Facultad de Ciencias del Trabajo

Facultad de Cencas del Trabajo Métodos Estadístcos Aplcados a las Audtorías Socolaborales Francsco Álvarez González Octubre 005

CURSO 005-06 MÉTODOS ESTADÍSTICOS APLICADOS A LAS AUDITORÍAS SOCIOLABORALES Profesores Francsco Álvarez González francsco.alvarez@uca.es Práctcas: María José Sánchez Quevedo Carmen María Caballero Alvarez Objetvos Introducr al alumno en las aplcacones estadístcas de las audtorías socolaborales. Capactar al alumno para que pueda desarrollar tratamentos estadístcos con datos socolaborales. Programa. Estadístca en audtora laboral. Síntess de la nformacón y análss descrptvo 3. Ajuste y Regresón 4. Tablas de contngenca. Asocacones 5. Dstrbucones de probabldad 6. Muestreo 7. Investgacón en audtoría: Estadístca Inferencal 8. Aplcacones Actvdades Clases teórco/práctcas mpartdas en el Aula. de la Facultad de Cencas del Trabajo. Clases práctcas mpartdas en el Aula de Informátca de la Facultad de Cencas del Trabajo. Metodología La docenca será teórco/práctca, smultaneando para ello la mpartcón de conocmentos teórcos junto con la resolucón de problemas y aplcacones práctcas relaconadas con la aplcacón de la estadístca en las audtorías socolaborales. En las clases práctcas se empleará el aula de nformátca de la Facultad y el programa estadístco Statgraphc, así como dstntos recursos de nternet. Crteros y sstemas de evaluacón Recursos bblográfcos La evaluacón constará de una prmera parte de preguntas cortas que será necesaro superar para poder presentarse a una segunda parte de problemas. En la nota fnal se puntuará la prmera parte hasta un máxmo de cuatro puntos y la segunda parte hasta un máxmo de ses puntos. La realzacón de las práctcas en el aula de nformátca se valorará a efectos de sumar puntos en la prmera parte de la evaluacón. Fernández Palacín, F. y otros (000). Estadístca Descrptva y Probabldad. Servco de Publcacones. Unversdad de Cádz. Ramos Romero, H. (997). Introduccón al Cálculo de Probabldades. Grupo Edtoral Unverstaro. Espejo Mranda, I. y otros (00). Inferenca Estadístca. Servco de Publcacones. Unversdad de Cádz. Peña Sánchez de Rvera, D. (99). Estadístca. Modelos y Métodos. Alanza Edtoral. Abad Montes, F. y otros (00). Estadístca para las Cencas Socales y laborales. Ed. José Carlos Urbano Delgado. Alcalá, A. (999). Estadístca para Relacones Laborales. Edtoral Hespérdes. Peña, D. y Romo, J. (997). Introduccón a la Estadístca para las Cencas Socales. McGraw-Hll. Mateos Rvas, (987). Estadístca en Investgacón Socal. Ejerccos resueltos. Edtoral Parannfo. arvaza, J.L. y otros (998). Estadístca aplcada a la gestón y a las cencas socales. Inferenca Estadístca. Edtoral Desclée S. A. Materales Dsponbles en: http://www.uca.es/serv/web/fct/

http://www.uca.es/serv/web/fct/ TUTORÍAS Contacto a través de correo electrónco francsco.alvarez@uca.es Indcar en Asunto : Tutoría

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Métodos Estadístcos Aplcados a las Audtorías Socolaborales Francsco Álvarez González francsco.alvarez@uca.es Bajo el térmno Estadístca Descrptva se engloban las técncas que nos permtrán realzar un análss elemental de las observacones expermentales observadas. Se subdvde en dos bloques : º Estadístca prmara : Obtendo un grupo de observacones expermentales, este apartado nos enseña a ordenarlas adecuadamente, de modo que se ofrezca una nformacón lo más clara posble. º Estadístca dervada o secundara : Con los datos observados realzaremos certos cálculos, obtenendo así unas meddas. Este bloque temátco nos enseña a nterpretarlas. PROCEDIMIETO A SEGUIR E U ESTUDIO ESTADÍSTICO. El proceso segudo en el estudo estadístco de una certa característca o varable, puede subdvdrse en tres pasos sucesvos : A RECOGIDA DE DATOS : Planteado el test o encuesta oportuno y recogdos los datos que correspondan, el prmer análss que realzaremos es el del tpo de varable que pretendemos estudar (Cualtatva o Cuanttatva ; Dscreta o Contnua). Esto condconará en gran medda su posteror tratamento. B C ORGAIZACIÓ DE LOS DATOS : Determnado el modo de agrupamento de las observacones, procedemos a su recuento, construyendo la tabla de frecuencas. Posterormente podremos vsualzar tales frecuencas de forma gráfca con el dagrama estadístco apropado. AÁLISIS FIAL : La obtencón de muy dversas conclusones respecto de la varable estudada, se podrá realzar con auxlo de los dferentes parámetros estadístcos (de centralzacón, poscón, dspersón, etc.) VARIABLES ESTADÍSTICAS. CLASIFICACIÓ. El aspecto que deseamos estudar (edad, sexo, peso,...) recbe el nombre de VARIABLE ESTADÍSTICA. A lo largo de esta undad observaremos, que las técncas estadístcas a segur serán dferentes según el tpo de varable objeto de estudo. La clasfcacón más tradconal de las varables estadístcas es la sguente : CUALITATIVAS Los valores de las observacones quedan expresados por característcas o atrbutos. Por ejemplo : Estado cvl ; Color preferdo ; vel de estudos ; Raza ;... Dentro de ellas podremos subdvdrlas en funcón de que puedan ser ordenadas (vel de estudos) o no tenga sentdo una determnada ordenacón que se establezca (Color preferdo, Razas,...). CUATITATIVAS Los valores de las observacones son numércos (cuantfcables) y, en consecuenca, ordenables. A su vez las varables cuanttatvas se subdvden en dos tpos : DISCRETAS : Toman valores concretos (º de hjos : 0,,,...) COTIUAS : Pueden tomar cualquer valor de un certo ntervalo (Peso ; Estatura ;...). TABLAS DE FRECUECIAS. S la varable es Cualtatva, observamos los valores dferentes de la msma. S es Cuanttatva buscaremos los valores mínmo y máxmo obtendos. En funcón del número de observacones, decdremos s se realza su estudo de forma ndvdual o agrupando en ntervalos. COSTRUCCIÓ DE ITERVALOS : Tenendo en cuenta la ampltud total de las observacones (Valor máxmo menos valor mínmo observados), tomaremos una decsón sobre el número total de ntervalos, o ben sobre la ampltud o tamaño de los msmos. Estadístca descrptva (F. Álvarez) -

EJEMPLO : Supuesto : Valor máxmo 87, Valor mínmo. Luego : AMPLITUD 87-76. S decdmos construr 8 ntervalos, la ampltud de cada uno será de 0 undades (valor aproxmado de 76/8). El prmer ntervalo no tene porqué ncarse en (mínmo); es más, se aconseja tomar sempre valores "vsualmente agradables" (5, 0, 5,...). Con esto los ntervalos serían : [0,0) [0,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90] S partmos de la decsón de que los ntervalos tengan 5 undades de ampltud, smplemente ncaremos su construccón hasta llegar a un ntervalo que contenga al valor máxmo observado. [0,5) [5,40) [40,55) [55,70) [70,85) [85,90] Teórcamente se establece que el número deal de ntervalos debe ser la raíz cuadrada del número de observacones dsponbles : Para observacones : Crtero de Kaser º de ntervalos E 5 ' + 3'3.ln( ) (E parte entera) Crtero de Sturges º de ntervalos ( ) OTACIÓ Al establecer dos ntervalos consecutvos, por ejemplo de 0 a 0 y de 0 a 30, hemos de decdr s el valor 0 (fnal de uno e nco del sguente) pertenece al prmer ntervalo o al segundo. Para ello empleamos los símbolos [ y (. [ o ] el valor stuado junto a él pertenece al ntervalo ( o ) el valor stuado junto a él no pertenece al ntervalo OTACIOES PARA REPRESETAR ITERVALOS EXTREMOS REALES EXTREMOS APARETES Desde 0 hasta menos de 0 [ 0, 0 ) De 0 a menos de 0 [ 0, 0 ) De 0 a menos de 30 [ 0, 30 ) De 30 a menos de 40 [ 30, 40 ) Desde 40 hasta 50 [ 40, 50 ] - 4 Valores :,, 3 y 4 [ 0'5, 4'5 ) 5-8 Valores : 5, 6, 7 y 8 [ 4'5, 8'5 ) 9 - Valores : 9, 0, y [ 8'5, '5 ] RECUETO. TABLA DE FRECUECIAS ABSOLUTAS. Stuados en una tabla los valores de la varable (desde el mínmo al máxmo) o los ntervalos que los contenen, procedemos a contar las veces que se repten. Construmos así una tabla como la de la zquerda. En ella podrá observarse que, en el supuesto de datos agrupados en ntervalos, se ha ncludo una columna encabezada por x. Tal valor de x se denomna marca de clase y es el valor central de cada ntervalo. Intervalos x Recuento n [ e, e ) x /// n n [ e, e 3 ) x ///// ///// / n n +n............... [ e, e + ) x ///// /// n n +n +... +n............... Σn - Estadístca descrptva (F. Álvarez)

