadores como Smos (997) descubrero las debldades del modelo, como es la sobrestm acó del valor dado, ya que cosdera que los redmetos de los valores se dstrbuy e ormalmete; asmsmo, para l a 36
aplcacó del modelo se debe coocer l a volatldad de la accó, a través de ua estmacó estadístca que puede estar sujeta a errores. El Modelo de Black & Scholes aplcado a la valuacó de empresas se basa e el aálss cotgete, que se r efere a ua técca para determar el preco de u valor cuyo resultado depede del preco de uo o más valores. El orge del aálss cotgete es el modelo de opcoes de Black & Sch oles, el cual cotee elemetos cualtatvos co u gra sgfcado práctco. Esta teoría sostee que las deudas corporatvas, e geeral, puede ser vstas como combacoes de smples cotratos de opcoes [5]. La aplcacó empírca del modelo de valuacó de Black & Scholes muestra ua sobreestmacó cosstete del valo r de las e mpresas que cotza e la Bolsa Mexcaa de Valo res [8]. Asmsmo, este m odelo tede a arrojar valores mayores y postvos e comparacó co el preco de mercado, esto se terpreta como ua sobre valuacó del valor de la empresa. La causa es que el modelo cosdera como varable al valor del actvo total para determ ar el valor de la em presa, que suele ser muy grade puesto que trabaja co ua fuerte versó e captal de trabajo y actvo fjo. Por otra parte, al cosderar e este modelo a la volatldad como varable para el cálculo del valor, def e u resgo alto cuado l os valores dvduales també so muy altos. Asmsmo al cosderar el apalacameto se logra també valores el evados, ya que se trasfere el valor del acreedor al accosta. La aplcacó de este modelo a u co juto de empresas mexcaas durate u perodo per mte defr que hay que teer cuda do e la aplcacó del msmo para efectos de valuacó, cosderado etre otros aspectos las característcas propas d e la empresa como so la versó fja y el apalacameto. Además, se tee que tomar e cueta que se ha de mostrado que es u modelo que prvlega el valor cuado el resgo es elevado. Las coclusoes mecoadas sobre este modelo se basa e resultados obtedos e aplcacoes realzadas por dferetes autores de los lbros cosultados [3,5], ejemplos que o fuero realzados e éste trabajo, pero se cosderó el modelo de v aluacó Black & Scholes a causa d e las varables que utlza, ya que coocer estas varables os dcaría cuales cosderar para la elaboracó de uestro modelo. Se pretedía cosderar los msmos datos e formacó que toma e cueta el modelo Black & Scholes para realzar su cálculo y obteer el Valor de la Empresa, pero e sus ecuacoes tervee varables que depede de la formac ó que se obtee de los Auaros 37
Bursátles y Faceros de la Bolsa Mexcaa de Valores, ést os o está dspobles a través de la paga de Iteret de la Bolsa Mexcaa de Valores. Por tato se descarto el uso del m odelo Black & Acholes para co mparar uestros resultados, ya que uestro objetvo es utlzar la formacó públca dspoble e dcha pága. 2.2.4. Fórmulas Faceras para combacó de portafolos de versó. (Captal Assets Prcg Model CAPM). Este método se fudameta e que todo actvo facero puede ser descrto a partr de dos est adígrafos: u estadí grafo de poscó, la meda, que proporcoa ua medda del redmeto prom edo del actvo e u determado perodo; y u estadígrafo de dspersó, la desvacó estádar, de los dsttos redm etos respecto al red meto promedo, que proporcoa ua medda del resgo del actvo facero [6]. El redmeto medo de cada ua de las accoes se calcula co la fórmula de u promedo artmétco co los redmetos de cada accó e cada perodo: R = m j= r j (2) m Dode R es el redmeto promedo de la accó, r es el redmeto de la accó e cada perodo j y m es el úmero de perodos cosderados. El resgo asocado a la accó dvdual se deter ma a tr avés de la desvacó estádar de l os redmetos, cuya fórmula se preseta a cotuacó. σ = m ( r R ) j j= m 2 (3) Adcoalmete a los estadígrafos de poscó y dspersó, para la coformacó de portafolos es ecesa ro cotar co uo ad coal: la covaraza etre los redmetos de los actvos faceros, la cual esta dada por: 38
m m r r m j 2 j j= j= r r j 2 j j= m ρ = (4) 2 m j= m 2 ( r R ) ( r R ) j j= 2 j 2 2 Seleccó del Portafolos de actvos co resgo El portafolo de versó se cofor ma asgado p orcetajes dversos del moto de versó a determ ados actvos faceros. El portafolo resultate, al gual que las ac coes dvduales, será detfc ado por e l redmeto medo y su resgo asocado. La codcó para la asgacó de los porcetajes a cada actvo facero es que su suma deberá gual al 00%. El redmeto y resgo del portafolo de versó se determa co las ecuacoes sguetes: Re dmeto = = W R (5) Resgo = = 2 2 ( W + σ ) + 2 ( W W σ σ ρ ) = j j j (6) Dode W es el % de versó e la accó. R : Redmeto promedo de la accó. σ : Resgo o desvacó estádar de la accó. ρ j : Correlacó etre las accoes, j. : úmero de accoes El problema de aplc ar estas ecuacoes es el úmero de accoes y los porcetajes que aalcemos. Por eje mplo, s se tee tres a ccoes y se va aalzar cada 0%, se tedrá ua com plejdad 3 ya que se tee que realzar los cálculos para cada po rcetaje, por tato se te drá,000 aplcacoes. Ahora, s se requere que se aalce para cada % se tedrá X0 6 cálculos. Pero s se requere aalzar 0 accoes, la complejdad es de 0, por lo que hace al problema práctcamete o computable. 39
3. Modelo matemátco para seleccoar la cartera de versó por medo de la programacó leal. La programacó leal es u proceso de optmzacó co ua sola fucó objetvo que se expresa matemátcamete [7]. El adjetvo leal sgfca que todas las fucoes del modelo y varables debe ser leales. E el problema de la seleccó de la ca rtera de versó se tee d os fucoes objetvo, la prmera es maxmzar el redmeto y la seguda, o m eos mportate que la prmera, es dsmur el resgo. Para la costruccó de uestro modelo matemátco se cosderaro los aspectos sobresaletes de los modelos de Markowtz y de CAPM. La seleccó de la cartera de versó se hace e el mometo t = 0, metras que e el sguete mometo t= se hace otra ueva seleccó. De esos dos modelos cosderamos la magtud promedo del redm eto y del resgo. Del modelo de Markowtz cosderamos el plateameto del problema de optmzacó co u parámetro e ua restrccó, uestro modelo lo hace de forma smlar, dode el parámetro modfca la magtud de la restrccó o las restrccoes para deter mar la solucó. Este problem a es smlar al kapsack problem co u parámetro [9]. Del modelo de CAPM segumos el procedmeto para la seleccó de la cartera optma, el cual cosste de la dfereca míma etre el resgo y el redmeto, ya que el resgo geeralmete es mayor al redmeto. Co uestro modelo matemátco elmamos la depedeca de la covaraza, ésta dca estadístcamete la relacó e el te mpo etre el redmeto de dos accoes. E los modelos de Markowtz y CAPM, s la covaraza etre el redmeto de dos accoes es baja, etoces, es