FRECUECIAS. FRECUECIA ABSOLUTA (n) : Para datos no agrupados en ntervalos, es el número de veces que se presenta cada valor de la varable. S los datos se agrupan en ntervalos, es el número de observacones que pertenecen a dcho ntervalo. FRECUECIA ABSOLUTA ACUMULADA () : Para un certo valor de la varable, la frecuenca absoluta acumulada nos da el número de observacones menores o guales que dcho valor. OTRAS FRECUECIAS : FRECUECIA RELATIVA (r) : Cocente entre la frecuenca absoluta y el número total de observacones (). PROPORCIÓ o PORCETAJE (p) : Frecuenca relatva multplcada por 00 (es la expresón de las frecuencas en %). De gual modo que se defnó para las frecuencas absolutas, se defnen las FRECUECIAS RELATIVAS ACUMULADAS (R) y los PORCETAJES ACUMULADOS (P). TABLA COMPLETA DE FRECUECIAS : EJEMPLO : x n r p R P x n r n / p r. 00 n r p x n r n / p r. 00 n +n r +r p +p..................... x n r n / p r. 00 n +n +... +n r +r +... +r p +p +... +p..................... Σn Σr Σp 00 x n r p R P 5 0'5 '5 5 0'5 '5 3 0 0'50 5 5 0'375 37'5 4 6 0'400 40 3 0'775 77'5 5 6 0'50 5 37 0'95 9'5 6 3 0'075 7'5 40 '000 00 40 00 GRÁFICOS ESTADÍSTICOS. La norma que hemos de segur en la construccón de un gráfco estadístco es sempre : "La zona que dentfca a cada valor será proporconal a su frecuenca" Los dagramas usuales son los que se descrben a contnuacón. A Dagramas de barras Para varables cualtatvas o cuanttatvas no agrupadas en ntervalos. FUDAMETO : Sobre un eje (normalmente el horzontal) marcamos los valores de la varable, dbujando sobre cada uno de ellos una barra cuya longtud sea proporconal a la frecuenca que se esté vsualzando. S la varable representada es cuanttatva, enlazando los extremos de las barras obtendremos el POLÍGOO DE FRECUECIAS, denomnado PERFIL ORTOGOAL para cualtatvas ordenables. B Hstogramas Representatvo de las varables agrupadas en ntervalos. FUDAMETO : Sobre el eje horzontal marcamos los dstntos ntervalos, dbujando sobre cada uno de ellos un rectángulo cuya área sea proporconal a la frecuenca que se esté vsualzando (S todos los ntervalos tenen la msma ampltud, nos bastará con que la altura de los rectángulos sea proporconal a las frecuencas). POLÍGOOS DE FRECUECIAS : S la frecuenca representada no es acumulada, enlazamos los puntos medos de los extremos superores de los rectángulos. Para frecuencas acumuladas, el polígono de frecuencas se obtene de la forma ndcada en el gráfco. Estadístca descrptva (F. Álvarez) - 3

C Dagramas de sectores Utlzable en cualquer tpo de varable. FUDAMETO : Dvdmos el círculo en sectores crculares, de modo que la ampltud de cada sector, sea proporconal a la frecuenca. Junto a cada sector, se suele ndcar el valor representado. Es aconsejable la expresón de las ampltudes de los sectores en % (porcentajes p ). D Pctogramas Utlzable en todo tpo de varables, especalmente con las cualtatvas. FUDAMETO : Es el msmo que se sgue para la construccón de los dagramas de barras y hstogramas. La dferenca estrba en que, en lugar de dbujar una barra o un rectángulo, se dbuja una fgura que hace referenca al problema objeto de estudo. E Dagramas de áreas Representatvo de las varables cuanttatvas, equvale a la representacón ndependente de los polígonos de frecuencas (descrtos en los dagramas de barras y hstogramas). FUDAMETO : Indca la evolucón de los valores de la varable, consstendo en la vsualzacón del área encerrada bajo el polígono de frecuencas. Para ello, se conecta dcho polígono con el eje de la varable (el horzontal en el gráfco), tanto a la zquerda del prmer valor como a la derecha del últmo. Los dagramas de barras, hstogramas, pctogramas y de áreas, admten la representacón correspondente a sus frecuencas acumuladas. MEDIDAS DE CETRALIZACIÓ. MEDIA ARITMÉTICA : n. x x MODA : + n + Mo e. n+ + n OTACIOES MEDIAA : Es el resultado de dvdr la suma de todas las observacones entre el número de ellas. a Me e +. a n Es el valor que más se repte. Será pues el valor (o valores) cuya frecuenca absoluta sea la mayor de las observadas. S los datos se encuentran agrupados en ntervalos, obtendremos el ntervalo en el que se encuentra la moda (ITERVALO MODAL). Para determnar su valor concreto, aplcamos la expresón de la zquerda. Los subíndces ndcan : ntervalo donde se encuentra la moda. - ntervalo anteror al que contene la moda. + ntervalo sguente al que contene la moda. e extremo nferor del ntervalo en el que se encuentra la moda. a ampltud del ntervalo en el que está la moda. n frecuenca absoluta. Supuestas ordenadas las observacones, MEDIAA es el valor de la varable que está en el centro de las msmas. Deja pues a la mtad (el 50%) de las observacones por debajo de dcho valor. Para obtener el valor de la medana, segumos los pasos sguentes : º Calculamos la tabla de frecuencas absolutas acumuladas. º La medana será el valor de la varable cuya frecuenca absoluta acumulada prmero guale o supere a /. S los datos se encuentran agrupados en ntervalos, el punto º nos dará el ntervalo en el que se encuentra la medana. Para determnar su valor concreto, aplcamos la expresón de la zquerda. 4 - Estadístca descrptva (F. Álvarez)

OTA : En el caso de varables contnuas no agrupadas en ntervalos, suelen consderarse prevamente los ntervalos reales que esos valores representan, procedendo a aplcar la expresón superor. Así, los valores,,3,... representan a los ntervalos de valores [0'5, '5), ['5, '5), ['5, 3'5),... OTACIOES Los subíndces ndcan : ntervalo donde se encuentra la medana. - ntervalo anteror al que contene la medana. e extremo nferor del ntervalo en el que se encuentra la medana. a ampltud del ntervalo en el que está la medana. n frecuenca absoluta. frecuenca absoluta acumulada. OTRAS MEDIDAS DE CETRALIZACIÓ. MEDIA PODERADA : Aplcable cuando a cada valor (X ) se le asgna un peso (p ) : x p p. X p MEDIDAS DE POSICIÓ. MEDIA GEOMÉTRICA : x x. x..... x G Con frecuencas f para cada x : ( Σf ) n n nn x G x. x... x n MEDIA ARMÓICA : x A x Con frecuencas f para cada x : ( Σf ) x A n x COCEPTO : Permten el cálculo del valor de la varable que ocupa una certa poscón relatva respecto del conjunto total de los valores observados. PERCETIL DE ORDE K : Es el valor de la varable que deja por debajo de él el K% de las observacones. PROCESO DE CALCULO : k. P k e 00 +. a n Para obtener el valor del percentl de orden K, segumos los pasos sguentes : º Calculamos la tabla de frecuencas absolutas acumuladas. º Obtenemos el LUGAR que ocupa : Lugar. K / 00 3º El percentl de orden K será el valor de la varable cuya frecuenca absoluta acumulada prmero guale o supere a dcho lugar. S los datos se encuentran agrupados en ntervalos, el punto 3º nos dará el ntervalo en el que se encuentra el percentl de orden K. Para determnar el valor concreto del percentl, aplcamos la expresón de la zquerda. OTA : En el caso de varables contnuas no agrupadas en ntervalos, suelen consderarse prevamente los ntervalos reales que esos valores representan, procedendo a aplcar la expresón anteror. Así, los valores,,3,... representan a los ntervalos de valores [0'5, '5), ['5, '5), ['5, 3'5),... OTACIOES Los subíndces ndcan : ntervalo donde se encuentra el percentl. - ntervalo anteror al que contene el percentl. e extremo nferor del ntervalo en el que se encuentra el percentl. a ampltud del ntervalo en el que está el percentl. n frecuenca absoluta. frecuenca absoluta acumulada. PERCETILES ESPECIALES MEDIAA Percentl de orden 50. CUARTILES Percentles de órdenes 5 (Cuartl º), 50 (Cuartl º) y 75 (Cuartl 3º). DECILES Percentles de órdenes 0, 0,..., 90 (Decles º, º,..., 9º). MEDIDAS DE DISPERSIÓ. RAGO, RECORRIDO O AMPLITUD TOTAL : R Máx Mín Con el fn de medr el mayor o menor grado de separacón de las observacones, en una prmera nstanca se defne el RAGO (tambén denomnado recorrdo o ampltud total), como la dferenca exstente entre los valores máxmo y mínmo observados. Estadístca descrptva (F. Álvarez) - 5

AMPLITUD SEMI-ITERCUARTÍLICA : Q Q Q 3 Esta medda de dspersón se basa en meddas de poscón (Cuartles),.Su empleo tendrá sentdo en el supuesto de mposbldad de cálculo de la meda. El no tomar en consderacón a la totaldad de las observacones, hace pensar que esta medda es poco representatva. Por ello se ntenta defnr las meddas de dspersón, de modo que sean el promedo de las separacones de cada valor respecto de uno tomado como referenca (la MEDIA). DESVIACIÓ MEDIA : n x x Dx Observando la fgura aprecamos que las desvacones d antes defndas tenen como meda cero (las postvas compensan con las negatvas), lo cuál oblga a subsanar este nconvenente tomándolas en valor absoluto o elevándolas al cuadrado.. Es la meda de las desvacones o separacones de cada una de las observacones, respecto a la meda artmétca, consderadas en valor absoluto. Susttuyendo la meda por la moda o la medana, defnremos las desvacones medas respecto de la moda y de la medana. VARIAZA : ( ) n. x x n. x s σ x Es la meda de los cuadrados de las desvacones o separacones de cada una de las observacones, respecto a la meda artmétca. DESVIACIÓ TÍPICA : n. x s σ varanza x COEFICIETE DE VARIACIÓ : CV σ.00 x x Es la raíz cuadrada de la varanza. Con ello corregmos el haber tomado cuadrados de separacones en el cálculo de la varanza. Esta medda de dspersón es la más característca. Mde la representatvdad de la meda. Valores extremos del msmo nos llevarán a conclur que la meda no es representatva, es decr, exstrán valores entre las observacones que se separan sgnfcatvamente de las demás. Sólo puede ser utlzado cuando los valores de la varable toman valores "normales". Es decr, no son muy elevados n muy pequeños, ya que una meda próxma a cero o muy alta darían valores nulos o nfntos al coefcente. S la meda es representatva de las observacones (no exsten valores extremos exageradamente dstancados de la mayoría), el coefcente de varacón permte comparar la dspersón de dos seres estadístcas : mayor coefcente ndca menor homogenedad, o lo que es lo msmo, mayor dspersón o varabldad. GRÁFICO DE VARIABILIDAD : Basado en los cuartles, adopta la forma del gráfco de la derecha. En él se reflejan los cuartles º y 3º y la medana, junto a los extremos nferor y superor : Q3 Q Lnf Q 3. Q 3. Q ; Lsup Q3+ 3. Q Se consderan observacones atípcas aquellas que quedan fuera del ntervalo : ( L nf, L sup ) OTRAS MEDIDAS ESTADÍSTICAS. COEFICIETE DE ASIMETRÍA DE FISHER : Permte nterpretar la forma de la dstrbucón, respecto a ser o no smétrca. As n. ( x x) 3 σ 3 ITERPRETACIÓ 6 - Estadístca descrptva (F. Álvarez)

Basados en al relacón exstente entre meda, medana y moda : x Mo 3.( x Md) se defnen dos nuevos coefcentes de asmetría (de Pearson): x Mo As σ COEFICIETE DE CURTOSIS : As 3 3.( x Md) σ Recbe tambén el nombre de coefcente de concentracón central, mdendo el grado de aplastamento o apuntamento de la gráfca de la dstrbucón de la varable estadístca. Una mayor concentracón de datos en torno al promedo harán que la forma sea alargad, sendo tanto más plana (o aplastada) cuanto mayor sea la dspersón de los msmos. Determna la forma de la dstrbucón, en relacón con su grado de aplastamento. K ( x x) n. 4 σ 4 3 ITERPRETACIÓ Basados en meddas de poscón, se defnen los nuevos coefcentes : Coefcente de asmetría de Bowley-Yule, o ntercuartílco : Y Q Me + Q 3. Q Q 3 Coefcente absoluto de asmetría: A Q 3. Me + Q σ Coefcente de curtoss de Kelley : Q K con Q Q Q 3 063 ' : P P 90 0 AÁLISIS COJUTO DE VARIOS GRUPOS. S dsponemos de k grupos con n elementos, medas x, y varanzas S, podemos obtener : Meda conjunta de los k grupos n. x X n S n. S n Varanza conjunta de los k grupos, o, con mayor rgor : S ( ) n n. S n. x X + n PROPIEDADES DE LAS MEDIDAS ESTADÍSTICAS. TABLA PARA CÁLCULOS : La tabla sguente nos muestra una dsposcón práctca de los cálculos necesaros para la obtencón de los parámetros estadístcos usuales: Meda, Moda, Medana, Percentles, Varanza y Desvacón típca. Intervalos x n n.x n.x P [ e, e ) x n n. x (n. x ).x n P ( / ). 00 [ e, e 3 ) x n n. x (n. x ).x n +n P ( / ). 00..................... [ e, e + ) x n n. x (n. x ).x I n +n +... P ( / ). 00 +n..................... Σ n Σ n. x Σ n. x Cálculo de percentles A B Cálculo de meda y varanza La meda y la varanza serían el resultado de calcular :Cálculo de meda y varanza PROPIEDADES : A B x σ x A) S a todos los valores de una varable x les sumamos una cantdad constante, la meda queda ncrementada en dcha constante, mentras que la desvacón típca (y la varanza) no varía. Estadístca descrptva (F. Álvarez) - 7