posble, que esas dos accoes forme parte de la solucó, lo ateror de certa forma dca que el comportameto del redmeto etre ambas accoes o está r elacoadas. Pero el que t ega ua covaraza baja o os muestra s esos redm etos de esas dos accoes so estadístcamete depedetes [0]. E los modelos aterores solo se cosd era el redmeto y el resgo de las accoes, gorado las varables e dcadores dspobles e l a pága de Iteret de la Bolsa Mexcaa de Valores (BMV), alrededor de 23 [8 ]. La duda ahora es Que otras varables o dcadores teemos que cosderar e el modelo? La respuesta puede ser: Todas las varables e dcadores publcados e esa pága, la clusó de estas podría ser e cojuto, e form a dvdual o ua combacó de ellas. El problema uevo es defr cuáles 40
varables o dcadores tee fluec a e el proóstco de la seleccó de ua cartera de versó. E este trabajo se decdó clur solo ua varable más a las cosderadas por los modelos prevos (redmeto y resgo), este es el preco de veta de la accó. La decsó es a causa de que a partr de éste s e derva las dos varables recomedadas p or Markowtz y por el método CAPM. Ua vez defdas las varables, ot ro problema al cual os efretam os es defr la magtud del parámetro de las restrccoes y sus cambos. Para esto hacemos las suposcoes sguetes: Prmera suposcó. La catdad de dero requerda míma es el costo de la accó mas barata, a partr de esta catdad se llega a la catdad de dero de la accó más cara. Seguda suposcó. El resgo mímo de la cartera de versó es el resgo de la accó que tega el meor de todas las accoes y éste varará hasta el resgo más alto de la accó correspodete. Tercera suposcó. De forma smlar a l a suposcó del resgo, el redmeto mímo de la cartera de versó es el redm eto de la accó que tega el meor redmeto de todas las acco es y éste varara hasta el redmeto más alto de la accó correspodete. Co las sup oscoes aterores se formulo el modelo que se preseta a cotuacó: Maxmzar Sujeto a: z = = x R (7) = x ( Pv Pvm ) λ ( Pvmax Pvm ) 4
= x x ( σ σ m ) λ2( σ max σ m ) = x = Dode x es el dec mal de la accó que debe comprarse y es ua varable real 0 x,, x = 0 cuado la accó o forma parte de la cartera de versó. λ, λ 2: so varables que utlzamos para recorrer todo el espaco de solucoes y su valor es 0 λ,λ 2, Pv es el preco de veta de la accó. 3.2. El modelo de mmzar el resgo es el sguete: Mmzar x = z2 = σ (8) Sujeto a: = = x x x ( Pv Pvm ) λ ( Pvmax Pvm ) ( R Rm ) λ 2( Rmax Rm ) = x = Dode las varables so las msmas que e el problema de maxmzar. 4. Seleccó de la cartera de versó. La seleccó de la carter a de versó se hace para las ac coes de tres empresas, dode la solucó de los modelos matemátcos de maxmzacó del redmeto (7) y mmzacó del resgo (8) se resuelve 42
depedetemete uo del otro co el método SIMPLEX, para lo cual se utlzó el programa WINQSB. De la pága de Iteret de la BMV se elgero las accoes de 3 dferetes empresas que regularmete se ecuetra a la alza o etre las más egocadas. Los datos cosderados de las accoes so de Julo del 2005 a Febrero de 2007, los valores del redmeto y la desvacó estádar se obt uvero co las ecuacoes (2) y (3), y sus valores se muestra e la tabla. Tabla. Redmeto y resgo de las empresas de julo 2005 a febrero 2007 Varable Empresa Redmeto (%) Preco veta de Resgo (%) x GMEXICOB 5.053 76.00 9.289 x 2 WALMEX V 2.230 39.67 5.985 x 3 GMODELOC 2.06 59. 5.38 Es mportate observar que el resgo es ma yor al redmeto, lo que mplca que el mayor redmeto co el meor resgo se ecotrará cuado la dfereca etre ambas es la meor. Resultados del problema de maxmzacó del redmeto Los resultados obtedos se muestra e la fgura y e la tabla 2 43
Fgura. Gráfca del redmeto óptmo para dferetes λ y λ 2 Tabla 2 Redmeto óptmo para dferetes λ y λ 2 λ λ 2 =0. λ 2 =0.2 λ 2 =0.3 λ 2 =0.4 λ 2 =0.5 λ 2 =0.6 λ 2 =0.7 λ 2 =0.8 λ 2 =0.9 λ 2 =.0 0. ----- 2.59 2.202 2.2433 2.2854 2.397 2.397 2.397 2.397 2.397 0.2 2.402 2.4433 2.485 2.5274 2.5695 2.66 2.6234 2.6234 2.6234 2.6234 0.3 2.523 2.7274 2.7695 2.86 2.8536 2.8857 2.927 2.927 2.927 2.927 0.4 2.523 2.7946 3.0536 3.0957 3.378 3.799 3.229 3.2308 3.2308 3.2308 0.5 2.523 2.7946 3.0769 3.3592 3.429 3.4640 3.506 3.5345 3.5345 3.5345 0.6 2.523 2.7946 3.0769 3.3592 3.645 3.748 3.7902 3.8323 3.8382 3.8362 44
0.7 2.523 2.7946 3.0769 3.3592 3.645 3.9238 4.0744 4.64 4.49 4.49 0.8 2.523 2.7946 3.0769 3.3592 3.645 3.9238 4.206 4.4006 4.4426 4.4456 0.9 2.523 2.7946 3.0769 3.3592 3.645 3.9238 4.206 4.4884 4.7268 4.7493.0 2.523 2.7946 3.0769 3.3592 3.645 3.9238 4.206 4.4884 4.7707 5.0530 Resultados del problema de mmzacó del resgo Los resultados se muestra e la fgura 2 y e la tabla 3. Tabla 3 Resgo mímo para dferetes λ y λ 2 λ λ 2 =0. λ 2 =0.2 λ 2 =0.3 λ 2 =0.4 λ 2 =0.5 λ 2 =0.6 Λ 2 =0.7 λ 2 =0.8 λ 2 =0.9 λ 2 =.0 0. 5.778 5.778 5.778 5.778 5.778 5.9266 6.7672 7.6078 8.4484 9.2890 0.2 6.626 6.626 6.626 6.626 6.626 6.626 6.7672 7.6078 8.4484 9.2890 0.3 6.5534 6.5534 6.5534 6.5534 6.5534 6.5534 6.7672 7.6078 8.4484 9.2890 0.4 6.9442 6.9442 6.9442 6.9442 6.9442 6.9442 6.9442 7.6078 8.4484 9.2890 0.5 7.3350 7.3350 7.3350 7.3350 7.3350 7.3350 7.3350 7.6078 8.4484 9.2890 0.6 7.7258 7.7258 7.7258 7.7258 7.7258 7.7258 7.7258 7.7258 8.4484 9.2890 0.7 8.66 8.66 8.66 8.66 8.66 8.66 8.66 8.66 8.4484 9.2890 0.8 8.5074 8.5074 8.5074 8.5074 8.5074 8.5074 8.5074 8.5074 8.5074 9.2890 0.9 8.8982 8.8982 8.8982 8.8982 8.8982 8.8982 8.8982 8.8982 8.8982 9.2890.0 9.2890 9.2890 9.2890 9.2890 9.2890 9.2890 9.2890 9.2890 9.2890 9.2890 45
Fgura 2. Gráfca del resgo mímo para dferetes λ y λ 2 De las tablas 2 y 3 se obtee la m eor dfereca etre el resgo y el redmeto, de forma smlar a como se hace e la seleccó de la cartera de versó co el modelo CAPM. Es m portate otar que e cada uo de los problemas, de maxmzacó del re dmeto y mmzacó del resgo, se determa los valores d e λ y λ 2, las cuales so dferetes para cada problema y correspode a dsttos porcetajes de cada ua de las accoes. E la fgura 3 y e la tabla 4 se m uestra los resultados de las dferecas etre el redmeto y el resgo. 46
Tabla 4. Dferecas etre el resgo y redmeto λ λ 2 =0. λ 2 =0.2 λ 2 =0.3 λ 2 =0.4 λ 2 =0.5 λ 2 =0.6 Λ 2 =0.7 λ 2 =0.8 λ 2 =0.9 λ 2 =.0 0. ------- 3.627 3.5706 3.5285 3.4884 3.6069 4.4475 5.288 6.287 6.9693 0.2 3.764 3.793 3.6772 3.6352 3.593 3.550 4.438 4.9844 5.8250 6.6656 0.3 4.04 3.8260 3.7839 3.748 3.6998 3.6577 3.840 4.6807 5.523 6.369 0.4 4.439 4.496 3.8906 3.8485 3.8064 3.7643 3.7223 4.3770 5.276 6.0582 0.5 4.8227 4.5404 4.258 3.9758 3.93 3.870 3.8289 4.0733 4.939 5.7545 0.6 5.235 4.932 4.6489 4.3666 4.0843 3.9777 3.9356 3.8935 4.602 5.4508 0.7 5.6043 5.3220 5.0397 4.7574 4.475 4.928 4.0422 4.0002 4.3065 5.47 0.8 5.995 5.728 5.4305 5.482 4.8659 4.5836 4.303 4.068 4.0648 4.8434 0.9 6.3859 6.036 5.823 5.5390 5.2567 4.9744 4.692 4.4098 4.74 4.5397.0 6.7767 6.4944 6.22 5.9298 5.6475 5.3652 5.0829 4.8006 4.583 4.2360 47