B) S multplcamos todos los valores de una varable x por una constante, la meda y la desvacón típca quedan tambén multplcadas por dcha constante (la varanza quedará multplcada por el cuadrado de la constante). EJEMPLO : CAMBIO DE VARIABLE. TIPIFICACIÓ. Hacendo uso de las propedades de las meddas estadístcas,podremos facltar y smplfcar los cálculos de parámetros estadístcos, realzando un cambo de varable. Así, s todos los valores son muy altos, podremos restarles una cantdad (normalmente la Moda) y, s poseen cfras decmales o son múltplos de un msmo número, podremos multplcarlos o dvdrlos por el valor adecuado. Una vez calculados los parámetros estadístcos, en vrtud de las propedades descrtas, obtendremos el valor fnal real de tales parámetros. Mencón especal merecen dos cambos de varables partculares : A) Dferencales : partendo de la varable ncal x (puntuacones drectas), s a todos los valores les restamos la meda, obtenemos una nueva varable d (puntuacones dferencales) cuya meda es cero (la desvacón típca no se modfca). B) Tpfcadas : S a todos los valores de la varable ncal x les restamos la meda y el resultado lo dvdmos por la desvacón típca, obtenemos una nueva varable z (puntuacones tpfcadas) cuya meda es cero, tenendo sempre como desvacón típca la undad. Este últmo cambo de varable recbe el nombre de TIPIFICACIÓ. SUMA Y DIFERECIA DE VARIABLES. Partendo de dos varables X, Y, podemos defnr las nuevas varables : S X + Y obtenda sumando cada valor de X con el correspondente de Y. D X - Y obtenda restando a cada valor de X el valor correspondente de Y. Esto supone la exstenca de tantas observacones de X como de Y, así como el emparejamento de ellas; es decr, a cada valor de X queda asocado un valor de Y. Esto constturá la base de estudo del sguente tema. Veamos como se comporta la meda de las dos nuevas varables S y D defndas. S X+ Y ( X Y X Y En efecto : + ) + X Y S + X+ Y Análogamente se verfca que : D X Y Calculemos la varanza de la suma S : ( X Y S) ( X Y X Y ) ( X X Y Y ) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) + ( ) SS ( ( X X) + ( Y Y) +.( X X).( Y Y) ) ( X X) ( Y Y) ( X X).( Y Y) + +. SX + SY +. SXY ( X X).( Y Y) La expresón, representada por S XY, recbe el nombre de covaranza, justfcándose que es gual tambén a : ( X X).( Y Y) X. Y SXY XY. D X Y XY Análogamente se verfca que : S S + S. S S las varables X, Y son ndependentes, la covaranza (medda de varacón conjunta) es gual a cero. 8 - Estadístca descrptva (F. Álvarez)

Resumendo Varanzas : Medas Dependentes ( S XY 0 ) Independentes ( S XY 0 ) S X + Y S X+ Y SS SX + SY +. SXY SS SX + SY D X - Y D X Y S S + S. S S S + S MOMETOS ORDIARIOS Y CETRALES D X Y XY D X Y Momento ordnaro de orden k : n k a k. x Momento central de orden k : n k m k.( x x) Se verfca que : m 0 m a a 3 m3 a3 3. a. a+. a m a 4. a. a + 6. a. a 3. a 4 4 3 4 Algunos parámetros estudados, pueden expresarse : µ x a σ sx m a a m m As 3 3 K m 4 m 4 3 m m 3 3 3 4 σ σ ( ) MEDIDAS DE COCETRACIÓ. Estas meddas, de aplcacón económca fundamentalmente, determnan el nvel de gualdad en el reparto total de las observacones de la varable. Su determnacón se realzará a partr de la sguente tabla de cálculos : A B C D E G H x n Σ n. P (.. /).00 t n. x T Σ t. Q (T.. /T).00 P - Q x n P t T Q P - Q x n P t T Q P - Q........................ x k n k k P k ( 00) t k T k Q k ( 00) P k - Q k ( 0) Σ n. TP Σ P T Σ n. x TD Σ (P - Q ) Sendo : A) Valores de la varable (marca de clase s está agrupada en ntervalos). B) Frecuencas absolutas ( total de observacones). C) Frecuencas absolutas acumuladas. D) Porcentajes acumulados (totalzando - TP). E) Productos de cada frecuenca por su correspondente valor (T suma total de estos productos). F) Productos anterores acumulados (de gual modo que se realza con frecuencas). G) Expresón en porcentaje del contendo de la columna anteror. H) Dferencas de los valores de las columnas D y G (totalzando - TD). MEDIALA : Su defncón tene un fundamento smlar al de la medana. Para dstrbucones dscretas (no agrupadas en ntervalos), la medala es el valor de la varable cuyo Q prmero guala o supera el 50%. Para dstrbucones contnuas (agrupadas en ntervalos), el ntervalo que contene la medala es aquel cuyo Q prmero guala o supera el 50%. De aquí obtenemos el valor de la medala del modo sguente : 50 Q Ml e +. a Q Q Los subíndces ndcan : ntervalo donde se encuentra la medala. - ntervalo anteror al que contene la medala. e extremo nferor del ntervalo en el que se encuentra la medala. a ampltud del ntervalo en el que está la medala. Estadístca descrptva (F. Álvarez) - 9

CURVA DE LOREZ : ÍDICE DE COCETRACIÓ DE GII : Sobre un rectángulo de 00 undades de lado, se dbuja la polgonal que resulta de unr los puntos (P, Q ). Esta polgonal (curva de Lorenz) determna con la dagonal AB un recnto (sombreado en la fgura) que mde el grado de concentracón. Cuando el área sombreada es muy pequeña (la curva de Lorenz se aproxma a la dagonal AB) se presenta una baja concentracón, o lo que es lo msmo, ndca unformdad en el reparto de los valores de la varable. La mayor concentracón se producrá cuando la zona sombreada concde con el trángulo ABC. Hacendo uso de la tabla de cálculos anteror, necesara para la obtencón de la curva de Lorenz, defnremos el presente estadístco. Otros, como el índce de Dalton, el de pardad, etc., pueden ser empleados con déntca nterpretacón a la que tratamos con el de Gn, s ben omtmos su estudo. G k ( P Q ) k TD TP 00 P El índce de Gn (expresón de la zquerda) concde geométrcamente con el cocente entre el área sombreada (defnda por la curva de Lorenz) y la del trángulo ABC. Concentracón mínma : G 0 Concentracón máxma : G 0 - Estadístca descrptva (F. Álvarez)

EJERCICIOS RESUELTOS La tabla sguente nos muestra el resultado de una encuesta entre los alumnos de prmer curso, analzando el número de suspensos en la prmera evaluacón : 0 4 0 3 3 5 3 4 3 4 3 4 0 4 4 4 0 3 3 0 5 3 0 3 0 5 4 0 3 3 3 3 4 3 3 4 Realcemos un estudo estadístco completo. Se trata de una varable cuanttatva dscreta. Esto condconará algunos procesos del cálculo estadístco. RECUETO Y TABLA DE FRECUECIAS x recuento n r p R P 0 ///// /// 8 0'333 3'33 8 0'333 3'33 ///// ///// / 0'833 8'33 9 0'367 3'67 ///// ///// /// 3 0'67 '67 3 0'5333 53'33 3 ///// ///// ///// 5 0'500 5'00 47 0'7833 78'33 4 ///// ///// 0 0'667 6'67 57 0'9500 95'00 5 /// 3 0'0500 5'00 60 '0000 00'00 Totales : 60 '0000 00'00 GRÁFICOS ESTADÍSTICOS APROPIADOS PARA ESTE TIPO DE VARIABLE DIAGRAMA DE BARRAS : Sobre el valor de cada varable dbujamos una barra con altura gual a la frecuenca que deseamos representar (en este caso las absolutas n ). POLÍGOO DE FRECUECIAS : Obtendos enlazando los extremos superores de las barras. OTA :Sendo la varable dscreta, no tene sentdo dbujar el polígono de frecuencas. DIAGRAMAS ACUMULADOS : Construdos como los anterores, son los representatvos de las dstntas frecuencas acumuladas. El ejemplo representa las frecuencas absolutas acumuladas (). El polígono de frecuencas se construría enlazando los extremos superores de las barras. PICTOGRAMAS: Con el msmo prncpo segudo para la construccón de los dagramas de barras, susttumos dchas barras por dbujos alusvos a la varable estadístca estudada. DIAGRAMAS DE SECTORES : Resultan de la dvsón de un círculo en sectores cuya ampltud es proporconal a la frecuenca. La ampltud de cada sector será : α. 360º r.360º n Estadístca descrptva (F. Álvarez) -

MEDIA, VARIAZA Y DESVIACIÓ TÍPICA x n n.x n.x Este tpo de tabla faclta los cálculos. 0 8 0 0 Meda 37 / 60,83 3 6 5 Varanza (433 / 60) - meda al cuadrado '005 3 5 45 35 Desvacón típca raíz cuadrada de la varanza '46 4 0 40 60 5 3 5 75 60 37 433 n. x x 37 '83 60 s x n x. x 433 '83 60 '00 s x s ' 005 ' 46 x MODA Valor de mayor frecuenca 3 PERCETILES Para la determnacón de meddas de poscón (percentles), podemos segur dos procedmentos de cálculo : º) Basado en las frecuencas absolutas acumuladas : Determnamos el lugar que ocupa : L k. / 00 El percentl será el valor cuya frecuenca prmero guale o supere al lugar L. º) Basado en porcentajes acumulados P : El percentl será el valor cuyo porcentaje P prmero guale o supere al orden k del percentl. Aplquemos el prmer procedmento para calcular la medana y el 9º decl : La medana (percentl 50) ocupará el lugar : L 50. 60 / 00 30 El 9º decl (percentl 90) ocupará el lugar : L 90. 60 / 00 54 x n 0 8 8 9 3 3 Medana 3 5 47 4 0 57 9º decl 4 5 3 60 60 Aplcando el segundo procedmento descrto, determnemos los cuartles º y 3º, así como la ampltud semntercuartílca : x n r p P 0 8 0'333 3'33 3'33 0'833 8'33 3'67 Cuartl º (percentl 5) 3 0'67 '67 53'33 3 5 0'500 5'00 78'33 Cuartl 3º (percentl 75) 3 4 0 0'667 6'67 95'00 5 3 0'0500 5'00 00'00 60 '0000 00'00 Ampltud sem-ntercuartílca Q Q 3 3 - Estadístca descrptva (F. Álvarez)

Trabajamos ahora con las edades de 50 jóvenes de nuestro barro : 0 5 0 4 0 5 3 9 3 4 5 4 5 7 8 9 9 5 0 3 5 7 0 6 4 7 8 0 0 4 0 3 5 5 0 0 Como en el ejemplo anteror, realcemos un estudo estadístco completo. os encontramos ante una varable estadístca cuanttatva contnua. Agruparemos o no las observacones en ntervalos en funcón de los dferentes valores observados. TABLA DE FRECUECIAS Observado el valor mínmo () y máxmo (4), decdmos agrupar los datos en ntervalos de 5 años de ampltud, empezando por 0. Intervalos recuento n r p R P [ 0, 5 ) ///// 5 0'0 0 5 0'0 0 [ 5, 0 ) ///// ///// 0 0'0 0 5 0'30 30 [ 0, 5 ) ///// ///// ///// / 6 0'3 3 3 0'6 6 [ 5, 0 ) ///// / 6 0' 37 0'74 74 [ 0, 5 ] ///// ///// /// 3 0'6 6 50 '00 00 Totales : 50 '00 00 GRÁFICOS ESTADÍSTICOS HISTOGRAMA : Sobre el valor de cada varable dbujamos una franja con altura gual a la frecuenca que deseamos representar (en este caso las absolutas n ). POLÍGOO DE FRECUECIAS : Obtendo enlazando los puntos medos de los extremos superores de las franjas. HISTOGRAMAS ACUMULADOS : Construdos como los anterores, son los representatvos de las dstntas frecuencas acumuladas. El ejemplo representa las frecuencas absolutas acumuladas ( ). En este caso, el polígono de frecuencas O se construría enlazando los puntos medos de los extremos superores de las franjas, sno como se ndca en la fgura. Cálculo de Moda, Meda, Varanza y Desvacón típca : Para el cálculo de la meda y la varanza utlzamos la tabla auxlar sguente. En ella se ncorpora la columna x, que contene la marca de clase (valor central) de cada ntervalo. La MODA (valor de mayor frecuenca) se encuentra en el ntervalo [0, 5). Determnemos su valor concreto : Mo e + n n + 6 0 +.5 6 + 0 +. a + n '875 Intervalos n x n.x n.x [ 0, 5 ) 5 '5 '5 3'5 [ 5, 0 ) 0 7'5 75'0 56'50 [ 0, 5 ) 6 '5 00'0 500'00 [ 5, 0 ) 6 7'5 05'0 837'50 [ 0, 5 ] 3 '5 9'5 658'5 50 685'0 5'50 Estadístca descrptva (F. Álvarez) - 3

n. x x 685 3'7 50 s x. x n x 5'5 3'7 50 4 s x s 4' 56 6' 54 x Utlzando las frecuencas absolutas acumuladas, calculemos el decl º y el percentl 6 : Lugar que ocupa el decl º (percentl 0) 0. 50 / 00 0 Lugar que ocupa el percentl 6 6. 50 / 00 3 Intervalos n [ 0, 5 ) 5 5 [ 5, 0 ) 0 5 Decl º (percentl 0) en [5,0) Lugar 0 [ 0, 5 ) 6 3 Percentl 6 en [0,5) Lugar 3 [ 5, 0 ) 6 37 [ 0, 5 ] 3 50 50 Determnemos sus valores concretos : 0. P e + 00 n 6. P e + 00 n 0.50 5. a 5 00 +.5 0 6.50 5. a 0 00 +.5 6 0 6 Utlzando los porcentajes acumulados, calculemos el cuartl º y la medana : Intervalos n r p P [ 0, 5 ) 5 0'0 0 0 [ 5, 0 ) 0 0'0 0 30 Cuartl º (percentl 5) en [5,0) [ 0, 5 ) 6 0'3 3 6 Medana (percentl 50) en [0,5) [ 5, 0 ) 6 0' 74 [ 0, 5 ] 3 0'6 6 00 50 '00 00 Determnemos sus valores concretos : 5. 5.50 5 P e + 00. 5 + 00 a.5 n 0 50. 50.50 5 P e + 00. 0 + 00 a.5 n 6 5 50 7'5 5 8'75 3' 5 4 - Estadístca descrptva (F. Álvarez)

3 x n De la presente dstrbucón, calculemos : 6 Meda, varanza y desvacón típca. 3 5 Moda. 4 0 Medana, Percentl 8, Cuartles y ampltud sem-ntercuartílca. 5 9 La varable establecda puede ser dscreta o contnua sn agrupar en ntervalos. Realcemos los cálculos en ambos supuestos. x n P n.x n.x 6 6 5 4 3 5 5'5 45 35 4 0 3 77'5 40 60 5 9 40 00 45 5 40 4 544 Meda n. x x 4 3'55 40 Varanza σ. x n x 544 3'55 40 0'99 Desvacón típca σ 0' 9975 0' 99875 Moda 3 Cuartl º (percentl 5) 3 Medana (percentl 50) 3 Cuartl 3º (percentl 75) 4 Percentl 8 5 Rango sem-ntercuartílco Q3 Q 4 3 05 ' Los valores anterores, relatvos a percentles, son váldos s la varable es DISCRETA. En el supuesto de tratarse de una varable COTIUA (con datos no agrupados), deberíamos entender que el valor dentfca el ntervalo stuado a la zquerda en la sguente tabla : Intervalo x n P ['5,'5)... 6 6 5 ['5,3'5)... 3 5 5'5 [3'5,4'5)... 4 0 3 77'5 [4'5,5'5]... 5 9 40 00 40 Los percentles peddos se obtendrían del modo sguente : Medana en ['5,3'5) Percentl 8 en [4'5,5'5] Cuartl º en ['5,3'5) Cuartl 3º en [3'5,4'5) 50. 40 6 Me P50 5 ' + 00. 3' 433 5 8. 40 3 P 8 45 ' + 00. 4' 700 9 5. 40 6 Q P5 5 ' + 00. ' 767 5 75. 40 Q3 P75 35 ' + 00. 3' 400 0 Estadístca descrptva (F. Álvarez) - 5