Fgura 3. Gráfca de dferecas etre el redmeto y resgo E la gráfca 3 se apreca que exste u área dode la dfereca es míma, metras que e la tabla 4 se deter ma los valores de λ y λ 2 para es a dfereca. Los valores de esas varables correspode a dferetes porcetajes de cada ua de las accoes, los que se m uestra e la tabla 5. E el regló tres de esa msma tabla se muestra los porcetajes obtedos co el modelo CAPM, metras que e el regló cuatro se muestra los valores del redmeto y resgo s cosderar la amortguacó dada por los valores de covaraza baja. 48
Tabla 5. Comparacó de los resultados del modelo matemátco y el CAPM Modelo X (%) X 2 (%) X 3 (%) Sumas (%) Dferecas (%) Mmzacó del resgo Cotrbucó 0.00 0.000 90 00 REND 0.505 0.000.84 2.320 3.452 RIESGO 0.929 0.000 4.843 5.772 Maxmzacó del redmeto Cotrbucó 7.920 3.44 78.64 00.0 REND 0.400 0.300.585 2.285 3.486 RIESGO 0.736 0.804 4.232 5.772 CAPM Cotrbucó 30.00 40.00 30 00 REND.559 0.892 0.6048 3.027.972 RIESGO ------ ----- ----- 4.9839 CAPM co valor real del resgo al mometo t=0 Cotrbucó 30.00 40.00 30 00 REND.559 0.892 0.6048 3.027 3.7823 RIESGO 2.7867 2.3940.643 6.7950 Los resultados de la tabla 5 os muestra, regló 3 y 4, que el cosderar la covaraza como ua varable para determ ar ua cartera de v ersó o es la mejor, s úcamete os basamos e la dfereca real etre el redm eto y el resgo de la cartera de versó e el tem po t=0. Co ese porcetaje d e resgo real es posble obteer redmetos mayores, como se puede observar e la tabla 3, dode los v alores co ese resgo puede teer u redm eto etre 3% y 4% (λ ). Los resultados de la tabla 5 ta mbé os muestra que e el t empo cero la mejor cartera de versó está dada por la fucó de m mzacó del resgo, s os basamos e la meor dfereca, la cua l es lgeramete feror que la dfereca obteda del problem a de maxmzacó del redmeto de 0.034%. 49
Es mportate resaltar que los porcetaj es de cada accó so dferetes para cada solucó del problema de la seleccó de la cartera de versó. Lo cual era de esperarse ya que las varables so reales y admte ua catdad fta de solucoes 5. Coclusoes Se puede coclur que e l plateameto de los modelos matemátcos de maxmzacó del redmeto, m mzacó del r esgo y los crteros para elegr ua cartera de versó os pro porcoa los resultados sufcetes para seleccoar los porcetajes de compra de las accoes que forma ua cartera de versó. Co los modelos matemátcos presetados e este trabajo que o depede de la magtud de las covarazas etre los redmetos de las accoes, os proporcoa mas elemetos reales y o estmados para tomar la decsó de que accoes seleccoar e el tempo t = 0. Los resultados os muestra que la rest rccó de la seleccó del preco de veta de la accó es acertada y útl para modelar matemátcamete problemas de versó e la Bolsa Mexcaa de Valores. Referecas [] Domgo Jorge Messut, Alvarez Vctor Adrá, Ro mao Graff Hugo. Seleccó de versoes. Itroduccó a la teoría de la cartera. Bueos Ares, Argeta. Ed. Macch. 992. 550 pp. 35-37, 47-5, 75-87 [2] Hller Frederck S., Leberm a Gerald J. Itroduccó a la Ivestgacó de Operacoes. Ed. Mc Graw Hll pp. 24-44 [3] Medzábal Zubelda Alatz, Mera Zabalza Lus M., Zub a Zubaurre Mara. El modelo de Markowtz e la Gestó de Carteras. Uversdad del 50
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