4 Interv. n De la dstrbucón de la zquerda, calcular : [0,) 5 Meda, varanza y desvacón típca. [,4) Moda [4,6) 9 Medana, Percentl 59 y Decl 3º. [6,8) Desvacón meda. [8,0] 4 Coefcentes de asmetría y curtoss. Interv. n a P n.a n.a [0,) 5 5 8'333 55 605 [,4) 3 6 6'667 43 859 [4,6) 9 5 35 58'333 85 475 [6,8) 7 56 93'333 357 6069 [8,0] 4 9 60 00'000 76 444 60 96 45 Meda n. a x Varanza. 96 5'667 n a 45 σ x 5'667 60 60 4'4 Desvacón típca σ 4' 46 ' 4 Moda en [6,8) Medana (percentl 50) en [4,6) Percentl 59 en [6,8) Decl 3º (percentl 30) Desvacón meda en [4,6) 4 Mo 6 + 6 3478 4 + 9. ' 50. 60 6 Me P50 4 + 00. 5' 4737 9 59. 60 35 P 59 6 + 00. 6' 038 30. 60 6 D3 P30 4 + 00. 4' 05 9 Asmetría y 3 4 x x n. x x x x n.( x x) n.( x x) Curtoss 4'667 '3333-4'667-388'365 657'0090 '667 4'9333 -'667-8'09 90'3644 0'668 5'0668-0'668-0'3603 0'096 '7333 36'4000 '7333 09'368 89'5604 3'7333 4'9333 3'7333 08'375 777'0466 0'6667-99'344 94'0765 Desvacón meda Asmetría (-0'354 < 0) Algo asmétrca haca la zquerda Curtoss (-0'5608 < 0) Lgeramente aplanada (Platcúrtca) As K n. x x D ( x x) n. 3 σ 3 0'6667 '7 60-99'344 60 3 ' 4 ( x x) n. 4 σ 4 3 94'0765 60 ' 4 4 0'354 3 0'5608 6 - Estadístca descrptva (F. Álvarez)

5 La dstrbucón de las estaturas en centímetros de los alumnos de un centro, expresados en porcentajes, es la sguente: Estaturas Porcentajes Menos de 50 0'3 De 50 a 54 '6 De 55 a 59 9'4 De 60 a 64 0'5 De 65 a 69 3'5 De 70 a 74 '5 De 75 a 79 0'7 De 80 y más 3'5 a) Sendo abertos los ntervalos prmero y el últmo, qué valores sería razonable consderar para los límtes extremos de esos ntervalos? b) S suponemos que en el Centro hay 00 alumnos, cuáles serían las frecuencas absolutas? c) Calcular la estatura meda y la desvacón típca. d) Entre qué estaturas se encuentra la qunta parte de las estaturas centrales?. a) Al referrse a ntervalos de 5 cm. de ampltud en los restantes casos, debemos consderar que el prmer ntervalo es de 45 a menos de 50 y, el últmo, de 80 a 85. b) c) d) Estaturas p n p. 00 / 00 n P [45,50) 0'3 3'6 4 0'3 4 [50,55) '6 9' 9 '9 3 [55,60) 9'4 '8 3 '3 36 [60,65) 0'5 46 46 3'8 38 [65,70) 3'5 378 378 63'3 760 [70,75) '5 70 70 85'8 030 [75,80) 0'7 8'4 8 96'5 58 [80,85) 3'5 4 4 00'0 00 00 Estaturas n x n.x n.x [45,50) 4 47'5 590'0 8705'00 [50,55) 9 5'5 897'5 44868'75 [55,60) 3 57'5 7797'5 80306'5 [60,65) 46 6'5 39975'0 6495937'50 [65,70) 378 67'5 6335'0 06056'50 [70,75) 70 7'5 46575'0 803487'50 [75,80) 8 77'5 70'0 403800'00 [80,85) 4 8'5 7665'0 39886'50 00 0535'0 33899050'00 0535 De aquí resulta : x 00 67' 95 33899050 67' 95 4' 006 s x 4' 006 6' 48 00 s x La qunta parte representa el 0%. Con relacón al centro (50%), cubrrán desde el 40% al 60%. Se nos pde que calculemos los percentles 40 y 60 de la dstrbucón de estaturas. La tabla de porcentajes acumulados del apartado b) nos permte deducr que : Los percentles 40 y 60 se encuentran en el ntervalo [65,70). Sus valores concretos son : 40. 40.00 38 P 00. 65 00 40 e + a +.5 66'963 n 378 60. 60.00 38 P 00. 65 00 60 e + a +.5 69'47 n 378 Estadístca descrptva (F. Álvarez) - 7

6 Partendo de la sguente dstrbucón de frecuencas acumuladas, determnar la meda, medana y moda de la sguente dstrbucón de edades. Analce la relacón entre ellas. Edad [0,) 4 [,4) [4,6) 4 [6,8) 34 [8,0] 40 Calculemos los parámetros peddos, con el fn de observar en qué medda se verfca la relacón x Mo 3. ( x Me) Para obtener las frecuencas absolutas, a partr de las acumuladas, aplcamos el concepto que defne a estas últmas. En la práctca, las frecuencas absolutas se obtenen restando la correspondente acumulada de la anteror. Edad n x n.x n.x [0,) 4 4 44 484 [,4) 7 3 9 83 [4,6) 4 3 5 95 95 [6,8) 34 0 7 70 890 [8,0] 40 6 9 4 66 40 64 9648 64 x 40 5' 35 Lugar que ocupa la medana : L 50. 40 / 00 0 La medana está en [4,6) : 0 Me 4 +. 5' 3846 3 Comprobemos la relacón exstente entre ellas : x Mo 5'35 5' 765 0' 735 3. x Me 3. 5'35 5'3845 0' ( ) ( ) 035 La moda se encuentra en [4, 6). Su valor concreto es : 0 Mo 4 + 5 765 0 + 7. ' o se verfca la relacón esperada, s ben la dferenca no es muy grande. Esta relacón teórca sólo se verfca en stuacones deales y excepconales (por ejemplo en dstrbucones smétrcas, donde x Mo Me ). 8 - Estadístca descrptva (F. Álvarez)

7 Completar la tabla de frecuencas sguente : º de suspensos n 0 3 0 3 30 4 50 º de suspensos n 0 3 3 concde con el valor de n 7 0 para que al acumular resulte 0 acumulando 3 8 30 para que al acumular resulte 30 4 0 50 Últma acumulada 50 y n0 por dferenca con la anteror Estadístca descrptva (F. Álvarez) - 9

8 Calcular la ampltud sem-ntercuartílca de la dstrbucón de las edades de 400 nños, representada a la zquerda. Conocdos los porcentajes y el total de observacones (400), podemos construr la dstrbucón de frecuencas absolutas : n p. / 00 x p n P 6 4 6 3 48 8 4 48 30 Prmer cuartl (percentl 5) 5 5 60 45 6 4 96 69 7 3 4 00 Tercer cuartl (percentl 75) 400 La ampltud o rango sem-ntercuartílco será pues : Q Q 3 7 4 5 ' 0 - Estadístca descrptva (F. Álvarez)

Estadístca descrptva (F. Álvarez) - 9 Una varable X tene por meda y desvacón típca 3. S elevamos todos los valores al cuadrado construmos la nueva varable Y X. Cuál es el valor de su meda artmétca?. Observemos la expresón de la varanza :. x x n s n x La prmera parte de la expresón contene los cuadrados de los valores de la varable X; es decr, los valores defndos como la nueva varable Y. Con esto : 53 3. + + x s y x y s x y n s x x n x

0 Una varable X tene como meda 8 y varanza 4. Qué transformacón lneal hemos de realzar con ella, para obtener una nueva varable Y que tenga por meda 4 y desvacón típca 0?. Se entende por transformacón lneal a una relacón del tpo : Hemos de calcular los parámetros a y b desconocdos. Y a + b.x Hacendo uso de las propedades de la meda y la desvacón típca, resulta : Sobre la meda Ya+b.X 4 a+ b. 8 En relacón con la desvacón típca s b. s 0 b. b 5 a 4 5. 8 La transformacón realzada fue : Y + 5.X Y X - Estadístca descrptva (F. Álvarez)

Las calfcacones de un alumno en dos test de conocmentos fueron 5'4 y 4. El prmer test do como meda 5 con varanza y, el segundo, meda 38 con varanza. En qué test obtuvo mejor calfcacón con relacón al grupo total de alumnos?. os encontramos con dos dstrbucones de calfcacones meddas en dstntas escalas. Para poder comparar tendremos que referr ambas seres de valores a otras equvalentes entre sí (gual meda y desvacón típca). El proceso de tpfcacón nos proporcona lo que deseamos (sempre obtendremos una dstrbucón con meda 0 y desvacón típca ). Tpfcando ambas calfcacones se obtene : ota del test º : 54 ' ota del test º : 4 54 ' 5 z 0' 83 4 38 z 0' 866 La nota obtenda en el segundo test es superor a la del prmero en térmnos comparatvos. Estadístca descrptva (F. Álvarez) - 3

Estatura en cm. Alumnos [40,45) [45,50) 35 [50,55) 5 [55,60)? [60,65) 7 e) Entre qué estaturas se encuentran las 5 centrales?. f) Porcentaje de alumnos que mden más de 57 cm. a) Determnar la frecuenca desconocda, sabendo que la estatura meda es de 5 5 cm. b) Calcule la ampltud sem-ntercuartílca. c) Moda de la dstrbucón y coefcente de asmetría que la utlza. d) Percentl correspondente a una estatura de 53 cm.. Explque su sgnfcado. a) x n n.x [40,45) 4 5 70 [45,50) 47 5 35 56 5 [50,55) 5 5 5 7777 5 [55,60) 57 5 f 57'5.f [60,65) 6 5 7 37 5 05+f 5787 5+57'5.f La tabla de cálculos de la meda conduce a : 5787' 5 + 57' 5. f 55 ' 05 + f Resolvendo deducmos que : f 0 b) n [40,45) [45,50) 35 47 [50,55) 5 98 [55,60) 0 8 [60,65) 7 5 5 Luego : Q Q Q 3 Lugar Q 5. 5 / 00 3 5 Q se encuentra en [45,50) 35 ' Q 45 +. 5 47' 75 35 Lugar Q 3 5. 75 / 00 93 75 Q 3 se encuentra en [50,55) Q 3 50 + 54' 5833 47' 75 3467 ' 0 c) º) Moda en [50,55) : Mo 50 + 35 + 0. 5 588 ' x n n.x n.x 4 5 70 43675 47 5 35 56 5 76468 75 5 5 5 7777 5 86068 75 57 5 0 350 4965 6 5 7 37 5 84843 75 5 8937 5 878 5 9375 ' 47 5. 5 54' 5833 8785 ' s 55 ' 5 s 50 ' x Mo As 0'0634 s n [40,45) [45,50) 35 47 [50,55) 5 98 [55,60) 0 8 [60,65) 7 5 5 d) 53 se encuentra en [50,55) 5 k. Pk 50 + 00 47. 5 53 5 Resolvendo : k 6 08 6 e) Lugar 5. 40 / 00 50 ; en [50,55) : 50 47 P 40 50 +. 5 50'9 5 Lugar 5. 60 / 00 75 ; en [50,55) : Entre 50 9 y 5 75 75 47 P 60 50 +. 5 5' 75 5 4 - Estadístca descrptva (F. Álvarez)

f) 57 se encuentra en [55,60) 5 k. Pk 55+ 00 98 5 57 0. Resolvendo : k 84 8% (porcentaje nferores a 57) Luego, mden más de 57 cm. : 00% - 84 8% 5 % Estadístca descrptva (F. Álvarez) - 5

3 Edad Hombres Mujeres a 5 7 3 9 a 9 5 6 a 9 5 6 3 a 6 9 0 a 3 8 a) Determne el número de hombres con edades comprenddas entre los y 5 años. b) Cuál de los dos grupos de edades está más dsperso?. c) Con relacón al grupo ntegrado por los del msmo sexo, quén resulta más joven, un hombre o una mujer de 0 años?. Hombre Mujer x n n.x n.x n n.y n.y [0,3) 5 8 8 9 058 3 64 5 [3,6) 4 5 9 59 5 3 75 9 30 5 89 5 [6,9) 7 5 5 4 87 5 53 5 6 05 837 5 [9,) 0 5 9 33 84 5 378 5 5 0 5 0 5 [,5) 3 5 7 40 64 5 3865 75 3 70 5 656 75 40 688 550 5 43 5 775 5 a) pertenece al ntervalo [0,3) : P 5 pertenece al ntervalo [3,6) : P Entre y 5 el 38 33-6 67 3 66%. b) Calculamos las varanzas de ambos grupos : 40 k. k 0 + 00 0. 3 k 667% ' 8 40 k. k 3+ 00 8. 3 5 k 3833% ' Luego hay : 40. 3 66 / 00 664 3 hombres 688 550 x 7' ; sx 7' 7' 9 ; sx 7' 9 4' 3 40 40 435 ' 775' 5 y 7' 6 ; sy 7' 6 ' 84 ; sy ' 84 3' 49 5 5 Sendo 7 9 > 84 Grupo hombres más dsperso de forma aboluta Pese a ser las medas práctcamente guales, debemos emplear el coefcente de varacón para estudar la varabldad relatva de ambos grupos : 43 ' CVx CVy 7 00 4 605% 349 '. ' ;. 00 0' 0% hombres más dsperso ' 7' 6 c) Tpfcamos 0 en ambos grupos : Z 0 7' 0 7' 6 0' 66 ; Z 0' 785 7' 9 ' 84 hombre mujer Como 0 66 < 0 785 Hombre más joven 6 - Estadístca descrptva (F. Álvarez)

4 a) La tabla sguente nos muestra las calfcacones de 0 alumnos, en un test de cálculo matemátco, al nco del curso y al fnalzar el msmo. Alumno 3 4 5 6 7 8 9 0 Inco 4 5 5 3 3 Fnal 6 8 5 9 3 6 7 6 4 9 a) Determne la meda, desvacón típca, medana y moda de las calfcacones al nco y al fnal del curso. b) Calcule la meda y desvacón típca del ncremento o mejora de la calfcacón obtenda. Inco x 4 5 5 3 3 7 x 6 5 5 4 9 4 9 95 Ordenando valores : 7 95 x 7 ' ; s x 7 ' 487 ' 0 0 3 3 4 5 5 Medana 5 Moda Fnal y 6 8 5 9 3 6 7 6 4 9 63 y 36 64 5 8 9 36 49 36 6 8 433 Ordenando valores : 63 433 y 63 ' ; s y 63 ' 9 ' 0 0 3 4 5 6 6 6 7 8 9 9 b) Medana 6 Moda 6 Mejora d 3 4 4 3 5 5 3 6 36 d 4 9 6 6 9 5 5 9 36 50 36 50 d 36 ' ; s d 36 ' 48 ' 0 0 Meda de la dferenca : d y x 63 ' 7 ' 36 ' ( o es váldo para dspersones ) Estadístca descrptva (F. Álvarez) - 7

5 º Suspensos Alumnos 0 6 0 4 3 5 4 0 5 5 a) Determne la meda, desvacón típca, coefcente de varacón, medana y moda del número de suspensos. b) Coefcente de asmetría de Fsher. c) Puntuacón dferencal y tpfcada correspondente a suspensos. a) De la sguente tabla de cálculos obtenemos : 58 496 x 975 s CV 80 80 975 564 564 ' ' ' '. 00 76'78% 975 ' Medana : / 40 Me Moda x n n.x n.x x x n.( x x) 0 6 6 0 0-975 -3 598 0 36 0 0-0 975-8 537 4 50 8 56 0 05 0 000 3 5 65 45 35 05 6 534 4 0 75 40 60 05 83 0377 5 5 80 5 5 3 05 38 403 80 58 496 95 7975 3 b) c) 3 n.( x x) 95'7975 As 80 0'3434 Lgeramente asmétrca a la derecha (o postva) 3 3 s '564 x d x x 975 ' 0' 05 x x 005 ' z 006 ' s 564 ' 8 - Estadístca descrptva (F. Álvarez)

6 Estatura ños 55-59 4 50-54 3 45-49 40-44 A 35-39 30-34 La altura en cm. de los nños de años, examnados durante la últma semana en la undad de crecmento del centro hosptalaro Creceben, vene representada en la tabla de la zquerda. Sabendo que la altura meda de los msmos es 47 75 cm., calcular : a) La frecuenca A del tercer ntervalo. b) La smetría de la dstrbucón a partr de la comparacón de meda, medana y moda. c) El percentl correspondente a un nño que mde 43 m.. x n n.x 3 3 37 74 4 A 4.A 47 764 5 3 976 57 4 68 TOTAL 3+A 4774+4.A 4774 + 4. A a) x 47' 75 3 + A Resolvendo la ecuacón anteror obtenemos el valor de A : 47 75.(3+A)4774+4.A 478+47 75.A4774+4.A 5 75.A 46 A 8 b) Calculemos la medana y la moda de la dstrbucón : Intervalos n Moda en [49 5, 54 5) : [9 5, 34 5) [34 5, 39 5) 3 Mo 49 ' 4 5 + [39 5, 44 5) 8 4 +. 5 50 ' 75 [44 5, 49 5) 3 Lugar que ocupa la medana 40/ 0 [49 5, 54 5) 3 36 0 [54 5, 59 5) 4 40 Medana en [44 5, 49 5) : Me 44' 5 +. 5 48' 5 x Mo 3.( x Me) Utlzando los coefcentes de asmetría : As As 3 s s y sendo sempre postva la desvacón típca,concluremos que la smetría resultará del análss del sgno del numerador. x Mo 47' 75 50' 75 3 < 0 3.( x Me) 3.( 47' 75 48' 5) ' 5 < 0 Luego es asmétrca zquerda (o negatva). c) La altura 43 m. ( 43 cm.) se encuentra en el ntervalo [39 5, 44 5) : k. 40 3 k Pk 43 39 5 + 00 04 '. 3 358 '. 86 ' '. 5 35 '. 5 + 3 04 '. k k ' 5 8 8 5 04 ' Luego corresponde al percentl 5. Estadístca descrptva (F. Álvarez) - 9

7 X n 0-0 7-9 00 4-6 60-3 30 Dada la sguente dstrbucón de frecuencas., calcular : a) Meda y desvacón típca. b) úmero de observacones comprenddas entre las puntuacones drectas 3 5 y 9 5. c) Puntuacones típcas de los percentles 0 y 80. Ordenamos los ntervalos de menor a mayor, expresándolos medante sus extremos reales. Intervalos n x n.x n.x [ 0 5, 3 5 ) 30 60 0 30 [ 3 5, 6 5 ) 60 5 300 500 90 [ 6 5, 9,5 ) 00 8 800 6400 90 [ 9 5, 5 ] 0 0 0 00 Totales 00 70 930 70 930 a) x 635 ' s 6' 35 5875 ' s 5875 ' ' 44 00 00 b) De la observacón drecta de la tabla se concluye que es 60 (60+00). c) Percentl 0 : Lugar 0 x 00 / 00 40 (Observando ) se encuentra en [ 3 5, 6 5 ) 40 30 4 635 P0 35+ 3 4 z ' '. 0' 9735 60 ' 44 Percentl 80 : Lugar 80 x 00 / 00 60 (Observando ) se encuentra en [ 6 5, 9,5 ) 60 90 86 ' 635 ' P80 65 ' +. 3 86 ' z 0' 93 00 ' 44 30 - Estadístca descrptva (F. Álvarez)

8 x n 0 6 3 Hacendo uso de coefcentes basados en meddas de poscón, estude la asmetría y el apuntamento de la dstrbucón. Tales coefcentes son el de asmetría de Yule y el de curtoss de Kelley. Obtengamos los percentles que ntervenen en su cálculo a través de la columna de porcentajes acumulados (P) : x n r p P Cuartl º : (5%) 0 6 0 Cuartl 3º : (75%) 0 4 4 36 Medana : (50%) 0 4 4 78 3 0 00 Percentl 0 : (0%) 0 50 Percentl 90 : (90%) 3 Con ellos : Y Q 3. Me + Q. + (asmétrca a la zquerda o negatva) Q3 Q Q3 Q Q K 0' 63 0' 63 0' 63 0' 0963 (lgeramente platcúrtca o aplastada) P P P P 3 0 90 0 90 0 Estadístca descrptva (F. Álvarez) - 3

9 Determne las medas artmétca, geométrca y armónca de la varable X que toma los valores sguentes : 5,, 5, 4, 8. x Meda artmétca : 5 x + + 5 + 4 + 8 3 46 ' 5 5 Meda geométrca : x 5 5 G x x x 5 0 '...... 55... 4. 8 800 800 800 3807 ' Meda armónca : 5 5 xa 87 ' 775 ' + + + + x 5 5 4 8 3 - Estadístca descrptva (F. Álvarez)

0 x n 3 0 3 7 0 Determne las medas artmétca, geométrca y armónca de la dstrbucón. Generalzamos las expresones correspondentes al fgurar frecuencas : Meda artmétca : n. x 3. + 0. + 7.3 44 x ' 0 0 Meda geométrca : Meda armónca : x x G A 0 n n n x. x... x n n 39488 39488 n x 3 0 0 + + 7 3 3. 0.3 0 0 7 39488 0 0'333 '935 0'05 '077 Estadístca descrptva (F. Álvarez) - 33

Con el fn de estudar la edad meda y la dspersón de edades en un centro educatvo, el drector solcta estos datos a los responsables de los dstntos nveles, resultando : 00 alumnos de Prmara con meda años y varanza 5. 40 alumnos de Secundara con meda 4 6 años y varanza. 65 alumnos de Bachllerato con meda 7 años y varanza 0 9. Cuál es la edad meda y la varanza del colectvo total de alumnos del centro?. Meda conjunta de los 3 grupos Varanza conjunta de los 3 grupos n. x 00. + 404. ' 6 + 657. ' 70655 ' X 399 ' n 00 + 40 + 65 505 S ( ) n n. S n. x X + n 00.' 5+ 40. + 65.' 0 9 00.( 3' 99) + 40.( 4' 6 3' 99) + 65.( 7' 3' 99) + 505 505 985 ' 3436' 005 + 839 ' + 6804 ' 8' 643 505 505 34 - Estadístca descrptva (F. Álvarez)

De las 0 observacones de dos varables X, Y, conocemos : ΣX 4 ; ΣX 40 ; ΣY 34 ; ΣY 54 ; ΣXY 398. Determne la meda y varanza de la varable V X - Y. Calculemos la meda y varanza de X, la meda y varanza de Y, así como la covaranza. 4 X 4 0 ' Y 34 0 40 54 34 ' S X 4 ' 04 ' S 0 Y 34 ' 384 ' 0 X. Y 398 SXY XY. 4 '. 34 ' 04 ' 0 Con ello : V X Y XY V X Y 4 ' 34 ' 8 S S + S. S 04 ' + 384 '. 04 ' ' 8 Estadístca descrptva (F. Álvarez) - 35

3 El estudo de las faltas de asstenca a clase de alumnos de un grupo de 3º de Secundara produjo los resultados sguentes : Faltas 3 4 5 6 7 8 Alumno 4 3 3 3 s Determne la medala y estude analítca y gráfcamente el grado de concentracón de la dstrbucón. Los cálculos de la medala, índce de Gn y curva de Lorenz, se obtenen a partr de la sguente tabla auxlar: x n Σ n. P (.. /).00 t n. x T Σ t. Q (T.. /T).00 P - Q 4 4 0 4 4 5'95 4'805 3 7 35 6 0 '987 '03 3 3 0 50 9 9 4'675 5'35 4 60 8 7 35'065 4'935 5 3 5 75 5 4 54'545 0'455 6 7 85 54 70'30 4'870 7 8 90 7 6 79' 0'779 8 0 00 6 77 00 0 0 TP 55 T 77 TD 33'8 Unendo el orgen del rectángulo (0, 0) con los sucesvos puntos (P, Q ) obtenemos la curva de Lorenz de la derecha. Las sumas TD y TP permten obtener el índce de Gn : TD 338 ' G 0' 309 TP 00 55 00 Conclumos la presenca de una certa concentracón (lo cuál tambén se adverte con la gráfca). Medala 5 ya que el prmer valor que guala o supera a 50 en la columna Q es 54'545, el cuál corresponde a x 5. 36 - Estadístca descrptva (F. Álvarez)